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El Problema del Transporte
Maestro
Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre 2014
ASIGNATURA
Problema de Transporte
Es un caso especial de problema
de programación lineal (PPL), para
el cual se ha desarrollado una
versión
distinta
del
método
Principales características
Suponga que se dispone de
n fábricas
y de
m centros de
consumo
, ambos localizados en distintos puntos. Cada fábrica i
posee una capacidad de producción
O
i,
y cada centro de consumo
j posee una demanda
D
j.
El costo de producir una unidad en la
fábrica i es de
CP
i, y el costo de transportar cada unidad desde la
fábrica i al centro de consumo j es de
CT
ij.
El problema es determinar la cantidad a producir en cada fábrica
y las cantidades a transportar, al mínimo costo. Luego
x
ijes la
cantidad a producir en la fábrica i para ser llevado al centro de
consumo j.
Red de distribución
Fábrica
Centro de consumo
RAAN
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 OF F1 10 12 600 F2 12 13 15 350 F3 25 15 17 900 F4 20 15 18 650 DEM 500 300 200 200 150 400 150 600
Modelo
de Programación Lineal
MIN costo = s.a.
xij 0 con i:1.. n y j:1..m
Se utilizará el siguiente modelo de programación
lineal (PPL)
n 1 i m 1 j ij ij ij i x CT x ) (CP
n 1 i j ij D x
m 1 j i ij O x Se satisface toda la DemandaNo se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica.
Modelo
de Programación Lineal
MIN costo = s.a. xij 0 con i:1.. n y j:1..m Suponiendo que:
n 1 i m 1 j ij ij x C
n 1 i j ij D x
m 1 j i ij O xy reemplazando Cij=CPi+CTij queda el siguiente modelo:
n 1 i i m 1 j j O D Cap. de Producción igual a la Demanda.Modelo
de Programación Lineal
Si
n 1 i m 1 j j i F O D Dentonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio. Lo que consuma ese centro no es real, por tanto queda como capacidad de producción ociosa.
n 1 i i m 1 j j OModelo
de Programación Lineal
Si
n 1 i i m 1 j j F D O Oentonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo que produzca esa fábrica no es real. Por tanto queda como demanda insatisfecha.
n 1 i i m 1 j j OModelo
de Programación Lineal
Ejemplo: Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidades de 15,000, 25,000 y 5,000 unidades. Por otra parte, se tienen 4 centros de consumo con demandas de 5000, 15,000, 15,000, y 10,000 unidades respectivamente. Encuentre las cantidades óptimas a producir y transportar, tal de minimizar los costos que se muestran a continuación: C1 C2 C3 C4 Bodega B1 10 0 20 11 15000 B2 12 7 9 20 25000 B3 0 4 16 18 5000 Dem 5000 15000 15000 10000
C1 C2 C3 C4 Bodega B1 10 X11 0 X12 20 X13 11 X14 15000
B2 12 X21 7 X22 9 X23 20 X24 25000
B3 0 X31 4 X32 16 X33 18 X34 5000
14 𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 10𝑋11 + 0𝑋12 + 20𝑋13 + 11𝑋14+12𝑋21 + 7𝑋22 + 9𝑋23 + 20𝑋24 + 0𝑋31 + 4𝑋32 + 16𝑋33 + 18𝑋34 Sujeto a: Ecuaciones de Oferta: 𝑋11 + 𝑋12 + 𝑋13 + 𝑋14=15,000 𝑋21 + 𝑋22 + 𝑋23 + 𝑋24 = 25,000 Bodega 1 Bodega 2 𝑋31 + 𝑋32 + 𝑋33 + 𝑋34= 5,000 Bodega 3 Ecuaciones de Demanda: 𝑋11 + 𝑋21 + 𝑋31=5,000 𝑋12 + 𝑋22 + 𝑋32=15,000 𝑋13 + 𝑋23 + 𝑋33=15,000 𝑋14 + 𝑋24 + 𝑋34=10,000 𝑋𝑖𝑗≥0 i=1..3; j=1..4
Solución usando Módulo de PL de POM-QM
Variable X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34 Optimal Value (Z) Value 0 5000 0 10000 0 10000 15000 0 5000 0 0 0 315,000Solución factible inicial
Al igual que en el método Simplex tradicional, el problema de transporte requiere partir de una solución inicial factible. Para ello se necesita asignar las cantidades xij de manera de cumplir con las restricciones. Para ello existen al menos 4 posibilidades:
• Método de la esquina Noroeste. • Método de Vogel.
• MODELO DE COSTO MÍNIMO
Método de la esquina Noroeste
Este método no considera los costos, por eso puede que su solución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar la máxima cantidad factible al casillero superior izquierdo que no posea ninguna asignación o marca. La cantidad a asignar es el mínimo entre la oferta disponible y la demanda en dicho momento.
Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a la oferta como a la demanda. Con esto, una de las dos quedará en cero (fila o columna). Por tanto se marcan todos los casilleros vacíos de ella.
Método de la esquina Noroeste
Ejemplo: C1 C2 C3 C4 O B1 10 0 20 11 15000 5000 10000 - - B2 12 7 9 20 25000 - 5000 15000 5000 B3 0 4 16 18 5000 - - - 5000 D 5000 15000 15000 10000 C=410
Método de la esquina Noroeste
En caso de que al realizar una asignación simultáneamente ambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asigna una nueva variable con valor cero en el casillero de la fila o columna que tenga un menor costo. Se producen entonces 2 asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero. Esto se debe a que el sistema debe tener n+m-1 variables básicas definidas.
Método de la esquina Noroeste
Ejemplo 2: 1 2 3 4 5 O 1 7 20 13 5 2 15 15 - - - 0 2 10 15 12 7 10 20 - 20 - 0 - 3 8 11 8 3 9 20 - - 20 - - 4 12 10 12 8 10 10 - - 10 0 - 5 15 15 12 11 10 25 - - - 15 10 D 15 20 30 15 10 C=950
Método de Aproximación a Vogel
Este método si considera los costos, por tanto entrega una mejor solución factible inicial que la esquina noroeste. El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.
PASO 1
Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.
PASO 2
Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).
Método
Aproximación a Vogel
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PASO 3
De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor
cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).
PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES
- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse.
- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos,
detenerse.
- Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. - Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.
Ejemplo: Método de Aproximación a Vogel
EL PROBLEMA
Una empresa energética colombiana dispone de cuatro
plantas de generación para satisfacer la demanda diaria
eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y
Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30,
60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las
necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y
Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día
respectivamente.
Los costos asociados al envío de suministro energético
por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad
son
los
registrados
en
la
siguiente
tabla
.
Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.
SOLUCIÓN PASO A PASO
Paso 1: determinar las medidas de penalización y consignarlas en la tabla
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Paso 2
: escoger la fila o columna con la mayor
penalización:
Paso 3: escoger de esta columna el menor valor, y se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3".
Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer.
Iniciamos una nueva iteración
Al finalizar esta iteración podemos observar como la tabla queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el método.
Los costos asociados a la distribución son:
