Curso de conjuntos y números. Versión corregida de los Apuntes. Juan Jacobo Simón Pinero

(1)

Curso de conjuntos y n´

umeros.

Versi´

on corregida de los

Apuntes

Juan Jacobo Sim´on Pinero

(2)

´

_{Indice general}

I

Conjuntos

3

1. Conjuntos y elementos 4

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . 4

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . 4

1.3. Operaciones con subconjuntos . . . 6

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . 9

1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias . . . . 10

2. Aplicaciones 14 2.1. Relaciones y aplicaciones . . . 14

2.2. Tipos de aplicaciones . . . 16

2.3. Im´agenes directas e inversas . . . 16

2.4. Composici´on . . . 18

2.4.1. Inversa de una aplicaci´on biyectiva . . . 19

3. Orden 23 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos . . . 23

3.2. Conjuntos bien ordenados. . . 28

4. Relaciones de equivalencia 30 4.1. Conceptos b´asicos . . . 30

4.2. Clases de equivalencia . . . 31

4.3. Conjunto cociente . . . 32

4.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . 33

5. Conjuntos num´ericos 34 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . 34

5.1.1. Orden y operaciones aritm´eticas . . . 39

5.1.2. Otras aplicaciones del principio de inducci´on. . . 39

5.2. N´umeros enteros . . . 41

5.3. N´umeros racionales . . . 43

5.3.1. Escritura decimal de n´umeros racionales. . . 45

5.4. N´umeros reales . . . 47

(3)

5.5.1. Forma exponencial de un n´umero complejo. . . 52

5.6. Conjuntos numerables y no numerables . . . 53

II

N´

umeros y polinomios

55

6. El anillo de los n´umeros enteros. 56 6.1. Artim´etica de los enteros. . . 56

6.1.1. División entera y máximo común divisor. . . 56

6.1.2. M´ınimo com´un m´ultiplo . . . 62

6.1.3. La ecuaci´on diof´antica lineal . . . 63

6.1.4. M´umeros primos. Teorema Fundamental de la Aritm´etica . . . 65

6.2. Congruencias. . . 67

6.2.1. Propiedades aritm´eticas de las congruencias . . . 68

6.2.2. Estructuras algebraicas. . . 69

6.2.3. Algunas aplicaciones . . . 71

6.3. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . 74

6.4. Teorema chino de los restos . . . 77

7. Polinomios 81 7.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. . . 81

7.2. Ra´ıces de polinomios. . . 87

7.3. Polinomios irreducibles en R[X] y C[X]. Teorema fundamental del ´algebra. . . 88

7.4. Factores m´ultiples. . . 91

(4)

Parte I

(5)

Cap´ıtulo 1

Conjuntos y elementos

1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento.

Comenzamos con la definici´on de conjunto de G. Cantor:

Un conjunto es una colecci´on (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuici´on o pensamiento

Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepci´on intuitiva de los conjuntos.

La noci´on formal de conjunto corresponde con fundamentos de la ma-tem´atica que quedan fuera del alcance de nuestro curso.

Tambi´en queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos.

1.2. Pertenencia, contenido e igualdad.

Las colecciones a las que llamaremos conjuntos ser´an construidas de las si-guientes dos formas principales.

1. Por extensi´on: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo

A={X1, . . . , Xn, . . .} o A={a, b, c, . . .}.

2. Por comprehensión: a través de una fórmula proposicional que siempre tendrá, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, siB es un con-junto,

A=_{X _∈B _| p(X) (es verdadera)_}.

(6)

Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un ´unico conjunto.

1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos. 1. A={a, e, i, o, u} oA={x | x es una vocal}. 2. A=_{2,4, . . ._}o A=_{x_∈N | x es par_}.

1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensi´on y extensi´on, los siguientes conjuntos:

1. Los n´umeros naturales que son impares y menores que 20. 2. Las vocales de la palabra “murci´elago”.

3. Los n´umeros impares positivos.

1.2.3. Notaci´on. Siaes un elemento del conjuntoA, escribiremos a_∈A. En caso contrario escribimosa /_∈A.

1.2.4. Inclusi´on. SeanAyB conjuntos. Decimos queAest´a contenido enB, o queAes subconjuntos de B si para todo elemento a_∈A se tiene quea_∈B.

Se denotaA_⊂B y se expresaa_∈A_⇒a_∈B

SiA no est´a contenido en B entonces escribimosA_6⊂B.

1.2.5. Observaci´on. Es claro que A _6⊂ B si y solo si existe a _∈ A tal que

a_6∈B.

1.2.6. Ejemplo. Sea I = _{x_∈ N | x es impar _} = _{x _∈ N | x= 2n+ 1, conn_∈N}, que a veces, para abreviar, escribimos_{2n+1 _| n_∈N}(aunque esta escritura no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente, as´ı que podemos introducirla). EntoncesI_⊂N.

1.2.7. Notaci´on. SeanAyBconjuntos, tales queA_⊂B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A _⊆ B. Cuando queremos poner ´enfasis en justo lo contrario, escribimosA(B; lo expresamos comoa_∈A_⇒a_∈B pero_∃b_∈B tal que b_6∈A.

1.2.8. Igualdad. Diremos que dos conjuntosAyB son iguales cuando tengan exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a_∈A_⇔a_∈B.

1.2.9. Proposici´on. SeanAyBconjuntos.A=B si y s´olo siA_⊂ByB_⊂A

Demostraci´on. Inmediata.

Conjunto vac´ıo.

1.2.10. Definición. Un conjunto vac´ıo es aquel que no tiene elementos. 1.2.11. Proposición. SeanAy B conjuntos. SiA es vac´ıo entoncesA⊂B. Demostración. Por reducción al absurdo. SeaAun conjunto vac´ıo y supongamos que existeB, conjunto tal que A *B. Entonces existe a_∈ A tal que a_6∈ B. LuegoAno es vac´ıo lo cual es imposible.

(7)

1.2.12. Corolario. Solo hay un conjunto vac´ıo. Demostraci´on. Inmediata de la proposici´on anterior.

Notaci´on. El conjunto vac´ıo se denota∅

1.2.13. Partes de un conjunto. SeaA un conjunto. La colecci´on

P(A) =_{B _| B _⊂A_}

se conoce como el conjunto de las partes deA o el conjunto potencia deA. 1.2.14. Ejercicios.

1. Determinar _P(_∅).

2. Sea A=_{x1, x2, x3}. Escribir P(A)y comprobar que tiene23 elementos.

1.3. Operaciones con subconjuntos

1.3.1. Uni´on. SeanA yB conjuntos. El conjunto

A_∪B=_{x _| x_∈A o x_∈B_}

se conoce como la uni´on deA yB.

Se escribe x_∈A_∪B si y sólo six_∈Aox_∈B. Lo contrario esx /_∈A_∪B si y sólo six /_∈A yx /_∈B. 1.3.2. Intersección. SeanAy B conjuntos. El conjunto

A_∩B=_{x _| x_∈A y x_∈B_}

se conoce como la intersecci´on deA yB.

Se escribe x_∈A_∩B si y s´olo six_∈Ay x_∈B. Lo contrario esx /∈A∩B si y s´olo six /∈A ox /∈B. 1.3.3. Ejercicio. Probar las siguientes propiedades:

1. SiA_⊂B y B_⊂C entonces(A_∪B)_⊂C. 2. (A_∩B)_∩C=A_∩(B_∩C).

(8)

Diagramas de Venn

En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la unión e intersección de dos conjuntosAyB contenidos en otro conjunto, digamosU.

U A B &% '$ &% '$ Uni´on U A B &% '$ &% '$ Intersecci´on Leyes distributivas.

1.3.4. Proposici´on. SeanA,B yC conjuntos. Entonces 1. A_∩(B_∪C) = (A_∩B)_∪(A_∩C).

2. A_∪(B_∩C) = (A_∪B)_∩(A_∪C).

Demostraci´on. Probaremos la primera, la otra se deja como ejercicio.

⊆] Sea x_∈ A_∩(B _∪C). Entonces x_∈A y x_∈ B_∪C; es decir, x _∈A y adem´asx_∈B o x_∈C; luego x_∈Ayx_∈B o bien, x_∈Ayx_∈C. Por tanto

x_∈(A_∩B)_∪(A_∩C).

⊇] Six_∈(A_∩B)_∪(A_∩C) entoncesx_∈Ayx_∈B o bienx_∈A yx_∈C. Luegox_∈Aen ambos casos y as´ı, x_∈A y adem´asx_∈B o x_∈C, de donde

x_∈A_∩(B_∪C).

1.3.5. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colecci´on

A\B={X | X∈A y X 6∈B}.

Expresado como diagrama de Venn

U A B &% '$ &% '$ Diferencia

1.3.6. Ejercicio. Consid´erense los conjuntos A ={X ∈ R | 0 ≤ x

2 ≤ 6} y

B={X ∈R | X2

(9)

1. Representar estos conjuntos en la recta real.

2. Determinar los conjuntosA_∪B,A_∩B,A_\B yB_\A, escribi´endolos de forma comprehensiva y gr´aficamente en la recta real.

1.3.7. Complemento. SeanA y U conjuntos, con A_⊂ U. Se conoce como complemento deA enU a la colecci´on

A∁=U_\A=_{X _∈U _| X_6∈A_}.

Leyes de De Morgan.

Augustus De Morgan 1806 (India)-1871(Londres). Fue .hHijo de un militar británico. Hizo .cContribuciones importantes en álgebra, geometr´ıa y además fue cofundador de la London Mathematical Society, as´ı como su primer presidente.

1.3.8. Proposici´on. SeanAy B conjuntos. 1. (A_∩B)∁ =A∁_∪B∁. 2. (A∪B)∁ =A∁∩B∁. Demostraci´on. 1. x_∈(A_∩B)∁ _⇔ x_6∈A_∩B _⇔x_6∈Aox_6∈B _⇔x_∈A∁ox_∈B∁ ⇔ x∈A∁∪B∁. 2. x_∈(A_∪B)∁ _⇔ x_6∈A_∪B _⇔x_6∈Ayx_6∈B_⇔x_∈A∁yx_∈B∁ ⇔ x∈A∁∩B∁.

Expresado como diagrama de Venn

U A B &% '$ &% '$ (A_∩B)∁=A∁_∪B∁ U A B &% '$ &% '$ (A_∪B)∁=A∁_∩B∁

(10)

1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones

Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos.

Sean Nel conjunto de los n´umeros naturales yP el conjunto de los n´ ume-ros pares positivos. Definimos, para cada n _∈ N, An como el conjunto de los

m´ultiplos pares den; es decir An={x∈P | x_n ∈N}.

Entonces, la colecci´on _C = _{An}n∈N no es conjunto porque, por ejemplo,

Ap =A2p, para todo primo impar. En este caso, decimos queC es una familia

(de conjuntos).

Aún as´ı, es claro que podemos considerar su unión e intersección y respe-tará las leyes habituales de conjuntos.

Otro ejemplo es el siguiente. Consid´erese p1(X) = X3 −X2+X −1 y

p2 = X3+X2−2. Sean R1 y R2 los conjuntos de ra´ıces reales de p1(X) y

p2(X) respectivamente, y R = {R1, R2}. En principio, no podemos asegurar

queR sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1∈R1∪R2.

1.3.9. Definici´on. Una familia de conjuntos es una colecci´on _{Ai | i∈I},

dondeI es un conjunto yAi son conjuntos.

Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto, si no, una familia.

Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias

Comenzamos con la unión. Al ser una operación binaria y asociativa, po-demos extenderla a una colección finita de uniendos. As´ı, si A1, . . . , An son

conjuntos se tiene que

n [

i=1

Ai={x | x∈Ai para alguna i∈ {1, . . . , n}}.

Cuando la colección sea infinita, también habrá unión, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Será una nueva definición. Veamos la versión más general. Nos viene a decir que las uniones más gene-rales serán conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto.

1.3.10. Uni´on arbitraria. Sea Cun conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La uni´on arbitraria es el conjunto

∪C=_{x _| x_∈A, para alg´un A_{∈ C}}.

En el caso de las familias, siIes un conjunto de ´ındices y_C=_{Ai | i∈I}=

{Ai}i∈I, entonces escribimos

∪C=[

i∈I

(11)

Al igual que sucede con la unión, podemos definir la intersección finita en conjuntos y familias. SiA1, . . . , An son conjuntos entonces la intersección es el

conjunto

n \

i=1

Ai={x | x∈Ai para todo i∈ {1, . . . , n}}.

1.3.11. Intersecci´on arbitraria. Sea_C un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersecci´on arbitraria es el conjunto

∩C=_{x _| x_∈A, para todo A_{∈ C}}.

En el caso de las familias, siIes un conjunto de ´ındices yC={Ai | i∈I}=

{Ai}i∈I, entonces escribimos

∩C=\

i∈I

Ai={x | x∈Ai para todo i∈I}.

1.3.12. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los n´umeros primos positivos. Para cada primo,p_∈P, definimos el conjuntoMp={pa | a∈N}, o sea, los

m´ultiplos naturales dep. Entonces: 1. La familia_{Mp}_p_∈_Pes un conjunto.

2. S_p_∈_PMp=N.

3. Sip1, . . . , pnson primos cualesquiera entoncesTn_i₌₁Mpi={m·(p1· · ·pn) |

m_∈N}

4. T_p_∈_PMp=∅.

1.3.13. Ejemplo. Sea A =_{a, b, c_} y consideramos el conjunto de las partes deA, que denotamos_P(A). Sea C=_{{a, b_}, _{b, c_}}. Entonces

1. SC=A. 2. TC={b}.

1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y

re-laciones binarias

En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compa-rarlos, sustituirlos o diversos objetivos más. Una herramienta matemática por excelencia para estudiar las correspondencias es la idea de pareja ordenada o par ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadas escribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en términos de conjuntos.

1.4.1. Definici´on. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por

a_∈Ay b_∈B es el conjunto

(12)

1.4.2. Observación. La escritura de la definición anterior puede reducirse mu-cho según el caso. Por ejemplo (a, a) =_{{a_}}.

1.4.3. Proposici´on. SeanAyBconjuntos. Para cualesquiera elementosa, c_∈ Ay b, d_∈B se tiene que (a, b) = (c, d)si y solo sia=c y b=d.

Demostraci´on. Se deduce de la igualdad_{{a_},_{a, b_}}=_{{c_},_{c, d_}}.

Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. N´otese que una vez establecida la definici´on conjuntista de pareja ordenada volvemos a expresiones completamente familiares.

1.4.4. Producto cartesiano. SeanAy B conjuntos. El producto cartesiano deA y B es el conjunto

A_×B=_{(a, b) _| a_∈A y b_∈B_}.

1.4.5. Observación. Es claro que siendo el producto cartesiano un operación binaria, podemos extender el concepto a un número finito de factores. En este caso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no es asociativo; sin embargo, la identificación (a,(b, c)) con ((a, b), c) es demasiado clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos, teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripción en términos de conjuntos para la expresión (a, b, c). Más adelante le daremos sen-tido, con un concepto más general, el de producto directo.

1.4.6. Proposici´on. Sea Aun conjunto arbitrario. Entonces

A× ∅=∅ ×A=∅.

Demostraci´on. Supongamos queA× ∅ 6=∅. Entonces existe una pareja (a, b)∈

A× ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente an´alogo.

1.4.7. Observaci´on. De la propia definici´on de pareja ordenada se desprende que en general, siAyB son conjuntos se tiene queA_×B₆=B_×A.

1.4.8. Ejercicios.

1. SeaA= 1,2,3 yB=a, b. Formar el producto cartesiano. 2. Probar que A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)

Ahora vamos expresar en t´erminos de conjuntos la noci´on de correspondencia entre dos objetos.

1.4.9. Definici´on. SeanA yB conjuntos. Una correspondencia o relaci´on bi-naria entre elementos de Ay de B es un subconjuntoR⊆A×B.

Cuando(a, b)∈Rdecimos queaest´a relacionado conb(dicho en ese orden) y escribimos aRb.

(13)

1.4.10. Observación. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con-juntos no vac´ıos. Otros reservan el término relación para correspondencias en un solo conjunto.

Si no causa confusión, diremos relación en vez de relación binaria.

1.4.11. Observación. Nótese que puede ser que un elementoaesté relacionado con otrob, pero no rec´ıprocamente.

1.4.12. Ejemplos. 1. SiA=_∅yBes arbitrario, entoncesA_×B=_∅y por lo tanto, la ´unica posible relaci´on entreA yBes la vac´ıa.

2. SeanAyB conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vac´ıo y la otra es la total.

3. SeaR⊂R2_{la relaci´}_{on dada por}

R=(x, y)_∈R2 | x_≤y ; es decir,xRy_⇔x_≤y. 4. SeaR_⊆Z2 ×Z2_{tal que} (a, b)R(a′_{, b}′₎_⇐⇒_ab′ ₌_a′_b.

5. Sea Aun conjunto. La “diagonal” de A2_{; es decir, (}_{a, b}₎

∈R_⇔a=b, es una relaci´on.

1.4.13. Definici´on. SeanAy B, conjuntos, yR una relaci´on entreA y B. 1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial.

2. Al conjunto B se le llama conjunto final.

3. Se conoce como dominio de la relaci´on, al conjunto

DomR=_{a_∈A _{| ∃}b_∈B, (a, b)_∈R_}.

4. Se conoce como imagen de la relaci´on, al conjunto

ImR={b∈B | ∃a∈A, (a, b)∈R}.

1.4.14. Ejemplo. SeaR_⊂R2_{tal que}

(x, y)_∈R_⇐⇒x= y

2

−x y .

(14)

Podemos representar las relaciones en gr´aficas planas, como se hace en el c´alculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = _{a, b, c_} y B = _{a′_{, b}′_{, c}′_{, d}′_} _y

consid´erese la relaci´onR={(a, b′₎_,₍_{a, c}′₎_,₍_{b, c}′₎_}_{. La grafica es}

a′ b′ c′ d′ a b c • • •

Un ejercicio interesante es estudiar la relaci´on entre la forma de las gr´aficas y las propiedades de las relaciones.

(15)

Cap´ıtulo 2

Aplicaciones

2.1. Relaciones y aplicaciones

Intuitivamente, hemos aprendido que una aplicación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Ahora ya hemos expresado el concepto de correspondencia en términos de conjuntos. Vamos a expresar el concepto de aplicación en términos de conjuntos.

2.1.1. Definición. SeanAy B conjuntos. Una aplicación entre Ay B es una relaciónf _⊂A_×B que cumple la siguiente propiedad:

Para todo a_∈A, existe un ´unicob_∈B tal que(a, b)_∈f. O bien, si(a, b)y (a, c)pertenecen af, entonces c=d.

Nótese que esta definición en realidad no difiere de la que hemos visto en estudios previos. Estamos diciendo, en términos de conjuntos, que una aplicación es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B, que satisfacen que para todo a ∈ A existe un único elemento b ∈ B que le corresponde.

2.1.2. Notaci´on. SeanA yB conjuntos yf una aplicaci´on de A aB. Escri-bimos entonces

f :A→B o A−−→f B.

Adem´as, sia_∈Ay (a, b)_∈f, comob es ´unico podemos escribir

b=f(a).

Existen diversas maneras de representar gr´aficamente a las funciones. Vamos a ver dos de ellas. La primera muy t´ıpica:

SeanA =_{a, b, c_} y B =_{a′_{, b}′_{, c}′_{, d}′_} _{conjuntos. Representamos la}

(16)

A B a• b_• c• •a′ •b′ •c′ •d′ f

La siguiente es la gr´afica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto para relaciones. a′ b′ c′ d′ a b c • • •

2.1.3. Observación. En ocasiones, sobre todo en el cálculo y la topolog´ıa, se suele identificar la aplicación con la regla de correspondencia y a la propia aplicación con la gráfica (o grafo).

2.1.4. Observación. Como hemos dicho, una aplicación es una relación, que escribimosf :A_→B. De este modo tenemos

1. El dominio def, que es Domf =A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, as´ı que éste último término ya no se usa.

2. La imagen (o imagen directa) def, que es Imf =f(A)_⊆B. Adem´as, tenemos otras definiciones.

2.1.5. Definici´on. SeanA yB conjuntos y f :A_→B. 1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f.

2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f, y tiene especial sentido cuando se establece por f´ormula.

3. Si(a, b)_∈f, decimos que aes preimagen deb y que bes imagen de a. 2.1.6. Ejemplos.

1. SeaA un conjunto. La relación “diagonal” es una aplicación. 2. Seaf :Z→N, tal quef(a) =a2_{. Entonces}_f _{es una aplicación.}

3. La relaci´onxRy _⇔ x2₊_y2 _{= 1 no es una aplicaci´on. Sin embargo,}_y ₌

√

(17)

2.2. Tipos de aplicaciones

2.2.1. Definici´on. Sea f :A→B una aplicaci´on.

1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de la imagen, la preimagen es ´unica. Escribimos

f(a) =f(b)⇒a=b o a6=b⇒f(a)6=f(b)

2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todo el codominio. Escribimos

∀b_∈B, _∃a_∈A tal que f(a) =b.

3. Decimos quef es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

2.2.2. Ejemplos. Se pueden comprobar f´acilmente las siguientes afirmaciones: 1. La aplicaci´onf :N→Ntal quef(x) = 2xes biyectiva.

2. La aplicaci´onf : [1,∞)→(0,1] tal quef(x) = 1_x es biyectiva. 3. SeanA=_{a, b, c_}yB=_{a′_{, b}′_{, c}′_{, d}′_}_{. Entonces}

a) La aplicaci´onf =_{(a, b′₎_,₍_{b, b}′₎_,₍_{c, b}′₎_} _{no es inyectiva ni}

suprayec-tiva (es constante).

b) La aplicaci´onf =_{(a, b′₎_,₍_{b, c}′₎_,₍_{c, d}′₎_} _{es inyectiva pero no}

supra-yectiva.

c) Ninguna aplicaci´onf :A→B puede ser suprayectiva.

2.3. Im´

agenes directas e inversas

2.3.1. Definici´on. Sea f :A→B una aplicaci´on.

1. Para X _⊆A, definimos la imagen (directa) de X como

f(X) =_{f(x) _| x_∈X_}.

2. Para Y _⊆B, definimos la imagen inversa como

f(Y)−1₌

{a_∈A _| f(a)_∈Y_}.

2.3.2. Proposici´on. Seaf :A→B una aplicaci´on. La imagen directa verifica las siguientes propiedades.

1. f(_∅) =_∅.

(18)

3. SiX, Y _⊂Aentonces f(X_∪Y) =f(X)_∪f(Y). 4. SiX, Y ⊂Aentonces f(X∩Y)⊆f(X)∩f(Y).

M´as en general, siI es un conjunto y{Xα}_α_∈_I una familia de subconjuntos de

Aentonces f [ α∈I Xα ! = [ α∈I f(Xα) y f \ α∈I Xα ! ⊆ \ α∈I f(Xα)

Demostraci´on. 1. Es inmediata de (1.4.6).

2. Si X = _∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vac´ıo est´a contenido en todo conjunto (1.2.11). En otro caso, sea y _∈ f(X). Entonces existex∈X tal quef(x) =y. ComoX ⊆Y entonces x∈ Y, luego

y=f(x)∈f(Y).

Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes los dejaremos como ejercicio.

⊆] Sea y ∈ f(∪α∈IXα). Entonces existe x ∈ ∪α∈IXα tal que f(x) = y.

Como x_{∈ ∪}α∈IXα entonces x∈Xα para alguna α∈I. Luego y ∈f(Xα) ⊂

∪α∈If(Xα).

⊇] Consid´eresey _{∈ ∪}α∈If(Xα). Entoncesx ∈ f(Xα) para alguna α∈ I,

as´ı que existe x _∈ Xα tal que f(x) = y. De hecho x ∈ Sα∈IXα, as´ı que

y=f(x)_∈f(_∪α∈IXα).

2.3.3. Ejercicio. Dar ejemplos de funcionesf :A_→B y conjuntosX _⊆Ae

Y _⊆B, tal quef(X_∩Y)(f(X)_∩f(Y) y f′_:_A′ _→_B′ _{y conjuntos}_X′ _⊆_A′

eY′_⊆_B′ _{tal que}_f₍_X′_∩_Y′_{) =}_f₍_X′₎_∩_f₍_Y′₎

2.3.4. Proposici´on. Sea f : A _→ B una aplicaci´on e Y _⊂ B. La imagen inversa verifica las siguientes propiedades.

1. f(Y)−1∁₌_f_Y∁−1

.

2. SiIes un conjunto e_{Yα}α∈I una familia de subconjuntos deB entonces

f [ α∈I Yα !−1 = [ α∈I f(Yα)−1 y f \ α∈I Yα !−1 = \ α∈I f(Yα)−1

Demostración. Probaremos la última afirmación. El resto se deja como ejercicio.

⊆] Sea x∈ f(∩α∈IYα)−1. Entoncesf(x)∈ ∩α∈IYα, entonces f(x) ∈Yα para

todoα_∈I luegox_∈f(Yα)−1 para todoα∈I, as´ı quex∈ ∩α∈If(Yα)−1.

⊇] Sea x ∈ ∩α∈If(Yα)−1. Entonces x ∈ f(Yα)−1 para todo α ∈ I,

lue-go f(x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα. Por lo tanto x ∈

f Tα∈IYα−

1

(19)

2.3.5. Ejemplo. Sea f :R→Rdada porf(x) =x2_{. Sea}_X _{= [1}_,√_2]

⊂R. Se puede comprobar que:

1. f(X) = [1,2]. 2. f(f(X))−1

= [₋1,2]_∪[1,2]. 3. f f(X)−1_{= [1}_,_2].

Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicaci´on dada porg(x) = senx, eY = [₋2,2].

2.4. Composici´

on

Perm´ıtasenos comenzar este p´arrafo con el siguiente ejercicio.

2.4.1. Ejercicio. Sean f : A _→ B y g : B _→ C aplicaciones. Definimos la relaci´on g_◦f _⊂A_×C tal que(a, c)_∈(g_◦f)si y s´olo si, existeb_∈B tal que

(a, b)_∈f y(b, c)_∈g.

Probar queg_◦f es una aplicaci´on.

Entonces podemos introducir el siguiente concepto.

2.4.2. Definición. Seanf :A_→B yg:B _→Caplicaciones. Se conoce como la composición def seguida de gy la denotamosg_◦f a la aplicación siguiente:

1. g_◦f :A_→C. Tal que 2. (g_◦f)(a) =g(f(a)).

Entonces, en la composici´on ocurre que Dom(g◦f) = Domf y el codominio de la composici´on es igual al codominio deg.

2.4.3. Ejemplos.

1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f(n) = 2n+ 1 y g(n) = n2_.

Entonces la composici´on def seguida deges

(g◦f)(n) =g(f(n)) =g(2n+ 1) = (2n+ 1)2.

Nótese que la composición de g seguida def no puede definirse, porque no coinciden la imagen de g y el dominio de f. También notemos que a efectos prácticos, eso podr´ıa corregirse. Una manera es la siguiente. 2. Al hilo del apartado anterior, sean f : N→ N y g′ _: _N_→ _N_{, dadas por}

f(n) = 2n+ 1 yg′₍_n_{) =}_n2_{. Ahora podemos hacer ambas composiciones}

y queda

(g_◦f)(n) = (2n+ 1)2 y (f _◦g)(n) = 2n2+ 1.

(20)

2.4.4. Teorema. Sean f : A _→ B, g : B _→ C y h : C _→ D aplicaciones. Entoncesh_◦(g_◦f) = (h_◦g)_◦f.

Demostraci´on. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego las composiciones pueden considerarse. Seaa∈A. Calculamos

(h◦(g◦f))(a) =h([g◦f](a)) =h(g(f(a))) = (h◦g)(f(a)) = ((h◦g)◦f)(a)

2.4.5. Proposición. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Demostración. Sean f : A _→ B y g : B _→ C aplicaciones inyectivas. Sean

a, a′_∈_A_{tales que (}_g_◦_f₎₍_a_{) = (}_g_◦_f₎₍_a′_{). Entonces}_g₍_f₍_a_{)) =}_g₍_f₍_a′_{)) y como}

ges inyectivaf(a) =f(a′_{), y como}_f _{es inyectiva}_a₌_a′_.

2.4.6. Proposici´on. La composici´on de aplicaciones suprayectivas es supra-yectiva.

Demostraci´on. Sea c _∈C. Entonces existe b _∈B tal queg(b) =c y, a su vez, existea∈Atal quef(a) =b. Luego (g◦f)(a) =c.

2.4.7. Corolario. La composici´on de aplicaciones biyectivas es biyectiva. Demostraci´on. Inmediata de las dos anteriores.

2.4.8. Proposici´on. Seanf :A_→B y g:B_→C. Entonces 1. Sig_◦f es inyectiva entonces f es inyectiva.

2. Sig_◦f es suprayectiva entonces g es suprayectiva. Demostraci´on. Ejercicio.

2.4.1. Inversa de una aplicaci´

on biyectiva

2.4.9. Notaci´on. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicaci´on identidad enA, como1A:A→A; es decir, 1A(a) =a, para todo a∈A.

2.4.10. Definici´on. Sea f : A → B una aplicaci´on. Decimos que f tiene inversa si existeg:B→Atal queg◦f = 1A yf◦g= 1B.

En este caso, decimos quef es una aplicaci´on invertible.

2.4.11. Proposición. Sea f : A _→ B una aplicación invertible. Entonces la inversa es única.

Demostraci´on. Supongamos queg yhson inversas. Entonces

(21)

2.4.12. Notaci´on. Para una aplicaci´on invertible f : A _→ B, denotamos la inversa comof−1_.

2.4.13. Teorema. Sea f :A_→B una aplicaci´on. Entonces f es invertible si y s´olo si es biyectiva.

Demostraci´on. Supongamos primero quef es invertible y veamos que es biyec-tiva. Seana, a′ _∈ _A_{. Si} _f₍_a_{) =}_f₍_a′_{) entonces} _f−1₍_f₍_a_{)) =} _f−1₍_f₍_a′_{)), luego}

a=a′_{. Ahora, sean}_{b, b}′_∈_B_{. Hacemos}_a₌_f−1₍_b_{) y}_a′₌_f−1₍_b′_{) y se tiene que}

f(a) =byf(a′_{) =}_b′_{. Por tanto es biyectiva.}

Rec´ıprocamente, supongamos que f es biyectiva y querremos definir la in-versa. Para cada b_∈ B consideremos la imagen inversaf(b)−1_{. Se afirma que}

la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, enton-ces f(b)−1

6

= _∅. Si a, a′ _∈ _f₍_b₎−1 _entonces _b ₌ _f₍_a_{) y} _b ₌ _f₍_a′_{), de}

don-de f(a) = f(a′_{) y como es inyectiva} _a ₌ _a′_{. Definimos} _g _: _B _→ _A _{tal que}

g(b)_∈ f(b)−1_{, el ´}_{unico elemento. Es inmediato comprobar que}_g _{es inversa de}

f y por tantog=f−1_.

2.4.14. Proposici´on. Sean f :A →B y g :B →C aplicaciones invertibles. Entonces

(g_◦f)−1₌_f−1

◦g−1_.

Demostraci´on. Es un c´alculo directo.

Producto directo

Vamos a ver una extensión de la idea del producto cartesiano (1.4.4) que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el pro-ducto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto de ´ındices está ordenado, los identificamos, con la idea de extensión del producto

cartesiano a un n´umero finito de factores (v´ease 1.4.5).

2.4.15. Definici´on. Sea I un conjunto y F =_{Ai}i∈I una familia de

conjun-tos. Se conoce como producto directo de la familiaF al conjunto

Y i∈I

Ai ={f :I→ ∪i∈IAi | f(i)∈Ai}.

2.4.16. Notaci´on. Los elementos se denotan imitando la escritura de las pa-rejas ordenadas; es decir, sif ∈Qi∈IAi, escribimosf = (xi)i∈I.

Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementos repitiendo la lista en los ´ındices. No tenemos que seguir el orden de la lista, pero es conveniente y se acostumbra.

Por ejemplo siI=_{1, . . . , n_}, escribimos

A1× · · · ×An ={(x1, . . . , xn) | xi∈Ai}.

En caso de que no se quiera escribir a una familia con ´ındices, simplemente se presupone; es decir, a la familia _{A, B, C_} la vemos como _{A1, A2, A3} o

(22)

2.4.17. Ejemplos.

1. R2 ₌ _{_f _:_{₁_,₂_{} →}_R _| _f₍_i₎_∈_R_{, i}_{= 1}_,₂_} ₌ _{₍_x

1, x2) | xi ∈ R}, el

plano habitual.

2. Rn₌_{_f _:_{₁_{, . . . , n}_{} →}_R _| _f₍_i₎_∈_R_{, i}_{= 1}_{, . . . , n}_}_.

3. Qn∈NAn ={f :N→ ∪n∈NAn | f(n)∈An}, es un producto infinito.

De-notamos sus elementos tambi´en comof = (x1, x2, . . .).

Ya hemos comentado que el producto cartesiano con más de dos factores no es asociativo (véase 1.4.5). El producto directo tampoco lo es, pero todo puede identificarse. Por ejemplo existe una biyección entreA_×(B_×C) y (A_×B)_×C

que nos permite escribirA_×B_×C, e identificar (a,(b, c))_↔((a, b), c)_↔(a, b, c). La comprobación es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, pero en general depende del siguiente resultado que es mucho más simple. Esta parte la dejams para los lectores más curiosos.

2.4.18. Proposici´on. Sean I y J conjuntos y F = _{Ai}i∈I y G = {Bj}_j_∈_J

familias de conjuntos. Si existe una biyecci´on σ:I_→J, junto con un conjunto de biyecciones_{fi:Ai→Bσ(i)}i∈I entonces existe una biyecci´onf :Qi∈IAi→ Q

j∈JBj, dada por f(x)(j) =fσ−1₍_j₎ x(σ−1(j)).

Demostraci´on. N´otese que para cada x ∈ Qi∈IAi y cada j ∈ J, se tiene un

´

unico elementofσ−1₍_j₎ x(σ−1(j)), as´ı que la relaci´on es aplicaci´on. Vamos a

ver que es biyectiva. Consid´ereseg : Q_j_∈_JBi → Qi∈IAi, dada por g(y)(i) =

f−1

i (y(σ(i))) (n´otese quef−

1

i :Bσ(i)→Ai). Es claro que tambi´en es aplicaci´on.

Se afirma que son inversas. Seax_∈Q_i_∈_IAi. Entonces

g(f(x))(i) =f−1

i (f(x)(σ(i))) =fi−1 fσ−1₍_σ₍_i₎₎(x(σ−1(σ(i))))=

=f−1

i (fi(x(i))) =x(i).

De forma completamente an´aloga se tiene quef(g(y)) =y. Como tiene inversa, (2.4.13) nos asegura quef es biyectiva.

Producto directo arbitrario y axioma de elecci´on

Como acabamos de ver, el producto directo finito puede identificarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aqu´ı se desprende que si tengo una familia finita de conjuntos no vac´ıos, el producto de conjuntos es no vac´ıo. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer cap´ıtulo que el producto arbitrario de una familia de conjuntos no vac´ıos sea no vac´ıa.

Los enunciados que veremos a continuaci´on, son equivalentes. Es f´acil com-probarlo.

(23)

1. Sea I un conjunto arbitrario y _{Ai}_i_∈_I una familia. Si cada Ai no vac´ıo

entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto. O, equivalentemente

2. SeaI un conjunto no vac´ıo y{Ai}i∈I una familia de conjuntos no vac´ıos.

Entonces el producto directoQi∈IAi es no vac´ıo.

M´as adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras pro-piedades.

(24)

Cap´ıtulo 3

Orden

3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos

dis-tinguidos

Recordemos que una relaci´on binaria, correspondencia o simplemente rela-ci´on (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos con-juntos. En este cap´ıtulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde el conjunto inicial y el final, coinciden.

Comenzamos con una lista de propiedades que utilizaremos durante todo el texto.

3.1.1. Definici´on. Sea Aun conjunto y R una relaci´on enA. 1. Decimos queR es reflexiva si (a, a)_∈R, para todoa_∈A.

2. Decimos que R es sim´etrica si para a, b_∈A, cada vez que (a, b)_∈ R se tiene que(b, a)_∈R.

3. Decimos que R es antisim´etrica si dados a, b ∈ A tales que (a, b) ∈R y

(b, a)∈R, se tiene que a=b.

4. Decimos que R es transitiva si, dadosa, b, c∈A, cada vez que (a, b)∈R

y (b, c)_∈R se tiene que(a, c)_∈R.

3.1.2. Ejemplo. Se pide que como ejemplo se clasifiquen las siguientes relacio-nes.

1. Se puede comprobar que si A =_{a, b_} y B =_{1,2_} entonces existen 16 relaciones entreAyB. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas.

2. SeaA=NyaRbsi y solo sia+bes par.

3. SeaA=ZyaRbsi y solo siaybtienen distinta paridad. 4. SeaA=RyaRbsi y solo si

(25)

a) a_≤b.

b) a₆=b.

c) |a+b| ≤1.

5. SeaA=NyaRbsi y solo siadivide ab(se escribea|b). 6. SeaC un conjunto arbitrario yA=P(C). Definimos

a) aRbsi y solo sia_\b=b_\a.

b) aRbsi y solo sia_⊆b. 7. Sea A=R2 _{y (}_x

1, x2)R(y1, y2) si y s´olo si x1 < x2 o bien, si x1 =x2 se

tiene quex2≤y2.

3.1.3. Notaci´on. Sea(A,_≤)un orden parcial. Paraa, b_∈A, escribimosa < b

sia_≤b y adem´asa₆=b (tambi´en se escribeab).

3.1.4. Ejercicio. El orden que hemos visto en el Ejemplo 7 se conoce como “orden lexicográfico”. Se pide extender la idea de orden lexicográfico en dos direcciones. La primera a cualquier número de coordenadas. La segunda susti-tuyendoRpor un conjunto ordenado arbitrario.

3.1.5. Definici´on. Sea Aun conjunto.

1. Una relación _≤ en A se dice que es una relación de orden (o un orden parcial) si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

2. Un par (A,_≤), donde A es un conjunto y _≤es una relaci´on de orden en

A, se dice que es un conjunto ordenado (o parcialmente ordenado). Si el contexto no deja dudas sobre la relaci´on de orden, s´olo escribiremos queAes un conjunto ordenado.

3.1.6. Ejemplos. Los ejemplos 4a, 5, 6a y 7, son todos ´ordenes. Los otros no lo son.

Una propiedad notable de la relación “menor o igual” en todos los conjuntos de números es que dados dos números, siempre podemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor que el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de tricotom´ıa.

3.1.7. Definici´on. Sea (A,_≤)un conjunto ordenado.

Decimos que A satisface la ley de tricotom´ıa si, dadosa, b_∈A, ocurre una y solo una de las tres condiciones:

1) a=b. 2) a < b. 3) b < a.

3.1.8. Definici´on. Sea (≤, A)un conjunto ordenado.

1. Decimos que la relaci´on de orden≤es un orden total o lineal, si satisface la ley de tricotom´ıa.

(26)

2. En el caso anterior, diremos adem´as queA es un conjunto totalmente o linealmente ordenado.

3.1.9. Ejercicio. Considerar los conjuntos ordenados (A,≤) dados por los ejemplos 3.1.6. Decir cu´ales de ellos son conjuntos totalmente ordenados, razo-nando la respuesta.

Vamos a ver dos representaciones gr´aficas para conjuntos ordenados. La pri-mera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simple-mente diagrama de grafo de un orden parcial.

Consideremos a, b ∈ (A,≤), tales que a ≤ b, pero a 6= b; es decir, a < b. Entonces dibujamos una l´ınea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemos con todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito, con fórmula cuando sea posible) con la condición de no repetir ningún elemento deA. Además, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningún elemento consigo mismo.

3.1.10. Ejemplo. Sea C = _{1,2,3_} y A = _P(C) junto con la relaci´on de inclusion que ya vimos. El diagrama de Hasse asociado es:

{1,2,3_} {1,2} {1,3} {2,3} {1_} _{2_} _{3_} ∅ H H H H H H HH HH HH H H H H H H H H H H H H

La otra representaci´on, tambi´en bastante conocida se llama las “ζMatrices”. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se construye entonces la matriz

ζA con ´ındices enA, tal que

ζa,b= (

1 sia < b

0 otro caso

3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez,C=_{1,2,3_}yA=_P(C) junto con la relaci´on de inclusion que ya vimos. La representaci´on deζmatriz es

(27)

∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}             0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0            

Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables.

3.1.12. Definici´on. Sea(A,≤)un conjunto ordenado y a∈A. 1. Decimos quea es m´aximo deA, cuando b_≤a para todob_∈A

2. Decimos queaes el primer elemento o m´ınimo de A, cuandoa≤b, para todo b∈A

En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el máximo_{1,2,3_} es el que ocupa el extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior. En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el máximo tiene toda su columna 1 menos la entrada de él mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda su fila 1 excepto la entrada de él mismo.

3.1.13. Proposición. Sea(A,_≤)un conjunto ordenado. Entonces 1. SiA tiene máximo entonces éste es único.

2. SiA tiene primer elemento o m´ınimo entonces éste es único. Demostración. Se deja como ejercicio.

3.1.14. Definici´on. Sea(A,_≤)un conjunto ordenado y a_∈A.

1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que si

a≤b entoncesb=a

2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que si

b≤a entoncesb=a

3.1.15. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los ele-mentos notables, cuando los haya.

1. A=_n1 | n∈N , junto con el “≤” habitual. El m´aximo es 1 y no tiene primer elemento.

2. A = _{n_∈N | nes par_} junto con el “_≤” habitual. No tiene m´aximo. Tiene primer elemento 0.

3. A=N×Njunto con el orden lexicogr´afico. No tiene maximales y el primer elemento es el (0,0).

(28)

4. Un intervalo abierto enR. No tiene m´aximo, m´ınimo, maximales ni mini-males.

5. Un intervalo cerrado enR. El extremo de la izquierda es el minimo y el de la derecha es el m´aximo.

6. A = {a·N | 16=a∈N}, junto con la inclusi´on. Si a es primo entonces

a·Nes maximal. No hay minimales.

7. A=N\{0,1_}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales ni minimales. Tiene minimales. Todos los primos.

8. SeaC=_{1,2,3_}yA=_P(C)_\C, junto con la inclusi´on. EntoncesAtiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene m´aximo.

3.1.16. Definici´on. Sea (A,_≤)un conjunto ordenado, B _⊆Aun subconjunto yc_∈A.

1. Decimos quec es una cota superior deB enA sib_≤c, para todob_∈B

2. Decimos quec es una cota inferior deB en A sic≤b, para todob∈B

En los Ejemplos 3.1.15 se tiene. En (1) contenido enQ, 0 es cota inferior y to-do racionalq≥1 es cota superior. En (2) contenido enN, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3), (0,0) es cota inferior y primer elemento, tambi´en. En (4) y (5) contenidos enR, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del intervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo derecho del intervalo son cotas superiores. En (6) contenido en A_{∪ {}N,_∅}, se tiene queNes cota superior y_∅ es cota inferior. En (7), contenido enN\ {0_}, el 1 es cota inferior. En (8), contenido en_P(C), el_{1,2,3_}es cota superior.

3.1.17. Definici´on. Sea (A,≤)un conjunto ordenado, B ⊆Aun subconjunto yc_∈A.

1. Decimos que c_∈Aes el supremo (o extremo superior) de B enA si es el m´ınimo del las cotas superiores deB en A.

2. Decimos que c _∈ A es ´ınfimo (o extremo inferior) de B en A si es el m´aximo de las cotas inferiores de B en A.

3.1.18. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen el supremo e ´ınfimo de cada uno.

1. A=1_n | n∈N ⊂Q, junto con el “≤” habitual. El m´aximo y el supre-mo es 1. El ´ınfisupre-mo es 0.

2. A={n∈N | nes par} ⊂Njunto con el “≤” habitual. El ´ınfimo y primer elemento 0.

(29)

4. El intervalo [a, b]_⊂R. Supremob e ´ınfimoa.

3.1.19. Proposición. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆A un subcon-junto, con el orden deA. SiB tiene supremo (o ´ınfimo) enAéste es único. Demostración. Se deja como ejercicio.

El siguiente resultado nos muestra por qu´e podemos decir ´el supremo e ´ınfimo, en vez deun supremo o ´ınfimo.

3.1.20. Proposici´on. Sea (A,_≤) un conjunto ordenado y B _⊆A un subcon-junto, con el orden deA.

1. Si b∈B es un m´aximo (o m´ınimo) entoncesb es tambi´en el supremo de

B en A.

2. Si a_∈A es supremo (´ınfimo) deB enA y a_∈B, entoncesa es m´aximo (m´ınimo) deA.

Demostraci´on. Se deja como ejercicio.

3.2. Conjuntos bien ordenados.

Es inmediato comprobar que los números naturales, enteros, racionales y reales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una gran diferencia entre el orden de los números naturales y los enteros y los otros dos. A saber, podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier número entero (excepto el 0 en los naturales). Vamos a describir este fenómeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el concepto de conjunto bien ordenado.

3.2.1. Definici´on. Sea (A,≤)un conjunto ordenado. Diremos que es bien or-denado si todo subconjunto no-vac´ıo deAtiene un m´ınimo

3.2.2. Proposici´on. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. El rec´ıproco no se verifica.

Demostraci´on. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considero dos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A. ComoB no es vac´ıo, tiene primer elemento. De ah´ı se desprende la tricotom´ıa trivialmente.

3.2.3. Ejemplo. Consid´erenseN×Njunto con el orden lexicogr´afico. (1,1)<(1,2)< . . . <(1, n)< . . .

(2,1)<(2,2)< . . . <(2, n)< . . .

.. .

(30)

Intuitivamente, es claro que si tenemos un conjunto con un número deter-minado de elementos, entonces es posible hacer una lista estableciendo un buen orden entre ellos; de hecho, si existe una biyección entre dos conjuntos y uno tiene un buen orden, el otro podrá ser dotado de un buen orden (probarlo como ejercicio). En el caso de conjuntos arbitrarios, eso ha de ser un axioma. Se cono-ce como el principio de la buena ordenación. Es interesante hacer notar que este axioma es equivalente al axioma de elección (2.4.19) aunque la demostración excede los alcances de estos apuntes. Terminamos entonces con el enunciado.

3.2.4. Principio de la buena ordenaci´on. Si A es un conjunto no-vac´ıo, entonces existe una relaci´on de orden≤enAtal que(A,≤)es un conjunto bien ordenado.

(31)

Cap´ıtulo 4

Relaciones de equivalencia

4.1. Conceptos b´

asicos

Como hemos comentado, un m´etodo importante de las matem´aticas consis-te relacionar los elementos de un conjunto. Recordemos que en (3.1.1) vimos algunas propiedades de las relaciones. Vamos a trabajar con algunas de ellas.

4.1.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A_×A. Decimos queR es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. 4.1.2. Ejemplos.

1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto. 2. EnZ, para m_∈Z, la relaci´ona_∼5bsi y s´olo si 5|(a−b).

3. EnR, la relaci´ona∼b si y s´olo sia−b∈Z.

4. En los tri´angulos, la semejanza; es decir, tri´angulos cuyos angulos coinci-den.

5. ¿Cuándo una relación de orden es relación de equivalencia?

6. Sea A =_{a, b, c_} y R =_{(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(b, a),(a, c),(c, a)_}. De-terminar si es relaci´on de equivalencia.

Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente.

4.1.3. Ejemplo. Sea f :A_→B una aplicaci´on. Definimos la relaci´on

a∼a′ _⇔_f₍_a_{) =}_f₍_a′₎_.

Se puede comprobar que es relaci´on de equivalencia.

4.1.4. Notación. Si R es una relación de equivalencia enA y a, b_∈A están relacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas

(32)

2. Tambi´en, a_∼Rb

3. O la anterior, pero m´as corta si no causa confusi´on, a∼b.

4.2. Clases de equivalencia

SeaAun conjunto no vac´ıo yRuna relación de equivalencia enA. Para cada elementoa _∈ A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementos de A que estén relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta de trabajo importante en álgebra.

4.2.1. Definici´on. SeaA₆=_∅un conjunto yRuna relaci´on de equivalencia en

A. Para cadaa_∈A, su clase de equivalencia es el conjunto

[a] =_{b_∈A _| a_∼b_}.

Las siguientes propiedades son muy f´aciles de verificar:

4.2.2. Proposici´on. SeaA₆=_∅un conjuntoRuna relaci´on de equivalencia en

A. Las siguientes condiciones son equivalentes, paraa, b_∈A: 1. [a]_∩[b]₆=_∅.

2. a_∼Rb.

3. [a] = [b].

Demostración. (1⇒2) Six∈[a]∩[b] entoncesa∼xyx∼b, luego a∼b. (2⇒3) Por hipótesis,a∼b. Six∈[a] entoncesx∼ay comoa∼bse tiene quex ∼b, luego x∈ [b]. Análogamente se tiene que cualquier y ∈[b] verifica

y∈[a].

(3⇒1) Inmediato del hecho de que (a, a)∈[a].

Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a _∈ C entonces [a] = C, trivialmente. En este caso decimos queaes un representante deC.

Como se verá en los siguientes ejemplos, una correcta elección de los repre-sentantes puede simplificar mucho la descripción de las clases de equivalencia.

4.2.3. Ejemplos.

1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equiva-lencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cu´al de las tres condiciones falla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia.

a) EnZ, la relaci´ona_∼b si y s´olo sia+bes impar.

b) EnN×N, la relaci´on (a, b)_∼(c, d) si y s´olo sia+d=b+c.

c) EnA=_{1,2,3_}, la relaci´onR=_{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)_}.

d) En Z×Z\ {(0,0)_}, la relación (a, b) _∼ (c, d) si y sólo si ad = bc. ¿Qué pasar´ıa si incluyésemos al (0,0)?

(33)

e) EnZ, para m_∈Z, la relaci´ona_∼mb si y s´olo sim|(a−b).

f) En el conjunto de todas las rectas en el plano,_L, la relaci´onL1∼L2

si y s´olo si son paralelas.

2. Determinar las clases de equivalencia de (4.1.3).

4.3. Conjunto cociente

4.3.1. Definición. Sea Aun conjunto y Runa relación de equivalencia enA. Se conoce como conjunto cociente deA, respecto de la relación R, al conjunto de las clases de equivalencia de los elemtos deA respecto deR.

Se denotaA/R oA/∼R o simplemente A/∼.

4.3.2. Ejemplos [Correspondencias bien definidas].

1. Vamos a continuar analizando la situaci´on del ejemplo que aparece en (4.1.3). Recordemos que se tienen dos conjuntos A, B y una aplicaci´on

f :A→B. Se define una relaci´on dada pora∼a′_{si y solo si}_f₍_a_{) =}_f₍_b_).

Consideremos la correspondencia entre el conjunto cocienteg⊂A/∼ ×B, dada porg={([a], f(a)) | a∈A}. Queremos ver que es aplicación y que, como tal, es inyectiva. La particularidad que tiene esta correspondencia es que está definida en términos derepresentantes y no de clases generales. Esto nos obliga a comprobar que la correspondencia no depende del repre-sentante que se elija. Es decir que si [a] = [a′_{] entonces} _g_([_a_{]) =}_g_([_a′_]).

En este caso, es inmediato comprobar por (4.2.2) que [a] = [a′_{] implica}

quef(a) =f(a′_{), luego}_g_([_a_{]) =}_g_([_a′_{]). Decimos entonces que}_g_est´_{a bien}

definida.

Para abreviar, se suele abusar de la notación y definir directamente la pretendida aplicación g : A/ _∼→ B y luego afirmar y probar que la aplicación está bien definida.

2. El siguiente ejemplo puede resultar vistoso. Se considera la relaci´on de equivalencia enR, dada por

x_∼y_⇐⇒ x−y

2π ∈Z;

es decir, los números reales que distan en un múltiplo de 2π. Podemos entonces identificar a estas clases con los ángulos, al elegir a los repre-sentantes en el intervalo [0,2π). Para ello, considérese la circunferencia en el plano real de radio 1, con centro en (0,0), que denotamosC(0,1) o

S1_{. Entonces la aplicaci´on}_f _: _R_/ _{∼ −→} _S1 _{tal que} _f_[_x_{] = (cos}_x,_sen_x₎

est´a bien definida (en el sentido anterior) y es biyectiva.

Como ejercicio, podemos calcular los conjuntos cociente de los ejemplos y ejercicios anteriores.

(34)

4.4. Relaciones de equivalencia y particiones

En esta sección probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.

SeaAun conjunto no vac´ıo yRuna relaci´on de equivalencia. Consideremos el conjunto cociente A/ ∼ y cualquier elemento C ∈ A/ ∼. Sabemos que si

a, b_∈C entonces [a] =C= [b]. Adem´as de esto se tiene el siguiente resultado.

4.4.1. Proposici´on. Sea Aun conjunto no vac´ıo y Runa relaci´on de equiva-lencia. Las clases de equivalencia deRverifican las siguientes propiedades:

1. [a]∩[b] =∅ si y s´olo sia6∼b. 2. S[a]∈A/∼[a] =A.

Demostraci´on. 1. Inmediato de (4.2.2). 2. Sea b _∈ A. Como b _∼ b entonces

b_∈[b]_{⊂ ∪}[a]∈A/∼[a].

´

Este es un resultado importante dentro del ´algebra. De hecho, las familias de conjuntos que verifican estas propiedades tienen nombre propio.

4.4.2. Definici´on. Sean A e I conjuntos y P = {Bi}i∈I una familia de

sub-conjuntos. Decimos que la familiaP forma una partici´on paraAsi se verifican las siguientes propiedades.

1. Bi∩Bj =∅si y s´olo si i6=j.

2. La uni´on (disjunta) S_i_∈_IBi=A.

4.4.3. Observaci´on. Podemos separar la propiedad(1) en dos, si escribimos Para cadai_∈I, el conjunto Bi6=∅.

Parai, j∈I, si i6=j entoncesBi∩Bj=∅.

Es decir, los elementos de una partición son conjuntos no vac´ıos y disjuntos. As´ı que toda relación de equivalencia induce una partición. El rec´ıproco se verifica. Reuniendo todo se tiene el siguiente resultado.

4.4.4. Proposición. Toda relación de equivalencia induce una partición. Rec´ıpro-camente, toda partición determina una relación de equivalencia.

Demostraci´on. Ya hemos visto en (4.4.1) que toda equivalencia determina una partici´on (en clases de equivalencia). Vamos entonces a ver el rec´ıproco.

Sea_{Ci}i∈I una partici´on enA. Definimos la relaci´on

a_∼b _⇐⇒ a, b_∈Ci para alguna i∈I.

Se prueba entonces que es relaci´on de equivalencia y que las clases de equiva-lencia son justo lasCi.

(35)

Cap´ıtulo 5

Conjuntos num´

ericos

En este cap´ıtulo vamos a definir y a establecer las propiedades básicas de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos utilizando del lenguaje de los conjuntos. La presentación será formal, aunque no totalmente, pues puede alargarse y complicarse más de lo deseable para un primer curso.

5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos

5.1.1. Definici´on. Decimos que dos conjuntosX eY son equipotentes si existe una aplicaci´on biyectiva entre ellos.

5.1.2. Observación. Nótese que el ser equipotentes es una relación reflexiva, simétrica y transitiva, y aún cuando la colección de los conjuntos no sabemos bien qué es (lo que sabemos es que no es conjunto), podemos agrupar a los conjuntos en “clases de equipotencia”.

5.1.3. Definici´on. El cardinal de un conjunto es su clase de equipotencia.

Intuitivamente, podemos comprobar que los cardinales son colecciones dis-juntas y que todo conjunto tiene cardinal.

5.1.4. Notaci´on. Para un conjuntoA, denotamos su cardinal con_|A_|. Conjuntos finitos e infinitos

5.1.5. Definici´on. Decimos que un conjuntoAes infinito si existe un subcon-junto propio B A que es equipotente a A; es decir, que existe una biyecci´on

f :B_→A.

5.1.6. Definici´on. Decimos que un conjunto Aes finito si no es infinito.

Aunque no hemos definido formalmente el concepto de n´umero natural o entero (lo haremos en breve) intuitivamente sabemos trabajar con ellos. Los siguientes ejemplos nos pueden servir para fijar ideas.

5.1.7. Ejemplos. SeaP el conjunto de los n´umeros enteros pares yP+ _{el de}

(36)

1. Probar que_|N|=_|P+

|a través de la correspondencian_7→2n, conn_∈N. 2. Probar que_|Z|=_|P_|a través de la correspondenciam_7→2m, conm_∈Z. 3. Probar que|N|=|P|a través de la correspondencia

n7−→

(

n sines par.

−(n+ 1) sines impar. 4. Por tanto,_|N|=_|Z|.

5. Probar que sin∈NentoncesNn={x∈N | x≤n} es finito.

5.1.8. Definici´on. Un cardinal, decimos que es finito si tiene un representante finito. En otro caso decimos que es infinito.

Por ejemplo 0 =_|∅|. 1 =_|{∅}|. 2 =_|{∅,_{∅}}|.

y as´ı, sucesivamente, donde el significado de sucesivamente es:

5.1.9. Definici´on. Sea n un cardinal y consid´erese un representante A. Se conoce como el sucesor den, al cardinal n∗₌_|_A_{∪ {}_A_}|_.

5.1.10. Observación. En la definición anterior, nótese que el conjunto _{A_}

puede sustituirse por cualquier otro conjunto con un elemento que no pertenezca al conjuntoA. Es decir, six_6∈Aentonces_|A_{∪ {}A_}|=_|A_{∪ {}x_}|.

Para que la definición de sucesor tenga sentido, se necesita que el sucesor de un cardinal finito sea un cardinal finito y además que sea único. Vamos a verificar esas propiedades.

5.1.11. Proposici´on. Si A es un conjuinto finito entonces A_{∪ {}A_} tambi´en es finito.

Demostraci´on. Sea B = A∪ {A} y supongamos que B es infinito. Entonces existeB′₍_B_{, junto con una biyecci´on}_f _:_B_→_B′_.

Si B′ _⊂_A _{entonces componemos} _A _֒_→i _B _−−→f _B′_{, donde}_i _: _A _→ _B _{es la}

inclusi´on natural. Se tiene que_|A_|=_|Im(f_◦i)_|y por tantoAes infinito, lo cual es imposible. Si ocurre queB′_*_A_{entonces ha de ocurrir que} _A_∈_B′ _{y existe}

x_∈A_\B′_{. Hacemos}_C_{= (}_B′_{\ {}_A_}₎_{∪ {}_x_}_{. Claramente}_|_C_|₌_|_B′_|_{y aplicamos}

aC el caso anterior.

El siguiente ejercicio, junto con la proposici´on anterior, nos muestra que la definici´on de sucesor es consistente.

5.1.12. Ejercicio. Sea n un cardinal. Probar que siA y B son dos represen-tantes denentonces _|A_{∪ {}A_}|=_|B_{∪ {}B_}|.

(37)

Ahora consideramos la colecci´on de los cardinales finitos.

5.1.13. Definición. La colección de los cardinales finitos se conoce como los números naturales y se denota N.

No se puede demostrar, con los conceptos sobre conjuntos que hemos visto, que la colecci´on anterior sea conjunto. Lo asumimos como un axioma.

5.1.14. Axioma del infinito. La colecci´on de los n´umeros naturales es un conjunto.

El siguiente postulado será asumido sin demostración. El proceso excede con mucho el objetivo principal de este cap´ıtulo que es el conocimiento operativo del lenguaje de los conjuntos y sus propiedades. Para un estudio detallado véase por ejemplo [6] o [9]. concepto

5.1.15. Principio de inducci´on en los n´umeros naturales. SiA⊆Nes tal que

a) 1_∈A.

b) n_∈A_⇒n∗_∈_A

entoncesA=N\ {0_}.

Como veremos más adelante, cuando queramos probar una propiedad de los números naturales hay una técnica de demostración, que llamamos inducción matemática, que se deriva directamente del principio de inducción. Vamos a enunciarla.

5.1.16. Inducci´on matem´atica. Supongamos que se quiere demostrar una propiedadP(n), paran∈N. Los dos pasos siguientes son suficientes:

1. Se demuestra la validez de P(0) o P(1). Es decir, que la propiedad vale paran= 0 on= 1, como se quiera.

2. Se supone que P(n)es v´alida y a partir de ah´ı, se prueba la validez para

P(n+ 1). Es decir, se prueba que si es v´alida paran, lo es paran+ 1. Entonces, el principio de inducci´on nos asegura que el conjuntoP =_{x_∈N |

P(x)es verdadera_}=N; es decir, que la propiedad vale para todos los n´umeros naturales (tal vez, excepto el0, si no se consider´o).

Más adelante haremos varias demostraciones usando la técnica de la induc-ción matemática, pero ahora queremos hacer una muestra muy elegante y muy sencilla del uso de la inducción. Vamos a verlo.

5.1.17. Lema. Para todon∈Nel conjunto{1, . . . , n}es uno de sus represen-tantes.

Demostración. Aqu´ı la propiedad es que para n∈N, el conjunto {1, . . . , n} es uno de sus representantes. Lo probaremos por inducción. Para 0 no se verifica (ni se ha enunciado). Hemos definido _|{∅}| = 1. Es claro que _|{1_}| = _|{∅}|. Supongamos válido que el cardinal de _{1, . . . , n_} es n. Ahora, por (5.1.10) se