Matemáticas
MATEMÁTICAS
6º grado
James R. Velasco Mosquera
Profesor Universidad de PamplonaLuis Ernesto Rojas Morantes
Profesor Universidad de PamplonaMINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL Coordinación Pedagógica y Editorial
Hernando Gélvez Suárez Supervisor de Educación
Impresión:
Prohibida su reproducción total y parcial sin autorización escrita del Ministerio de Educación Nacional MEN. Derechos Reservados
Distribución gratuita
CONTENIDO
LOS SISTEMAS NUMÉRICOS...1
LOS NÚMEROS NATURALES ...9
LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...20
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...27
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...32
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ...38
DIVISIBILIDAD ...43
POTENCIACIÓN ...52
APRENDAMOS QUE ES LA LÓGICA...59
TRABAJEMOS CON CONJUNTOS ...75
REALICEMOS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ...81
LA ESTADÍSTICA...86
NÚMEROS FRACCIONARIOS...95
PRESENTACIÓN
El diagnóstico de la actual situación socioeconómica de las áreas rurales de Colombia presenta un panorama complejo. Se da por una parte, la creciente modernización tecnológica y empresarial del agro donde la actividad económica tiende a organizarse bajo la forma de empresas modernas en el marco de la integración dependiente con la agroindustria y por otra parte se constata el progresivo y creciente empobrecimiento de aquellos grupos de la población directamente vinculada a la producción agrícola tradicional.
Una de las necesidades insatisfechas es la de la educación, considerada como un elemento clave en cualquier estrategia que se proponga lograr un desarrollo rural equitativo. Se alude aquí, específicamente a la educación básica obligatoria establecida por la Constitución Política de Colombia de 1991.
La actual Ley General de Educación define la educación básica “Como la educación primaria y secundaria”; comprende nueve grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado por las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana, las cuales deben comprender por lo menos el 80% del plan de estudios. Los decretos reglamentarios de la Ley General de la Educación se refieren a la educación básica en los siguientes términos:
• Es un proceso pedagógico que comprende nueve grados y debe organizarse de manera secuenciada y articulada que permita el desarrollo de actividades pedagógicas, de formación integral, que facilite la evaluación por logros y favorezca el avance y la permanencia del educando dentro del servicio educativo (Decreto 1860 del 94).
• A quienes hayan terminado satisfactoriamente los estudios de educación básica se les otorgará un diploma mediante el cual se certifica la culminación del bachillerato básico, por el cual se permite comprobar el cumplimiento de la obligación constitucional de la educación básica y habilita al educando para ingresar a la educación media, al servicio especial de educación laboral o al desempeño de actividades que exijan este grado de formación,
La Postprimaria rural como una opción de educación básica completa, enmarcada dentro del objetivo de calidad y cobertura, surge a partir de innovaciones educativas vividas en la década de los noventa que apuntaron especialmente, a la introducción de cambios en las metodologías de aprendizaje, en las formas de organización escolar, en el diseño de materiales, en la evaluación y promoción, en propuestas curriculares pertinentes al medio, mediante la implementación de proyectos institucionales de educación rural que garantizaran articulación secuencia y continuidad del servicio educativo.
La Postprimaria se puede considerar como una estrategia innovadora que integra educación formal, no formal e informal especialmente dirigida a los niños y niñas jóvenes en edad escolar para ofrecerles mas grados en las escuelas rurales que hayan logrado el 5º de primaria y puedan ampliar los grados hasta alcanzar la educación básica completa directamente o por convenio con instituciones rurales organizadas por fusión o asociación, para lo cual se ha diseñado un conjunto de materiales curriculares o textos guías (del 6º al 9º grados) de apoyo para el auto aprendizaje y el aprendizaje cooperativo en las áreas obligatorias y fundamentales, en los proyectos pedagógicos y en los proyectos pedagógicos productivos.
La Universidad de Pamplona, dada su experiencia en el diseño de ese tipo de materiales fue responsabilizada mediante convenio con el Ministerio de Educación Nacional para la producción de dichos materiales, el énfasis está puesto en el funcionamiento de centros e instituciones educativas de forma presencial y semipresencial, con calendarios, horarios, planes y programas flexibles, y adecuados a la realidad del medio.
En este sentido los materiales curriculares que se incluyen se ubican en la perspectiva de adoptar procesos que contribuyan a generar acciones que aproximan la educación básica rural a la realidad vivida por los educandos y sus familias y abrir espacios de participación a través del diseño de estrategias pedagógicas activas que ponen énfasis en su propia realidad y en la búsqueda de soluciones a los problemas que los afectan.
En relación con la metodología que identifica el diseño de los materiales, no se puede definir una sola metodología o una única metodología, cada una de las áreas, de los proyectos pedagógicos presenta o aplica su propio proceso o procesos metodológicos, el fin es buscar la producción e interpretación de conocimientos adaptados a las necesidades básicas de aprendizaje, para luego contrastarlos con su practica cotidiana y con los factores que inciden en el desarrollo de su comunidad, mediante la utilización de estrategias participativas de investigación y acción educativa en la detección de problemas y desarrollo de proyectos.
Por último, el papel del educador como gestor y orientador de estos procesos, valorados desde su actitud, sus dominios académicos, pedagógicos y de identidad con el medio en el cual labora, son definitivos para el desarrollo del programa de Postprimaria Rural como una alternativa para implantar la institución básica, reconociendo la capacidad del educando para generar y adaptar los contenidos a sus necesidades e intereses.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
U
N
I D A
D
•
U
N I
DA
D
•
1
• OBJETIVOS
ACTIVIDAD 1.
LOS SISTEMAS
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NUMÉRICOS
(Trabajo individual). Lectura
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
LOS INDÍGENAS TAMBIÉN CUENTAN
Una de las expresiones intelectuales más antiguas del hombre es la de contar y comparar
el número de elementos de ciertas colecciones de objetos. Esta característica nos
diferencia de los demás animales, a pesar de que algunos de ellos poseen “cierto sentido”
para diferenciar conjuntos de hasta 3 ó 4 elementos.
POSTPRIMARIA RURAL
El término indo-arábigo obedece a dos razones: la primera que se originó en la India y
la segunda, el haber sido los árabes quienes durante su hegemonía expansionista lo
trajeron de allí y lo impusieron en todos los pueblos que conquistaron. De esta manera,
a través de España, el sistema se introdujo en Europa y se extendió por toda la tierra. A
este sistema se le llama decimal porque su “base” es diez. Sin embargo existen sistemas
en otras bases como por ejemplo el sistema binario o de base 2, que es el que usan los
computadores en su memoria. Este sistema hace uso de dos números solamente: 0 y
1. y sus tablas para la suma y la multiplicación son muy sencillas.
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1
• Comenta la lectura con tus compañeros.
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo en grupos)
Respondo las siguientes preguntas:
1. ¿Has oído hablar o has visto números diferentes a los indo-arábigos? ¿Cómo se
llaman? Escribe 5 de estos números.
2. Ahora escribe estos 5 números en el sistema decimal. Compara sus escrituras y
escribe tus conclusiones.
3. ¿Qué diferencia y qué semejanza encuentras cuando lees lo siguiente: 3, tres,
three, III.?
4. Considera el número 4838. De izquierda a derecha, ¿qué representa el primer 8,
el 3? ¿y el último 8?
5. ¿La expresión “valor posicional” te dice algo de matemáticas?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
ACTIVIDAD 2.
Fichas para introducir en las varillas Varillas
Base de madera
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo en grupo)
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Trabajemos con el Ábaco
El ábaco abierto es un instrumento de madera, muy sencillo en su forma y de fácil
manejo, pero con el que se puede construir conocimiento matemático que nos interesa.
POSTPRIMARIA RURAL
➡
➡
El Ábaco se utiliza para representar
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Números:
Para representar números usando el ábaco, primero decidimos “de a cuánto vamos a contar”. Ejemplo: si decidimos que vamos a contar “de a diez”, esto significa que cada vez que se tenga 10 fichas en una varilla, éstas se pueden y deben reemplazar por una ficha colocada en la varilla siguiente trabajando de derecha a izquierda, es decir:
10 unidades. 1 decena ó 1 diez.
10 fichas de la varilla 1 (figura de la izquierda) se reemplazan por 1 ficha de la
segunda varilla (figura de la derecha)
Ahora si decidimos contar “de a dos” tendríamos:
MA
TEMÁTIC
AS 6º
➡
➡
➡
Si se desea representar 13 fichas en el ábaco y contar “de a diez” se procede así:
Leémos: 1 diez y tres unidades, es decir trece.
El número 328 en el ábaco se representa así:
Leémos: tres cienes, dos dieces y ocho unidades. O sea, 3x100, 2x10 y 8, es decir 328 = 3x100 + 2x10 + 8
= 3x102 + 2x10 + 8
POSTPRIMARIA RURAL
➡
➡
Es decir, si contamos “de a 2”, 7 fichas se representan como 111, o sea, 111 = 1x22 + 1x21 + 1
• Comparemos 13 fichas representándolas en los casos anteriores. Hazlo en tu ábaco.
13 = 1x10 + 3.
13 = 1 1 0 1 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1, aquí decimos que trece en base dos, y
lo representamos como 1101.
• Similarmente podemos contar “de a cinco” y para este caso 7 fichas se representan... Completa el gráfico, pero hazlo antes en tu ábaco.
• Ahora usando tu ábaco, ¿cómo representarías el número 23 contando “de a ocho” ?
• Analiza lo siguiente:
MA
TEMÁTIC
AS 6º
Si vamos a contar “de a ocho” la base es ocho, si en cambio vamos a contar “de a diez” la base es diez.
En casos anteriores veíamos que: • En base 10:
328 = 3x102 + 2x10 + 8
13 = 1x10 + 3 • En base 2:
1101 = 1x23 + 1x22 + 0x2 + 1
10 = 1x2 + 0
Las expresiones ubicadas a la derecha del signo = en las 4 expresiones anteriores son representaciones polinómicas de esos números, es decir, se representa el mismo número pero de manera diferente algo así como cuando en vez de Santafé de Bogotá escribimos “la capital de Colombia”.
Ahora considera el número 1101 en base 2. El primer 1 encontrado de izquierda a derecha representa 1x23 o sea ocho, el último 1 representa 1. ¿Qué representa
el segundo 1?
Luego dependiendo del lugar donde se encuentre el 1 en el número 1101, éste representa valores diferentes. Cuando esto sucede, se dice que el sistema de numeración hace uso del principio del “valor posicional”.
¿Será que el sistema de numeración romano hace uso de este principio?
POSTPRIMARIA RURAL
➣
⊥
⊥
RETANDO
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo grupal)
Responde:
1. ¿Por qué no usamos en nuestra sociedad el sistema en base 2 sabiendo que sólo
usamos el 1 y el 0?
2. ¿Cómo serían las tablas de multiplicar en el sistema binario?
3. Efectúa 1011 + 101 en base dos.
4. Encuentra las expresiones polinómicas de dos números de dos cifras en base 3 y
dos números de tres cifras en base 7.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Sistemas de Numeración Escritos
SISTEMA NUMERALES BASE
INDO-ARÁBIGO 1 2 3 4 5 10 DIEZ
BABILÓNICO ¶ ¶¶ ¶¶¶ ¶¶¶¶ ¶¶¶¶¶ diez y sesenta
EGIPCIO I II III IIII IIIII ∩ DIEZ
GRIEGO I II III IIII Γ ∆ DIEZ
α β & δ ε ι
MAYA • •• ••• •••• - = VEINTE
CHINO - = ≡ ≡ ≡ ⊥ DIEZ
HINDÚ - = ≡ £ DIEZ
∧ 2 3 ϒ ∧•
BINARIO 1 10 11 100 101 1010 DOS
MA
TEMÁTIC
AS 6º
TRABAJEMOS EL SISTEMA
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
DE LOS NÚMEROS NATURALES
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo en grupo). Recordemos
•
Responde a la siguiente pregunta basado en tu propia experiencia: ¿Cuáles fueron
los primeros conocimientos numéricos que tuviste? Es decir, cuándo empezaste a
contar, cuáles fueron los primeros números que aprendiste, para qué utilizabas los
números, ...
•
Comentemos las respuestas y seleccionemos los tres primeros conocimientos
numéricos que son comunes en todos.
Leémos lo siguiente:
POSTPRIMARIA RURAL
Resumiendo podemos decir que en un momento dado de su historia, al conjunto de los números que le servía al hombre para contar y que se representa como: N = {1, 2, 3, 4, ...}, se le adhirieron operaciones y relaciones constituyéndose así lo que hoy se denomina un sistema de numeración.
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo individual)
En tu cuaderno responde:
1. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto formado por los alumnos de tu salón de
clase?
2. ¿Si cambiamos la ubicación de los alumnos dentro del salón de clase, el número de
elementos del conjunto varía?
3. ¿Cuántos elementos aparecen en la siguiente gráfica?
<<<<<<<
4. Dados los siguientes conjuntos A y B:
A = { Santander, Norte de Santander, Boyacá, Antioquia }
MA
TEMÁTIC
AS 6º
◆ ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?
◆ ¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?
◆ ¿Se cumple que A es coordinable con B? ¿Por qué?
5. Dado el conjunto V = { a, e, i, o, u }. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto V?
6. Sea M el conjunto formado por las mujeres que han sido presidentes de Colombia. ¿Cuántos elementos tiene M?
7. Sea N = { x/ x es la ciudad capital de Colombia}. ¿Cuántos elementos tiene N?
8. Reúnete con otros dos compañeros para comparar y discutir las respuestas de los ejercicios anteriores.
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo en grupo)
En grupos de tres resolvemos los siguientes ejercicios:
1. Si dos conjuntos A y B son coordinables, ¿cómo es el número de elementos de A
con relación a B?
2. Sea R el conjunto formado por los meses del año.
•
¿Cuántos elementos tiene R?
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
Los expertos han llamado Cardinal de un conjunto al número de elementos del conjunto.
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo en grupo)
Analicemos y respondamos:
•
¿Cuál es el cardinal de los siguientes conjuntos?
A =
::::::
B =
(((((
C = { x/x es un mes del año }
D = { x/x es un mes del año con 25 días }
MA
TEMÁTIC
AS 6º
&
&
&
☺
☺
☺
C
C
C
« «
« «
g g
g g
S S
S S
u u
u u
l l
l l
♣ ♦ ♥ ♠
•
Observemos los siguientes grupos de conjuntos.
GRUPO A
L = M = N =
GRUPO B
S = T = U =
V = V =
POSTPRIMARIA RURAL
RESPONDEMOS:
• ¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo A? • ¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo B? • ¿Qué tienen en común los conjuntos del grupo C?
• ¿Cuántos conjuntos hay en el grupo A? ¿Cuál es el cardinal de cada uno de estos conjuntos?
• ¿Cuántos conjuntos hay en el grupo B? ¿Cuál es el cardinal de cada uno de estos conjuntos?
• ¿Cuántos conjuntos hay en el grupo C? ¿Cuál es el cardinal de cada uno de estos conjuntos?
• ¿Cuáles de los anteriores conjuntos son coordinables?
• Discutamos sobre el cardinal de los conjuntos coordinables y saquemos una conclusión.
CONCLUYAMOS
Los conjuntos coordinables poseen la propiedad de tener el mismo número de elementos, es decir tienen el mismo CARDINAL.
Con los números cardinales se forma el conjunto de los NÚMEROS NATURALES, se simboliza con IN y se definen por extensión así:
MA
TEMÁTIC
AS 6º
ACTIVIDAD 5.
(Trabajo individual)
Piensa y responde en tu cuaderno:
•
¿Para qué se usan los números naturales?
•
¿Puedo contar los libros que hay en este momento en mi salón de clase?
•
¿Cuántos libros hay?
•
¿Cuántas personas viven en tu casa?
•
En un dado: ¿Cuántos conjuntos con puntos se pueden formar con las caras del
dado? ¿Cuál es el cardinal de esos conjuntos?
•
¿Cuál es el cardinal de un conjunto vacío?
•
Dado el natural 15, ¿puedes decir con exactitud qué número natural sigue?
•
Dado el natural 2.018, ¿qué natural sigue?
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 6.
(Trabajo en grupo)
Conformamos grupos de trabajo.
•
Comparemos las respuestas del anterior ejercicio, con las de nuestros compañeros.
•
¿Se parecen? ¿Se diferencian?
•
Discutamos, hallemos quién tiene la razón.
•
Escribamos los resultados de la discusión.
CONCLUYAMOS
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades: • Es utilizado para contar los elementos de un conjunto.
• El proceso de enumeración de sus elementos no termina, por lo tanto es un conjunto infinito.
• Dado un número natural cualquiera, se sabe con seguridad qué natural sigue, por lo tanto es ORDENADO.
ACTIVIDAD 7.
(Trabajo en grupo)
•
Conformemos grupos de trabajo y tracemos una recta en el pizarrón, sobre ella
marquemos el número 0, a partir del cero ubiquemos el número 1 y con esta
medida situemos los siguientes números así:
MA
TEMÁTIC
AS 6º
• Observamos y respondemos:
◆ ¿El natural 3 está localizado a la izquierda o a la derecha del 4?
◆ El natural 3 que está ubicado a la izquierda del 4. ¿Es 3 menos que 4?
◆ ¿A qué lado del 5 está el 2?
◆ ¿A qué lado del 2 está el 5?
◆ ¿A qué lado del 6 está el 4?
◆ ¿A qué lado del 4 está el 6?
◆ ¿A qué lado del cero está el 1, el 2, el 3, el 4, el 5?
• Representamos en la recta los siguientes números naturales: a = 8; b = 6; c = 5 + 3
◆ ¿A qué lado de a está b?
◆ ¿A que lado de b está a?
◆ ¿Donde están ubicados los naturales a y c?
◆ El natural b está a la izquierda del natural a, ¿cómo es el natural b con respecto de a?
◆ ¿Qué sucede cuando un natural b está a la izquierda de otro natural a?
◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la izquierda de otro natural b?
◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la derecha de otro natural • Observamos y respondemos:
◆ ¿El natural 3 está localizado a la izquierda o a la derecha del 4?
◆ El natural 3 que está ubicado a la izquierda del 4. ¿Es 3 menos que 4?
◆ ¿A qué lado del 5 está el 2?
◆ ¿A qué lado del 2 está el 5?
◆ ¿A qué lado del 6 está el 4?
◆ ¿A qué lado del 4 está el 6?
◆ ¿A qué lado del cero está el 1, el 2, el 3, el 4, el 5?
• Representamos en la recta los siguientes números naturales: a = 8; b = 6; c = 5 + 3
◆ ¿A qué lado de a está b?
◆ ¿A que lado de b está a?
◆ ¿Donde están ubicados los naturales a y c?
◆ El natural b está a la izquierda del natural a, ¿cómo es el natural b con respecto de a?
◆ ¿Qué sucede cuando un natural b está a la izquierda de otro natural a?
◆ ¿Qué sucede cuando un natural a está a la izquierda de otro natural b?
POSTPRIMARIA RURAL
• ¿Es posible encontrar naturales menores que 8? Escribamos algunos. • ¿Encontremos un natural mayor que 6 y menor que 10.
• ¿Cuántos números naturales son mayores que 30 y menores que 40?
• Consideremos los siguientes naturales 21, 6, 8, 12, 45, 13, 50, 28, ordenémoslos en forma ascendente.
• Escribamos en el pizarrón los siguientes números:
2 5 5 2
14 30 30 14
21 3 3 21
4 1 1 4
7 10 10 7
• Completemos el cuadro anterior así:
2 es menor que 5 5 es mayor que 2
14 30 30 15
21 3 3 21
4 1 1 4
MA
TEMÁTIC
AS 6º
◆ Borramos en el cuadro anterior las palabras “mayor que” y “menor que” y las reemplazamos por los símbolos > (mayor que) y < (menor que). ¿Es lo mismo 2 es menor que 5 que 5 es mayor que 2?
◆ Realizamos el ejercicio anterior con números diferentes.
CONCLUYAMOS
1. Dados dos números naturales cualesquiera a, b puede suceder una sola de las siguientes relaciones:
a es igual a b ➝ a = b a es menor que b ➝ a < b a es mayor que b ➝ a > b
POSTPRIMARIA RURAL
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
LA ADICIÓN CON NÚMEROS NATURALES
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual). Repaso
•
Diariamente vivimos situaciones como la siguiente: En la finca de Tomás hay dos
gallineros, uno de ellos tiene 12 gallinas y el otro 9. Tomás desea saber cuántas
gallinas tiene en total en su finca.
•
Analiza y responde en tu cuaderno.
Si consideramos cada gallinero como un conjunto:
*
¿Cuál es el cardinal de cada conjunto?
*
¿Qué debemos hacer para saber cuántas gallinas hay en el conjunto total de
gallinas?
•
Lée y analiza:
*
La acción de agregar, en matemáticas se transforma en la operación llamada
ADICIÓN.
*
Si al cardinal del primer conjunto, que es un número natural, le sumamos el
cardinal del segundo conjunto, que es otro número natural, obtenemos el
car-dinal del conjunto total, que es otro número natural.
*
El símbolo de la adición es +
12
MA
TEMÁTIC
AS 6º
La adición de dos o números naturales cualquiera a y b se simboliza así: a + b = c. Los elementos de la adición son los sumados a y b. El
resultado es C
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo individual)
Piensa y responde en tu cuaderno:
•
Lanzar al azar dos dados. ¿Cuántos puntos obtengo en total en las caras superiores?
•
Un obrero trabajó la semana pasada durante 4 días y en esta semana 5 días. ¿Cuántos
días trabajó en las dos semanas?
•
Felipe tiene 6 hermanos, si dos de ellos son mayores que él. ¿Cuántos son menores
que Felipe?
POSTPRIMARIA RURAL
• • •
• • • •
• • • • •
• • • •
• • • • •
• • • •
• •
• • • • • • •
• • • • •
• • • • • •
• • •
• •
• • • • ¿Cuántos puntos tiene?
¿Cuántos puntos tiene?
¿Cuántos puntos tiene?
¿Cuántos puntos tiene?
¿Qué puedes concluir de este ejercicio?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
• • • •
• • • • • •
• •
• • • • •
◆ ¿Qué operación debe efectuar?
◆ Si suma primero 8 y luego 6, ¿qué resultado obtiene?
◆ ¿Qué sucede si suma primero 6 y luego 8?
◆ ¿Son diferentes los resultados?
• Inés encontró 6 huevos en un nido y ninguno en el otro. ¿Cuántos huevos hay en total?
POSTPRIMARIA RURAL
• Rosa tiene tres llaveros, el primero con 5 llaves, el segundo con 4 llaves y el tercero con 2 llaves. ¿Cuántas llaves tiene en total?
• Qué sucede si agrupamos los llaveros así:
• ¿Qué podemos concluir en los dos casos anteriores?
PONGAMOS EN COMÚN LO TRABAJADO
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo en grupo)
Conformemos grupos de trabajo:
•
Comparemos las respuestas de los ejercicios anteriores.
•
Discutamos. ¿Son iguales?, ¿difieren?, ¿en qué?
•
Discutamos y obtengamos conclusiones sobre:
•
¿Qué clase de números obtenemos cuando sumamos dos números naturales?
•
¿Qué sucede cuando cambiamos el orden de los sumandos?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
CONCLUYAMOS
La adición entre números naturales cumple las siguientes propiedades.
1. La adición de dos números naturales es otro número natural. Propiedad CLAUSURATIVA.
2. El orden de los números no altera la adición. Propiedad CONMUTATIVA. 3. Todo número natural adicionado con el cero (0) da el mismo número
natu-ral. Propiedad MODULATIVA.
4. Para adicionar tres sumandos podemos agruparlos de diferentes formas y efectuar las sumas parciales sin que el resultado total varíe. Propiedad ASOCIATIVA.
PRACTIQUEMOS
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo individual)
En tu cuaderno:
1. ¿Para qué valor de x se cumple que:
x + 12 = 17?
POSTPRIMARIA RURAL
2. Un agricultor recogió la cosecha de papa en una semana así: el lunes 23 bultos, el
martes 36 bultos, el miércoles 17 bultos, el jueves 19 bultos, el viernes 18 bultos y
el sábado 21 bultos. ¿Cuántos bultos de papa recogió en total?
3. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno con los números naturales
correspondientes.
SUMANDOS TOTAL 8 2 0
9 1 20 0 5 12 7 6 18
4. Completa el siguiente cuadro en tu cuaderno de tal forma que en la dia-gonal
aparezcan las adiciones correspondientes.
a b c a + b + c
a 5 8 3
b 8 16
c 3 6
MA
TEMÁTIC
AS 6º
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual) ¿Recuerdas?
•
Supón que en la finca de tu vecino se recogieron ayer 9 bultos de naranja y se
llevaron a la ciudad 7 de ellos para venderlos. ¿Cuántos bultos de naranja le
quedaron al vecino?
Responde:
◆ ¿Cuántos bultos de naranja tenía inicialmente?
◆ ¿Cuántos bultos de naranja vendió?
◆ ¿Cuántos bultos le quedan en la finca?
◆ Si sumas el número de bultos que vendió con el número de bultos que le quedan en la finca, ¿cuántos bultos obtiene en total?
◆ ¿Cuanto le falta a 7 para ser igual a 9?
◆ ¿Cuánto le falta a 2 para ser igual a 7?
Lo anterior se puede expresar así: 7 + 2 = 9 2 + 7 = 9 Si 2 + 7 = 9, entonces 9 - 2 = 7
9 - 7 = 2
POSTPRIMARIA RURAL
• Analiza la siguiente conclusión:
La operación inversa de la adición de números naturales es la SUSTRACCIÓN, luego si a + b = c, entonces c - a = b. Al número natural c se llama MINUENDO, al natural a SUSTRAENDO y al natural b DIFERENCIA.
En el caso anterior:
9 - 2 = 7
Minuendo Sustracción Diferencia
El signo de la SUSTRACCIÓN: - (Se llama menos)
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo en grupo)
Nos reunimos en grupos y realizamos los siguientes ejercicios:
1. Si a, b, c son números naturales definidos así: a = 8; b = 15; c = 3; realizamos
las siguientes sustracciones:
a) a - c b) b - a c) b - c d) a - b
¿Algún problema?
• Analiza la siguiente conclusión:
La operación inversa de la adición de números naturales es la SUSTRACCIÓN, luego si a + b = c, entonces c - a = b. Al número natural c se llama MINUENDO, al natural a SUSTRAENDO y al natural b DIFERENCIA.
En el caso anterior:
9 - 2 = 7
Minuendo Sustracción Diferencia
El signo de la SUSTRACCIÓN: - (Se llama menos)
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo en grupo)
Nos reunimos en grupos y realizamos los siguientes ejercicios:
1. Si a, b, c son números naturales definidos así: a = 8; b = 15; c = 3; realizamos
las siguientes sustracciones:
a) a - c b) b - a c) b - c d) a - b
MA
TEMÁTIC
AS 6º
2. ¿Cómo debe ser el minuendo comparado con el sustraendo para poder efectuar la
diferencia?
3. ¿Cuánto le falta al natural 8 para se igual al natural 15?
4. Realicemos las siguientes operaciones:
15 - 8 8 - 15
13 - 7 7 - 13
14 - 9 9 - 14
16 - 6 6 - 16
*
¿Qué conclusión podemos sacar de este ejercicio?
*
¿Es la sustracción una operación que cumple la propiedad conmutativa?
5. Realizamos las siguientes operaciones:
a) 9 - (4 - 3) = 9 - 1 = 8
b) 18 - (8 - 6) = ?
c) 14 - (7 - 2) = ?
6. Realizamos las siguientes operaciones:
POSTPRIMARIA RURAL
7. Realizamos las siguientes sustracciones:
6 - 0 0 - 6
7 - 0 0 - 7
¿Qué podemos concluir de la diferencia con respecto a la propiedad modulativa?
8. Analicemos la siguiente conclusión:
La diferencia entre números naturales no cumple con las propiedades clausurativa,
conmutativa, asociativa y modulativa.
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo individual)
Resuelve los siguientes problemas:
1. Juan va al mercado y compra un kilo de papa que le cuesta $30, un kilo de carne
por $2.600, una libra de arroz por $300 y fruta por $250. Si llevaba en su cartera
$4.500. ¿Cuánto dinero le sobró?
2. En una escuela hay matriculados 25 alumnos en primer grado, 36 en segundo
grado, 12 en tercero, 24 en cuarto grado. Si la escuela tiene en total 132 alumnos
en los cinco grados, ¿cuántos alumnos hay en quinto grado?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
CONCURSO
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo individual)
Para trabajar en el cuaderno.
POSTPRIMARIA RURAL
Columna 1
Fila 1➪
➪
Columna 1
Fila 1➪
➪
MULTIPLICACIÓN DE LOS
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
NÚMEROS NATURALES
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual)
Realiza en tu cuaderno lo siguiente:
MA
TEMÁTIC
AS 6º
• Responde las siguientes preguntas:
◆ ¿En cuántas partes queda dividido el papel?
◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada columna?
◆ ¿Cuántos cuadrados tiene cada fila?
◆ ¿Cuánto es 8 veces 4?, es decir, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
◆ ¿Cuánto es 4 veces 8?, es decir, 8 + 8 + 8 + 8.
◆ ¿Cómo se escribe abreviadamente 4 veces 8?, 8 veces 4?
◆ ¿Qué resultado se obtiene?
• Recuerda:
La operación, que es una suma abreviada de sumandos iguales, se llama MULTIPLICACIÓN.
La multiplicación entre dos números naturales a y b, se simboliza así:
a • b ó a x b, 8 veces 4 = 8 x 4
El punto y el signo x indican multiplicación. Cada término que interviene en la operación se llama FACTOR. El número que se repite se llama MULTIPLICANDO y el número de veces que el sumando se repite se llama MULTIPLICADOR.
8 x 4 = 32
Multiplicando Multiplicador Producto
POSTPRIMARIA RURAL
Analicemos las Propiedades
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
de la Multiplicación
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo en grupo)
Conformamos grupos, realizamos las siguientes operaciones y sacamos conclusiones.
•
Respondamos en el cuaderno:
2 x 5 = 10
3 x 4 = 12
8 x 7 = 56
¿Qué clase de número es el producto de dos números naturales?
•
En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:
8 x 4 = ? 3 X 7 = ? 9 x 4 = ? 4 x 8 = ? 7 x 3 = ? 4 x 9 = ?
5 x 1 = ?
1 x 5 = ? ¿Qué podemos concluir?
¿Qué clase de números son el 2 y el 5?
¿Qué clase de número es el 10?
¿Qué clase de números son el 3 y el 4?
¿Qué clase de número es el 12?
¿Qué clase de números son el 8 y el 7?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
• • • • • •
•
En el cuaderno realizamos las siguientes multiplicaciones:
(4 x 2) x 3 = ? (3 x 2) x 5 = ? 4 x (2 x 3) = ? 3 x (2 x 5) = ?
(6 x 2) x 3 = ? (3 x 4) x 3 = ? 6 x (2 x 3) = ? 3 x (4 x 3) = ?
¿Qué conclusiones podemos sacar?
•
En el cuaderno. Contemos los puntos.
•
•
•
•
•
•
6 veces 1 = 6
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
6 x 1 = 6
Una vez seis 1 x 6 = ?
POSTPRIMARIA RURAL
¿Qué pasa cuando uno de los factores es 1?
6 x 1 = ? ¿Cuánto es 1 x 6 = ?
7 x 1 = ? 1 x 7 = ? 4 x 1 = ? 1 x 4 = ?
• En el cuaderno realicemos las siguientes operaciones: 2 x (3 + 5) (2 x 3) + (2 x 5)
Comparemos los resultados.
3 x (7 + 2) (3 x 7) + (3 x 2)
Comparemos los resultados.
4 x (2 + 6) (4 x 2) + (4 + 6)
Comparemos los resultados.
¿Qué conclusión podemos sacar?
• Representemos gráficamente en una cuadrícula en la cual el primer natu-ral indica las filas:
MA
TEMÁTIC
AS 6º
CONCLUYAMOS
La multiplicación entre números naturales cumple las siguientes propiedades:
1. La multiplicación de dos números naturales es otro número natural. Propiedad CLAUSURATIVA.
2. El orden de los factores no altera el producto. Propiedad CONMUTATIVA.
3. Para multiplicar tres factores podemos agruparlos de diferentes formas y efectuar los productos parciales sin que el producto final varíe. Propiedad ASOCIATIVA.
4. La multiplicación de cualquier número natural por 1, da como resultado el mismo número natural. Propiedad MODULATIVA. (El módulo del producto es el 1).
POSTPRIMARIA RURAL
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo en grupo)
•
Conformemos grupos de trabajo, realicemos los ejercicios planteados y obtengamos
conclusiones.
◆
¿Qué número multiplicado por 8 da 24?
◆
¿Cuántas veces debo sumar 5 para obtener 20?
◆
Ricardo compró 6 lápices en $600. ¿Cuánto le costó cada lápiz?
◆
En un costal puedo meter 4 conejos. Si tengo 36 conejos. ¿Cuántos costales
necesito?
◆
¿En una multiplicación cuántos números naturales intervienen como mínimo?
¿Cómo se llaman?
•
En el cuaderno completamos los espacios.
7 x 3 = 6 x 4 = 9 x 5 =
7 x = 21 6 x = 24 x 5 = 45
MA
TEMÁTIC
AS 6º
CONCLUYAMOS
La operación inversa respecto a la multiplicación se llama DIVISIÓN.
Si se conoce el producto de dos factores y uno de esos mismos factores, se puede hallar por medio de la división el otro factor. El signo de la división es ÷ Simbólicamente: Si a, b, c son números naturales tales que:
a x b = c, entonces, c ÷ a = b c ÷ b = a
En una división exacta los términos son: dividendo, divisor, cociente.
x ÷ y = z
Dividendo Divisor Cociente
Otras formas de escribir x ÷ y = z son:
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo individual)
Analiza si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. Justifica tu respuesta, si es
falso da un contraejemplo.
1. La división de dos números naturales es siempre otro número natural.
2. La división de dos números naturales cumple la propiedad conmutativa.
x
y
= z ,
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo en grupo)
•
Discutimos el ejercicio anterior. Comparamos las respuestas. Obtenemos
conclusiones sobre las propiedades que cumple la DIVISIÓN.
•
Realizamos los siguientes ejercicios:
◆
Pedro dispone de $940 para comprar cuadernos. Si cada cuaderno vale $300.
¿Cuántos cuadernos puede comprar? ¿Cuánto dinero le sobra? ¿Cuánto es: (3
x 300) + 40?
◆ 34 ÷ 5 = ? (6 x 5) + 4 = ? 26 ÷ 6 = ? (4 x 6) + 2 = ? 47 ÷ 8 = ? (5 x 8) + 7 = ? 70 ÷ 8 = ? (8 x 8) + 6 = ? ¿Qué conclusión podemos sacar?
EVALUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo individual)
Realiza los siguientes ejercicios:
1. Luisa tiene 15 docenas de naranjas para empacarlas en cajas donde sólo caben 20
naranjas, ¿Cuántas cajas necesita para empacar todas las naranjas?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
÷
÷
÷
3. En el cuaderno completa el siguiente cuadro:
x 3 5 9 8
2 10
1 8
0
¿Qué propiedades de la multiplicación de números naturales aplicas?
4. En el cuaderno realiza las siguientes operaciones siguiendo el sentido de la flecha.
5. A un almacén llegó el siguiente pedido:
19
docenas de camisas a $6.500 cada camisa.
53
pares de medias a $1.680 cada par.
POSTPRIMARIA RURAL
*
Halla:
a) El total de camisas.
b) Total de sombreros.
c) Total de pantalones.
d) Valor total de la compra.
*
Si en la venta de cada artículo se gana lo siguiente:
Por cada camisa $300.
Por cada par de medias $50.
Por cada sombrero $430.
Por cada pantalón $280.
¿Cuál es el valor total de la ganancia?
6. En el cuaderno completa las siguientes tablas:
MULTIPLICANDO MULTIPLICADOR PRODUCTO
23 35
12 216
26 234 DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE
450 9
3 29
132 12
MA
TEMÁTIC
AS 6º
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
DIVISIBILIDAD
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo en grupo)
*
Reúnete con unos compañeros y completa en el cuaderno los siguientes árboles y
responde las preguntas.
ARBOL DEL 2
¿Los números de los círculos en el árbol del 2, de dónde resultan?, ¿se puede dividir por 2 exactamente?
ÁRBOL DEL 3
¿Los números de los círculos, de 2
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
3
x
POSTPRIMARIA RURAL
4
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 8 ? ? ? ? ? ? ? ?
ÁRBOL DEL 4
¿Los números de los círculos, de dónde resultan?, ¿se pueden dividir por 4 exactamente?
• Elaboremos los árboles del 5, 6, 7, 8 y 9.
ANALICEMOS
• Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 2, se llaman MÚLTIPLOS de 2.
• Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 3, se llaman MÚLTIPLOS de 3.
• Los números que resultan en los círculos, en el árbol del 4, se llaman MÚLTIPLOS de 4.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo individual)
INFÓRMATE
Cuando un número divide a otro exactamente, se dice: éste es divisible por él.
ejemplo: 10 es divisible por 2 porque 10 ÷ 2 = 5
• Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios.
◆ ¿24 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 24 termina en número par o impar?
◆ ¿20 es divisible por 2? ¿Por qué? ¿El 20 termina en par o impar?
◆ Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. ¿Estás de acuerdo? ¿Puedes buscar ejemplos que contradigan?
◆ ¿18 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 1+8? ¿Es 9 divisible por 3?
◆ ¿24 es divisible por 3? ¿Por qué? ¿Cuánto es 2+4? ¿Es 6 divisible por 3?
◆ En general, ¿cuándo un número es divisible por 3? ¿Puedes buscar otros ejemplos?
◆ ¿125 es divisible por 5? ¿Por qué? ¿En qué número termina 125?
POSTPRIMARIA RURAL
30
Ejemplo:
5 30 ÷ 5 = 6 6 30 ÷ 6 = 5 15 30 ÷ 15 = 2 2 30 ÷ 2 = 15 1 30 ÷ 1 = 30 30 30 ÷ 30 = 1
• Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
INFÓRMATE
Un número es divisible por otro cuando su división es exacta. Constantemente necesitamos saber cuándo un número es divisible por otro.
Cuando un número sólo admite dos divisores que son él mismo y el 1, se llama PRIMO. El 1 no se considera número primo.
• Copia los números de 1 a 50 en tu cuaderno y encierra con un círculo los números primos.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
DIVISIBILIDAD
EJEMPLOS
POR 2 12, 20, ... Un número es divisible por 2,
cuando su última cifra es cero o par. POR 3
Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
POR 4
Un número es divisible por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. POR 5
Un número es divisible
por 5, cuando termina en cero o en 5. POR 6
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo en grupo)
•
Analicemos los ejercicios, discutamos las respuestas y obtengamos conclusiones.
Descompongamos en factores primos los números 12, 18 y 24. Ejemplo:
12 2 ← (12 ÷ 2 = 6) 6 2 ← (6 ÷ 2 = 3) 3 3 ← (3 ÷ 3 = 1)
12 = 2 x 2 x 3
2. En tu cuaderno completa la siguiente tabla:
NÚMERO DIVISORES 12 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 24
3. ¿Cuáles divisores son comunes a 12 y a 18?
4. ¿Cuáles divisores son comunes a 12, 18 y 24?
5. ¿Cuál es el MAYOR divisor común de 12, 18 y 24?
INFÓRMATE
Los expertos han llamado el mayor de los divisores comunes de dos o más números MÁXIMO COMÚN DIVISOR, y lo simbolizan así: (m.c.d.).
MA
TEMÁTIC
AS 6º
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo en grupo)
Analizamos la siguiente situación:
1. Dos empleados encargados de vigilar una finca deciden revisarla recorriéndola a
caballo. El primero tarda 5 minutos en dar la vuelta; el segundo 3 minutos en dar
una vuelta. Si parten del mismo punto, ¿cuántos minutos deben transcurrir para
que se encuentren de nuevo en el punto de partida si continúan dando vueltas a la
finca? Construye un esquema que represente la situación.
2. Consideremos los números 12 y 18. Construyamos en el cuaderno 6 múltiplos de
estos dos números. Encerremos en un círculo rojo los múltiplos comunes de 12 y
18, señala con una cruz (x) el menor de los múltiplos comunes.
3. Escribamos nuevamente los números 12 y 18 como producto de números primos.
12 = 2 x 2 x 3 x 1 = 22 x 3 x 1
18 = 2 x 3 x 3 x 1 = 2 x 32 x 1
*
Seleccionemos los factores comunes con su mayor exponente y los no comunes
tomados una sola vez.
*
Efectuemos el producto de los factores seleccionados.
*
Comparemos este resultado con el menor de los múltiplos comunes de 12 y
18:
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
Los expertos han llamado el menor de los múltiplos comunes de dos o más números MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, y lo simbolizan (m.c.m.).
Verifica con tus compañeros si el mínimo común múltiplo de 12 y 18 es 36.
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 5.
(Trabajo individual)
En tu cuaderno:
1. Considera los números 8, 10 y 24.
a) Descompónlos en factores primos.
b) Encuentra los divisores comunes a 8, 10 y 24.
c) ¿Cuál es el mayor de los divisores comunes?
d) ¿Cómo han llamado los expertos este número que es el MAYOR de los divisores
comunes?
e) Encuentra múltiplos de 8, 10 y 24.
f ) Selecciona los múltiplos comunes.
g) Selecciona el menor de los múltiplos comunes.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
2. El padre de mi vecino compró un lote que tiene forma rectangular de 60 metros
de largo y 36 metros de ancho. Él quiere dividir el lote en 36 lotes más pequeños.
¿Cuáles deben ser las máximas dimensiones de cada uno de esos lotes, si quiere
que todos los lotes sean iguales?
36 m
60 m
3. En un almacén se compraron 3 piezas de tela. La primera tiene 72 metros, la
segunda 48 metros y la tercera 96 metros. Se quiere obtener pedazos de tela
iguales y de mayor longitud posible para no desperdiciar la tela. ¿Cuál ha de ser la
longitud de cada pedazo de tela? Cuántos pedazos de tela resultan de cada pieza?
Reúnete con dos compañeros más y discutan el
ejercicio anterior.
• ¿En qué están de acuerdo? • ¿Cuáles son las diferencias?
POSTPRIMARIA RURAL
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
POTENCIACIÓN
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual)
1. Observa la siguiente figura geométrica:
¿Cuántos cuadrados tiene?
¿Cuántos cuadrados tiene la base?
¿Cuántos cuadrados tiene en la altura?
2. El número de cuadrados se puede obtener multiplicando 4 x 4 Abreviadamente
4 x 4 = 4
2= 16
INFÓRMATE
Para evitar escribir el mismo número como factor varias veces, los expertos idearon una nueva operación que llamaron POTENCIACIÓN.
Si a es un número natural, an significa repetir n veces a.
an = a x a x a x a x ... x a
MA
TEMÁTIC
AS 6º
➝
➝
➝
Exponente
an = b ➝ potencia
Base
Por definición a0 = 1, donde a1-1 = a0; y a1/a1 = 1
PRÁCTICA
• ¿Qué significado tienen las expresiones: 53, 35?
• Halla la base, el exponente y la potencia en cada uno de los siguientes ejercicios: 24, 31, 26, 40, 103
• Representa gráficamente: 32 y 23
• En el cuaderno completa el siguiente cuadro.
EXPONENTE➝ 0 1 2 3 4
BASE
0 0
1 1
2 1
POSTPRIMARIA RURAL
• ¿A qué potencia debo elevar el 10 para obtener 1.000?
• ¿Qué valor de a hace que a2 = 36?
• ¿Qué valor de b hace que b3 = 8?
INFÓRMATE
La operación inversa de la potenciación que nos permite hallar la base conociendo el exponente y la potencia, se llama RADICACIÓN. Cuyo símbolo es: , y quiere decir que:
Si ab = c, entonces,
c = a
b
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo individual)
•
En el cuaderno escribe el número correspondiente para cada operación.
62 = ➮
36 =
243 = ➮
MA
TEMÁTIC
AS 6º
24 = ➮
16 =
4102 = ➮
100 =
103 = ➮
1000 =
381 =
4 ➮ 34 =
32 =
5 ➮ 25 =
3? = 27 ➮
27 =
35? = 25 ➮
25 =
210? = 100 ➮
100 =2
3? = 81 ➮
81 =
4POSTPRIMARIA RURAL
•
Efectuar las siguientes operaciones:
a) 32 + 42 e) 8
8
3 2
b) (2 + 5)3 f) 10
10
3 4
x 102
c) (3 + 2)4 g) 8
2
2 3
x 8 x 80
d) 42 x 43 x 40 h)
9 3 2 2 3 2 −
INFORMÉMONOS
La operación inversa de la potenciación que consiste en hallar el exponente conocidas la base y la potencia, se llama LOGARITMACIÓN.
Su símbolo es loga y se lee “logaritmo en base a de....”, y quiere decir que:
Si ab = c, entonces
log
a
c = b.
EVALUEMOS LO APRENDIDO
• Analicemos el siguiente ejercicio:
Encontremos el valor de la incógnita a.
23 = a, a = ? Puesto que:
a = 2
3
MA
TEMÁTIC
AS 6º
25 = a, a = ? Puesto que:
a = 2
5
log2 a = 5
• Completemos en el cuaderno el siguiente ejercicio: 32 = ?
9 = ?
2
log3 9 = ?
• Escribamos en el cuaderno las siguientes dos columnas de datos y tracemos una flecha que una la expresión con el resultado respectivo.
log2 64 2
125
3 1
log3 81 5
10 000
4
.
6log10 100 10
16 343
73 4
POSTPRIMARIA RURAL
• Realiza los siguientes ejercicios:
a) 52 d)
4 x 64
b) 3
4
6 e)9 x 4
2
4c)
64
8
3 3
• Simplifica las siguientes expresiones. Para tal fin:
a) Descompón la cantidad subradical en factores primos. b Aplica la propiedad que dice: p
m = m
pEjemplo: 4
81
81 3
27 3 81 = 34
9 3
3 3
1
Luego: 4
81 = 3 = 3
4 41) 3
27
4) 3343
MA
TEMÁTIC
AS 6º
U
N
I D A
D
•
U
N I
DA
D
•
2
APRENDAMOS
QUE ES LA
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
LÓGICA
INFORMÉMONOS
ACTIVIDAD 1.
(Trabajo individual)
Lee lo siguiente:
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
HISTORIA DE LA LÓGICA
Aristóteles el gran filósofo griego nacido en Estagira, fue el iniciador de la lógica al conseguir sistematizar los procesos de razonamiento en un número reducido de reglas independientes del significado particular de las proposiciones que conforman el tema discutido.
Así se considera la lógica como el arte de guiar correctamente a la razón en el conocimiento de las cosas.
POSTPRIMARIA RURAL
se consigue por primera vez un cálculo manejable y completo aplicando en forma sistemática operaciones de tipo matemático a la lógica.
Como en muchos otros pasajes de la historia de la ciencia, la obra de Boole no fue reconocida en su época al no recibir buena aceptación, y no fue hasta que Bertrand Russell y Alfred Whitehead utilizaron la lógica simbólica en su obra “Principia Mathematica”, que el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas por Leibnitz alrededor de 250 años antes.
Para cualquier persona es importante comunicarse de una manera inteligente con los demás por lo cual se hace necesario adquirir capacidad para analizar los argumentos de los otros. Es así que la lógica es una parte importante del mundo que nos rodea y ahora veremos cómo podemos ser más lógicos, es decir darle sentido a expresiones como: “Eso es lógico”, “necesariamente...”, o “es suficiente que ...”, etcétera.
ACTIVIDAD 2.
(Trabajo individual)
Lee el siguiente texto:
Juan estudia en la escuela Cariongo del municipio de Pamplona, llega a las ocho de la
mañana, saluda a los profesores y compañeros.
Está establecido que los dos primeros alumnos en llegar al salón de clase, deben colocarle
agua a las matas.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
ACTIVIDAD 2.
Cuando el profesor llega al salón hace las siguientes preguntas:
-
¿Quién fue el primer alumno en llegar?
-
¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?
-
¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte?
•
En el anterior texto busca lo siguiente:
1. Tres expresiones que puedan ser verdaderas.
2. Tres expresiones que puedan ser falsas.
3. Dos expresiones de las cuales se pueda decir que no son ni verdaderas, ni falsas.
En grupo:
Reúnete con otros dos compañeros y discute la verdad o falsedad de cada una de las expresiones que sacaste del texto anterior.
Junto a tus otros dos compañeros analiza la verdad o falsedad de las siguientes expresiones:
1. ¿Cuál fue el primer alumno en llegar? 2. ¿Cuál de mis alumnos no ha saludado?
3. ¿Cuáles alumnos trajeron el equipo de deporte? 4. ¡Oh Dios mío!
5. ¿Pensarás en mí?
POSTPRIMARIA RURAL
INFORMÉMONOS
En lógica, a estas expresiones o enunciados de los que podemos decir, que son verdaderos o falsos ( pero no ambos a la vez ) se les llama proposiciones simples.
A la verdad o falsedad de una proposición simple se le llama valor de verdad de la proposición , generalmente usamos las letras p, q, r... para representar proposiciones.
ACTIVIDAD 3.
(Trabajo individual)
Analiza las siguientes expresiones usadas en el
lenguaje diario:
1. Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar.
2. Si mañana no llueve, entonces llevo al niño al puesto de salud.
3. Juan revisa su tarea, o le pone agua a las matas.
•
Con el primer enunciado “Voy a la ciudad y compro semillas para sembrar”,
haz lo siguiente:
a. Saca las proposiciones simples que lo conforman.
b Establece el valor de verdad de ellas.
c. Escribe la palabra que conecta las proposiciones simples del enunciado.
•
Haz lo mismo con los otros dos enunciados.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
CONCLUYAMOS
Hay enunciados formados por dos proposiciones simples, como los tres anteriores, a los cuales podemos llamar proposiciones compuestas.
Las proposiciones simples de una proposición compuesta se suelen unir con algunas palabras como: “y”, “o”, “entonces”, “si y sólo si”; a estas palabras generalmente se les llama conectivos, enlaces u operadores lógicos.
La lógica simbólica tomó del lenguaje natural las palabras “y”, “o”, “no”, “si...entonces,...”, “si y sólo si”, para construir proposiciones compuestas a partir de las simples.
Estas palabras reciben el nombre de conectivos, enlaces u operadores lógicos.
CONECTIVO
NOMBRE LÓGICO
SÍMBOLO
No... Negación ~
...y... Conjunción ∧ ...o... Disyunción ∨ si.., entonces... Implicación o →
condicional ...si y sólo si... Doble implicación o
POSTPRIMARIA RURAL
ACTIVIDAD 4.
(Trabajo individual)
En español encontramos palabras que representan la negación de una expresión: no,
si, nada, ninguna...
•
Lee detenidamente las siguientes tres proposiciones y niégalas:
p: Colombia es un país.
q: 3 es un número par.
r:
La papa es un cereal.
•
Establece el valor de verdad de cada una de las proposiciones p, q
∧r, y también
de sus negaciones.
•
Haz una tabla con sus valores.
CONSTRUYAMOS
EN GRUPO:
• Con tres de tus compañeros analiza la siguiente proposición : “Juan compra un kilo de arroz y un kilo de papa”.
MA
TEMÁTIC
AS 6º
• Con estas dos proposiciones pueden suceder cuatro casos: 1. Que Juan compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa. 2. Que Juan compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa. 3. Que Juan no compre un kilo de arroz y compre un kilo de papa. 4. Que Juan no compre un kilo de arroz y no compre un kilo de papa. • Con tu grupo de trabajo analiza en cual de los cuatro casos anteriores la
proposición compuesta es verdadera.
• Para mayor facilidad al final construyamos una tabla de verdad.
CONCLUYAMOS
El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada proposición simple que la conforma y del conectivo que las une.
En este ejemplo anterior la proposición p está unida a q por medio del conectivo “y”.
Se simboliza por p ∧ q y se llama la CONJUNCIÓN.
POSTPRIMARIA RURAL
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
APLICA LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 5.
(Individual)
•
Analiza las siguientes proposiciones y responde:
p: Bogotá es la capital de Colombia. q: 3 > 4
¿Qué valor de verdad tiene p ∧ q?
•
Considera las siguientes proposiciones y responde:
p: América es un continente. q: El trigo es un cereal.
¿Qué valor de verdad tienen las preposiciones?
MA
TEMÁTIC
AS 6º
CONSTRUYAMOS
ACTIVIDAD 6.
(Trabajo en grupo)
•
Propongamos ejemplos de proposiciones compuestas utilizando la “o”.
Ejemplo:
- Voy a estudiar o voy a pasear.
- Compro un vestido o compro una cicla.
- Apruebo el año o me ponen a trabajar.
- Se necesita obrero que sepa carpintería o que sepa albañilería.
•
Analicemos lo que puede suceder en esta última situación:
1. Sabe carpintería o sabe albañilería.
2. Sabe carpintería o no sabe albañilería.
3. No sabe carpintería o sabe albañilería.
4. No sabe carpintería o no sabe albañilería.
•
Junto a otros dos compañeros analiza en cuál de las cuatro situaciones anteriores el
obrero será aceptado en el empleo.
POSTPRIMARIA RURAL
La disyunción es verdadera en los demás casos.
La “o” se representa por el símbolo ∨ y su tabla de verdad es:
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Esta clase de disyunción es llamada INCLUSIVA.
Algunas veces la disyunción es exclusiva y es la más utilizada en el lenguaje usual; ésta es verdadera cuando sólo una de las dos proposiciones es verdadera, en los otros casos es falsa.
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
ACTIVIDAD 7.
(Trabajo individual)
Considera las proposiciones simples:
p:
3 es menor que 5
MA
TEMÁTIC
AS 6º
•
Construye la proposición compuesta p
∨q.
•
Haz una tabla de verdad para ella.
Considera ahora las dos proposiciones siguientes:
p:
En mi escuela hay pupitres.
q:
Venezuela no limita con Colombia.
•
En relación con ellas da el valor de verdad de cada una de las proposiciones que a
continuación encuentras.
1) p ∨ q 3) ∼ q 5) q ∨∼ p 2) ∼ p 4) ∼ q ∨∼ p 6) ∼ p ∨ q • Escribe las seis proposiciones anteriores en el lenguaje usual.
