Matemática II
2014-2
En la presente sesión nos proponemos hallar los máximos y mínimos de una función de dos variables..
Se espera que el estudiante logre los siguiente objetivos:
Determina los puntos críticos de una función de dos variables Clasica los puntos críticos, usando el criteio de la segunda derivada
En la presente sesión nos proponemos hallar los máximos y mínimos de una función de dos variables..
Se espera que el estudiante logre los siguiente objetivos:
Determina los puntos críticos de una función de dos variables Clasica los puntos críticos, usando el criteio de la segunda derivada
Vamos a calcular los máximos y mínimos de una función de sos variables; estos son llamados puntos extremos de nuestra función particular.
Denición (punto crítico)
Unpunto crítico de una función z=f(x,y) es un punto(a,b)en donde las derivadas parciales se anulan. Es decir
fx(a,b) =0, fy(a,b) =0
Como ocurría en una variable, la utilidad de los puntos críticos es debida al siguiente resultado
Teorema
Si(a,b) es un máximo local o un mínimo local de f entonces (a,b) es un punto crítico de f .
Vamos a calcular los máximos y mínimos de una función de sos variables; estos son llamados puntos extremos de nuestra función particular.
Denición (punto crítico)
Unpunto crítico de una función z=f(x,y) es un punto(a,b)en donde las derivadas parciales se anulan. Es decir
fx(a,b) =0, fy(a,b) =0
Como ocurría en una variable, la utilidad de los puntos críticos es debida al siguiente resultado
Teorema
Si(a,b) es un máximo local o un mínimo local de f entonces (a,b) es un punto crítico de f .
Vamos a calcular los máximos y mínimos de una función de sos variables; estos son llamados puntos extremos de nuestra función particular.
Denición (punto crítico)
Unpunto crítico de una función z=f(x,y) es un punto(a,b)en donde las derivadas parciales se anulan. Es decir
fx(a,b) =0, fy(a,b) =0
Como ocurría en una variable, la utilidad de los puntos críticos es debida al siguiente resultado
Teorema
Si(a,b) es un máximo local o un mínimo local de f entonces (a,b) es un punto crítico de f .
Vamos a calcular los máximos y mínimos de una función de sos variables; estos son llamados puntos extremos de nuestra función particular.
Denición (punto crítico)
Unpunto crítico de una función z=f(x,y) es un punto(a,b)en donde las derivadas parciales se anulan. Es decir
fx(a,b) =0, fy(a,b) =0
Como ocurría en una variable, la utilidad de los puntos críticos es debida al siguiente resultado
Teorema
Si(a,b) es un máximo local o un mínimo local de f entonces (a,b) es un punto crítico de f .
Vamos a calcular los máximos y mínimos de una función de sos variables; estos son llamados puntos extremos de nuestra función particular.
Denición (punto crítico)
Unpunto crítico de una función z=f(x,y) es un punto(a,b)en donde las derivadas parciales se anulan. Es decir
fx(a,b) =0, fy(a,b) =0
Como ocurría en una variable, la utilidad de los puntos críticos es debida al siguiente resultado
Teorema
Si(a,b) es un máximo local o un mínimo local de f entonces (a,b) es un punto crítico de f .
Si(a,b) es un punto crítico de f entonces se presentan tres posibilidades:
1 (a,b) es un máximo local de f .
2 (a,b) es un mínimo local de f .
3 (a,b) es un punto silla de f (ni máximo ni mínimo).
¾Cómo clasicamos los puntos críticos obtenidos?
Existen varios criterios para hacerlo, el más sencillo es elcriterio de la segunda derivada (para dos variables).
Para enunciarlo correctamente, necesitamos el concepto dematriz hessiana.
Denición
La matriz hessiana de z=f(x,y)se dene como
H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
Si(a,b) es un punto crítico de f entonces se presentan tres posibilidades:
1 (a,b) es un máximo local de f .
2 (a,b) es un mínimo local de f .
3 (a,b) es un punto silla de f (ni máximo ni mínimo).
¾Cómo clasicamos los puntos críticos obtenidos?
Existen varios criterios para hacerlo, el más sencillo es elcriterio de la segunda derivada (para dos variables).
Para enunciarlo correctamente, necesitamos el concepto dematriz hessiana.
Denición
La matriz hessiana de z=f(x,y)se dene como
H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
Si(a,b) es un punto crítico de f entonces se presentan tres posibilidades:
1 (a,b) es un máximo local de f .
2 (a,b) es un mínimo local de f .
3 (a,b) es un punto silla de f (ni máximo ni mínimo).
¾Cómo clasicamos los puntos críticos obtenidos?
Existen varios criterios para hacerlo, el más sencillo es elcriterio de la segunda derivada (para dos variables).
Para enunciarlo correctamente, necesitamos el concepto dematriz hessiana.
Denición
La matriz hessiana de z=f(x,y)se dene como
H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
Si(a,b) es un punto crítico de f entonces se presentan tres posibilidades:
1 (a,b) es un máximo local de f .
2 (a,b) es un mínimo local de f .
3 (a,b) es un punto silla de f (ni máximo ni mínimo).
¾Cómo clasicamos los puntos críticos obtenidos?
Existen varios criterios para hacerlo, el más sencillo es elcriterio de la segunda derivada (para dos variables).
Para enunciarlo correctamente, necesitamos el concepto dematriz hessiana.
Denición
La matriz hessiana de z=f(x,y)se dene como
H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
Si(a,b) es un punto crítico de f entonces se presentan tres posibilidades:
1 (a,b) es un máximo local de f .
2 (a,b) es un mínimo local de f .
3 (a,b) es un punto silla de f (ni máximo ni mínimo).
¾Cómo clasicamos los puntos críticos obtenidos?
Existen varios criterios para hacerlo, el más sencillo es elcriterio de la segunda derivada (para dos variables).
Para enunciarlo correctamente, necesitamos el concepto dematriz hessiana.
Denición
La matriz hessiana de z=f(x,y)se dene como H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
Denición
El hessiano de z=f(x,y) se dene como
∆(x,y) = det H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
= fxx(x,y)fyy(x,y)−fxy(x,y)2 Observación:
Tanto la matriz Hessiana como el Hessiano, por lo general, dependen de las variables x e y
Denición
El hessiano de z=f(x,y) se dene como
∆(x,y) = det H(x,y) =
fxx(x,y) fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)
= fxx(x,y)fyy(x,y)−fxy(x,y)2 Observación:
Tanto la matriz Hessiana como el Hessiano, por lo general, dependen de las variables x e y
Ludwig Otto Hesse (22 abril 1811 4 agosto 1874) fue un matemático alemán. Hesse nació en Königsberg, Prussia, y murió
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
Sea(a,b)un punto crítico de f , es decir fx(a,b) =fy(a,b) =0, y sea∆su Hessiano.
1 Si ∆(a,b)<0, entonces(a,b) no existe valor extremo (punto
silla)
2 Si ∆(a,b)>0, entonces en(a,b) existe un valor maximo ó un
valor mínimo. Y si además:
1 fxx(a,b)>0, entonces f es cóncava para arriba alrededor de (a,b)y f posee un un valor mínimo en(a,b).
2 fxx(a,b)<0, entonces f es cóncava para abajo alrededor de (a,b)y f posee un valor máximo en(a,b).
Observación:
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
Sea(a,b)un punto crítico de f , es decir fx(a,b) =fy(a,b) =0, y sea∆su Hessiano.
1 Si ∆(a,b)<0, entonces(a,b) no existe valor extremo (punto
silla)
2 Si ∆(a,b)>0, entonces en(a,b) existe un valor maximo ó un
valor mínimo. Y si además:
1 fxx(a,b)>0, entonces f es cóncava para arriba alrededor de (a,b)y f posee un un valor mínimo en(a,b).
2 fxx(a,b)<0, entonces f es cóncava para abajo alrededor de (a,b)y f posee un valor máximo en(a,b).
Observación:
Ejemplo
Hallar los máximos relativos, mínimos relativos y puntos de silla de la función
f(x,y) =x3+3xy2−15x−12y
Ejemplo
Determine y clasique los puntos críticos de la función f(x,y) =2x4+y2−x2−2y
Ejemplo
Una empresa produce dos tipos de productos, A y B.
El costo diario total, en miles de nuevo soles, para producir x unidades de A e y unidades de B esta dado por:
C(x,y) =250−4x−7y+0,2x2+0,1y2.
Determinar el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día con el objetivo de minimizar el costo total.
Determine el costo mínimo.
Ejemplo
Una empresa produce dos tipos de productos, A y B.
El costo diario total, en miles de nuevo soles, para producir x unidades de A e y unidades de B esta dado por:
C(x,y) =250−4x−7y+0,2x2+0,1y2.
La empresa puede vender cada unidad de A a S/. 20 y cada unidad de B a S/. 16. Encontrar los niveles de producción de A y B que maximizan las utilidades de la empresa.
Determine la utilidad diaria máxima.
Ejemplo
Utilizando m unidades de mano de obra y c unidades de capital, la producción semanal total de una empresa, en miles de unidades, está dada por:
P(m,c) =20c+32m+3cm−2m2−2,5c2
Hallar el número de unidades de mano de obra y capital que la empresa debe utilizar con el propósito de maximizar su producción y determine la producción máxima.
Ejemplo
Una empresa produce pasta dental en dos presentaciones de 75ml y 100 ml. Los costos de producción unitarios son de $60 y $90 centavos respectivamente.
Las demandas semanales q75 y q100 (en miles) son q75=3(p2−p1)
y q100=320+3p1−5p2
Donde p1 y p2 son los precios unitarios de venta (en centavos de
dólar) Determinar:
a. Los precios p1 y p2 que maximizan la utilidad.
b. Las demandas de cada presentación que posibilitan la utilidad máxima.
c. La utilidad máxima.
