Teorema de Thales :: Números: revista de Didáctica de las Matemáticas

TlORl~A Dl THALlS

Jo¿é Lui¿ yallego yan_cla l. B. • l ¿aac P en_ al• .- Can_i:.agena T~anci-0co Lina~e-0 Teauel

l.B. "Celia Viña¿• - Almen_la

INTRODUCCION

,

M! todos es sobradamente conocido. qu.e los ·métodos algebraicos de la geo-metría han relegado a un segundo plano a los métodos clásicos euclidianos

de razonamiento. Sin embargo, pensamos que son estos los más apropiados para desarrollar la capacidad de razonamiento y despertar interés e·n el

alumno, sobre todo en los niveles de enseñanza en los que nos

desenvolve-mos, en los que el alumno es capaz de efectuar y analizar paso a paso los

razonamientos lógicos seguidos en una demostración geométrica,

A pesar de que el álgebra es la mejor colaboradora de la geometria, es

conveniente a veces olvidarse de ella para introducirse en la geometria,

pues los símbolos algebraicos son demasiado pobres semánticamente para ser entendidos .ror nuestros alumnos.

mundo de la geometría clásica, en

en el alumno un agradable sentido Por

el

de

ello, nos vamos a introducir en el que las simples figuras ya inspiran

simetría, de regularidad y de belle-za, además de estimular en sumo grado su sentido de la intuición.

La geometría clásica se ha abandonado mucho en la enseñanza

secunda-ria, y se da el caso de utilizar continuamente resultados geométricos que damos como evidentes, pero que nunca hemos planteado su demostración a nuestros alumnos. ¿Cuántas veces nos hemos basado para alguna

demostra-ción de un teorema en proposiciones como las que escuetamente expresamos a continuación y que utilizamos como dogmas de fe?:

-Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

-Dos ángulos correspondientes son iguales.

-Dos ángulos alternos-internos son iguales.

-La suma de los ángulos de un triángulo es 1809. -Enunciado del Teorema de Th,,.les.

-La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado

hasta el punto de tangencia.

-La amplitud del ángulo centr<il de una circunferencia es igual a la del arco que abarca.

-La amplitud del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a l" mi-tad de la amplitud del arco que abarca.

-Enunciado del Teorema de Pitágoras.

-Las mediatrices, medianas, alturas y bisectrices de un triángulo son

rectas concurrentes .

...

!Qué pocas de estas proposiciones tomadas como ejemplo, por no decir

nin-guna, hemos demostrado a nuestros alumnos en alguna ocasión!.

En relación con este monográfico de La proporcionalidad nos vamos a

li-mitar aquí a demostrar el archiconocido enunciado del teorema de Thales.

Para ello, intentaremos bas.arnos en soportes lo más evidentes posibles, por

.-lo. que vamos a descender en ese· "mundo 'de la evidencia" hasta un fondo

más o menos profundo con la demostración previa de una serie de

proposi-ciones que nos van a permitir, a la hora de demostrar el teorema de

Tha-les, dogmatizar al mínimo y que no nos queden demasiados cabos sueltos.

ANGULOS OPUESTOS POR EL VERT\CE

Son aquellos que, teniendo el mismo punto como vértice, los lados de uno

son las semirrectas opuestas a los lados del otro.

En la. figura adjunta,

~ y

b

son dos

án-gulas opuestos por el vértice. Así mismo,

tam-bié'n lo son los dos angulas ~ y

a.

PROPOSICION .-Dos ángulos opuestos por el vér-tice son iguales.

N

Demostración: Sean los ángulos op\lestos por el vértice, ~ y

b,

de la figura. -Considerando la recta

MÑ,

a

es el ángulo suplementario de ~.

-Considerando la recta PQ, también

b

es el ángulo suplementario de ~.

Por lo tanto, ~ y

b

son iguales por tener como ángulo suplementario de ambos

el mismo ángulo

e,

es decir, la amplitud de cada uno de ellos es 180•-~.

Del mismo modo se demuestra que los ángulos opuestos por el vértice, ~ y

d

son iguales.

-i

l

l

1

1

IGUALDAD DE TRIANGULOS

Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales sus lados y sus

ángu-los.

Ahora bien, vamos a ver un criterio de igualdad de triángulos, que

uti-lizaremos más adelante, y _{que nos dice que para que dos triángulos sean} iguales es suficiente con que tengan iguales un lado y los dos ángulos ad-yacentes a dicho lado. En Efecto:

~

A

_e

Sean los dos triángulos ABC y A'B'C' de la

figu-- A A A A ra, y supongamos que AB=A'B'~=A' _{y B=B' "A·}

-Colocamos el triángulo ABC sobre el A'B'C' 1 de

forma que el lado

Aii

coincida, ya que son

igua-les, con el lado

Ai8

1_•

-Como A=A', entonces el lado

iiC

tomará la misma

dirección que el lado

;;c ..

-Del mismo modo, como

B=B•

el lado

Be

tomará la misma dirección que el lado B1_C1

•

-Como consecuencia, el punto _-

e

se hallará a la

c._

vez en los lados A'C' y _{B'C', por lo que}

coinci-dirá con C'.

C'

Luego los dos triángulos coinciden, es decir, tienen iguales sus tres lados y sus tres ángulos, y por lo tanto son iguales.

También nos será útil el criterio de igualdad de triángulos rectángulos, que nos dice que para que dos triángulos rectángulos sean iguales es sufi-ciente con que sea igual la hipotenusa y un ángulo agudo de cada uno de

ellos. Veamos su demostración:

..c.

..e:.

Sean los triángulos ABC y A'B'C' rectángulos, y

supongamos que i3C=B'C1 _y

B=B•.

Además, por ser dos

_,..

_,.,

triángulos rectángulos, se verifica que A=A'=90• .

.,e,.

..e:.

-Colocamos el triángulo ABC sobre el A'B'C~ , de

modo que coincidan las hipotenusas BC y B1_C1

,

ya que son iguales.

-Por Ser

B:::B

1 , el lado

BA

seguirá la misma

di-rección del B'A'.

-Las perpendiculares por C•C' cortarán al otro

cateto en un mismo punto ASA'.

.~.

A'

Luego los triángulos coinciden y, por lo tanto, son iguales.

ANGULOS QUE DETERMINA UNA RECTA SECANTE A DOS PARALELAS

l l al Ser Co rtadas por una recta secante, determinan

Dos rectas para e as,

a) La recta secante es perpendicular a am-bas rectas: En este caso, evidentemen-te, los ocho ángulos son rectos, y por consiguiente iguales.

b) La recta secante no es perpendicular

íl las rectas: Llaruemos r y s a las rec-tas paralelas, P y Q a los puntos de in-tersección de la recta secante con las pa-ralelas, y M al punto medio del segmento

PQ.

-Trazamos por M la recta perpendicular a rr y por lo tanto, también a s. Ll.amamos

A y B a los puntos de intersección de

di-cha recta con las par al el.as.

L::>. ¿:::,,.

-Los triángulos rectángulos MAP y MBQ son iguales, puesto que tienen: a) Igual hipotenusa, MP=MQ, por ser M el punto medio del segmento

PQ.

b) Igual ángulo agudo, el correspondiente al vértice común M, por ser án-gulos opuestos por el vértice.

...AJ\~

Como consecuencia de ser iguales los triángulos tenemos que APM=b=e=BQM (án-gulos alternos-internos). Además, como los án(án-gulos

'á

y

f

son, respectivamente, opuestos por el vértice de

(y~'

resulta.que:

·3.=b

y

~f

..

Luego, en definitiva:

A A A A

a=b=e=f.

... A " "

Y como los ángulos e, d, g y h son suplementarios de cada uno de los anterio-res, podemos también afir~ar que: ~=d=g=h.

Luego, en resumen podemos decir que al cortar una recta secante a dos para-lelas:

" " A ,A A

1.-Los ángulos alternos-internos son iguales: b=e, d=g.

2.-Los ángulos alternos-externos son iguales:

i=f,

2=h.

A ,,.. /"o ,._ b=A

-"'r,

d"'

=Íi,•

3.-Los ángulos correspondientes también son iguales: a=e, c=g,

SUMA DE LOS ANGULOS DE UN TRIANGULO

Los tres ángulos de cualquier triángulo suman un ángulo llano, es

de-cir, 180Q.

Demostraci6n: -Sea el triángulo

lela al lado

AC.

. 6

ABC y tracemos por B una

para--Prolongamos el lado

Aii.

Resulta entonces que

BC

es una recta secante a dos paralelas,

AC

y Bii.

-Teniendo en cuenta lo visto anteriormente:

~~·,por ser ánguios alternos-internos.

8=á•,

por ser ángulos correspondientes. Luego, la suma

~+b+~ es igual a la suma

~

1

+b+~'

rrespondiente a la recta

AB.

7 4

-D

bJ

A B

co-l

j

PARALELOGRAMO

Es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

Propiedad: En un paralelogramo los lados opuestos L:::J

Demostración: Sea el paralelogramo ABCD y tracemos

son iguales.

D

_e

el segmento

iIB.

Se forman los triángulos

,\jjt

y

BEi,

que son iguales, ya que:

-Tienen el lado

B5

común.

-Tienen iguales los ángulos adyacentes al lado

anterior:

m=P

y

n=r,

por ser ángulos a1ternos-internos.

[S;J

A B

Luego, son iguales dichos triángulos en virtud de uno de los criterios de

igualdad de trián.gulos demostrado anteriormeq.te. Por lo tanto: AB=OC y

M>=BC.

TEOREMA

Si tenemos dos rectas en un plano y en una de ellas tomamos dos

seg-mentos iguales, AB=CD, al trazar por los extremos de los segseg-mentos rectas paralelas entre sí que corten a la otra recta determinarán en ella dos

seg-mentos que también son iguales, A'B'=C'D'.

Demostración: Consideraremos dos casos:

,..

.

a) Si las dos rectas r y s son paralelas y ~ornamos.

dos segmentos iguales en la recta r, AB=CD, los

co-rrespondientes al trazar rectas paralelas por los

extremos también son iguales, por ser lados opues-tos de parálelogramos. Es decir, AB=A'B' y CD=C'D'.

Por lo tanto, A1_B1 _=C1_D1

•

b) Si las dos ~ectas r y s no son paralelas

traza-remos por los puntos A y C dos paralelas a la otra recta s,

Af>

y CQ. L::,. ~

Los triángulos ABP y CDQ son iguales, puestoqtie:

-Tienen el lado

Ali

igual al

CD.

-Tienen iguales los dos ángulos adyacentes al lado anterior, por ser ángulos

correspondien-,...,, ... ... ...

tes: BAP=DCQ, ABP=CDQ.

il Zt

A' B' C' D'

Como consecuencia de ser iguales los triángulos D¡-~r-~~~~~~~~~

tenemos cjue: BP=iiQ, AP=CQ, y por lo tanto, A'B'=C'D'

por ser lados opuestos de paralelogramos.

Este teorema, además de servirnos para demostrar el teorema de Thales,

nos va a permitir la división de un segmento en n partes

Para ello, dado un segmento

Ali

se traza una A'...,...--Tl'---;2r--'~--=r--:;.5'----';'--_.:;7 ₈ recta por un extremo del segmentq formando un

ángulo agudo con dicho'segmento. Se toman n

par-tes iguales cualesquiera y consecutivas a partir del mismo extremo. Finalmente se toma el último

punto resultante de tomar las partes en la recta

y se une con el otro extremo del segmento, para a continuación trazar paralelas desde los puntos de división de la recta.

7 5

-2

6

TEOREMA DE THALES

Si tenemos dos rectas r y s d•~ un plano, tres rectas paralelas entre si

que corten a las anteriores determinan segmentos correspondientes

proporcio--1 E d • AB A'B' • • AB BC

na es. s ec1r:

oc=

B'C' o bien A'B'

=

B'C' •

Demostración:

Supongamos que los segmentos AB y BC tienen

una un~dad común u, la cual está contenida p

ve-ces en AB y q veces en BC, siendo p y q números

naturales. En ese caso: AB p. u p

oc=q:u=c¡

Si llevamos la unidad de medtda común sobre

AB

y

Be,

y trazamos paralelas a AA' por los pun-tos de diviSión, estas iriterceptarán p segmenpun-tos iguales en A' B' y q segmentos iguales en B'C' , ca-mo consecuencia del teorema anterior.

rán todos ellos iguales entre sí y de Luego: A'B' _ P ·u'_ E y por lo tanto

B'C1_{-q.u'-q' '}

Además,

se-ampli tud u'.

AB A'B'

ac=a·c··

Esta igualdad será cierta cualquiera que sea la unidad de medida común que hayamos tomado.

r

Pero puede ocurrir que los segmentos

AB

y Be carezcan de una unidad de medida común, es decir, que sean i;:lconmensurables' el uno con el otro. En este caso, to-maremos como unidad de medida la p-ésima .. parte ·de

AB

que llamaremos u. Entonces, ÁB=p.u. Ahora bien,

BC

no podrá contener un número. natural de veces a u, ya que

BC es inconmensurable con AB, así que u estará contenida más de q veces y menos

de q+l veces en

Be,

siendo q natural. Es decir: q.u<BC<(q+l).u .

Y di vi ci: en do dichas desigualdades entre

AB:::p.

u: q.u <BC p.u AB < (q+l).u.,. ó!P< p.u !~ <~p+l.

LLevando ahora ~a unidad de medida u sobre

AB

y

BC

y trazando paralelas a AÁ'

por lo puntos de división, tenemos del mismo modo que:

q.ui<B'C'<(q+l).u' ~ .9.<B'C'<q+l. A'B1_=p.u1 _{y q.u}1_<B'C1

<(q+l).u1 _~

p.u' A'B' p.u' p A'B' p

Como podemos tomar la unidad de medida u tan pequeña como queramos, es decir, que p podrá ser tan grande como se quiera. En el Límite cuando u tiende a cero, p tenderá a infinito y entonces la amplitud del intervalo en el que se encuentran ambas razones tenderá a cero, por lo que ambas razones serán iguales. O sea:

U->O-p--.

_{_...}

00 _~ q+l

_p

_9.=l

_{P P} -->O= BC_~ ~AB_A'B'<=>AB_BC _{AB - A'B' BC-B'C' N.B'-B'C}1'

Este teorema se puede evidentemente generalizar, considerando más de tres

recL1s paralelas.

BIBLIOGRAFIA

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v.

COLLADO. Geometría Gráfica (1987).

E. i-IERNANDEZ. Algebra y Geometría (1987).

Geometría,, Curso Superior. Ed. Bruño. (1978).

F. HURTADO y otros. Atlas de Matemáticas (1987).

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L. MASCHERONI. Géométrie du campas (1980).

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