examen sep 2008[1]

(1)

MATEMÁTICAS II

Examen del 18/09/2008

Soluciones

Importante

(2)

MATEMÁTICAS II 18/ 09 / 2008 Tipo A Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

Estas 4 preguntas corresponden a la evaluación continua.

1. La matriz

1 2 1 1

2 1 1 0 1 1 1

1 1 3 2 a

−

⎡ ⎤

⎢ ₋ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

es invertible para:

a) a≠ −1. b) a≠1. c) a≠0.

2. El sistema

1

2 3

4 x z

x z

x y z

y z

+ = ⎧

⎪− − = − ⎪

⎨ _{+ + =}

⎪ ⎪ + = ⎩

es:

a) Compatible indeterminado. b) Compatible determinado. c) Incompatible.

3. Si

0 0 1

0 2 0

1 1 0

A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=_⎢ − _⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

, sus vectores propios

asociados al valor propio λ₁= −1, son combinación de los vectores:

a) (1, 0, 1) y (1, 0,1).− b) (1, 0, 1).−

c) (1, 0,1) y ( 1, 3, 2).−

4. Si la forma cuadrática Q x

( )

G =x AxG Gt es indefinida, para A_{n n}_× invertible, entonces

( )

t

Q xG =x CxG G, siendo C= AAtes: a) Indefinida.

b) Definida negativa. c) Definida positiva.

5. Sean las matrices A B C, , ∈ Μ_{3 3}_× tales que

2, 1, 4.

A = B = − C = Entonces:

a) −₂_{A B C}t 3 −1 =_1.

b) −2A B Ct 3 −1 =2.

c) −₂_{A B C}t 3 −1 =_4.

6. Sean x y z tG G G, , ,G∈\5 vectores cualesquiera tales que zG= +xG Gy t,G=2 ,xG y A la matriz cuyas columnas son los vectores , , , .x y z tG G G G Entonces: a) rango A

( )

=4.

b) rango A

( )

≤2.

c) rango A

( )

=3.

7. El sistema

2 3 0

2 0

x y z t

+ + + =

⎧

⎪ + + + = ⎨

⎪ − + + = ⎩

es:

a) Compatible indeterminado con x= −2 .z b) Compatible indeterminado con x=2 .z c) Compatible indeterminado con x= −z 2 .t

8. El sistema

2 3

2 3 5

2

x y z

ax z

+ + =

⎧

⎪ _{+ +} ₌

⎨

⎪ − = − ⎩

, es compatible

determinado para: a) a>0.

b) a<0.

c) Ningún valor de a.

9. Si ₁ 1, ₂ 1 2

λ = − λ = son los valores propios de

una matrizA_{3 3}_x con traza A

( )

=0, entonces la

ecuación característica de A−1 es: a) λ3−3λ2+ =4 0.

b) −λ3−3λ2+ =4 0.

c) 3 3 1 0.

4 4

λ λ

− + − =

10. Una forma cuadrática cuya matriz asociada sea no invertible puede ser:

(3)

11. Si los valores propios de

1 1 0

1 1 0 0 0 2 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ son

1 0, 1 1; 2 2, 2 2

λ = α = λ = α = , entonces su matriz de paso ortogonal es:

a) 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2

0 1 0

P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ b)

0 1 0

1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c) 1 1 0 2 2

0 1 0

1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

12. El problema

2 2

. ( 5) ( 4) 9 . 12

Opt x y

s a x y

⎧ − − − − +

⎨

+ = ⎩

tiene en 13 11, 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ un:

a) Máximo local. b) Mínimo local. c) Punto de silla.

13. La solución óptima del PPL:

1 2

2

1 2

max 2

. : 3 3 6 1 , 0 x x s a x x x x x x x + ≤ − ≤ + ≥ ≥ , es:

a) (x x₁*, *₂)=(3, 3). b) (x x1*, *2)=(1, 0).

c) (x x₁*, *₂)=(2, 0).

14. La solución óptima dual del PPL:

1 2 3

min 3 2 5

. :

3 2 10

2 5 3 15

10

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

≥

es ( ₁*, *₂, *₃) ( , 0, ).1 3 2 2

y y y =

Si el término independiente de la primera restricción, b₁, aumenta en 6 unidades, entonces, el valor óptimo del problema modificado pasa a ser:

a) 20. b) 23. c) 17.

15. Dado el PPL:

1 2 3

max 2

. :

3 2 5

2 8

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

− + + + = − − ≤ ≥ , entonces:

a) Su dual en forma canónica tiene 2 variables y 3 restricciones.

b) Su dual en forma canónica tiene 3 variables y 3 restricciones.

(4)

MATEMÁTICAS II 18/ 09 / 2008 Tipo B Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

1. La matriz

3 2 1 1

0 1 1 1

1 1 3 2

2 1 1

a

−

⎡ ⎤

⎢ ₋ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ₋ ₋ ⎥

⎣ ⎦

es invertible para:

a) a≠ −3. b) a≠3. c) a≠0.

2. El sistema

1

2 3

0 x z

x z

x y z

y + = ⎧

⎪− − = − ⎪

⎨ _{+ + =} ⎪

⎪ = ⎩

es:

a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible.

3. Si

2 0 0

1 0 1 0 1 0 A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

asociados al valor propio λ₁=1, son combinación de los vectores:

a) (0,1, 1).− b) (0,1,1).

c) (0,1,1) y (3, 2,1).

( )

t

Q xG =x CxG G, siendo C= AA At es: a) Indefinida.

2, 4, 2.

A = B = − C = − Entonces: a) −₂_{A B C}−1 t 3 = −_{2 .}7

b) −2A B C−1 t 3 =2 .5

c) −₂_{A B C}−1 t 3 = −_{2 .}5

6. Sean x y z tG G G, , ,G∈\4 vectores cualesquiera tales que zG= −yG tG, y A la matriz cuyas columnas son los vectores , , , .x y z tG G G G Entonces:

a) rango A

( )

≤3. b) rango A

( )

=4. c) rango A

( )

≥3.

7. El sistema

0

2 2 0

0

x y z t

+ + + = ⎧

⎪ ₊ _{− − =}

⎨

⎪− − − + = ⎩

es:

a) Compatible indeterminado con x= −y. b) Compatible indeterminado con x= y. c) Compatible indeterminado con x= −2y+t.

8. El sistema

2 3

2 3 5

2

ax y z

x y z

x z

+ + =

⎧

⎪ _{+ +} ₌

⎨

⎪− − = ⎩

, es compatible

b) a<0.

9. Si ₁ 1, ₂ 1 2

( )

=0, entonces la ecuación característica de A−1 es:

a) 3 3 1 0.

4 4

λ λ

− − + =

b) λ3+₃λ2− =₄ _0.

c) −λ3+3λ2+ =4 0.

10. Una forma cuadrática cuya matriz asociada sea invertible puede ser:

a) Semidefinida positiva. b) Definida.

(5)

11. Si los valores propios

2 0 0

0 1 1

A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ son

1 2, 1 2; 2 0, 2 1

a) 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2

0 1 0

P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ b) 1 1 0 2 2

0 1 0

1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c)

0 1 0

1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

12. El problema

2 2

. ( 5) ( 4) 9 . 12

Opt x y

s a x y

⎧ − + − −

⎨

+ =

⎩ tiene

en 13 11, 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ un:

a) Máximo local. b) Mínimo local. c) Punto de silla.

1 2

2

1 2

max 2

. : 1 3 2 , 0 x x s a x x x x x x x + ≤ − ≤ + ≥ ≥ , es:

a) (x x₁*, *₂)=(1,1). b) (x x1*, *2)=(4,1).

c) (x x₁*, *₂)=(2, 0).

1 2 3

min 3 2 5

. :

3 2 10

2 5 3 15

10

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

≥

es ( ₁*, *₂, *₃) ( , 0, ).1 3 2 2

y y y =

Si el término independiente de la tercera restricción, b₃, disminuye en 2 unidades, entonces, el valor óptimo del problema modificado pasa a ser:

a) 20. b) 23. c) 17.

15. Dado el PPL:

1 2

max 2

. : 3 7 3 , 0 x x s a x x x x x x + + = − ≤ ≥ , entonces:

(6)

MATEMÁTICAS II 18/ 09 / 2008 Tipo C Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

( )

t

Q xG =x CxG G, siendo C= AAtes: a) Indefinida.

2. El sistema

1 1 2 3 4 x z x z

x y z

y z + = ⎧ ⎪− − = − ⎪ ⎨ _{+ + =} ⎪ ⎪ + = ⎩ es: a) Incompatible.

b) Compatible indeterminado. c) Compatible determinado.

3. Si

0 0 1

0 2 0

1 1 0

A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

asociados al valor propio λ₁= −1, son combinación de los vectores:

a) (1, 0, 1).−

b) (1, 0, 1) y (1, 0,1).− c) (1, 0,1) y ( 1, 3, 2).−

4. La matriz

1 2 1 1

2 1 1

0 1 1 1

1 1 3 2 a − ⎡ ⎤ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

es invertible para:

a) a≠ −1. b) a≠1. c) a≠0.

5. El sistema

2 3

2 3 5

2

x y z

ax z + + = ⎧ ⎪ _{+ +} ₌ ⎨ ⎪ − = − ⎩

, es compatible

b) a<0.

2, 1, 4.

A = B = − C = Entonces:

a) −₂_{A B C}t 3 −1 =_1.

b) −2A B Ct 3 −1 =2.

c) −₂_{A B C}t 3 −1 =_4.

7. Sean _{x y z t}G G G_{, , ,}G∈_\5_{vectores cualesquiera tales}

que ,zG= +xG Gy tG=2 ,xG y A la matriz cuyas

columnas son los vectores x y z tG G G, , , .G Entonces:

a) rango A

( )

=4.

b) rango A

( )

≤2.

c) rango A

( )

=3.

8. El sistema

2 3 0

2 0

x y z t

+ + + = ⎧ ⎪ + + + = ⎨ ⎪ − + + = ⎩ es:

a) Compatible indeterminado con x=2 .z b) Compatible indeterminado con x= −z 2 .t c) Compatible indeterminado con x= −2 .z

9. El problema

2 2

. ( 5) ( 4) 9

. 12

Opt x y

s a x y

⎧ − − − − +

⎨

+ = ⎩

tiene en 13 11, 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ un:

a) Mínimo local. b) Máximo local. c) Punto de silla.

10. Si ₁ 1, ₂ 1 2

( )

=0, entonces la

ecuación característica de A−1 es: a) λ3−3λ2+ =4 0.

b) −λ3−₃λ2+ =₄ _0.

c) 3 3 1 0.

4 4

λ λ

(7)

11. Una forma cuadrática cuya matriz asociada sea no invertible puede ser:

a) Definida positiva. b) Definida negativa. c) Semidefinida.

12. Si los valores propios de

1 1 0

1 1 0 0 0 2 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ son

1 0, 1 1; 2 2, 2 2

a)

1 1

0

2 2

0 1 0

1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ b)

0 1 0

1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c) 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2

0 1 0

P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

13. Dado el PPL:

1 2 3

max 2

. :

3 2 5

2 8

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

− + + + = − − ≤ ≥ , entonces:

c) Su dual en forma canónica tiene 3 variables y 2 restricciones.

1 2

2

1 2

max 2

. : 3 3 6 1 , 0 x x s a x x x x x x x + ≤ − ≤ + ≥ ≥ , es:

a) (x x₁*, *₂)=(3, 3).

b) * * 1 2

(x x, )=(1, 0).

c) (x x₁*, *₂)=(2, 0).

1 2 3

min 3 2 5

. :

3 2 10

2 5 3 15

10

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

≥

es * * * 1 2 3

1 3 ( , , ) ( , 0, ).

2 2

y y y =

Si el término independiente de la primera restricción, b₁, aumenta en 6 unidades, entonces, el valor óptimo del problema modificado pasa a ser:

(8)

MATEMÁTICAS II 18/ 09 / 2008 Tipo D Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión. (U. de Las Palmas de Gran Canaria) Lic. en Economía, Lic. Admón. y Dir. Empresas y Dipl. CC. Empresariales

( )

t

Q xG =x CxG G, siendo C= AA At es: a) Definida positiva.

b) Indefinida. c) Definida negativa.

2. La matriz

3 2 1 1

0 1 1 1

1 1 3 2

2 1 1

a − ⎡ ⎤ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ₋ ⎥ ⎣ ⎦

es invertible para:

a) a≠0. b) a≠ −3. c) a≠3.

3. El sistema

1 1 2 3 0 x z x z

x y z

y + = ⎧ ⎪− − = − ⎪ ⎨ _{+ + =} ⎪ ⎪ = ⎩ es:

a) Compatible indeterminado. b) Incompatible.

c) Compatible determinado.

4. Si

2 0 0

1 0 1 0 1 0 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

asociados al valor propio λ₁=1, son combinación de los vectores:

a) (0,1,1). b) (0,1, 1).−

c) (0,1,1) y (3, 2,1).

5. El sistema

2 3

2 3 5

2

ax y z

x y z

x z + + = ⎧ ⎪ _{+ +} ₌ ⎨ ⎪− − = ⎩

, es compatible

b) a<0.

2, 4, 2.

A = B = − C = − Entonces:

a) −₂_{A B C}−1 t 3 =_{2 .}5

b) −2A B C−1 t 3 = −2 .7

c) −₂_{A B C}−1 t 3 = −_{2 .}5

7. Sean _{x y z t}G G G_{, , ,}G∈_\4_{vectores cualesquiera tales}

que ,zG= −yG tG y A la matriz cuyas columnas son los vectores x y z tG G G, , , .G Entonces:

a) rango A

( )

≥3.

b) rango A

( )

=4.

c) rango A

( )

≤3.

8. El sistema

0

2 2 0

0

x y z t

+ + + = ⎧ ⎪ ₊ _{− − =} ⎨ ⎪− − − + = ⎩ es:

a) Compatible indeterminado con x= −y. b) Compatible indeterminado con x= y. c) Compatible indeterminado con x= −2y+t.

9. El problema

2 2

. ( 5) ( 4) 9

. 12

Opt x y

s a x y

⎧ − + − −

⎨

+ =

⎩ tiene

en 13 11, 2 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ un:

a) Máximo local. b) Punto de silla. c) Mínimo local.

10. Una forma cuadrática cuya matriz asociada sea invertible puede ser:

(9)

11. Si ₁ 1, ₂ 1 2

( )

=0, entonces la

ecuación característica de A−1 es:

a) 3 3 1 0.

4 4

λ λ

− − + =

b) λ3+₃λ2− =₄ _0.

c) − +λ3 3λ2+ =4 0.

12. Si los valores propios

2 0 0

0 1 1

A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ son

1 2, 1 2; 2 0, 2 1

a)

0 1 0

1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ b) 1 1 0 2 2

0 1 0

1 1 0 2 2 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ c) 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2

0 1 0

P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

13. Dado el PPL:

1 2

max 2

. : 3 7 3 , 0 x x s a x x x x x x + + = − ≤ ≥ , entonces:

c) Su dual en forma canónica tiene 3 variables y 2 restricciones.

1 2

2

1 2

max 2

. : 1 3 2 , 0 x x s a x x x x x x x + ≤ − ≤ + ≥ ≥ , es:

a) (x x₁*, *₂)=(1,1).

b) * * 1 2

(x x, )=(4,1).

c) (x x₁*, *₂)=(2, 0).

1 2 3

min 3 2 5

. :

3 2 10

2 5 3 15

10

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

≥

es * * * 1 2 3

1 3 ( , , ) ( , 0, ).

2 2

y y y =

Si el término independiente de la tercera restricción, b₃, disminuye en 2 unidades, entonces, el valor óptimo del problema modificado pasa a ser:

(10)

Soluciones a las cuestiones tipo test

Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejan en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas del test equivalen a la evaluación continua.

A

B

C

D

1 b a c b

2 b a c b

3 b b a c

4 c a b a

5 c a a b

6 b a c b

7 a a b c

8 a b c a

9 a b b c

10 c b a c

11 a c c b

12 a b c a

13 a b b c

14 b c a b

(11)

MATEMÁTICAS II 18/09/2008

Apellidos: ... Nombre: ... DNI: ... Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema tipos A y C

1. Sea la matriz

4 0 0 0

0

A a a

a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

a) Calcular los valores propios de A y clasificar la forma cuadrática con matriz asociada A en función del valor de a. (4 puntos).

b) Para a= −1, escribir la expresión analítica de la forma cuadrática con matriz asociada A, y la de esta forma cuadrática restringida a la condición x= +y z. Clasificar la forma cuadrática restringida. (4 puntos).

2. Sea el siguiente problema de programación lineal al que llamaremos problema P:

1 2 3

min 2 6 6

. :

2 1

, , 0.

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

− + + ≥

+ + ≥

≥

Se pide:

a) Escribir el problema dual de P. Utilizando las relaciones entre los problemas primal y dual, obtener la solución óptima y el valor óptimo del problema P a partir de la resolución gráfica de su dual. (9 puntos).

b) Si el coeficiente de la variable x₁ en la función objetivo del problema P es 2+h, con h>0, ¿cuáles son ahora el valor óptimo del problema P y el valor óptimo de su dual? Justificar la respuesta. (3 puntos).

Solución del Problema

1.a). Si calculamos el polinomio característico de la matriz, obtenemos:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2

4 0 0

( ) 0 (4 )( ) (4 ) (4 ) ( ) (4 ) 2

0

(4 ) 2 .

A

p a a a a a a a

a a

a λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

−

= − = − − − − = − − − = − −

−

= − −

Por lo que los valores propios son λ1=0,λ2 =4,λ3 =2 .a

Aplicando el criterio de los valores propios se tiene que:

Si a≥0, todos los valores propios son no negativos, con λ1=0, y la forma cuadrática asociada es

semidefinida positiva.

(12)

1.b). Para a= −1, es,

4 0 0

0 1 1

A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=_⎢ − − _⎥ ⎢ − − ⎥

⎣ ⎦

, de donde se deduce que la expresión analítica de la forma

cuadrática con matriz asociada A, es,

2 2 2

( , , ) 4 2 ,

Q x y z = x −y −z − yz que como ya sabemos es indefinida.

Para calcular la expresión analítica de la forma cuadrática restringida bastará sustituir la ecuación dada en la expresión anterior, obteniendo:

2 2 2 2 2

.( , ) ( , , ) 4( ) 2 3 3 6 ,

rest

Q y z =Q y+z y z = y+z −y −z − yz= y + z + yz cuya matriz asociada es, 3 3

. 3 3 B= ⎢⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

Aplicando el criterio de los menores principales, como, B₁= >3 0, B₂ =|B| 0,= se trata de una forma cuadrática semidefinida positiva.

2.a). El problema dual de P es,

1 2

m ax

. :

2

2 6

, 0.

y y

s a

y y

y y

+

− + ≤

+ ≤

≥

(13)

En dicha figura se observa que la región factible es acotada con vértices, 2 8

O(0, 0), A(3, 0), B(2, 2), C( , ), y D(0, 2).

3 3 Asimismo, están representados el vector gradiente, ∇ =w (1,1), y las rectas de nivel en el sentido de +∇w. Lo que indica que el punto donde se alcanza el máximo es el vértice B(2, 2) . Como la región factible es acotada puede llegarse a la misma conclusión evaluando la función objetivo en cada uno de los cinco vértices.

En cualquier caso, obtenemos que la solución óptima del problema dual de P es

(

y y1*, *2

)

=(2, 2), con valor

óptimo, w* =w(2, 2)=4. Además, como el vértice B está sobre las rectas y1+2y2 =6 y 2y1+y2=6,

obtenemos que las variables de holgura cumplen: t₁*>0, 0.t₂* = =t₃*

Por todo ello, aplicando las condiciones de holgura complementaria, la solución óptima del problema P,

(

* * * * *

)

1, 2, 3, 1, 2 ,

x x x h h cumple que, x₁* =h₁*=h₂*=0.

Si ahora sustituimos en las restricciones del problema P en forma estándar, obtenemos que se cumple que:

* *

2 3

* * 2 3

2 1 1

. 3

2 1

x x

⎧ + =

⇒ = =

⎨ ₊ ₌

⎩

Por tanto, la solución óptima del problema P es

(

₁*, *₂, *₃, ₁*, ₂*

)

(0, , , 0, 0),1 1 3 3

x x x h h = y su valor óptimo es

* _{(0, , )}1 1 ₄ *_.

3 3

z =z = =w

2.b). Si el coeficiente de la variable x₁ en la función objetivo de problema P pasa del valor c₁=2 al valor

1 1 2 ,

c + ∆ = +c h con h>0, se modifica de la misma forma el término independiente de la primera restricción del problema dual.

Por tanto, en virtud de la interpretación de los precios sombra del problema dual, el incremento del valor óptimo del dual es, ∆w*=x₁*⋅ ∆ = ⋅ =c₁ 0 h 0, ∀ >h 0.

De manera que el valor óptimo del dual no se modifica, y teniendo en cuenta que los valores óptimos dual y primal coinciden, tampoco se modifica el valor óptimo del problema primal, ∀ >h 0.

Este hecho tiene también una fácil explicación geométrica. Sobre la gráfica que contiene la solución del dual, se observa que la modificación propuesta supone desplazar la recta que determina la primera restricción del problema dual.

Ya que la ecuación de esta recta pasa de: − +y1 y2 = ⇒2 y2 = y1+2, a la ecuación:

1 2 2 2 1 2 , 0.

y y h y y h h

− + = + ⇒ = + + >

Esto supone subir la ordenada en el origen (punto de corte con el eje vertical): (0, 2)→(0, 2+h), 0,h> lo que implica desplazar la recta de forma paralela y hacia arriba.

(14)

MATEMÁTICAS II 18/09/2008

Apellidos: ... Nombre: ... DNI: ... Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema tipos B y D

1. Sea la matriz

0

0 2 0

0

a a

A

a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=_⎢ − _⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

a) Calcular los valores propios de A y clasificar la forma cuadrática con matriz asociada A en función del valor de a. (4 puntos).

b) Para a=1, escribir la expresión analítica de la forma cuadrática con matriz asociada A, y la de esta forma cuadrática restringida a la condición y= +x z. Clasificar la forma cuadrática restringida. (4 puntos).

2. Sea el siguiente problema de programación lineal al que llamaremos problema P:

1 2 3

min 3 3

. :

2 1

, , 0.

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ − ≥

≥

Se pide:

a) Escribir el problema dual de P. Utilizando las relaciones entre los problemas primal y dual, obtener la solución óptima y el valor óptimo del problema P a partir de la resolución gráfica de su dual. (9 puntos).

b) Si el coeficiente de la variable x₃ en la función objetivo del problema P es 1+h, con h>0, ¿cuáles son ahora el valor óptimo del problema P y el valor óptimo de su dual? Justificar la respuesta. (3 puntos).

1.a). Si calculamos el polinomio característico de la matriz, obtenemos:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2

0

( ) 0 2 0 ( 2 )( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2

0

( 2 ) 2 .

A

a a

p a a a a a

a a

a

λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ

λ λ λ

−

= − − = − − − − − − = − − − − = − − −

−

= − − −

Por lo que los valores propios son λ₁=0,λ₂ = −2,λ₃=2 .a Aplicando el criterio de los valores propios se tiene que:

Si a≤0, todos los valores propios son no positivos, con λ₁=0, y la forma cuadrática asociada es semidefinida negativa.

(15)

1.b). Para a=1, es,

1 0 1

0 2 0 1 0 1 A

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=_⎢ − _⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

, de donde se deduce que la expresión analítica de la forma cuadrática

con matriz asociada A, es,

2 2 2

( , , ) 2 2 ,

Q x y z =x − y +z + xz que como ya sabemos es indefinida.

Para calcular la expresión analítica de la forma cuadrática restringida bastará sustituir la ecuación dada en la expresión anterior, obteniendo:

2 2 2 2 2

.( , ) ( , , ) 2( ) 2 2 ,

rest

Q x z =Q x x+z z =x − x+z +z + xz= − −x z − xz cuya matriz asociada es, 1 1

. 1 1 B= ⎢⎡− − ⎤_⎥

− −

⎣ ⎦

Aplicando el criterio de los menores principales, como, B₁= − <1 0, B₂ =|B| 0,= se trata de una forma cuadrática semidefinida negativa.

2.a). El problema dual de P es,

1 2

m ax

. :

2 3

1

, 0.

y y

s a

y y

y y

+

+ ≤

− ≤

≥

(16)

En dicha figura se observa que la región factible es acotada con vértices,

4 1 3

O(0, 0), A(1, 0), B( , ), C(1,1), y D(0, ).

3 3 2 Asimismo, están representados el vector gradiente, ∇ =w (1,1), y las rectas de nivel en el sentido de +∇w. Lo que indica que el punto donde se alcanza el máximo es el vértice C(1,1). Como la región factible es acotada puede llegarse a la misma conclusión evaluando la función objetivo en cada uno de los cinco vértices.

En cualquier caso, obtenemos que la solución óptima del problema dual de P es

(

y y1*, 2*

)

=(1,1), con valor

óptimo, w*=w(1,1)=2. Además, como el vértice C está sobre las rectas y1+2y2 =3 y 2y1+y2 =3,

obtenemos que las variables de holgura cumplen: t₁* = =t₂* 0, 0.t₃*>

Por todo ello, aplicando las condiciones de holgura complementaria, la solución óptima del problema P,

(

* * * * *

)

1, 2, 3, 1, 2 ,

x x x h h cumple que, x*₃ =h₁*=h₂*=0.

Si ahora sustituimos en las restricciones del problema P en forma estándar, obtenemos que se cumple que:

* *

1 2

* * 1 2

2 1 1

. 3

2 1

x x

⎧ + =

⇒ = =

⎨

+ =

⎩

Por tanto, la solución óptima del problema P es

(

₁*, *₂, *₃, ₁*, ₂*

)

( , , 0, 0, 0),1 1 3 3

x x x h h = y su valor óptimo es

* _{( , , 0)}1 1 ₂ *_.

3 3

z =z = =w

2.b). Si el coeficiente de la variable x₃ en la función objetivo de problema P pasa del valor c₃ =1 al valor

3 3 1 ,

c + ∆ = +c h con h>0, se modifica de la misma forma el término independiente de la tercera restricción del problema dual.

Por tanto, en virtud de la interpretación de los precios sombra del problema dual, el incremento del valor óptimo del dual es, ∆w*=x₃*⋅ ∆ = ⋅ =c₃ 0 h 0, ∀ >h 0.

De manera que el valor óptimo del dual no se modifica, y teniendo en cuenta que los valores óptimos dual y primal coinciden, tampoco se modifica el valor óptimo del problema primal, ∀ >h 0.

Este hecho tiene también una fácil explicación geométrica. Sobre la gráfica que contiene la solución del dual, se observa que la modificación propuesta supone desplazar la recta que determina la tercera restricción del problema dual.

Ya que la ecuación de esta recta pasa de: y1−y2 = ⇒1 y2 = y1−1, a la ecuación:

1 2 1 2 1 (1 ), 0.

y −y = + ⇒h y = y − +h h>

Esto supone bajar la ordenada en el origen (punto de corte con el eje vertical): (0, 1)− →(0, (1− +h)), 0,h> lo que implica desplazar la recta de forma paralela y hacia abajo.

(17)

MATEMÁTICAS II 18 / 09/ 2008 Tipo A Apellidos: ... Nombre: ... DNI: ... Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema con ordenador

Importante: Recuerde indicar las instrucciones utilizadas y justificar sus respuestas.

1. Sea el sistema

2 2

0

0 1

y z

x y z

t

α α

− = ⎫

⎪

− + + _{= ⎪}

⎬

− − − = _⎪

⎪

= _⎭

, se pide:

a) Exprese el sistema en forma matricial indicando claramente cuál es la matriz de coeficientes (A), el vector de incógnitas (xG) y el vector de términos independientes (bG). (1 punto).

b) Discuta el sistema en función de α. (4 puntos).

c) Calcule la solución en el caso en que sea compatible determinado. (4 puntos).

d) Sea α=1 y supongamos que la matriz de coeficientes es la matriz de paso (P) de una matriz

diagonalizable (M) con matriz diagonal

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 6 0

0 0 0 6 D

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=

⎢ ⎥

⎣ ⎦

. Construya, a través de la relación de

semejanza, la matriz M, e indique cuáles son sus valores y vectores propios. (3 puntos).

2. Sea ahora el PPL:

1 2 3

min 3 3

. :

2 1

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

+ + ≥

+ − ≥

≥

, se pide:

a) Resuelva el problema con LINGO, indicando tanto la solución óptima como el valor óptimo del problema y de su dual. (4 puntos).

b) Si el término independiente de la primera restricción del problema es ahora 1+h con h>0, ¿para qué valores de h se obtiene la misma solución dual que la obtenida en el apartado 2.a)? (2 puntos).

c) Para los valores de h que proporcionan la misma solución dual obtenida en el apartado 2.a), ¿cuál es el valor óptimo del problema? (2 puntos).

1.a). La expresión matricial del sistema, AxG=bG, es:

0 1 2 0 2

1 0 0

.

1 1 1 0 0

0 0 0 1 1

x

y

z t

α α

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢− − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

(18)

1.b). Introducimos la matriz ampliada, A bG y la matriz de coeficientes, A, y calculamos el determinante de

A, del que depende la discusión del sistema:

#5: - 3·© - 3

#7: © = -1

Se tiene por tanto que, si α ≠ − ⇒1 |A| 0≠ ⇒rango A( )=rango A b( G)=4, y el sistema será SCD.

Para α = −1, sustituyendo este valor en la matriz ampliada, y aplicando ROW_REDUCE, se obtiene:

„ 0 1 -2 0 2 † ¦ ¦ ¦ -1 -1 -1 0 0 ¦ #10: ROW_REDUCE ¦ ¦ ¦ -1 -1 -1 0 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 1 ‡

(19)

La matriz resultante es la matriz ampliada de un sistema equivalente al propuesto, por tanto, como incluye

una fila de ceros, se deduce fácilmente que rango A( )=rango A b( G)=3, por lo que en este caso el sistema es

SCI, y sus infinitas soluciones dependen de n− = − =r 4 3 1 parámetro.

También se puede llegar a la misma conclusión calculando rango A( ) y rango A b( G) en este caso particular.

1.c). Como acabamos de ver, el sistema es compatible determinado en el caso α ≠ −1, si aplicamos ROW_REDUCE en este caso general, obtenemos lo siguiente:

„ 1 0 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 2 ¦ ¦ 0 1 0 0 ——— ¦ ¦ 3 ¦ #9: ¦ ¦ ¦ 2 ¦ ¦ 0 0 1 0 - ——— ¦ ¦ 3 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 1 ‡

Por lo que la solución es: ( , , , ) (0, ,2 2,1). 3 3 xG= x y z t = −

1.d). P es la matriz de coeficientes para el caso α =1, por tanto es una matriz invertible, según acabamos de ver en 1b), y puede ser una matriz de paso. La matriz M será por tanto la matriz diagonalizable con matriz de paso P y matriz diagonal D, es decir: M =PDP−1, que calculamos en DERIVE:

„ 0 1 -2 0 † „ 0 0 0 0 † „ 0 1 -2 0 †-1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ -1 1 1 0 ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ ¦ -1 1 1 0 ¦ #30: ¦ ¦·¦ ¦·¦ ¦ ¦ -1 -1 -1 0 ¦ ¦ 0 0 6 0 ¦ ¦ -1 -1 -1 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 ‡ … 0 0 0 6 ‡ … 0 0 0 1 ‡

„ 4 -2 2 0 † ¦ ¦ ¦ -2 1 -1 0 ¦ #31: ¦ ¦ ¦ 2 -1 1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 6 ‡

Por propia construcción de la matriz M, es evidente que sus valores propios son los elementos de la diagonal de la matriz D, y sus vectores propios asociados son las columnas de la matriz P.

(20)

min=3*x1+3*x2+x3; x1+2*x2+x3>1; 2*x1+x2-x3>1;

Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 2.000000

Variable Value Reduced Cost X1 0.3333333 0.000000 X2 0.3333333 0.000000 X3 0.000000 1.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2.000000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 -1.000000

Por tanto, la solución óptima del problema es,

(

₁*, ₂*, ₃*, ₁*, ₂*

)

( , , 0, 0, 0),1 1 3 3

x x x h h = con valor óptimo: z* =2.

La solución óptima del problema dual es,

(

y y t t t₁*, ₂*, , ,₁* ₂* ₃*

)

=(1,1, 0, 0,1), con valor óptimo: w*=2.

2.b). Si aplicamos ahora el comando LINGO-Range, obtenemos que:

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 3.000000 3.000000 1.000000 X2 3.000000 1.000000 1.500000 X3 1.000000 INFINITY 1.000000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 1.000000 1.000000 0.5000000 3 1.000000 1.000000 0.5000000

Por tanto, el término independiente de la primera restricción, b₁=1, puede variar dentro del intervalo [1 0.5,1 1]− + =[0.5, 2], luego la variación de h>0, para la que se obtiene la misma solución dual es el incremento permitido, 0< ≤h 1.

(21)

MATEMÁTICAS II 18 / 09/ 2008 Tipo B Apellidos: ... Nombre: ... DNI: ... Titulación: Lic. Economía Lic. Admón. y Dir. Empresas Dipl. Empresariales

Problema con ordenador

Importante: Recuerde indicar las instrucciones utilizadas y justificar sus respuestas.

1. Sea el sistema

2 2

1 0

1

y z t

y z t y t

x

α − +α = − ⎫

⎪

+ + = _⎪

⎬

− + = _⎪

⎪

= _⎭

, se pide:

a) Exprese el sistema en forma matricial indicando claramente cuál es la matriz de coeficientes (A), el vector de incógnitas (xG) y el vector de términos independientes (bG). (1 punto).

b) Discuta el sistema en función de α. (4 puntos).

c) Calcule la solución en el caso en que sea compatible determinado. (4 puntos).

d) Sea α=1 y supongamos que la matriz de coeficientes es la matriz de paso (P) de una matriz

diagonalizable (M) con matriz diagonal

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

D

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=

⎢ − ⎥

⎢ ₋ ⎥

⎣ ⎦

. Construya, a través de la relación de

semejanza, la matriz M, e indique cuáles son sus valores y vectores propios. (3 puntos).

2. Sea ahora el PPL:

1 2 3

min 2 6 6

. :

2 1

, , 0

x x x

s a

x x x

x x x

+ +

− + + ≥

+ + ≥

≥

, se pide:

a) Resuelva el problema con LINGO, indicando tanto la solución óptima como el valor óptimo del problema y de su dual. (4 puntos).

b) Si el término independiente de la segunda restricción del problema es ahora 1+h con h>0, ¿para qué valores de h se obtiene la misma solución dual que la obtenida en el apartado 2.a)? (2 puntos).

c) Para los valores de h que proporcionan la misma solución dual obtenida en el apartado 2.a), ¿cuál es el valor óptimo del problema? (2 puntos).

1.a). La expresión matricial del sistema, AxG=bG, es:

0 2 2

0 1 1 1 1

.

0 1 0 1 0

1 0 0 0 1

x

y z

t

α − α −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥₌

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

(22)

1.b). Introducimos la matriz ampliada, A bG y la matriz de coeficientes, A, y calculamos el determinante de

A, del que depende la discusión del sistema:

#5: - 2·© - 4

#6: SOLVE(- 2·a - 4, a)

#7: © = -2

Se tiene por tanto que, si α ≠ − ⇒2 |A| 0≠ ⇒rango A( )=rango A b( G)=4, y el sistema será SCD.

Para α = −2, sustituyendo este valor en la matriz ampliada, y aplicando ROW_REDUCE, se obtiene:

„ 0 -2 -2 -2 -2 † ¦ ¦ ¦ 0 1 1 1 1 ¦ #9: ROW_REDUCE ¦ ¦ ¦ 0 -1 0 1 0 ¦ ¦ ¦ … 1 0 0 0 1 ‡

(23)

La matriz resultante es la matriz ampliada de un sistema equivalente al propuesto, por tanto, como incluye

una fila de ceros, se deduce fácilmente que rango A( )=rango A b( G)=3, por lo que en este caso el sistema es

SCI, y sus infinitas soluciones dependen de n− = − =r 4 3 1 parámetro.

También se puede llegar a la misma conclusión calculando rango A( ) y rango A b( G) en este caso particular.

1.c). Como acabamos de ver, el sistema es compatible determinado en el caso α ≠ −2, si aplicamos ROW_REDUCE en este caso general, obtenemos lo siguiente:

„ 1 0 0 0 1 † ¦ ¦ ¦ 0 1 0 0 0 ¦ #17: ¦ ¦ ¦ 0 0 1 0 1 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 0 ‡

Por lo que la solución es: xG=( , , , )x y z t =(1, 0,1, 0).

1.d). P es la matriz de coeficientes para el caso α =1, por tanto es una matriz invertible, según acabamos de ver en 1b), y puede ser una matriz de paso. La matriz M será por tanto la matriz diagonalizable con matriz de paso P y matriz diagonal D, es decir: M =PDP−1, que calculamos en DERIVE:

„ 0 1 -2 1 † „ 0 0 0 0 † „ 0 1 -2 1 †-1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 1 1 ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ ¦ 0 1 1 1 ¦ #20: ¦ ¦·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 0 -1 0 1 ¦ ¦ 0 0 -1 0 ¦ ¦ 0 -1 0 1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ … 1 0 0 0 ‡ … 0 0 0 -1 ‡ … 1 0 0 0 ‡

„ 5 1 1 † ¦ - ——— ——— - ——— 0 ¦ ¦ 6 3 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ #21: ¦ 6 3 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ - ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 6 3 2 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 0 ‡

(24)

2.a). Escribiendo y resolviendo el PPL propuesto en LINGO, obtenemos:

min=2*x1+6*x2+6*x3; -x1+x2+2*x3>1; x1+2*x2+x3>1;

Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: 4.000000

Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 2.000000 X2 0.3333333 0.000000 X3 0.3333333 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 4.000000 -1.000000 2 0.000000 -2.000000 3 0.000000 -2.000000

Por tanto, la solución óptima del problema es,

(

1* 2* 3* 1* 2*

)

1 1 , , , , (0, , , 0, 0),

3 3

x x x h h = con valor óptimo: z* =4.

La solución óptima del problema dual es,

(

y y t t t₁*, ₂*, , ,₁* ₂* ₃*

)

=(2, 2, 2, 0, 0), con valor óptimo: w*=4.

2.b). Si aplicamos ahora el comando LINGO-Range, obtenemos que:

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 2.000000 INFINITY 2.000000 X2 6.000000 2.000000 3.000000 X3 6.000000 6.000000 2.000000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 1.000000 1.000000 0.5000000 3 1.000000 1.000000 0.5000000

Por tanto, el término independiente de la segunda restricción, b₂=1, puede variar dentro del intervalo [1 0.5,1 1]− + =[0.5, 2], luego la variación de h>0, para la que se obtiene la misma solución dual es el incremento permitido, 0< ≤h 1.