Comparación de los métodos FDTD ADI y FDTD

Texto completo

(1)COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ERNESTO RAMÍREZ MONCADA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES PREGRADO INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTA 2004.

(2) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ERNESTO RAMÍREZ MONCADA. Trabajo de Grado para optar al título de Ingeniera Electrónica. Asesor NESTOR M. PEÑA T.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES PREGRADO INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTÁ 2004.

(3) Hoy me siento muy orgulloso de presentar este trabajo, se lo dedicó a todas las personas que me rodean en especial a mis padres Vicente y Blanca Cecilia..

(4) Bogotá, Enero de 2004. Doctor: Mauricio Guerrero Coordinador de Departamento Ingeniería Eléctrica y Electrónica La Ciudad. Respetado Coordinador: Por medio de la presente pongo a su consideración el trabajo titulado “Comparación de los métodos FDTD ADI y FDTD” Con el fin de optar a el título de Ingeniero Electrónico.. Cordialmente,. Ernesto Ramírez Moncada.

(5) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. TABLA DE CONTENIDO. 1.. INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 1. 2.. MÉTODO FDTD CONVENCIONAL................................................................... 2. 3.. 2.1.. Formulación del método ............................................................................ 2. 2.2.. Convención para las ecuaciones de FDTD................................................ 4. 2.3.. Estabilidad numérica ................................................................................. 5. 2.4.. Fronteras................................................................................................... 7. 2.5.. Fuentes ..................................................................................................... 9. MÉTODO FDTD ADI....................................................................................... 13 3.1.. Formulación del método .......................................................................... 13. 3.2.. Desarrollo del método ............................................................................. 14. 4.. PML ABC’s PARA FDTD ADI.......................................................................... 20. 5.. RESULTADOS Y VALIDACIÓN ...................................................................... 23. 6.. 5.1.. Cavidades ............................................................................................... 23. 5.2.. Estructuras Abiertas ................................................................................ 35. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS............................................................. 38. ANEXO A. ECUACIONES FDTD CONVENCIONAL ......................................... 40. ANEXO B. ECUACIONES FDTD ADI................................................................ 42. ANEXO C. ECUACIONES FDTD ADI PML ABC’s............................................. 46. ANEXO D. DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO FDTD................................... 54. ANEXO E. DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO FDTD ADI ............................ 55. ANEXO F. DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO FDTD ADI PML’s ................. 56. ANEXO G. CÓDIGO FUENTE ALGORITMOS .................................................. 58. 7.. BIBLIOGRAFIA .................................................. ¡Error! Marcador no definido.. IV.

(6) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. LISTA DE TABLAS Tabla 1 Componentes de los campos electromagnéticos ......................................... 4 Tabla 2 Parámetros de discretización y frecuencias teóricas de las cavidades 3,4,5 luego de la desnormalización.......................................................................... 30. V.

(7) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. LISTADO DE FIGURAS. Figura 2—1 Discretización del espacio, Celda de Yee.............................................. 3 Figura 2—2 Dicretización del tiempo, salto de la rana .............................................. 3 Figura 2—3 Fuente gaussiana en el tiempo............................................................ 11 Figura 2—4 Fuente Gaussiana en frecuencia......................................................... 11 Figura 3—1 Discretización temporal FDTD ADI...................................................... 14 Figura 5—1 Respuesta en frecuencia de la cavidad formada por la guía WR28 para FDTD convencional......................................................................................... 24 Figura 5—2 Respuesta en el tiempo para la cavidad formada con la guía WR28 ... 24 Figura 5—3 Respuesta frecuencial para la cavidad formada con la guía de onda WR28 calculadas a partir del método FDTD – ADI con un paso de tiempo igual al limite de Courant ......................................................................................... 25 Figura 5—4 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant ........................................................................................................... 25 Figura 5—5 Tiempo de ejecución normalizado con respecto al tiempo de ejecución cuando se tiene como discretización de tiempo el límite de Courant............... 26 Figura 5—6 Cavidad analizada en [3], con dimensiones 1m x 2m x 1,5m............... 27 Figura 5—7 Respuesta en frecuencia de la cavidad de la Fig 6, los valores corresponden a los modos de resonancia....................................................... 28 Figura 5—8 Curva de error relativo del primer modo de resonancia a medida que se aumenta el paso temporal............................................................................... 28 Figura 5—9 Cavidad 3. Estructura normalizada tomada [9] .................................... 29 Figura 5—10 Cavidad 4. Estructura normalizada tomada de [9] ............................. 29 Figura 5—11 Cavidad 5. Estructura normalizada tomada de [9] ............................. 30 Figura 5—12 Respuesta en frecuencia de la cavidad 3 a una excitación con forma de impulso gaussiano. .................................................................................... 31 Figura 5—13 Respuesta en frecuencia de la cavidad 4 a una excitación con forma de impulso gaussiano. .................................................................................... 31. VI.

(8) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Figura 5—14 Respuesta en frecuencia de la cavidad 5 a una excitación con forma de impulso gaussiano. .................................................................................... 32 Figura 5—15 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant para la cavidad 3. .............................................................................. 32 Figura 5—16 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant para la cavidad 4. .............................................................................. 33 Figura 5—17 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant para la cavidad 5. .............................................................................. 33 Figura 5—18 Tiempo de ejecución, comparación FDTD y FDTD ADI para la cavidad 3...................................................................................................................... 34 Figura 5—19 Tiempo de ejecución, comparación FDTD y FDTD ADI para la cavidad 5...................................................................................................................... 34 Figura 5—20 Guía de ondas WR28 ........................................................................ 36 Figura 5—21 Corte transversal de la guía de ondas con configuración de la capa PML ................................................................................................................ 36 Figura 5—22 Coeficiente de Reflexión con PML ABC's FDTD ADI para el modo dominante de la guía....................................................................................... 36. VII.

(9) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 1. INTRODUCCIÓN Hoy en día, se hace necesaria la solución de las ecuaciones de Maxwell para problemas electromagnéticos, tales como radiación de antenas o análisis de elementos con grandes dimensiones eléctricas. Las restricciones en el uso del espectro electromagnético obligan al diseño a muy altas frecuencias, y la continua reducción de las dimensiones físicas hace que los circuitos que se fabrican hoy se deban analizar desde las ecuaciones de Maxwell. Una de las técnicas más usadas para este fin, es el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD), para el cual se requiere hacer una discretización del tiempo – espacio del orden de 1/20 [6] longitudes de onda para obtener resultados con un nivel de error lo suficientemente bajo. El tamaño de las celdas temporales en el método FDTD está acotado por el límite de Courant, pues al sobrepasarlo el algoritmo deja de ser estable. Es por esta razón que nace la iniciativa de utilizar métodos para solución de ecuaciones diferenciales parciales incondicionalmente estables, los cuales se basan en la división del paso temporal en 2 o más subiteraciones. Estos métodos reciben el nombre de métodos multipaso, y uno de sus representantes es el método de Direcciones Implícitas Alternantes (ADI) [3]. El método FDTD ADI permite aumentar el tamaño del paso temporal y es muy efectivo en estructuras heterogéneas, pues en el FDTD convencional el mallado temporal en ellas lo determina el material con la permitividad eléctrica mas alta; con el FDTD ADI se puede tomar como referencia el de la permitividad mas baja lo cual representa una gran ganancia aunque en el momento de evaluarlo se debe tener en cuenta que el método es de un alto nivel de complejidad. Si se trata una estructura homogénea, el paso temporal no va a variar sustancialmente, por lo que es mejor seguir con un método mucho más sencillo como el FDTD convencional.. 1.

(10) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 2. MÉTODO FDTD CONVENCIONAL El método FDTD se basa en la solución de las ecuaciones de Maxwell en el domino del tiempo utilizando el algoritmo de elementos finitos. Para resolver las ecuaciones de Maxwell se ha trabajado tanto en el dominio del tiempo, como en el dominio de la frecuencia. El trabajo en el dominio del tiempo facilita el estudio de estructuras electromagnéticas en banda ancha. Este método fue propuesto por Kane Yee [1] en 1966 para estructuras cerradas, y posteriormente, en los años 80´s fue formulada la teoría de fronteras absorbentes que permite la simulación de estructuras abiertas [2].. 2.1. Formulación del método La base del método FDTD es la discretización de las ecuaciones diferenciales de Maxwell (2.1, 2.2) en el espacio – tiempo.. r ∂E r r ε = ∇×H ∂t r ∂H r r −µ = ∇×E ∂t. (2.1) (2.2). Al discretizar se toma la aproximación de primer orden de las derivadas temporales y espaciales, mientras se le da un valor para las tres componentes de campo eléctrico y las tres componentes de campo magnético asociadas con la discretización del espacio, llamado Celda de Yee [1]. Al esquema de discretización temporal se le conoce con el nombre de salto de la rana [7].. 2.

(11) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Figura 2—1 Discretización del espacio, Celda de Yee. Figura 2—2 Dicretización del tiempo, salto de la rana. En la discretización temporal se nota claramente que se calcula cada campo en un tiempo. independiente,. pero. para. actualizar la. totalidad. de. los. campos. electromagnéticos, es necesario dar un salto total de tiempo, adicionalmente, los campos son calculados a partir de los valores anteriores de los demás campos y del suyo mismo. Al discretizarlas se obtienen las ecuaciones recursivas que determinan el método FDTD, estas se logran calculando en primera instancia el campo eléctrico y en seguida con base a los resultados obtenidos, se calcula el campo magnético.. 3.

(12) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 2.2. Convención para las ecuaciones de FDTD Es importante aclarar la convención que se va a utilizar en el desarrollo de las ecuaciones que se expondrán durante el presente documento. Los campos eléctrico (E) y magnético (H), tienen dependencia tanto espacial como temporal, y esta dependencia los hace convertirse en función de la posición y el instante en el que se desee saber el valor de uno de estos campos. Cada campo se escribe escalarmente como las tres componentes que lo conforman, como las ecuaciones de Maxwell que se trataron para este trabajo, son las correspondiente a las coordenadas cartesianas, es de esperar que las tres componentes sean el producto punto de cada uno de los vectores unitarios que corresponden a cada uno de los ejes del sistema (x, y, z). Entonces, las componentes se motarán de la siguiente forma:. Ex. Componente en la dirección x del campo Eléctrico. Ey. Componente en la dirección y del campo Eléctrico. Ez. Componente en la dirección z del campo Eléctrico. Hx. Componente en la dirección x del campo Magnético. Hy. Componente en la dirección y del campo Magnético. Hz. Componente en la dirección z del campo Magnético Tabla 1 Componentes de los campos electromagnéticos. Al discretizar el espacio vamos a tener que la distancia desde el origen de coordenadas u , va a estar dada por el tamaño de la malla ( ∆u ) y la cantidad de celdas que se han recorrido en esa dirección ( l ).. u = l∆ u u ∈ {x, y , z}. (2.3). 4.

(13) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Ahora, como estos campos también tiene una dependencia espacial, si se quiere ver la celda cuyo vértice principal esta en la posición (i∆x, j∆y, k∆z) se le asocia la túpla (i, j, k). Nótese que los campos están desplazados ∆u/2 dada la configuración de la celda de Yee, es por esto que para simplificar la notación se toman las siguientes equivalencias:. Ex ((i + 12 )∆x, j∆y , k∆z ) = Ex (i, j , k ). E y (i∆x, ( j + 12 )∆y , k∆z ) = E y (i, j, k ). Ez (i∆x, j∆y, (k + 12 )∆z ) = Ez (i, j , k ) H x (i∆x, ( j + 12 )∆y, (k + 12 )∆z ) = H x (i, j, k ). (2.4). H y ((i + 12 )∆x, j∆y, (k + 12 )∆z ) = H y (i, j, k ). H z ((i + 12 )∆x, ( j + 12 )∆y, k∆z ) = H z (i, j, k ). El tiempo también se discretiza, entonces la medida temporal que es continua se va a tomar como la cantidad de “pasos” de tamaño ∆t que se hayan dado para llegar hasta este tiempo. La dependencia temporal se va a notar de la siguiente manera. E un∆t (i, j , k ) = E un (i, j , k ). (2.5). El desarrollo de la formulación de las ecuaciones del FDTD convencional es ampliamente discutido en la literatura [1,7,10] por lo tanto solo se presentara los resultados en el ANEXO A, los cuales fueron implementados para comparar este método con la FDTD ADI.. 2.3. Estabilidad numérica La estabilidad numérica es una de las razones por las cuales se creo el método FDTD ADI, el método FDTD convencional es condicionalmente estable, lo cual quiere decir que existen regiones definidas en el politopo que conforman las variables en las cuales el algoritmo no converge [7].. 5.

(14) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. El criterio de estabilidad de este método está dado por el límite de Courant (2.6), el cual impone una cota superior al mallado temporal; cuando se supera este tamaño de paso, el método deja de ser estable.. 1. ∆t ≤ v fase. 1 1 1 + 2 + 2 2 ∆x ∆y ∆z. (2.6). Donde:. v fase =. c. µrε r. es la velocidad de fase de la onda.. c. es la velocidad de propagación de la luz en el vacío.. µr. es el índice de permeabilidad magnética relativa del medio en el que se propaga la onda.. εr. es el índice de permitividad eléctrica relativa del medio en el que se propaga la onda.. Cuando se tiene una estructura heterogénea, la discretización espacial se determina de acuerdo a la longitud de onda mas corta (esta va a ser el de la onda en el medio con permitividad eléctrica más alta [6]), entonces, dado el criterio de Courant, el paso de tiempo va a ser muy pequeño y la simulación de una estructura requiere una gran cantidad de iteraciones.. 6.

(15) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 2.4. Fronteras En las simulaciones que se llevaron a cabo, se podían tener 2 tipos de fronteras en los límites del dominio computacional, ya fueran estructuras abiertas o cerradas. En las estructuras cerradas, los campos eléctricos tangenciales a la superficie se hacen nulos al igual que los campos magnéticos normales, dado que son conductores perfectos, el campo eléctrico es totalmente reflejado lo cual ocasiona estas condiciones, entonces no se hace necesario tener en cuenta dentro del dominio computacional el espacio que está mas allá de estas metalizaciones; para el correcto funcionamiento del método se hace necesario darles explícitamente el valor de cero a estos campos al finalizar el cálculo de cada uno de ellos. Por otro lado, las estructuras abiertas, son estructuras radiantes, las cuales, dado el limitado recurso computacional del que se dispone (seria necesario tener memoria infinita, y hacer infinitos cálculos), se hace necesario desarrollar condiciones de frontera que simulen el comportamiento de dichas estructuras. J.P. Berenger [2] propuso en 1994 la formulación para capas absorbentes perfectamente adaptadas (PML ABC’s), las cuales son la base para simular estructuras abiertas, tales como antenas o guías de onda, donde la onda al llegar a la frontera, no debe ser reflejada sino absorbida por el medio con una reflexión mínima. La capa PML se basa en la descomposición de las componentes de los campos electromagnéticos con el fin de introducir pérdidas únicamente en la dirección de propagación que resulte de tener la estructura abierta, las ecuaciones de Maxwell que resultan luego de descomponerlas en forma escalar son las siguientes:. 7.

(16) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ε. ε. ∂E xy ∂t ∂E yz. + σ y E xy =. + σ z E yz =. ∂H z ∂y. ε. ∂H x ∂z ∂H y. ∂t ∂E ε zx + σ x E zx = ∂t ∂x ∂H xy ∂E µ + η 02σ y H xy = − z ∂t ∂y ∂H yz ∂E µ + η 02σ z H yz = − x ∂t ∂z ∂E y ∂H zx + η 02σ x H zx = − µ ∂t ∂x. µ. µ µ. IEL2 – 03 – II - 29. ∂H y ∂E xz + σ z E xz = − ∂t ∂z ∂E yx ∂H z + σx = − ε ∂t ∂x ∂E zy ∂H x ε +σ y = − ∂t ∂y ∂H xa ∂t ∂H yx. ∂t ∂H zy ∂t. + η 02σ z H xa =. + η 02σ x H yx = + η 02σ y H zy =. (2.6). ∂E y ∂z. ∂E z ∂x ∂E x ∂y. Donde:. σu. es la conductividad del medio PML en la dirección u asociada al campo eléctrico, por medio del cual se ajustan las pérdidas en esa dirección para que no hayan reflexiones y se simule una estructura radiante. σ u*. es la conductividad del medio PML en la dirección u asociada al campo magnético, por medio del cual se ajustan las pérdidas en esa dirección para que no hayan reflexiones y se simule una estructura radiante. η0. es la impedancia característica del vacío.. Los medios PML se pueden ajustar para que no haya reflexiones cuando la onda incidente llegue hasta ellos, para esto es necesario hacer que la impedancia característica del medio sin PML sea igual a la del medio PML, lo cual se logra de la siguiente manera:. σ σ* = ε µ. (2.7). 8.

(17) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Lo cual da libertad para escoger una de las dos conductividades, las cuales van a dar las pérdidas en la capa PML, estás se escogen por lo general con un perfil polinomial [2,7], para éste trabajo se implementó un perfil parabólico, el cual esta dado por la siguiente relación:. ⎛ x ⎞ σ E ( x ) = σ E , MAX ⎜ ⎟ ⎝ k∆x ⎠. 2. (2.8). Donde. σ E , MAX. es la conductividad máxima que está dada por el coeficiente de reflexión que se le desea dar a la capa PML. x. es la longitud de la capa PML.. k. es la cantidad de celdas que hay desde el punto donde se quiere calcular y la interfaz PML.. n. es el orden de variación polinomial del perfil de la capa PML. σ E , MAX =. (n + 1)εv fase 2k∆x. ln(Rth ). (2.9). Donde. Rth. es el coeficiente de reflexión que se espera obtener de la capa PML.. 2.5. Fuentes Para este proyecto para excitar las diferentes estructuras que se modelaron se utilizaron fuentes blandas o fuentes de corriente, las que parten de añadir un término adicional a la ecuación de Maxwell – Ampère (2.10). Se escogió este tipo de fuente pues estas son transparentes a los campos electromagnéticos [7] y se buscaba no perturbar los resultados de la simulación.. v v v ∂E v ∇× H = ε +J ∂t. (2.10). 9.

(18) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. La aplicación de la fuente se realizó sobre una lámina en la estructura, es decir, se le aplicó la fuente a cada uno de las celdas de Yee que hacen parte de un determinado corte dado por un plano normal a uno de los ejes (p. e. x=6, el cual sería un plano yz). Para darle el perfil espacial necesario para estimular los modos que se deseen, entonces se multiplica por un coseno que depende de la posición en la que se encuentre. Por ejemplo, para excitar el modo TEz11, se utilizaría la siguiente función:. ⎛ (i - 1)π ⎞ ⎛ (j - 1)π ⎞ J (i, j , k ) = A(t )sen⎜ ⎟sin⎜ ⎟δ k , 6 ⎝ Xmax ⎠ ⎝ Ymax ⎠ Donde A(t). Es el valor sin aplicar el perfil espacial de la fuente en el instante t. Xmax Es el número total de celdas en a dirección X Ymax Es el número total de celdas en la dirección Y. δ. es la función delta de Kronecker, la cual esta definida como:. ⎧1 si i = j ⎩0 si i ≠ j. δ i, j = ⎨. 10.

(19) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. Figura 2—3 Fuente gaussiana en el tiempo. Figura 2—4 Fuente Gaussiana en frecuencia. 11. IEL2 – 03 – II - 29.

(20) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Como se ve en el espectro de frecuencia, se utilizó una forma de pulso gaussiano, el cual se centra en la frecuencia que se desea excitar con un ancho de banda dado por el decaimiento de 3dB para las frecuencias más alta y más baja a simular.. 12.

(21) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 3. MÉTODO FDTD ADI Este método hace parte del conjunto de algoritmos numéricos multipaso para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Aunque se trate de un método mucho más complejo que el FDTD convencional, por tratarse de un método incondicionalmente estable, cuando se simulan estructuras heterogéneas se puede aumentar el paso temporal, escogiendo el paso determinado por un material con la permitividad eléctrica media. El método FDTD ADI, al igual que el FDTD tradicional, parte de las ecuaciones diferenciales de Maxwell. Al evaluar los rotacionales, sin tener en cuenta la conductividad, se obtienen las siguientes ecuaciones para cada componente:. ∂E x 1 ⎛ ∂H z ∂H y = ⎜⎜ − ∂t ∂z ε ⎝ ∂y ∂E y 1 ⎛ ∂H x ∂H z = ⎜ − ∂t ∂x ε ⎝ ∂z ∂E z 1 ⎛ ∂H y = ⎜⎜ ∂t ε ⎝ ∂x ∂H x 1 ⎛ ∂E y = ⎜⎜ ∂t µ ⎝ ∂z ∂H y ∂t. =. ⎞ ⎟⎟ ⎠. ⎞ ⎟ ⎠ ∂H x ⎞ ⎟ − ∂y ⎟⎠ ∂E ⎞ − z ⎟⎟ ∂y ⎠. (3.1). 1 ⎛ ∂E z ∂E x ⎞ − ⎜ ⎟ ∂z ⎠ µ ⎝ ∂x. ∂H z 1 ⎛ ∂E x ∂E y = ⎜⎜ − ∂t µ ⎝ ∂y ∂z. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 3.1. Formulación del método El FDTD ADI al igual que el FDTD convencional se basa en la discretización temporal y espacial de las ecuaciones diferenciales de Maxwell (3.1) [1]. La discretización espacial se hace de manera idéntica, por medio de las celdas de Yee,. 13.

(22) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. teniendo una resolución de 20 celdas por la menor longitud de onda que se desee simular en la estructura [7], este parámetro es empírico y se utiliza para tener una buena aproximación a los resultados analíticos, cuando se está simulando una estructura con discontinuidades abruptas como metalizaciones, se hace necesario aumentar la resolución de la discretización, lo cual hace el algoritmo mucho más pesado computacionalmente, una sola simulación puede tardar horas, incluso días. La diferencia del método FDTD ADI con el método FDTD convencional radica en la discretización del tiempo, y la forma en la que se actualizan los campos dentro de esta malla temporal. En el método FDTD ADI se actualiza la totalidad de los campos cada. ∆t. 2. , lo cual. hace que el método sea incondicionalmente estable.. Figura 3—1 Discretización temporal FDTD ADI. Hacer esta discretización temporal implica hacer el doble de cálculos para el mismo paso de tiempo que el FDTD convencional, pero el hecho de que el algoritmo se vuelva incondicionalmente estable permite sobrepasar el límite de Courant (2.5).. 3.2. Desarrollo del método A continuación se muestran as ecuaciones de transición para cada medio paso en el método FDTD ADI [8]: Ecuación de transición del tiempo n al n+ 12 (Subiteración 1):. v 1 v v 1 v X n + 2 (i, j, k ) − X n (i, j , k ) = 12 ∆A1 X n + 2 (i, j , k ) − 12 ∆A2 X n (i, j , k ). 14. (3.2).

(23) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Ecuación de transición del tiempo n+ 12 al n+1 (Subiteración 2):. v v 1 v 1 v X n +1 (i, j , k ) − X n + 2 (i, j , k ) = 12 ∆A1 X n + 2 (i, j , k ) − 12 ∆A2 X n +1 (i, j , k ). (3.3). Donde:. ⎡ µ H n (i, j , k )⎤ ⎥ ⎢ εµ x ⎢ ε H yn (i, j , k )⎥ ⎥ ⎢ µ n vn H i j k ( , , ) ⎥ ⎢ z X ( i, j , k ) = ε ⎢ E n (i , j , k ) ⎥ ⎥ ⎢ xn ⎢ E y (i , j , k ) ⎥ ⎢ E n (i , j , k ) ⎥ ⎦ ⎣ z. (3.4). ⎡ 0 ∆A2 = ⎢ t ⎣(∇A). ⎡ 0 ∆A⎤ ∆A1 = ⎢ ⎥ ⎣∇A 0 ⎦. (∆A)t ⎤. (3.5). ⎥ 0 ⎦. Donde:. ⎡ 0 ∆A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ SY ∆Y. SZ ∆ Z 0 0. 0 ⎤ S X ∆ X ⎥⎥ 0 ⎥⎦. ⎡ 0 ∇A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ SY ∇Y. SZ ∇Z 0 0. 0 ⎤ S X ∇ X ⎥⎥ 0 ⎥⎦. (3.6). Los operadores ∆A1 , ∆A2 , ∆A y ∇A1 son operadores matriciales que se aplican sobre las componentes de los campos electromagnéticos de forma vectorial, mientras que ∆u y ∇u son operadores escalares que se aplican únicamente a una componente de campo de la siguiente manera:. ∇ X Φ n (i, j , k ) = Φ n (i, j , k ) − Φ n (i − 1, j, k ) ∇ Y Φ n (i, j, k ) = Φ n (i, j , k ) − Φ n (i, j − 1, k ) ∇ Z Φ (i, j, k ) = Φ (i, j , k ) − Φ (i, j , k − 1) n. n. n. 15. (3.7).

(24) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. ∆ X Φ n (i, j , k ) = Φ n (i + 1, j , k ) − Φ n (i, j , k ) ∆ Y Φ n (i, j, k ) = Φ n (i, j + 1, k ) − Φ n (i, j, k ). (3.8). ∆ Z Φ n (i, j , k ) = Φ n (i, j , k + 1) − Φ n (i, j , k ) Mientras S u es una función que depende de u, la cual refleja la relación del mallado temporal con el mallado espacial, y que se define de la siguiente manera:. c∆t ∆u u ∈ {x, y , z} Su =. (3.9). Ahora se va a tomar la ecuación (3.2) con el fin de desarrollar el método de forma escalar para la primera subiteración, entones, lo primero que se debe hacer es separar los campos eléctricos y magnéticos:. v 1 v E n + 2 (i, j , k ) − E n (i, j , k ) =. 1 2. (∇A)U n+. v 1 v U n + 2 (i, j, k ) − U n (i, j , k ) =. 1 2. (∆A)E n+. v n + 12. Se despeja U. v. 1. 2. t v (i, j, k ) − 12 (∇A) U n (i, j, k ). (3.10). v. 1. 2. t v (i, j , k ) − 12 (∆A) E n (i, j , k ). (3.11). (i, j , k ) de la ecuación 3.11 para luego ser sustituida en la. ecuación 3.10, y de esta forma resolver el campo eléctrico de forma implícita mientras el campo magnético se resuelve de forma explícita.. 1 2. v 1 v v 1 t v 1 ∇AU n + 2 (i, j , k ) = 12 ∇AU n (i, j, k ) + 14 ∇A∆AE n+ 2 (i, j , k ) − 14 ∇A(∆A) E n + 2 (i, j , k ) (3.12). Reemplazando 3.12 en 3.10:. (I − 14 ∇A∆A)Ev n+. 1. 2. (. ). v t v t v (i, j, k ) = I − 14 ∇A(∆A ) E n (i, j , k ) + 12 ∇AU n (i, j , k ) − 12 (∇A) U n (i, j , k ) (3.13). 16.

(25) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. La ecuación 3.13 es la formulación matricial implícita del método FDTD ADI para el campo eléctrico, ahora se debe hacer el desacople de las tres componentes del campo eléctrico; para esto se va a mostrar el desarrollo de la componente x, el resultado de las otras componentes se muestran en el ANEXO B, y se hayan de manera similar a la componente x. Lo primero que se debe hacer es resolver las operaciones entre operadores matriciales, para luego descomponer escalarmente cada campo:. ⎡ SY 2∇ y ∆ y ⎢ 0 ∇A∆A = ⎢ ⎢ 0 ⎣. 0 Sz ∇z∆z 0. 0 ⎡ ⎢ ∇A(∆A) = ⎢ 0 ⎢⎣ S z S x ∇ x ∆ z. 2. ⎤ 0 ⎥ 0 ⎥ 2 S x ∇ x ∆ x ⎥⎦. S x SY ∇ y ∆ x. t. 0 0. ⎤ S y S z ∇ z ∆ y ⎥⎥ ⎥⎦ 0. (3.14). 0. (3.15). Si se realizan las multiplicaciones matriciales en la ecuación 3.13, y se toma la componente x, se llega a la siguiente ecuación: (I − 14 ∇A∆A)Ev n+ 12 (i, j, k ) = I − 14 ∇A(∆A)t Ev n (i, j, k ) + 12 ∇AUv n (i, j, k ) −. (. ). 1 2. v. (∇A)t U n (i, j, k ) (3.16). (1 −. 1 4. ). v 1 v v 2 S y ∇ y ∆ y E xn + 2 (i, j , k ) = E xn (i, j , k ) − 14 S x S y ∇ y ∆ x E yn (i , j , k ) + v v + 12 S y ∇ yU zn (i , j , k ) − 12 S z ∇ zU yn (i, j , k ). Se divide por. 1 4. (3.17). 2. S y a ambos lados:. ⎛ 4 ⎞v 1 v S 4 v ⎜ − ∇ y ∆ y ⎟ E xn+ 2 (i, j , k ) = 2 E xn (i, j , k ) − x ∇ y ∆ x E yn (i, j , k ) + 2 ⎜S ⎟ Sy Sy ⎝ y ⎠ v v 2S 2 + ∇ yU zn (i, j , k ) − 2z ∇ zU yn (i, j , k ) Sy Sy. 17. (3.18).

(26) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Se remplazan los operadores escalares:. ∆ y X (i, j , k ) = X (i, j + 1, k ) − X (i, j , k ). (3.19). ∇ y X (i, j , k ) = X (i, j , k ) − X (i, j − 1, k ). Su =. c∆t ∆u. (3.20). v U n (i, j , k ) =. µ ε. v H n (i, j , k ). (3.21). y se obtienen la siguiente relación para la componen x del campo eléctrico:. ⎞v ⎛ ⎛ 2 µε ∆y ⎞ 2 v n+ 12 v ⎟ + 2 ⎟ E xn + 12 (i, j , k ) − E xn+ 12 (i, j + 1, k ) = − E x (i, j − 1, k ) + ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ∆t ⎟⎠ ⎠ ⎝⎝ 2. ⎛ 2 µε ∆y ⎞ v n vn vn ∆y v n ∆y v n ⎜ ⎟ ⎜ ∆t ⎟ E x (i, j , k ) + ∆x E y (i + 1, j − 1, k ) − E y (i, j − 1, k ) − ∆x E y (i + 1, j, k ) − E y (i, j , k ) ⎝ ⎠ 2 µ∆y n 2 µ∆y 2 n + H z (i, j , k ) − H z (i, j − 1, k ) − H yn (i, j , k ) − H yn (i, j, k − 1) ∆t ∆t∆z. (. (. ). ). (. (. ). (3.22) Nótese que la parte izquierda de la ecuación 3.22 conforma una relación recursiva del campo eléctrico para la variable j, la cual se resuelve implícitamente de una manera relativamente sencilla por medio de la solución de una matriz tridiagonal.. Para la segunda subiteración se sigue un procedimiento análogo partiendo de la ecuación 3.3, por lo que no se detallara en este documento, las relaciones resultantes son expuestas en el ANEXO B.. 18. ).

(27) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Cuando ya se tiene los valores de campo eléctrico en toda la estructura, se procede a calcular explícitamente los valores de campo magnético a partir de la ecuación 3.12.. 19.

(28) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 4. PML ABC’s PARA FDTD ADI Como se mencionó anteriormente, las fronteras absorbentes son una necesidad que tiene un simulador de este tipo, pues se necesitan para poder simular estructuras abiertas o radiantes, es por esto, que dentro de este proyecto, se incluye la formulación y desarrollo de las fronteras PML ABC’s propuestas por J. P. Berenger para el método FDTD ADI [4,11]. La formulación de FDTD ADI PML ABC’s parte de la discretización del espacio – tiempo y la alternación en las direcciones de cambio, al igual que lo expuesto en la sección anterior. Las ecuaciones de PML que se discretizaran, son las vistas en el grupo de ecuaciones 2.6. Se va a mostrar el desarrollo para la primera subiteración en la componente x del campo eléctrico.. ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ε 0ε r + σ y ε r ⎟ E xy = (H zx + H zy ) ∂y ∂t ⎝ ⎠. (4.1). ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ε 0ε r + σ z ε r ⎟ E xz = − (H yx + H yz ) ∂z ∂t ⎝ ⎠. (4.2). ∂ ∂ ⎛ *⎞ ⎜ µ 0 + σ x ⎟ H zx = − (E yx + E yz ) ∂x ⎝ ∂t ⎠. (4.3). ∂ ∂ ⎛ *⎞ ⎜ µ 0 + σ y ⎟ H zy = (E xy + E xz ) ∂y ⎝ ∂t ⎠. (4.4). Las ecuaciones 4.1 y 4.4 deben ser evaluadas implícitamente, pues las derivadas espaciales de estas ecuaciones deben ser evaluadas en el instante de tiempo n+ 12 , mientras que las ecuaciones 4.2 y 4.3 se evalúan explícitamente, pues sus derivadas espaciales se evalúan en el tiempo n. A continuación se mostrará la discretización de estas ecuaciones, por medio de la aproximación de las derivadas tanto espaciales como temporales con el método de diferencias finitas.. 20.

(29) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 1 ⎛ E n+ 12 (i, j , k ) − E n (i, j , k ) ⎞ ⎛ E xyn + 2 (i, j , k ) + E xyn (i, j, k ) ⎞ xy xy ⎜ ⎟ ⎟= + σ yε r ⎜ ε 0ε r ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ∆t 2 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. ⎛H ⎜ ⎜ ⎝. n + 12 zx. (i , j , k ) − H ∆y. n + 12 zx. (i, j − 1, k ) ⎞ ⎛⎜ H ⎟+ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝. n + 12 zy. (i , j , k ) − H ∆y. n + 12 zy. (i, j − 1, k ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (4.5). 1 ⎛ E n+ 12 (i, j , k ) − E n (i, j , k ) ⎞ ⎛ E xzn + 2 (i, j , k ) + E xzn (i, j , k ) ⎞ ⎜ ⎟ xz xz ⎜ ⎟= ε 0ε r ⎜ ⎟⎟ + σ z ε r ⎜ ⎟ ∆t 2 ⎜ ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎛ H yxn (i, j , k ) − H yxn (i, j , k − 1) ⎞ ⎛ H yzn (i, j, k ) − H yzn (i, j , k − 1) ⎞ ⎟ ⎟−⎜ −⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ z z ∆ ∆ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝. (4.6). 1 ⎛ H n+ 12 (i, j , k ) − H n (i, j , k ) ⎞ ⎛ n+ 2 (i, j , k ) + H zxn (i, j , k ) ⎞ ⎜ ⎟ * H zx zx zx ⎜ ⎟= µ0 ⎜ ⎟⎟ + σ x ⎜ ⎟ ∆t 2 ⎜ ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎛ E yxn (i + 1, j, k ) − E yxn (i, j , k ) ⎞ ⎛ E yzn (i + 1, j, k ) − E yzn (i, j, k ) ⎞ ⎟ ⎟−⎜ −⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ x x ∆ ∆ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝. (4.7). 1 ⎛ H n+ 12 (i, j , k ) − H n (i, j , k ) ⎞ ⎛ H zyn+ 2 (i, j , k ) + H zyn (i, j, k ) ⎞ zy zy ⎜ ⎟ *⎜ ⎟= µ0 ⎜ ⎟⎟ + σ y ⎜ ⎟ ∆t 2 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ E xyn (i, j + 1, k ) − E xyn (i, j , k ) ⎞ ⎛ E xzn (i, j + 1, k ) − E xzn (i, j , k ) ⎞ ⎟+⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∆ y y ∆ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝. (4.8). n + 12. Se despeja H zy. de 4.8 y se introduce en 4.5, para de esta forma resolver. implícitamente la ecuación 4.5 y posteriormente, explícitamente la 4.8. Se debe tener en cuenta que las ecuaciones 4.6 y 4.7 se deben resolver con anterioridad, puesto que de estas ecuaciones depende la 4.5 y estas son explicitas directamente.. 21.

(30) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. La solución de esta ecuación y de las demás componentes del campo eléctrico se encuentran en el ANEXO C, así como las relaciones para el campo magnético y todas las ecuaciones para la segunda subiteración.. 22.

(31) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 5. RESULTADOS Y VALIDACIÓN. 5.1. Cavidades La primera estructura que se estudio, por su sencillez y la facilidad que tiene para calcular sus modos de operación, fue la cavidad que se puede formar con la guía de onda WR28. La cual es una estructura homogénea llena de vacío, con las siguientes dimensiones: 7.112mm x 7.112mm x 3.556mm Las frecuencias de resonancia de esta cavidad, calculadas analíticamente son 29.806GHz y 47.128GHz correspondientes a los modos TE110 y TE210. Los parámetros de discretización utilizados son los siguientes:. ∆x = ∆y = ∆z = 3.18 × 10 −4 m ∆tcourant = 6.125 × 10 −13 s Para la cual se obtienen los siguientes resultados con FDTD convencional:. 23.

(32) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Figura 5—1 Respuesta en frecuencia de la cavidad formada por la guía WR28 para FDTD convencional. Figura 5—2 Respuesta en el tiempo para la cavidad formada con la guía WR28. 24.

(33) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Con el método FDTD – ADI se obtuvieron los siguientes resultados:. Figura 5—3 Respuesta frecuencial para la cavidad formada con la guía de onda WR28 calculadas a partir del método FDTD – ADI con un paso de tiempo igual al limite de Courant. 10% 9%. y = 1.5E-03x2 + 2.5E-03x + 5.1E-05 R 2 = 1.0E+00. TE110. 8%. TE210 P o linómica (TE210). 7%. P o linómica (TE110). error. 6% 5% 4% 3% 2% y = 6.5E-04x2 + 2.4E-04x - 3.3E-04 R 2 = 1.0E+00. 1% 0% 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. n Figura 5—4 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant. 25.

(34) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. El tiempo esta normalizado de la siguiente manera:. ∆t = n∆tcourant. n∈N. (5.1). Como se puede observar, a medida que se va aumentando el paso temporal, el error relativo del cálculo de los modos de resonancia de la cavidad aumenta, aunque lo hace ligeramente, pues pasa de 0.04% cuando se esta calculando con el limite de Courant (limite de estabilidad del método FDTD) a un error del 1.12% cuando el paso temporal se aumenta 4 veces. Al ajustarle una curva de regresión la que mejor lo hace es la regresión polinomial de orden cuadrático, con un índice de correlación de 1, lo cual indica un ajuste perfecto con los puntos tomados.. Tiempo de ejecución normalizado. tiempo normalizado [s/s]. 1.2. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 0. 1. 2. 3. 4. n. 5. 6. 7. 8. Figura 5—5 Tiempo de ejecución normalizado con respecto al tiempo de ejecución cuando se tiene como discretización de tiempo el límite de Courant.. Al aumentar el tamaño de la discretización del tiempo, se disminuye el tiempo de simulación, lo cual implica una gran ganancia cuando se trata con estructuras que requieren una discretización muy fina.. 26.

(35) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. También se validó con varias estructuras heterogéneas, una de ellas es la mostrada por Zhizhang Chen [3], en el cual se estudia la siguiente cavidad:. Figura 5—6 Cavidad analizada en [3], con dimensiones 1m x 2m x 1,5m. Para esta cavidad los parámetros de discretización fueron los siguientes:. ∆tcourant = 7.6 × 10−11 s. ∆x = ∆y = ∆z = 0.1m. Se logró aumentar el paso temporal 47 veces el limite de Courant, lo cual implica una drástica reducción del tiempo de ejecución del método. A continuación se muestran los resultados obtenidos con el método FDTD ADI que se implementó, y una comparación con el método implementado en [3].. 27.

(36) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Figura 5—7 Respuesta en frecuencia de la cavidad de la Fig 6, los valores corresponden a los modos de resonancia.. Figura 5—8 Curva de error relativo del primer modo de resonancia a medida que se aumenta el paso temporal.. 28.

(37) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. El algoritmo también se probó con las siguientes estructuras, las cuales tienen un grado de dispersión mucho mayor a las expuestas anteriormente:. ε r = 16. t =1 a 4. b =4 a 9. c = 4 a 10. ∆l = 1 a 20 constante de propagación teórica : k c a = 2.583. Figura 5—9 Cavidad 3. Estructura normalizada tomada [9]. εr = 6. a = 10∆l. b = 6 ∆l. c = 8∆l t = 5∆l s = 4∆l constante de propagación teórica : k c a = 2.73. Figura 5—10 Cavidad 4. Estructura normalizada tomada de [9]. 29.

(38) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. b =4 a 9. ε r = 2.05 u =2 a 9. b =5 a 9. s = 5 a 18. t =1 a 2 constante de propagación teórica : k c a = 5.22 Figura 5—11 Cavidad 5. Estructura normalizada tomada de [9]. Al desnormalizarlas se tienen los siguientes parámetros:. Cavidad 3 Cavidad 4 Cavidad 5. a[m] 18 10 18. ∆t[s]. ∆x[m]. 1.73E-09 1.92E-09 1.92E-09. 0.9 1 1. frecuencia teórica [MHz] 6.8469 13.0258 13.837. Tabla 2 Parámetros de discretización y frecuencias teóricas de las cavidades 3,4,5 luego de la desnormalización.. A continuación se muestra la respuesta en frecuencia de estas cavidades, en estas figuras se puede observar que el método se comporta bien, pues no muestra modos de resonancia a frecuencias menores a la del modo dominante.. 30.

(39) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Figura 5—12 Respuesta en frecuencia de la cavidad 3 a una excitación con forma de impulso gaussiano.. Figura 5—13 Respuesta en frecuencia de la cavidad 4 a una excitación con forma de impulso gaussiano.. 31.

(40) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Figura 5—14 Respuesta en frecuencia de la cavidad 5 a una excitación con forma de impulso gaussiano.. Ahora, si se observan las curvas de error, este aumenta con el cuadrado de n, de acuerdo a las regresiones que se le ajustan.. 3% 2%. 2. y = -0.0007x - 0.0011x + 0.0218 2 R = 0.978. error. 1% 0%. -1% -2% -3% -4% 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. n Figura 5—15 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant para la cavidad 3.. 32.

(41) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 16%. y = 0.0015x2 + 0.0039x + 0.0106 R2 = 0.9989. 14% 12%. error. 10% 8%. error Polinómica (error). 6% 4% 2% 0% 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. n. Figura 5—16 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant para la cavidad 4. 6% 4%. y = -0.0014x 2 - 0.0042x + 0.0494 R2 = 0.9984. error. 2% 0% -2% -4% -6% -8% 0. 1. 2. 3. 4. n. 5. 6. 7. 8. 9. Figura 5—17 Error contra tamaño del paso de tiempo normalizado con el límite de Courant para la cavidad 5.. Ahora si se observa la comparación de tiempo de ejecución entre la FDTD ADI y la FDTD convencional, se puede observar, que ha medida que aumentamos el tamaño de la discretización temporal se hace muy atractivo el método FDTD ADI aunque en. 33.

(42) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. un principio sea mucho más lento; esto se debe a que se trata de un método mucho más complejo que el FDTD convencional. 160 140. FDTD ADI. 120. FDTD. tiempo [s]. 100 80 60 40 20 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. n Figura 5—18 Tiempo de ejecución, comparación FDTD y FDTD ADI para la cavidad 3. tiempo [s]. 160 140. FDTD ADI. 120. FDTD. 100 80 60 40 20 0 1. 2. 3. 4. n. 5. 6. 7. 8. Figura 5—19 Tiempo de ejecución, comparación FDTD y FDTD ADI para la cavidad 5. 34.

(43) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 5.2. Estructuras Abiertas Se implementó para verificar la funcionalidad de la capa PML ABC’s en FDTD ADI la guía de ondas WR28, y se obtuvieron los siguientes resultados: Al hacer el análisis de esta estructura se toma el modelo de sistema de 2 puertos, donde por un extremo de la guía de ondas se excita con la señal, y al otro extremo se espera recibir la señal sin distorsiones. Entonces, para comprobar la funcionalidad de las fronteras absorbentes se simulara el coeficiente de reflexión, el cual debe ser muy bajo, y se debe aproximar al coeficiente que se le ha programado a la capa PML. Para calcular el coeficiente de reflexión se coloca una estructura muy grande, de tal forma que en un periodo de tiempo considerable no existan reflexiones, y se toma como una primera aproximación a una estructura infinita, en seguida se coloca la estructura más pequeña pero con la capa PML recubriéndola donde no tenga cobertura metálica. Al tomar la relación de la diferencia del campo medido con un método y el otro; y se tiene como referencia la estructura grande sin fronteras PML:. Rth =. Esin PML − EconPML Esin PML. (5.2). Para esta simulación se considero un coeficiente de Reflexión de -80dB, el cual para herramientas de este tipo es un coeficiente exigente dado el esfuerzo computacional que se debe hacer pues requiere una capa de PML profunda [7].. 35.

(44) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. ∆t = 5.7 × 10 −7 s ∆x = 2.96 × 10 − 4 m N PML = 10celdas RTH = 0.0001 a = 3.556mm b = 7.112mm. Figura 5—20 Guía de ondas WR28. Figura 5—21 Corte transversal de la guía de ondas con configuración de la capa PML. Figura 5—22 Coeficiente de Reflexión con PML ABC's FDTD ADI para el modo dominante de la guía. 36.

(45) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. En la guía de ondas se tiene que es abierta en un sola dirección, por lo tanto solo se debe poner fronteras PML en los extremos de la guía de onda; para la simulación sin PML se tomaron un total de 200 celdas en la dirección de propagación mientras que en la que tiene PML se tomaron 20 celdas de PML (10 a cada extremo) y 10 celdas de vacío, para un total de 30 celdas. Como se puede observar en la Figura 5—22, el coeficiente de reflexión se aproxima bastante dentro de la zona de operación de la guía de ondas al coeficiente que se le pidió a la capa PML que suministrara, lo cual es una muestra de que el algoritmo para la capa PML en ADI está funcionando correctamente.. 37.

(46) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 6. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS Se logró implementar un algoritmo de un alto nivel de complejidad con resultados satisfactorios, éste se comprobó con resultados teóricos y algoritmos que ya habían sido implementados y comprobados en la literatura técnica. El método FDTD ADI es una herramienta con un buen rendimiento frente al FDTD convencional, pues sacrificando un poco de precisión, se logra una velocidad de simulación más elevada, lo cual facilita la simulación de estructuras que requieren una discretización demasiado fina, pues el algoritmo, a diferencia del FDTD convencional es incondicionalmente estable. Este método es especialmente útil cuando se trata de simular estructuras heterogéneas con grandes diferencias en las permitividades eléctricas, pus permite tomar un paso de tiempo con la velocidad de fase en un material con permitividad media y no con la velocidad de fase de la onda en el material de mayor permitividad. Se notó que a medida que se aumenta el paso temporal el error aumenta de manera cuadrática mientras el tiempo de ejecución decae con el inverso, por lo que se debe crear un compromiso entre estos dos parámetros para obtener resultados satisfactorios. La implementación de la capa PML arrojo buenos resultados, lo cual confirma la utilidad del método planteado, se hace necesario hacer un estudio más profundo del tema para implementar este método a estructuras activas. Recientemente se ha hecho un gran esfuerzo por parte del grupo GEST para hacer estudios en simulación de estructuras electromagnéticas por medio de métodos numéricos, en especial con el método FDTD convencional, sería interesante empezar a aplicar un método como el FDTD ADI, pues está demostrado que es una buena alternativa para problemas con alto contraste en el coeficiente de. 38.

(47) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. permitividad para estructuras heterogéneas, tal como sucede en la simulación de microcavidades.. 39.

(48) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO A. IEL2 – 03 – II - 29. ECUACIONES FDTD CONVENCIONAL. A continuación se mostrara’n las ecuaciones que definen el modelo FDTD partiendo de las ecuaciones de Maxwell y discretizandolas como se discute en la literatura técnica sobre el tema. Ecuaciones para el campo eléctrico:. E xn +1 (i, j, k ) = E xn (i, j , k ) +. ∆t ( H zn (i, j , k ) − H zn (i, j − 1, k ) ) ε 0ε r (i, j , k )∆y. ∆t − (H yn (i, j, k ) − H yn (i, j, k − 1)) + J xn (i, j, k ) ε 0ε r (i, j, k )∆z. E yn +1 (i, j , k ) = E yn (i, j, k ) +. ∆t ( H xn (i, j, k ) − H xn (i, j , k − 1)) ε 0 ε r ( i, j , k ) ∆ z. ∆t − ( H zn (i, j, k ) − H zn (i − 1, j , k ) ) + J yn (i, j , k ) ε 0ε r (i, j , k )∆x. E zn +1 (i, j, k ) = E zn (i, j , k ) +. ∆t ( H yn (i, j , k ) − H yn (i − 1, j , k ) ) ε 0ε r (i, j , k )∆x. ∆t − ( H xn (i, j , k ) − H xn (i, j − 1, k ) ) + J zn (i, j , k ) ( i , j , k ) y ∆ ε 0ε r. (A1.1). (A1.2). (A1.3). Ecuaciones para el campo magnético:. H xn+1 (i, j, k ) = H xn (i, j , k ) −. ∆t ( E zn (i, j + 1, k ) − E zn (i, j , k ) ) µ 0 µ r (i, j , k )∆y. ∆t + ( E yn (i, j, k + 1) − E yn (i, j , k ) ) µ 0 µ r (i, j , k )∆z. 40. (A1.4).

(49) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. H yn+1 (i, j, k ) = H yn (i, j , k ) −. IEL2 – 03 – II - 29. ∆t ( E xn (i, j, k + 1) − E xn (i, j , k ) ) µ 0 µ r (i, j , k )∆z. ∆t + ( E zn (i + 1, j, k ) − E zn (i, j, k ) ) µ 0 µ r ( i, j , k ) ∆ x. H zn+1 (i, j, k ) = H zn (i, j, k ) −. ∆t ( E yn (i + 1 j, k ) − E yn (i, j, k ) ) µ 0 µ r (i, j , k )∆x. ∆t + ( E xn (i, j + 1, k ) − E xn (i, j , k ) ) µ 0 µ r ( i, j , k ) ∆ y. 41. (A1.5). (A1.6).

(50) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO B. IEL2 – 03 – II - 29. ECUACIONES FDTD ADI. A continuación se mostrará los resultados obtenidos para la formulación del método FDTD ADI a partir del desarrollo hecho en la sección 3.2. Subiteración 1: Ecuaciones para el campo eléctrico: ⎛ ⎛ 2 µε ∆y ⎞ 2 ⎞v v n + 12 v ⎟ + 2 ⎟ E xn + 12 (i, j, k ) − E xn + 12 (i, j + 1, k ) = − E x (i, j − 1, k ) + ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∆t ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2. ⎛ 2 µε ∆y ⎞ v n v v v v ⎜ ⎟ E (i, j, k ) + ∆y E yn (i + 1, j − 1, k ) − E yn (i, j − 1, k ) − ∆y E yn (i + 1, j , k ) − E yn (i, j, k ) ⎜ ∆t ⎟ x ∆x ∆x ⎝ ⎠ 2µ∆y n 2 µ∆y 2 + H z (i, j , k ) − H zn (i, j − 1, k ) − H yn (i, j , k ) − H yn (i, j , k − 1) ∆t ∆t∆z. (. (. ). ). (. (. ). ). (A2.1). ⎛ ⎛ 2 µε ∆z ⎞ 2 ⎞v v n + 12 v ⎟ + 2 ⎟ E yn + 12 (i, j, k ) − E yn + 12 (i, j , k + 1) = − E y (i, j, k − 1) + ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ∆t ⎟ ⎟ ⎠ ⎝⎝ ⎠ 2. ⎛ 2 µε ∆z ⎞ v n v v v v ⎜ ⎟ E (i, j, k ) + ∆z E zn (i, j + 1, k − 1) − E zn (i, j − 1, k ) − ∆z E zn (i, j + 1, k ) − E zn (i, j , k ) ⎜ ∆t ⎟ y ∆y ∆y ⎝ ⎠ 2µ∆z 2µ∆z 2 + H xn (i, j, k ) − H xn (i, j, k − 1) − H zn (i, j, k ) − H zn (i − 1, j, k ) ∆t ∆t∆x. (. (. ). ). (. (. ). (A2.2). 42. ).

(51) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. ⎞v 1 ⎛ ⎛ 2 µε ∆x ⎞ 2 v n + 12 v 1 ⎟ + 2 ⎟ E zn+ 2 (i, j , k ) − Ezn+ 2 (i + 1, j , k ) = − Ez (i − 1, j , k ) + ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∆t ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2. ⎛ 2 µε ∆x ⎞ v n vn vn ∆x v n ∆x v n ⎜ ⎟ ⎜ ∆t ⎟ E z (i , j , k ) + ∆z E x (i − 1, j , k + 1) − Ex (i − 1, j, k ) − ∆z E x (i, j , k + 1) − E x (i, j, k ) ⎝ ⎠ 2µ∆x n 2µ∆x 2 + H y (i, j , k ) − H yn (i − 1, j, k ) − H xn (i, j, k ) − H xn (i, j − 1, k ) ∆t ∆t∆y. (. (. ). ). (. (. ). (A2.3). Ecuaciones para el campo magnético:. H xn+ 2 (i, j , k ) = H xn (i, j , k ) + 1. (. 1 1 ∆t E yn+ 2 (i, j , k + 1) − E yn + 2 (i, j , k ) 2 µ∆z. (. 1 1 ∆t E zn + 2 (i, j + 1, k ) − E zn + 2 (i, j, k ) − 2µ∆y. H yn+ 2 (i, j , k ) = H yn (i, j , k ) + 1. (. (. H zn+ 2 (i, j , k ) = H zn (i, j , k ) + 1. (. (. 43. ) (A2.5). ). 1 1 ∆t E xn + 2 (i, j + 1, k ) − E xn+ 2 (i, j , k ) 2µ∆y. 1 1 ∆t E yn+ 2 (i + 1, j , k ) − E yn+ 2 (i, j , k ) − 2µ∆x. (A2.4). ). 1 1 ∆t E zn+ 2 (i + 1, j , k ) − E zn+ 2 (i, j , k ) 2µ∆x. ∆t 1 1 − E xn + 2 (i, j, k + 1) − E xn + 2 (i, j, k ) 2µ∆z. ). ). ) (A2.6). ).

(52) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Subiteración 2: Ecuaciones para el campo eléctrico: ⎞v ⎛ ⎛ 2 µε ∆z ⎞ 2 v n+1 v ⎟ + 2 ⎟ E xn+1 (i, j, k ) − E xn+1 (i, j, k + 1) = − Ex (i, j , k − 1) + ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∆t ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2. ⎛ 2 µε ∆z ⎞ v n+ 12 ⎟ ⎜ ⎜ ∆t ⎟ E x (i, j, k ) ⎠ ⎝ v 1 v 1 ∆z v n+ 12 ∆z v n+ 12 + E z (i + 1, j, k − 1) − E zn+ 2 (i, j − 1, k ) − E z (i + 1, j , k ) − E zn+ 2 (i, j, k ) ∆x ∆x 1 1 µ 2µ∆z n+ 12 2 ∆z 2 n + 1 2 − H y (i, j, k ) − H yn+ 2 (i, j, k − 1) + H z (i, j, k ) − H zn + 2 (i, j − 1, k ) ∆t ∆t∆y. (. ). (. (. ). ). (. ) (A2.7). `. ⎞v ⎛ ⎛ 2 µε ∆x ⎞ 2 v n+1 v ⎟ + 2 ⎟ E yn+1 (i, j, k ) − E yn+1 (i + 1, j , k ) = − E y (i − 1, j, k ) + ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∆t ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2. ⎛ 2 µε ∆x ⎞ v n + 12 ⎟ ⎜ ⎜ ∆t ⎟ E y (i, j, k ) ⎠ ⎝ v 1 v 1 ∆x v n + 1 2 ∆x v n+ 12 + Ex (i − 1, j + 1, k ) − E xn+ 2 (i, j − 1, k ) − E x (i, j + 1, k ) − Exn+ 2 (i, j, k ) ∆y ∆y. (. −. ). (. (. ). (. ). 2µ∆x n+ 12 2µ∆x 2 n + 12 1 1 H x (i, j, k ) − H xn + 2 (i, j, k − 1) H z (i, j, k ) − H zn + 2 (i − 1, j, k ) + ∆t ∆t ∆z. ) (A2.8). 44.

(53) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. ⎛ ⎛ 2 µε ∆y ⎞ 2 ⎞v v n+1 v ⎟ + 2 ⎟ Ezn+1 (i, j , k ) − E zn +1 (i, j + 1, k ) = − Ez (i, j − 1, k ) + ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∆t ⎠ ⎝⎝ ⎠ 2. ⎛ 2 µε ∆y ⎞ v n+ 12 ⎜ ⎟ ⎜ ∆t ⎟ E z (i, j, k ) ⎝ ⎠ v 1 v 1 ∆y v n + 1 2 ∆y v n + 1 2 E y (i, j − 1, k + 1) − E yn+ 2 (i − 1, j, k ) − E y (i, j , k + 1) − E yn+ 2 (i, j, k ) + ∆z ∆z 2µ∆y n+ 12 2µ∆y 2 n+ 12 1 1 H x (i, j, k ) − H xn + 2 (i, j − 1, k ) + − H y (i, j, k ) − H yn+ 2 (i − 1, j, k ) ∆t ∆t ∆x. (. ). (. (. ). ). (. ) (A2.9). Ecuaciones para el campo magnético:. H xn +1 (i, j, k ) = H xn + 2 (i, j , k ) + 1. (. ∆t 1 1 E yn + 2 (i, j , k + 1) − E yn + 2 (i, j, k ) 2 µ∆z. ∆t − Ezn +1 (i, j + 1, k ) − Ezn +1 (i, j , k ) 2µ∆y. (. H yn +1 (i, j, k ) = H yn + 2 (i, j , k ) + 1. (. (. H zn+1 (i, j, k ) = H zn+ 2 (i, j , k ) + 1. (A2.10). ). 1 1 ∆t Ezn + 2 (i + 1, j, k ) − Ezn + 2 (i, j , k ) 2 µ∆x. ∆t Exn +1 (i, j, k + 1) − Exn +1 (i, j, k ) − 2µ∆z. ). ). ). (. ∆t 1 1 E xn+ 2 (i, j + 1, k ) − E xn+ 2 (i, j , k ) 2 µ∆y. ∆t E yn +1 (i + 1, j , k ) − E yn +1 (i, j , k ) − 2µ∆x. (. 45. (A2.11). ). ) (A2.12).

(54) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO C. IEL2 – 03 – II - 29. ECUACIONES FDTD ADI PML ABC’s. En este anexo, se concluye la formulación del método FDTD ADI mostrando las ecuaciones que fueron deducidas como se muestra en la sección 4 para los medios PML. Subiteración 1: Ecuaciones explícitas para el campo eléctrico:. E xzn + 2 (i, j , k ) = K ez E xzn (i, j , k ) − 1. ((. ) (. C ez H yxn (i, j, k ) − H yxn (i, j , k − 1) + H yzn (i, j , k ) − H yzn (i, j, k − 1). )). (A3.1). E yxn + 2 (i, j , k ) = K ex E yxn (i, j , k ) − 1. ((. ) (. C ex H zxn (i, j , k ) − H zxn (i − 1, j, k ) + H zyn (i, j, k ) − H zyn (i − 1, j , k ). )). (A3.2). E zyn + 2 (i, j , k ) = K ey E zyn (i, j , k ) − 1. ((. ) (. C ey H xyn (i, j , k ) − H xyn (i, j − 1, k ) + H xzn (i, j , k ) − H xzn (i, j − 1, k ) (A3.3). 46. )).

(55) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Ecuaciones explícitas para el campo magnético:. H xyn+ 2 (i, j , k ) = K hy H xyn (i, j , k ) − 1. C hy ((E zyn (i, j + 1, k ) − E zyn (i, j , k ) ) + (E zxn (i, j + 1, k ) − E zxn (i, j, k ))) (A3.4). H yzn + 2 (i, j , k ) = K hz H yzn (i, j , k ) − 1. ((. ) (. C hz E xtn (i, j , k + 1) − E xyn (i, j, k ) + E xzn (i, j , k + 1) − E xzn (i, j , k ). )). (A3.5). H zxn + 2 (i, j , k ) = K hx H zxn (i, j , k ) − 1. ((. ) (. C hx E yxn (i + 1, j , k ) − E yxn (i, j , k ) + E yzn (i + 1, j , k ) − E yzn (i, j , k ). )). (A3.6). Ecuaciones implícitas para el campo eléctrico:. ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 − E xyn+ 2 (i, j − 1, k ) + ⎜ + 2 ⎟ E xyn+ 2 (i, j, k ) − E xyn + 2 (i, j + 1, k ) = ⎜C C ⎟ ⎝ ey hy ⎠ K ey E xyn (i, j , k ) + C ey C hy. (. ). K hy 1 1 1 H zxn+ 2 (i, j , k ) − H zxn + 2 (i, j − 1, k ) + ( H zyn (i, j , k ) − H zyn (i, j − 1, k ) ) + C hy C hy. (E. n + 12 xz. (i, j − 1, k ) − 2 E xzn+ 2 (i, j, k ) + E xzn+ 2 (i, j + 1, k ) 1. 1. 47. ). (A3.7).

(56) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 − E yzn+ 2 (i, j , k − 1) + ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ E yzn + 2 (i, j , k ) − E yzn+ 2 (i, j , k + 1) = ⎝ C ez C hz ⎠ K ez E yzn (i, j , k ) + C ez C hz. (. (A3.8). ). K 1 1 1 H xyn + 2 (i, j, k ) − H xyn+ 2 (i, j, k − 1) + hz (H xzn (i, j, k ) − H xzn (i, j, k − 1) ) + C hz C hz. (E. n + 12 yx. (i, j , k − 1) − 2 E yxn+ 2 (i, j, k ) + E yxn+ 2 (i, j, k + 1) 1. 1. ). ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 − E zxn+ 2 (i − 1, j, k ) + ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ E zxn + 2 (i, j, k ) − E zxn + 2 (i + 1, j , k ) = ⎝ C ex C hx ⎠ K ez E zxn (i, j , k ) + C ex C hx. (. (A3.9). ). K 1 1 1 H yzn+ 2 (i, j , k ) − H yzn + 2 (i − 1, j , k ) + hx (H yxn (i − 1, j , k ) − H yxn (i, j , k ) ) + C hx C hx. (E. n + 12 zy. (i − 1, j , k ) − 2 E zyn+ 2 (i, j , k ) + E zyn + 2 (i + 1, j, k ) 1. 1. ). Ecuaciones implícitas para el campo eléctrico (las cuales se pueden resolver explícitamente):. H xzn+ 2 (i, j , k ) = K hz H xzn (i, j, k ) + 1. ((. ) (. C hz E yxn + 2 (i, j, k + 1) − E yxn + 2 (i, j, k ) + E yzn + 2 (i, j, k + 1) − E yzn+ 2 (i, j , k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.10). H yxn + 2 (i, j , k ) = K hx H yxn (i, j , k ) + 1. ((. ) (. C hx E zxn + 2 (i + 1, j , k ) − E zxn + 2 (i, j , k ) + E zyn + 2 (i + 1, j, k ) − E zyn + 2 (i, j, k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.11). 48.

(57) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. H zyn + 2 (i, j , k ) = K hy H zyn (i, j , k ) +. IEL2 – 03 – II - 29. 1. ((. ) (. C hy E xyn + 2 (i, j + 1, k ) − E xyn + 2 (i, j , k ) + E xzn + 2 (i, j + 1, k ) − E xzn + 2 (i, j, k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.12). Subiteración 2:. Ecuaciones explícitas para el campo eléctrico:. E xyn +1 (i, j , k ) = K ey E xyn + 2 (i, j, k ) + 1. ((. ) (. C ey H zxn+ 2 (i, j , k ) − H zxn+ 2 (i, j − 1, k ) + H zyn+ 2 (i, j , k ) − H zyn+ 2 (i, j − 1, k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.13). E yzn +1 (i, j , k ) = K ez E yzn + 2 (i, j, k ) + 1. ((. ) (. C ez H xyn + 2 (i, j , k ) − H xyn + 2 (i, j, k − 1) + H xzn + 2 (i, j , k ) − H xzn + 2 (i, j , k − 1) 1. 1. 1. 1. )). (A3.14). E zxn +1 (i, j , k ) = K ex E zxn + 2 (i, j , k ) + 1. ((. ) (. C ex H yzn + 2 (i, j , k ) − H yzn + 2 (i − 1, j , k ) + H yxn + 2 (i, j , k ) − H yxn + 2 (i − 1, j , k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.15). 49.

(58) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. Ecuaciones explícitas para el campo magnético:. H xzn+1 (i, j, k ) = K hz H xzn + 2 (i, j, k ) + 1. ((. ) (. C hz E yxn + 2 (i, j, k + 1) − E yxn + 2 (i, j, k ) + E yzn + 2 (i, j, k + 1) − E yzn+ 2 (i, j , k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.16). H yxn +1 (i, j, k ) = K hx H yxn + 2 (i, j , k ) + 1. ((. ) (. C hx E zxn + 2 (i + 1, j , k ) − E zxn + 2 (i, j , k ) + E zyn + 2 (i + 1, j, k ) − E zyn + 2 (i, j, k ) 1. 1. 1. 1. )). (A3.17). H zxn +1 (i, j, k ) = K hx H zxn + 2 (i, j , k ) + 1. ((. ) (. C hx E xyn + 2 (i + 1, j , k ) − E xyn + 2 (i, j , k ) + E xzn + 2 (i + 1, j, k ) − E xzn + 2 (i, j, k ) 1. 1. 1. 1. (A3.18). Ecuaciones implícitas para el campo eléctrico:. ⎛ 1 ⎞ − E xzn+1 (i, j, k − 1) + ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ E xzn+1 (i, j, k ) − E xzn +1 (i, j , k + 1) = ⎝ C ez C hz ⎠ K ez E xzn (i, j , k ) − C ez C hz. (. ). (. ). K 1 1 1 H yxn+1 (i, j , k ) − H yxn+1 (i, j , k − 1) − hz H yzn + 2 (i, j, k ) − H yzn+ 2 (i, j , k − 1) + C hz C hz. (E. n +1 xy. (i, j , k − 1) − 2 E xyn+1 (i, j , k ) + E xyn +1 (i, j, k + 1). 50. ). )).

(59) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. (A3.19). ⎛ 1 ⎞ − E yxn+1 (i − 1, j, k ) + ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ E yxn+1 (i, j , k ) − E yxn+1 (i + 1, j , k ) = ⎝ C ex C hx ⎠ K ex 1 E yxn+ 2 (i, j, k ) − C ex C hx. (. ). (. ). K 1 1 1 H zyn+1 (i, j , k ) − H zyn +1 (i − 1, j , k ) − hx H zxn+ 2 (i, j , k ) − H zxn + 2 (i − 1, j, k ) + C hx C hx. (E. n +1 yz. (i − 1, j, k ) − 2 E yzn +1 (i, j, k ) + E yzn+1 (i + 1, j, k ). ). (A3.20). ⎞ ⎛ 1 − E zyn+1 (i, j − 1, k ) + ⎜ + 2 ⎟ E zyn+1 (i, j , k ) − E zyn+1 (i, j + 1, k ) = ⎟ ⎜ C ey C hy ⎠ ⎝ K ey 1 E zxn+ 2 (i, j, k ) − C ey C hy. (. ). (. ). K hy 1 1 1 H xzn +1 (i, j, k ) − H xzn+1 (i, j − 1, k ) − H xyn+ 2 (i, j − 1, k ) − H xyn+ 2 (i, j, k ) + C hy C hy. (E. n +1 zx. (i, j − 1, k ) − 2 E zxn +1 (i, j, k ) + E zxn+1 (i, j + 1, k ). ). (A3.21). Ecuaciones implícitas para el campo eléctrico (las cuales se pueden resolver explícitamente):. 51.

(60) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. H xyn+1 (i, j, k ) = K hy H xyn+ 2 (i, j , k ) −. IEL2 – 03 – II - 29. 1. ((. ) (. C hy E zyn+1 (i, j + 1, k ) − E zyn+1 (i, j , k ) + E zxn+1 (i, j + 1, k ) − E zxn+1 (i, j, k ). )). (A3.22). H yzn +1 (i, j, k ) = K hz H yzn + 2 (i, j, k ) − 1. ((. ) (. C hz E xtn +1 (i, j , k + 1) − E xyn +1 (i, j, k ) + E xzn +1 (i, j, k + 1) − E xzn +1 (i, j , k ). )). (A3.23). H zxn +1 (i, j, k ) = K hx H zxn + 2 (i, j , k ) − 1. ((. ) (. C hx E yxn +1 (i + 1, j , k ) − E yxn +1 (i, j, k ) + E yzn +1 (i + 1, j, k ) − E yzn +1 (i, j , k ). )). (A3.24). A continuación se definen las constantes utilizadas en las ecuaciones A3.1 – A3.24:. K eu =. 4ε 0 − σ u ∆t 4ε 0 + σ u ∆t. (3.25). K hu =. 4µ 0 − σ u* ∆t 4 µ 0 + σ u* ∆t. (3.26). C eu =. 2∆t ε r (∆u )(σ u ∆t + 4ε 0 ). (3.27). C hu =. 2∆t µ r (∆u ) σ u* ∆t + 4 µ 0. (3.27). (. ). Donde:. 52.

(61) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. u ∈ {x, y , z}. (3.28). 53. IEL2 – 03 – II - 29.

(62) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO D. IEL2 – 03 – II - 29. DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO FDTD. INICIO. Inicializar campos electromagnéticos E y H en 0. Introducir estructura, hacer n=0. Actualizar los campos magnéticos. Actualizar los campos eléctricos. Sumar fuentes blandas. Guardar puntos de observación. n=n+1. n= numero total de iteraciones. si. Escribir tiempo de simulación. FIN. 54. no.

(63) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO E. IEL2 – 03 – II - 29. DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO FDTD ADI INICIO. Inicializar campos electromagnéticos E y H en 0. Introducir estructura, hacer n=0 SUBITERACIÓN 1. SUBITERACIÓN 2. Actualizar los campos eléctricos. Actualizar los campos eléctricos. Actualizar los campos magnéticos. Actualizar los campos magnéticos. Sumar fuentes blandas Guardar puntos de observación. n=n+1. no. n= numero total de iteraciones. si. Escribir tiempo de simulación. FIN. 55.

(64) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO F. IEL2 – 03 – II - 29. DIAGRAMA DE FLUJO ALGORITMO FDTD ADI PML’s. 56.

(65) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. INICIO. Inicializar campos electromagnéticos E y H en 0. Introducir estructura, hacer n=0 SUBITERACIÓN 1. SUBITERACIÓN 2. Actualizar campos eléctricos explícitos. Actualizar campos eléctricos explícitos. Actualizar campos magnéticos explícitos. Actualizar campos magnéticos explícitos. Actualizar campos eléctricos implícitos. Actualizar campos eléctricos implícitos. Actualizar campos magnéticos implícitos. Actualizar campos magnéticos implícitos. Sumar fuentes blandas Guardar puntos de observación. n=n+1. no. n= numero total de iteraciones. si. Escribir tiempo de simulación. FIN. 57.

(66) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. ANEXO G. IEL2 – 03 – II - 29. CÓDIGO FUENTE ALGORITMOS. En el soporte óptico se encuentran los código fuente de los tres algoritmos implementados, todos ellos programados en VISUAL Fortran 6. El programa FDTD consta de 2 subrutinas, la primera, “fuente.f90” se encarga de calcular el valor de la fuente para un instante de tiempo n, y la segunda es el algoritmo FDTD en si (“FDTD.f90”). El archivo que se debe abrir para ejecutar este programa es “FDTD.dsw”. Los programas FDTD ADI y FDTD ADI PML, constan de tres subrutinas, la primera, “fuente.f90” se encarga de calcular el valor de la fuente para un instante de tiempo n, la segunda, “tridiag.f90” se encarga de resolver la matriz tridiagonal resultante de las ecuaciones acopladas de los campos electromagnéticos, y la tercera, “ADI.f90” y “ADIPML.f90” para ADI y ADI PML respectivamente, con el algoritmo implementado en sí. Los archivos que se deben abrir para ejecutar el programa son “ADI.dsw” y “ADIPML.dsw”. 58.

(67) COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD. IEL2 – 03 – II - 29. 7. BIBLIOGRAFÍA [1] K.S. Yee, “Numerical solution of inicial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol AP-14, pp 302-307, Mayo 1966 [2] J.P.. Berenger,. “A. perfectly. matched. layer. for. the. absortion. of. electromagneticwaves,” J. Computat. Phys., vol. 114, pp 185-200,1994. [3] Zhiszhan Chen, “Toward the develodpment of a three-dimensional unconditionally stable Finite-Difference Time-Domain method”, IEEE Trans. MTT vol 48, No9, septiembre 2000 [4] Gang Liu, “Perfectly Matched Layer Media for an unconditionally Stable three-dimensional ADI-FDTD method”, IEEE microwave and guided wave letters, vol 10 No 7 Julio 2000 [5] T. Namiki, “A new FDTD algorithm based on alternating direction implicit method” IEEE Trans. MTT, vol 47 pp. 2003 – 2007, Octubre 1999. [6] Dragan Vidacic, “Assessment Of Fdtd Model Parameters For Lossy Media”, Unversity of Novi Sad, 2000 [7] J. Herrera, “Estudio sobre la incorporación de elementos activos en la simulación electromagnética de circuitos de microondas[, Universidad de los Andes, Proyecto de grado, Julio 2003. [8] N. Peña, Notas, Universidad de los Andes, 2003 [9] N. Peña, “Contribution Au Développement De Conditions Aux Limites Absorbantes Pour La Méthode TLM Avec Applications Á LÁnalyse De Circuits Hyperfréquences”,Tésis de Doctorado, Universite de Rennes, 1997. [10]. M. Albani, “A numerical method based on the discretization of Maxwell. equations in integral form”, IEEE Trans. MTT pp 446-450 April 1974. [11]. C. Chen, Generalized FDTD-ADI: An Unconditionally Stable Full-. Wave Maxwell’s Equations Solver for VLSI Interconnect Modeling”, Department of Electrical and Computer Engineering, University of Wisconsin, Madison, 2000.. 59.

(68) Yo, Ernesto Ramírez Moncada, manifiesto en este documento mi voluntad de ceder a la Universidad de los Andes los derechos patrimoniales, consagrados en el artículo 72 de la Ley 23 de 1982, del trabajo final de grado denominado “COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS FDTD ADI Y FDTD”, producto de mi actividad académica para optar el título de Ingeniera Eléctrica en la Universidad de los Andes. La Universidad de los Andes, entidad académica sin ánimo de lucro, queda por lo tanto facultada para ejercer plenamente los derechos anteriormente cedidos en su actividad ordinaria de investigación, docencia y publicación. La cesión otorgada se ajusta a lo que establece la Ley 23 de 1982. Con todo, en mi condición de autor me reservo los derechos morales de la obra antes citada con arreglo al artículo 30 de la Ley 23 de 1982. En concordancia suscribo este documento en el momento mismo que hago entrega del trabajo final a la Biblioteca General de la Universidad de los Andes.. Ernesto Ramírez Moncada _______________________ NOMBRE. FIRMA. CÉDULA 80057508 de Bogotá. 1.