56. Para los eventos cualesquiera A y B con P(B)>0, demuestre que P(A|B)+P(A'|B)=1. RESPUESTA
P(A|B)+P(A'|B)=P(A∩B) + P(A'∩B) = P(B) =1 P(B) P(B)
57. Si P(B|A)>P(B), demuestre que P(B'|A)<P(B'). (Sugerencia sume P(B'|A) a ambos lados de la desigualdad y luego use el resultado del ejercicio 56.)
RESPUESTA
Se contradice el enunciado, y por lo cual el resultado es P(B'|A)<P(B')
58. Demuestre que para tres eventos cualesquiera A, B y C con P( C )>0, P(AUB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A∩B|C).
RESPUESTA
P( C )>0, P(AUB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A∩B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A∩B|C)
59.En una gasolinera, el 40% de los clientes utilizan gasolina (A1), el 35% gasolina plus (A2) y el 25% gasolina (A3). De los clientes que utilizan gasolina regular, sólo el 30% llenan sus tanques (Evento B), de los clientes que utilizan plus, 60% llenan sus tanques, mientras que los que utilizan premium, 50% llenan sus tanques.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina plus y llene el tanque? (A2 ∩ B)?
· A1 ≡ Gasolina Regula
· A2 ≡ Gasolina plus · A3 ≡ Gasolina Premium · (B )≡ Llenar el tanque'. · P(A1) = 0.4
· P(A2) = 0.35 · P(A3) = 0.25
· P(B|A2) = 0.6 · P(B|A3) = 0.5
P(A2∩ B)= P(A2/B) * P(A2)
=(0.66)*(0.35) =0.21
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque?
P(B) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3) = 0.3·0.4 + 0.6·0.35 + 0.5·0.25 = 0.455
c) Si el cliente llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular?, ¿Plus? y ¿premium?
Para Gasolina Regular
Para gasolina Plus
60. 70% de las aeronaviones ligeros que desaparecen mientras vuelan en cierto pais son posteriormente localizados. De las aeronaves que son localizadas, 60% tienen localizador de emergncia, mientras que el 90% de las no localizadas no cuentan con dicho localizador. Suponga que una aeronave ligera ha desaparecido.
a. si se tiene localizador de emergencia, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea localizado? b. si no tiene localizador de emergencia, ¿Cuál es la probabilidad de que sea localizado? RESPUESTAS
a. P(NO LOCALIZADO|TIENE LOCALIZADOR)=P(NO LOCALIZADO∩TIENE LOCALIZADOR) /P(TIENE LOCALIZADOR)
=.03/.0.3+0.42=0.67
b. P(LOCALIZADO|NINGUN LOCALIZADOR)=P(LOCALIZADO∩NINGUN LOCALIZADOR)/ P(TIENE LOCALIZADOR)
= 0.28/0.55=0.509
61. Componentes de cierto tipo son enviados a un distribuidor en lotes de diez. Suponga que 50% de los lotes no contienen componentes defectuosos, 30% contienen un componente defectuoso y 20% dos componentes defectuosos. Se seleccionan al azar dos componentes de un lote y prueban. ¿Cuáles son las probabilidades asociadas con 0,1 y 2 componentes defectuosos que están en el lote bajo cada una de las siguientes condiciones?
RESPUESTAS
a. ningún componente probado esta defectuoso. P(0 DEFECTOS EN LA MUESTRA|0 DEFECTOS)=1
P(0 DEFECTOS EN LA MUESTRA|1 DEFECTUOSO)=(9C2)/(10C2)=0.800 P(1 DEFECTOS EN LA MUESTRA|1 DEFECTUOSO)=(9C1)/(10C2)=0.20
P(0 DEFECTUOSO |0 DEFECTOS EN LA MUESTRA) =0.5/0.5+0.24+0.1244=0.578 P(1 DEFECTUOSO |0 DEFECTOS EN LA MUESTRA) =0.24/0.5+0.24+0.1244=0.278 P(2 DEFECTUOSO |0 DEFECTOS EN LA MUESTRA) =0.1244/0.5+0.24+0.1244=0.144
b. uno de los componentes probados es defectuoso. P(0 DEFECTUOSO |1 DEFECTOS EN LA MUESTRA) =0
P(1 DEFECTUOSO |1 DEFECTOS EN LA MUESTRA) =0.6/0.6+0.712=0.457 P(2 DEFECTUOSO |1 DEFECTOS EN LA MUESTRA) =0.0712/0.6+0.712 =0.543
62. Una compañia que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y uno de lujo. El año pasado , 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo básico. De aquellos que compraron el modelo basico, 30% adquirieron una garantía ampliada, en tanto que 50% de los compradores del modelo de lujo tambien lo hicieron. Si sabe que un comprador seleccionado al azar tiene una garantía ampliada, ¿Qué tan probable es que él o ella tengan un modelo básico?
RESPUESTAS B= BASICO L= LUJO
C= COMPRAN GARANTIA N=NO COMPRAN GARANTIA
P(B∩C)= 0.4X0.3=0.12 P(B∩C)’= 04X0.7=0.25 P(L∩C)= 06X0.5=0.30 P(L∩C)’= 06X0.5=0.30
P(B|C)= P(B∩C)/P(C) = 0.12/0.30+0.12=0.2857
una maquina con una maquina dee hacer hielos y C el evento en que el cliente adquirió una garantia ampliada. Las probabilidades pertinentes son.
P(A)=0.75 P(B|A)=0.9 P(B|A’)=0.8 P(C|A∩B)=0.8 P(C|A∩B’)=0.6 P(C|A’∩B)=0.7 P(C|A’∩B’)=0.3
A=(fabricados en estados unidos) B= (Cuenta con maquina de hielo) C= (adquirio garantia ampliada)
a. Construya un diagrama de árbol
b. Calcule P(A∩B∩C) P(A∩B∩C)=0.75X0.90X0.8=0.540 c. Calcule P(A∩B∩C)
P(B∩C)=P(A∩B∩C+P(A’∩B∩C)=0.54+(0.2X0.7)=0.68 d. Calcule P(C)
P(A|B∩C)= P(A∩B∩C)/ P(B∩C)=0.54/0.68= 0.7941
64. En el ejemplo 2.30, suponga que la tasa de incidencia para la enfermedad es 1 en 25 y no 1 en 100. ¿Cuál es la probabilidad de un resultado de prueba positivo? Dado que el resultado de prueba es positivo, ¿Cuáles la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad? Con un resultado de prueba negativo, ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo no tenga la enfermedad?
P(POSITIVO)=0.588
P(TENGALA ENFERMEDAD|POSITIVO)=0.0396/0.0588=0.6735
