Trabajo de Verano 4º ESO ACADÉMICAS 17-18.pdf

Trabajo de

verano

Matemáticas orientadas a

las enseñanzas

académicas

4º E.S.O.

ÍNDICE:

REPASO DE FRACCIONES Y POTENCIAS. ... 3

NÚMERO REAL ... 3

ÁLGEBRA ... 6

FUNCIONES ELEMENTALES ... 10

SEMEJANZA. TRIGONOMETRÍA. GEOMETRÍA ANALÍTICA. ... 12

COMBINATORIA. PROBABILIDAD ... 14

SOLUCIONES: ... 17

- Los ejercicios se realizarán en hojas aparte.

- Se harán los ejercicios siguiendo el orden de numeración.

- Se incluirán las explicaciones oportunas para que se pueda comprender la respuesta, dando los pasos necesarios e indicando, en su caso, el porqué de las operaciones realizadas.

- Se valorará la presentación (letra clara, márgenes, títulos, numeración de páginas...)

- El examen de recuperación de la asignatura se hará en Septiembre.

- Se recomienda la realización de este trabajo. Se entregará el día del examen de septiembre al profesor de Matemáticas que corresponda.

- Los ejercicios propuestos no son exhaustivos. La preparación del examen de Septiembre incluye el repaso con el libro y el cuaderno del alumno.

REPASO DE FRACCIONES Y POTENCIAS.

1. Calcula paso a paso y simplifica el resultado:

a) 4 1 · 3 2 10 1 5 4 2 b) 2 1 3 2 )· 3 ( 4 3 · 2 1 8 1 c) 2 1 4 3 · 3 2 8 1 · 3 5 d) 30 1 5 6 · 3 5 4 1 · 3 2 15 13 e) 3 2 : 2 1 3 1 4 3 2 1 · 3 4 f) 5 1 : 6 1 6 1 5 4 · 3 2 1

2. Utilizando las propiedades de las potencias, reduce:

a) ₃ 3 4

8

2

·

4

b) _{0 2 3} 2 1 3 3 7 · 5 · 2 8 · 7 · 2 · 5 c)

2

2

4

2

8

3 3 4

d) _{2 2 0 2} 4 3 2

125

32

27

16

8

81

25

e) 2 6 3 4 2 7 : 7 2 · 7 2 f) 2 1 4

25

1

:

5

1

·

5

1

3. Calcula:

a)

6

12

:

(

2

)

2

5

·(

5

2

)

3

:

5

b)

1

2

2

·(

4

3

)

2

·(

9

8

)

13

c) _{1 0}

5 1 5 4 · 5 2 2 ´ 5 3 8 ´ 0 3 ´

1 

d) 0 3 3 3 2 0

4

1

2

2

3

1

3

2

2

3

e)

0

'



3

0

'

4

1

'

1

6



:

1

'

2

f)

2 1

2

1

1

:

11

3

·

7

4

1

11

3

4

7

NÚMERO REAL

4. Expresa en notación científica:

76 800 000

0’00078

– 0’000004327

5. Haciendo uso de la calculadora, expresa el resultado en notación científica: a) (3 · 105_{) + (6’32 · 10}6_{) + (5’91 · 10}3_{) =}

b) (1’04 · 10-2) – (3’5 · 10-3) =

d) (- 7’2 · 102) · (8’04 · 10-4) = e) (3’67 · 10-5) : (4 · 102) = f) (7’4 · 104) : (2’5 · 10-4) =

6. Indica el conjunto numérico más pequeño entre N, Z, Q y R al que pertenecen los siguientes números:

a)

3

'

8

1



b) 42

c)12´123123412345...

d) 3

₁₂₅

e)

2

2

1

7. Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales, irracionales y reales:

a) ; 3; 2'7; 2; 16 4

3 ; 3 '

4  b) ; 8; 8; 3 3

9 ; 1 ´

2 3

c) ; 2

4 3 ; 9 4 ; 27 ; 25 ;

31 3 _d) 2 3

3 ; 3 ; 3 ´ 1 ´ ; 3 1 ; 3 ´ 1

e) 3

8 ; 34 ; 1 ´ 2 ; 25 ´ 3 ; 5 2 ´

8  f) 3

5 3

2

2 ;log 25

9 1 log ; 8 log ; 100 log ; 1 log

8. Expresa en forma de intervalo y representa:

a) 3 x < 11 b) -4 < x c) -2 < x < 1 d) x 5 e) – 8 x - 4 f) x < - 1 9. Expresa en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:

a) (-2, 0) b) [3, 11) c) (- , 4] d) [-6, 3] e) (2,+ )

10. Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso:

a) mayores o iguales que –2

b) comprendidos entre -4 y 5, incluyendo el 5 pero no el –4 c) menores que 1

d) mayores que 0

e) comprendidos entre 1 y 3, incluyendo el 1 pero no el 3 f) menores o iguales que -3

11. Expresa en forma de potencia:

a) 7 b) 53 c) 3

5

2 d) 322 e)

2

3 f) 5

3

4

g) 7 36 = h) 46 1 i) 2 1

= j) 3 25 = k) 7 6

5 1

= l) 6

5

13 = 12. Simplifica los siguientes radicales:

a) 6

4

2 b) 6 6 9

27

8

y

x

c) 10105 d) 6

8

e) 9

₆₄

_f) 8 12 4 y x

13. Saca del radical los factores que sea posible:

a)

2

3

·

3

·

5

2 b)

120

c) 3144 d) 4

64

a

3

b

4 e)

72

a

5

b

3

c

f) 45xy6 14. Calcula y simplifica:

a) 3

a

2

·b

3 2 b) 3 4 c) 12 3 d)

2 3 4

₁₀₀

e) 1 3 2 1 3 2

15. Calcula las siguientes raíces:

a) 10

₁₀₂₄

_b)3

₃₄₃

_c)4

₁₂₉₆

_d)5

₂₄₃

16. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a)

3

·

15

b)

14

·

7

c)

3

20

·

5

6

d) 8 32 e) 3 3 8 216 f) 2 128

g) _2·3_2·4_{2 h)}

3 1 · 3 5 l) 2 16 3 j) 3 2 3 5 2 ab b a k) 4 3 5 10

l) _a·3_a2_b·6_a3_b2

17. Efectúa las siguientes sumas y restas con radicales:

a)

18

2

50

5

8

b)

5

45

180

80

c) 75

5 3 27 3 2 48 2 3 12

4 d)4

₃₂

₃

4

₁₆₂

₃

4

₁₂₅₀

e)

75 18 3 2

f) 48

4 27 3

18. Racionaliza:

a)

5

1

b)

2

3

c)

6

2

d) 3

2

3

e)₃

4

8

f) 3

₄

2

5

g)

2

1

1

h)

2

6

3

i) 2 5 5 j)

3

2

4

19. Racionaliza (simplificando antes o después) las siguientes expresiones:

a) 3 3 2 2 3 3 2 2 b) 3 1 1 3 1 3 2 5 2 3 c) a a 2 d) 18 8 3 6 18 6 4 2 e)

2

3

2

2

3

3

f) 12 2 2 1

20. Calcula:

a) log₂2 f)

log

₃

(

9

)

k) log₄1

b)

log

₃

9

g)

log

₂

8

2

l)log₄0´0625

c)

log

₃

81

h)

log

₂

8

m)

log

8

2 1

d) log₄16 i)

4

1

log

₂ n)

log

3

3 e)log20´5 j)

log

125

5

o)log2(log22) 21. _{Aplicando la definición de logaritmo, calcula el valor de x en las siguientes expresiones:} a)

log

_x

36

4

b)

log

₅

x

3

c)

₂

log28

x

d)

log

_x

100

3

e)

2

1

log

₄

x

f)

log

x

3

22. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a)

log

64

5

log

5

3

log

₇

7

10

log

1

3

b)

·log

121

3

1

log

1

log

3

32

log

2 2 3 11

c)

log

0

´

5

36

1

log

2

´

0

log

9

1

log

_{5 6 2}

3 1

23. _{Halla el valor de x en las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de los logaritmos:}

a)

log

x

log

17

log

13

e)

log

x

log

5

2

log

15

b)

log

x

log

36

log

9

f)

log

4

2

1

1

log

x

c)

log

x

3

log

5

g)

log

25

2

1

2

log

4

log

x

d)

log

x

log

12

log

25

2

log

6

h)

log

27

log

3

2

1

9

log

2

log

x

ÁLGEBRA

24. Opera y simplifica:

a) 2 (x2 – x – 1) – (x – 2)·(4x – 6) =

b) (2x – 3)2 + (1 – x)·(1 + x)– (3x2 + 2x – 5) =

c)

3 ) 2 ( 4 ) 1 4 ( 2

) 2 (

3 x

x x x

x

d)

2 ) 2 )( 2 ( 4

) 3 2 ( 3 ) 1

( 2 x x x

x

25. Halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a) (2x3 – 7x2 – 13x) : (2x + 3)

b) (2x4 – 3x3 + 6x – 8) : (x2 – 2)

c) (5x4 – 2x3 + 3x – 1) : (x2 – 2x + 3)

d) (2x4 _{+ 6x}3 _{– 5x}2 _{– 10x + 2) : (2x}2 _{– 4)}

26. Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a) (5x3 + 4x2 – 3x – 1) : (x – 2)

b) (2x3 – 3x2 – 11x + 2) : (x – 3)

c) (x4 – 5x2 + x – 2) : (x + 2)

d) (3x4 + x3 – 4x – 7) : (x + 3)

e) (3x5 – 15x4 – x2 – x + 30) : (x – 5)

27. a) Utiliza la regla de Ruffini para calcular P(2), P(5), P(-3) en el polinomio P(x) = 2x3 – 4x2 + 3x – 1

b) El polinomio P(x) = 4x4 – 3x2 + 12x + 8 ¿es divisible por x + 2?

c) Comprueba si x = 2, x = -1, x = -4 son raíces del polinomio P(x) = x3 + 4x2 – 2x – 8.

28. Halla el valor de m en cada uno de los siguientes casos:

b) Para que la división (x4 – 3x3 + 2x + m):(x + 2) tenga resto 16.

c) Para que -2 sea un cero del polinomio P(x) = x2 – 3x3 + 2mx – 4.

d) Para que (x – 3) sea un factor de P(x) = x3 – 6x2 + 2x - 2m + 2.

e) Para que la división (x2 + 4x – m) : (x + 3) sea exacta.

f) Para que la división

2 1 : 2 3 3 x mx

x sea exacta.

29. Saca factor común cuando sea posible y utiliza las identidades notables para factorizar estos polinomios:

a) 9x5 – 6x4 + x3 b) 5x3 – 5x c) 4x4 – 12x² + 9

d) 3x² + 30x + 75 e) 9x3 + 24x2 + 16x

30. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2x2 + 4x – 6 b) 2x2 + 7x – 4 c) x3 + 2x2 – x – 2 d) 2x4 – 7x3 + 6x2 e) x3 – 2x2 – 5x + 6 f) 2x4 – 5x3 – x2 + 6x g) x4 – 3x3 – 19x2 + 27x + 90 h) x5 – x4 – x3 – x2 – 2x

31. Opera y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) 1 1 1 4 3 2 2 x x x x x b) 3 3 9 1 2 2 x x x c) 2 1 : 1 4 4 x x x c) 1 1 1 2 x x x d)

4

2

2 2 3 2

x

x

x

x

x

e)

2

1

2

1

x

x

32. Opera y simplifica el resultado cuando sea posible:

a)

2

5

3

1

3

x

x

x

x

b)

4

3

2

1

2

2

x

x

x

x

c)

2

:

₂

2

x

x

x

x

d)

4

4

1

·

1

2

2 2

x

x

x

x

x

e)

9

8

2

:

3

6

2

2

x

x

x

x

f)

₁

1

1

1

3

1

1

2

2

x

x

x

x

x

x

g)

1

5

·

1

1

x

x

x

h) 2 3 3 2

·

1

1

1

x

x

x

x

x

i)

1

:

1

x

x

x

x

x

x

j)

1

1

1

2

·

1

1

₂

x

x

x

x

33. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer y segundo grado:

a)

6

1

2

9

2

5

3

2

7

x

x

x

3

)

1

(

2

2

3

5

2

4

)

2

(

3

x

x

x

b) (2x + 1)2 = 1 + (x + 1) (x – 1) 2x + 3 (x – 4)2 = 37 + (x + 3) (x – 3)

c)

6

12

3

2

3

2 2

x

x

x

4

1

1

3

2

2

x

2

x

x

d) x(x 3) (x 4)(x 4) 2 3x

3

x

2

2

1

x

1

2 e) ( x + 9 ) ( x – 9 ) = 3 ( x – 27)

2

3

5

)

2

)(

2

34. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas de grado superior:

a) x³ - 12x² + 41x – 30 = 0 b) x3 - 7x2 + 7x + 15 = 0 c) x3 - 2x2 – x + 2 = 0

d) x4 + x3 - 16x2 - 4x + 48 = 0 e) 3x4 - 2x3 - 3x2 +2x = 0 f) x3- 2x2 - 5x + 6 = 0

g) 4x3 + 4x2- x – 1 = 0 h) 6x4 + x3 - 7x2 – x + 1 = 0 i) x3- 4x = 0

35. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

a) x4 – 13x2 + 36 = 0 b) 4x4 – 257x2 + 64 = 0 c) x4 – 25x2 +144 = 0 d) x4 – 6x2 + 8 = 0 e) 2x4 –30x2 -32= 0 f) x4 + x2 - 6 = 0

36. Resuelve las siguientes ecuaciones factorizadas:

a) x·( x – 4 )·( x2 –2 )=0 b) ( x + 2 )·( x2 – 1) ·( x + 3 ) = 0

c) (x-3)·(x2-25)·(x+1) = 0 d) x2·(x+4)·(x2+1) = 0

37. Resuelve y recuerda comprobar las soluciones:

a) x2 7 2x 2

b)

2

x

3

x

7

c) 1 2 7 ² x x

d)

x

4

x

1

3

e)

2

x

6

x

1

3

f)

x

x

2

2

38. Resuelve y recuerda comprobar las soluciones:

a) 4 7 x x 2 2 x 1 b) 4 2 1 2 1 3 x x x x c) 2 2 3 1 1 )² 1 ( x x x x d) 12 5 1 3 1 2 x

x e) 2 5

8

x

x f)

x x x 1 4 1 2 3 2

39. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 32x 1 81 b)

625 1

52x2 3x 6 c) 2 3 5

81

3

x

d) 3 3

16

2

x e) 3x 2 9x1 84 f) 52x 30·5x 125 0

g) 3x 3x 1 3x1 297 h) 2x 2x1 2x 2 56 k) 42x 20·4x 64 0 40. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a)

log

₂

(

x

2

15

)

6

b) log3x log40 2

c) 2logx log(15 2x)

d)

log

₃

(

10

x

2

9

)

4

e) log₂(x 1) log₂3 1 f) logx log2 1

g) 2logx 2 log(x 16) h) log20x log2x 3 i) logx log2 2log(x 3)

41. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

2

3

3

2

y

x

y

x

b)

7

3

4

3

2

y

x

y

x

c)

y

y

x

y

y

x

5

)

4

(

3

3

1

)

2

(

5

d)

9

5

2

1

4

3

y

x

y

x

42. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales.

a)

0

2

4

1

y

xy

y

x

b)

5

2

3

6

2

2 2 2 2

y

x

y

x

c)

3

2

)

3

(

2

y

x

x

x

d)

12

5

3

2

2 2

xy

y

x

43. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa su solución:

c)

2

3

6

5

x

x

x

d) 2(3 2)

3 1 3

2x x x e)

6

1

2

9

2

5

3

2

71

x

x

x

f)

8

1

2

8

1

5

x

x

x

x

44. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

a)

x

2

5

x

6

0

b)

x

2

2

x

0

c)

x

2

2

x

15

0

d)

2

x

5

x

2

2

x

16

e)

x

2

3

x

6

8

2

x

f)

x

2

4

x

21

0

g)

2

(

x

6

)

x

(

x

3

)

h)

2

x

2

3

x

2

x

i)

(

x

2

)·(

x

3

)

0

45. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

1

3

0

1

2

x

x

b)

x

x

x

5

)

1

(

3

4

1

2

c)

1

7

3

2

3

2

x

x

x

x

d)

2

)

3

(

2

1

)

1

(

3

2

x

x

x

x

x

e)

x

x

x

2

3

0

5

1

f)

18

3

2

3

6

5

3

4

5

1

5

16

2

)

2

(

3

x

x

x

x

x

x

g)

x

x

x

x

x

x

3

1

4

2

4

2

3

3

1

h)

9

3

2

0

12

2

x

x

x

i)

8

2

3

0

10

7

2

x

x

x

46. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 8 cm y la altura sobre este lado mide 1 cm menos que otro de los lados del triangulo. Calcula la longitud de dicho lado

47. En un rectángulo de base 70 m y altura 30 m, se disminuye la base en 10 m. ¿Cuánto debe aumentar la altura para que resulte la misma superficie?

48. El tronco de un gato mide de largo la mitad de su longitud total y la cabeza mide 6 cm, lo mismo que la cola. ¿Cuánto mide el gato?

49. La valla del patio rectangular de un colegio mide 3 600 m. Si su largo es el doble que su ancho, halla las dimensiones del patio.

50. Los libros de Historia de una biblioteca son el doble que los de Matemáticas y Física juntos. Y el triple que los de Matemáticas menos los de Física. De Física hay 15 libros. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca? ¿Cuántos son de Matemáticas? ¿Cuántos son de Historia?

51. En un aparcamiento caben 55 vehículos, entre coches y camiones. Si estacionan 15 camiones menos y se triplica el número de coches que entran, pueden aparcar 100 vehículos. ¿Cuántos coches y camiones pueden estacionar en el aparcamiento?

52. Calcular la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno mide 7 metros más que el otro y que la hipotenusa mide 13 metros.

53. La entrada a una piscina cuesta el doble a una persona mayor que a un niño. Una familia compuesta por el padre, la madre y tres niños ha pagado 24´5 €. Averigua el precio de la entrada para una persona mayor y para un niño.

55. En el patio del instituto hay el doble de estudiantes que en el gimnasio, pero 9 de estos últimos han salido al patio, y ahora en el patio hay cinco veces el número de alumnos de los que permanecen en el gimnasio. ¿Cuántos estudiantes había al principio en cada sitio?

56. Con 74 euros puedo comprar exactamente 12 entradas de cine y 2 de teatro, o 5 entradas de cine y 7 de teatro. ¿Cuánto cuesta la entrada de cine y cuánto la entrada de teatro?

57. Halla dos números tales que su suma sea 6 y la de sus cuadrados sea 26.

58. Halla dos números consecutivos que multiplicados den 156.

FUNCIONES ELEMENTALES

59. Pablo salió de su casa a las 8 de la mañana para ir al instituto. En el recreo, tuvo que volver a su casa para ir con su padre al médico. La siguiente gráfica refleja la situación:

a) ¿A qué hora comienzan las clases y a qué hora empieza el recreo?

b) ¿A qué distancia de su casa está el instituto?

c) ¿A qué distancia de su casa está el consultorio médico?

d) ¿Cuánto tiempo ha estado en clase? ¿Y en el consultorio médico?

60. Dada la función a través de la siguiente gráfica:

a) Indica cuál es su dominio de definición.

b) ¿Es continua? Si no lo es, indica los puntos de discontinuidad.

c) ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y cuáles los de decrecimiento de la función? ¿Qué ocurre en el intervalo (- ,-2]?

61. Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:

a) D (f ) = [-5, 6]

b) Crece en los intervalos (-5, -3) y (0, 6); decrece en el intervalo (-3, 0). c) Es continua en su dominio.

d) Corta al eje X en los puntos (-5, 0), (-1, 0) y (4, 0). e) Tiene un mínimo en (0, -2) y máximos en (-3, 3) y (6, 3).

62. Construye una gráfica que represente la audiencia de una determinada cadena de televisión durante un día, sabiendo que:

A las 0 horas había, aproximadamente, 0,5 millones de espectadores. Este número se mantuvo prácticamente igual hasta las 6 de la mañana. A las 7 de la mañana alcanzó la cifra de 1,5 millones de espectadores. La audiencia descendió de nuevo hasta que, a las 13 horas, había 1 millón de espectadores. Fue aumentando hasta las 21 horas, momento en el que alcanzó el máximo: 6,5 millones de espectadores. A partir de ese momento, la audiencia fue descendiendo hasta las 0 horas, que vuelve a haber, aproximadamente, 0,5 millones de espectadores.

63. Representa las siguientes funciones lineales. Indica cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de ellas:

a) y = 2x – 3 b) y = - x + 5 c) y =

4 1

64. Asocia, razonadamente, cada una de las rectas del margen con su expresión analítica.

a) y = 0,5 x

b) y = -3x

c) y = x + 3

65. a) Halla la ecuación de la recta que tiene pendiente -3 y que pasa por el punto P(1,5).

b) Halla la ecuación de la recta que tiene ordenada en el origen 2 y que pasa por el punto P(-2,3).

c) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(3,6) y Q(-1,2).

d) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,1) y es paralela a la recta y = -2x – 3.

e) Halla la ecuación de la recta de la gráfica:

66. Tres kilos de peras nos han costado 4,5 €; y, por siete kilos, habríamos pagado 10,5 €. Encuentra la ecuación de la recta que nos da el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x. Represéntala gráficamente.

67. Una empresa A de alquiler de coches cobra 4 € por cada hora. Otra casa B cobra una cantidad fija de 9 € más 3 € por cada hora. Expresa en cada caso el coste en función del número de horas. Haz la representación gráfica de ambas funciones y razona cuándo interesa alquilar un coche en la casa A y cuándo en la casa B.

68. Realiza un estudio completo de dichas funciones, indicando vértices y puntos de cortes con los ejes, si los hay. Represéntalas.

a) y = x2 – 5x + 6 b) y = x2 – 4x + 4 c) y = 2x2 - 8 d) y = - x2 + 3x – 2

e) y = 4x2 + 8x – 5 f) y = x2 + 3x – 4 g ) y = 8 – 2x – x2 h) y = x2 - 6x + 8

69. Representa gráficamente las siguientes funciones, indicando el dominio y recorrido de cada una de ellas:

a) f(x) = 3x + 10 b) f(x) = 5x + 1 c) f(x) = -2 d) f(x) = - x – 5 e) f(x) = x2 – 1 f) f(x) = 1 – x2 g) f(x) = 2x2 – 8 h) f(x) = x2 - 5x + 4 i) f(x) = 2x2 – 5 70. Calcula los puntos de corte con los ejes de estas funciones y represéntalas:

a) y = 3/x b) y = 4/x – 5 c) y =

x

4

d) y =

x

2

e) y = 3x

f) y = 4x g) y = 0’2x h) y = log x i)

x si

x

x si

x si x

y

4 10

4 1

2

1 3

2 71. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y =

1 4

3 5

x x

e) y = 2x4 – 3x2 +1 f) y =

x

x 3

3

2 ₂ g) y = 3

x

2

2

x

h) y = 5/x i) y = ₂

2

6

5

1

3

4

x

x

x

x

72. a) Halla el valor de a y de c para que la parábola y = ax2 – 2x + c tenga vértice V(-1,3). b) Halla el valor de a y de k para que la función y = kax pase por los puntos (0,2) y (1,6).

SEMEJANZA. TRIGONOMETRÍA. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

73. Halla las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del ángulo α:

74. Encuentra un ángulo del segundo cuadrante cuya tangente vale -3/4 y calcula el valor de las demás razones trigonométricas.

75. Calcula “h” en el triángulo:

76. Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90°). 77. Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente.

78. Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde

a) ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?

b) ¿Qué distancia separa ambas casas

80. a) Sabiendo que sen x= 0´64 y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula las demás razones trigonométricas.

b) Calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora y utilizando el apartado anterior cuando sea necesario:

a) cos(180° - x) b) tg(-x) c) cos 240° d) sen 1830° e) tg 225° f) sen (-300°)

81. Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75°.

82. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, sabiendo:

a) La hipotenusa a = 8 cm y el ángulo C = 47°16’ 34’’

b) Los catetos b = 9,3 cm y c = 4,1 cm

c) La hipotenusa a = 6,4 cm y el cateto c = 3,8 cm

d) Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60°

83. Desde el lugar donde me encuentro, la visual a la torre de una Iglesia forma un ángulo de 52° con la horizontal. Si me alejo 25 m más de la torre, el ángulo es de 34°. ¿Cuál es la altura de la torre?

84. Calcula los valores de las siguientes expresiones, sin calculadora:

a) 2.tag 30° + 5·tag 240° - cos 270°

b) cos 60° + sen 150° + sen 210° + cos 240°

85. Halla las restantes razones trigonométricas de α:

a) Si sen α = -2/3 y α es un ángulo del tercer cuadrante.

b) Si cos x = 1/3 y π < x < 2π.

c)Si tag α = 3/2 y α es un ángulo del tercer cuadrante.

86. Resolver las siguientes ecuaciones

a) cos x =1/ 2 b) sen x = - 1/ 2 c)tag x = 1

87. Resolver las siguientes ecuaciones

a) sen2α + cos α = 1 b) 2senx = 3

c) 2cos2 x – sen2 x + 1 = 0 d) 2cos2 x + sen x = 1

88. Dados los puntos A(3, 4) y B(-1,5), calcula las coordenadas del vector AB y su módulo. 89. Halla las coordenadas del punto medio del segmento AB de coordenadas A(3 , 1) y B(-5 , 3)

90. Halla las coordenadas del punto simétrico de A(-2 , 4) respecto de P(0 , 3)

91. Comprueba si los puntos (5 , 2), (-1 , 1), (-7 , 0) están alineados

92. Averigua el valor de k para que los puntos (-2 , 5), (3 , 7), (13 , k) están alineados

93. Escribe la ecuación de las rectas siguientes en todas las formas posibles:

b) recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(1,-4)

c) recta que pasa por A(5,-2) y es paralela a

t y

t x

2 1

94. Escribe la ecuación de la recta paralela a la recta r: x - 2y – 5 = 0 y que pase por el punto P(4 , -1)

95. Dado el triángulo de vértices A(-5 , 2), B(2 , 6) y C(3 , -1), calcula:

a) Ecuación del lado AC.

b) Ecuación de la recta que pasa por B y es perpendicular al lado AC.

c) Ecuación de la recta que pasa por C y por el punto medio del lado AB

96. Dado el triángulo de vértices A(2,3), B(6,4), C(4,9), halla las coordenadas de los puntos medios de los lados.

97. Calcula la distancia entre los puntos A(-3 , 4) y B(4 , -2)

98. Comprueba que el triángulo de vértices A(-1 , -4), B(1 , -1) y C(4 , -3) es isósceles y rectángulo.

99. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(2, -1) y radio 5.

100. Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por P(2, 3) y tiene centro en el punto C(1, -1)

COMBINATORIA. PROBABILIDAD

101. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes pueden escribirse con los dígitos impares?

102. ¿Cuántos números de tres cifras pueden escribirse con los dígitos impares?

103. Un grupo musical va a grabar 8 canciones para un disco. ¿De cuántas formas diferentes pueden ordenar los temas?

104. ¿Cuántas palabras de cuatro letras diferentes, tengan sentido o no, puedo formar con las letras de la palabra CARLOS?

105. Un grupo de seis amigos buscan un móvil que ha perdido uno de ellos, para hacerlo, se dividen en grupos de tres y lo buscan en diferentes sitios. ¿Cuántos grupos de tres amigos pueden formar?

106. De una baraja de 40 cartas, elijo dos de ellas, ¿cuántos resultados distintos puedo obtener?

107. Cinco amigos van a una fiesta de disfraces. Disponen de cinco trajes, uno para cada uno, ¿de cuántas formas distintas pueden intercambiárselos?

108. Calcula:

5 5 , 9 4

, 7 3

, 7 3

3 , 6

) )

) )

P V d C

c C

b P

V a

109. ¿Cuántos números naturales de seis cifras distintas hay?

110. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las letras de la palabra LIBRO?

111. Para decidir los ganadores de un concurso de poesía, un profesor debe elegir de jurado a 3 de sus 22 alumnos. ¿De cuántas formas diferentes puede realizar su elección?

113. La Organización de las Naciones Unidas decidió unificar las abreviaturas de los países, asignando a cada uno tres letras de las 26 del alfabeto latino. Así, ESP (España), EEU (Estados Unidos), FRA (Francia), etc. ¿Cuántas abreviaturas de este tipo podrán formarse?

114. Los números de los décimos de la Lotería Nacional tienen cinco cifras que se pueden repetir. Si por error un día se les olvida introducir en los cinco bombos el número 0, ¿cuántos posibles números habrá como candidatos al premio?

115. En un examen de Matemáticas, Sara tiene que elegir 8 ejercicios de los 10 que le ha puesto el profesor. ¿Cuántas posibilidades de elección tiene?

116. Ocho ciclistas van por el carril bici en fila. ¿De cuántas formas pueden ir ordenados?

117. A una familia de 6 personas les ha tocado un viaje para dos personas. ¿De cuántas formas se pueden repartir el viaje?

118. Para hacer una transferencia bancaria, Marta tiene que teclear una clave de acceso que consta de 8 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas claves distintas puede formar?

119. Calcula los siguientes sucesos y sus probabilidades al lanzar un dado: a) A = {impar} b) B = {múltiplo de tres}

c) C = {mayor que cuatro} d) D = {número primo}

e) F = {par} f) G = {menor o igual que cuatro}

g)

A



B

h)

B



F

i) D



F j) G



C

120. Tenemos una urna con 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Si sacamos 3 bolas de la urna, sin devolución, entonces:

a) Hallar el espacio muestral de este experimento b) Formar los sucesos (sacar los resultados) de: A = la última bola sacada es roja

B = sólo se ha sacado una bola roja C = Se han sacado, al menos, 2 bolas rojas

D = No se han sacado dos bolas seguidas del mismo color

121. Extraemos una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que: a) Sea figura pero no de oros.

b) Sea copa pero no figura. c) Sea oro o basto.

d) No sea figura de espadas ni sea oro.

122. Vamos a comer a un restaurante; en el menú del día, como primer plato tenemos sopa (S) y ensalada (E); de segundo plato, pasta (P), trucha (T) y filete (F); y de postre, natillas (N), helado (H) y café (C). Hacer un diagrama de árbol con todas las posibilidades. ¿Cuántos posibles menús hay?

123. Lanzamos un dado cúbico (6 caras), numeradas del 1 al 6, y observamos la puntuación obtenida. a) Escribe el espacio muestral

b) Escribe los siguientes sucesos:

A = “obtener número par” B = “obtener más de 3” C= “obtener menos de 3” D = “obtener más de 8” F = “obtener menos de 8”

c) ¿Qué sucesos es más probable, el B o el C? d) ¿Cuál de los anteriores es un suceso imposible? e) ¿Cuál de los anteriores es un suceso seguro?

125. En una bolsa hay bolas iguales de tres colores: 3 blancas, 4 verdes y 5 rojas. Si se saca una bola y se mira el color, halla la probabilidad de que:

a) Sea blanca b) Sea verde c) Sea roja d) No sea verde

126. Si lanzamos simultáneamente 2 monedas al aire, calcula la probabilidad de: a) Sacar dos caras

b) Sacar dos cruces

c) Sacar cara en una moneda y cruz en la otra

127. Una caja contiene 10 bolas, 7 blancas y 3 negras. Si se sacan 2 bolas al azar, a) escribe el espacio muestral

b) calcula la probabilidad de:

b1) Los dos sean del mismo color, con reemplazamiento b2) Las dos sean del mismo color, sin reemplazamiento

128. Acuden a una cena 28 hombres y 32 mujeres; de postre, han comido flan 16 hombres y 20 mujeres; el resto han comido tarta. Si elegimos al azar uno de los comensales, calcula la probabilidad de que:

a) sea hombre b) haya comido tarta

c) sea hombre y haya comido flan

129. Tenemos una bolsa de caramelos con 10 de sabor a fresa, 7 de menta y 5 de limón. Si sacamos 3 caramelos, ¿cuál es la probabilidad de que sacar 2 de menta y 1 de fresa?

130. Sacamos 3 cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de obtener exactamente 2 bastos:

SOLUCIONES:

1. -22/15; -1/7; 13/8; -13/18; -1; 203/90 2. 24; 5/7; 29; 510/(36·220) ;(7/2)10; (1/5)7 3. 24; 25; 1/12; -1/8; 2/3; 63/260 4. 7´68 · 107; 7´8 · 10-4; -4´327 · 10-6

6. Racionales; enteros; irracionales; enteros; naturales 8. [3, 11); (-4, +∞); (-2, 1); [5, + ∞); *-8, -4]; (-∞, -1) 9. -2 < x < 0; -3 ≤ x < 11; x ≤ 4; -6 ≤ x ≤ 3; 2 < x 10. [-2, + ∞); (-4, 5]; (-∞, 1); (0, +∞); *1, 3); (-∞, -3]

11. 71/2; 53/2; 52/3; 22/3; 23/2; 34/5; 63/7; 6-1/4; 2-1/2; 52/3; 5-6/7; 513/6

12.

x

y

y

x

3 3

2 3 3

;

2

;

2

;

10

;

3

2

;

4

13.

10

6

;

2

30

;

2

3

18

;

2

_b

4

4

_a

3

;

6

_a

2

_b

2

_abc

;

3

_y

3

5

_x

;

14. a) 23 ;

a

ab b) 3 2;

c)

192

3

; d) 10;e)

4

3

15. 2, 7, 6, 3, 6

16.

₃

₅

_;

₇

₂

_;

₂

₂

_;

₂

_;

₃

_;

₈

_;

₂

12

₂

_;

10

₃

3

_;

6

₂

5

_;

_a

6

₍

₈

_a

_/

₂₅

_b

₎

_;

12

₂

5

_·

₅

2 17.

3

2

;

6

5

;

7

3

,

7

5

6

,

4

4

2

,

2

6

/

15

,

5

2

/

4

,

13

3

/

2

19. a) ;

19 35 6 12

b) ;

78 57 63 41

c) ;

4 2

a a a

d) ;

6 3 9 2 3 6 3

e) 3 5 2;

f) ;

4 6 2 3 2 1

20. 1; 2, 4, 2, -1, no, 7/2, 6, -2, 1/3, 0, -2, -3, 2, 0 21. a)

6

; b) 125; c) 8; d) 3

₁

_/

₁₀₀

_{; e) 1/2 ; f) 1/1000} 22. 15, 7, 2

23. 221; 4; 125; 25/3; 1125; 20; 16/5; 3/2

24. -2x2 + 12x – 14; -14x + 15; (-15x2 – 20x + 16)/6; (6x2 + 2x – 13) /4

25. C(x)=x2 –5x+1; r=-3; C(x)=2x2 –3x+4; r=0; C(x) = 5x2 + 8x + 1, r(x) = -19x-4; C(x)= x2 +3x –1/2, r(x)=2x 26. a) C(x)= 5x2+14x+25; r=49; b) C(x)=2x2+3x-2, r=-4; c) C(x)=x3 –2x2 –x+3, r=-8; d) C(x)=3x3-2x2+6x-22, r=59; e)C(x)=3x4+x3+5x2+24x+119, r=625

27. a) 5; 164; -100;b) no; c) 2 no es raíz, -1 no es raíz, -4 es raíz. 28. a) m = 3; b) m = -20; c) m = 6; d) m = -19/2; e) m = -3; f) m = 3/8 29. x3 ·(x + 5)2; 5x(x + 1) (x – 1); (2x2 + 3)2; 3(x + 5)2; (3x + 4)2

30. a) 2·(x-1)·(x+3); b) 2·(x-1/2)·(x+4); c) (x-1)·(x+1)·(x+2); d) 2x2·(x-2)·(x+3/2); e) (x-1)·(x+2)·(x-3); f) x·(x-2)·(x+1)·(2x-3); g) (x+2)·(x-3)·(x+3)·(x-5); h) (x+1)·(x-2)·(x2+1)

31. a) ) 1 )( 1 ( 2 2 2 2 3 x x x x x x ;b)

)

3

)(

3

(

8

5

x

x

x

;c) 1 8

x ;d)

(

2

)(

1

)

3

x

x

x

;e) 2 1

x ;f) 4

4 2 x 32. a) ) 2 )( 3 ( 17 15 4 2 x x x x ;b) ) 4 )( 1 ( 3 9 2 2 2 2 3 x x x x x ;c)

2

2

2

x

x

x

;d)

)

1

)(

2

(

1

x

x

;e)

4

9

6

2

x

x

x

; f)

1

3

5

2 2

x

x

33. a) 31/29; 2; b) -1/3, -1; 10, 1; c) 0, 18; ; d) -3, 3; no; e)0, 3; -3, 3

35. a) ±3, ±1; b) ±8; 1/2; c) ±2, ± 2 ;d) ±3, ±4; e) ±4; f) ± 2

36. a) 0, 4, ± 2; b) -2, ±1, -3; c) 3, ±5, -1; d) 0, -4 37. a) 1/3; b) 7; c) 8/3; d) 13/9; e) 4, ½; f) 9/4

38. a) 2, -8/3; b) 2; c) 1, 1/2; d) 2, -6/5; e) 1, 4; f) 1, 5/2 39. a) 3/3; b) 2, -1/2; c) 19/10; d) 4/9; e) 3: f) 1, 2; g) 4; h) 3 40. a) ±7;b) 5/6; c) 3; d)±3; e) 5; f) 5; g) 20, 80; h) 5; i) 9/2 41. a) x = 1; y = 1; b) x = 1, y = -1; c) x = 3; y = -1; d) x = 1/2, y = 2

42. a) x=3, y=2; x=2, y=1; b) x=1, y=2; x=1, y=-2; x=-1, y=2; x=-1, y=-2; c)x=2, y=1; x=1, y=-2; d)x=4, y=3; x=-4, y=-3

43. a) (-∞, 7+; b) (6, +∞); c) *5, +∞); d) (-∞, 11/13); e) (9/29, +∞); f) (-∞, 0+

44. a) (-∞, 2+ᴜ*3, +∞); b) *-2, 0]]; c) (-3, 5); d) (-∞, -3]ᴜ[7, +∞);e) (-7, 2); f) [-7, 3]; g) (-∞, -4ᴜ*(3, +∞); h) (-∞, -1/2)ᴜ(0, +∞); i) (-3, 2)

45. a) [-2, ½); b) no; c) (1, 3); d) (-4, 1); e) *3, +∞); f) (18/5, +∞); g) *-11/7, -1/2]; h) *4, +∞); i) no 46. 8´5 cm

47. 5 m 48. 24 cm

49.

30

2

y

60

2

m

50. 30 de Mates y 75 de Historia 51. 30 coches y 25 camiones 52. 5 y 12 cm

53. la de niño, 3´5 €; la de adulto, 7 € 54. 600 € el televisor y 480 € el vídeo

55. 24 alumnos en el patio, 12 alumnos en el gimnasio 56. 5 € las entradas de cine, 7 € las entradas del teatro 57. 1 y 5

58. 12 y 13 o -13 y -12

65. a) y = -3x + 8; b) y = (-1/2)x + 2; c) y = x + 3; d) y = -2x + 9; y = (-1/3)x + 2 66. y = 1´5x

67. Hasta 9 horas la empresa A; a partir de entonces, la B

68. V(5/2, 1/ 4), puntos de corte con los ejes(3, 0), (2, 0), (0,6) ; V(2, 0), (2, 0) (0, 4); V(0, -8), (-2, 0), (2, 0) (0, -8); V(3/2, ¼), (2, 0) (1, 0) (0, -2); V(1, -9), (5/2, 0), (-1/2, 0), (0, -5); V(-3/2, -25/4), (1, 0), (-4, 0), (0, -4); V(-1, 9), (2, 0), (-4, 0), (0, 8)

69. a) D R

,

Im R

; b)

D R

,

Im R

;c)

D R

,

Im R 2

;d)

D R

,

Im R

;

e)

D R

,

Im [ 1, )

; f)

D R

,

Im ( ,1]

; g)

D R

,

Im [ 8, )

; h)

D R

,

) , 4 / 9 [

Im

; i)

D R

,

Im [ 5, )

;

70. a) n0; b) (4/5, 0); c) (-4, 0), (0, 2); d) (2, 0); e) (0, 0); f) (0, 0) ; g)(0, 0) ; h) (1, 0); i) (0, 2)

71. a) D R 1/4

; b)

D

R

; c)

D [ 2, )

; d)

D (0, )

; e)

D

R

; f)

D R 0,3

;

g)

D R

; h)

D R 0

; i)

D R 1, 1/6

72. a) a = -1, c = 2; b) k = 2, a = 3 73. sen α =0´74; cos α = 0´67; tgα=1´1 74. 143° 7´48´´; sen α =0´6; cos α = 0´8 75. 4´33 m

76. 4´69 y 3´9 km

77. p = 9´86 m; A = 4´1 m2 78. 10 km y 12´5 km 79. 6´98 m y 9´97 m

80. a) cos α = 0´77, tgα=0´83; b) -0´77, -0´83;

3

/

2

, 1/2,

2

/

2

,

3

/

2

81. 18´66 m y 19´32 m

B=53° 34´35´´; B=36° 25´25´´;d) C=30°, a=12´12, c=6´06 83. 35´65 m

84.

13

3

/

3

,

(

3

1

)

/

2

85. a) cos α =

5

/

3

; tgα=

2

5

/

5

; b) sen α =

2

2

/

3

; tgα=

2

2

; c) sen α = 3 13/13; cos α = 2 13/13

86. a) 60°, 300°; b) 210°, 330°; c) 45°, 225°

87. a) 0°, 90°, 270°; b) no; c) 90°, 270°; d) 90°, 210°, 300° 88. (-4, 1),

17

89. (-1, 2) 91. (2, 2) 92. 25/2

93. a) 2x + y -11 = 0; b) 3x – y – 7 = 0; c) 2x + y – 8 = 0 94. x – 2y = 6

95. a) 3x + 8y = 1; b) 8x – 3y + 2 = 0; c) 10x + 9y – 21 = 0 96. (4, 7/2), (5, 13/2), (3, 6)

97.

85

99. (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25 100. (x -1)2 + (y + 1)2 = 17 101. 60

102. 125 103. 40320 104. 360 105. 20 106. 1560 107. 120

108. 20; 25; 35; 27 109. 120960 110. 120 111. 1540 112. 90 113. 17576 114. 59049 115. 45 116. 40320 117. 15 118. 64

119. 1/3; 1/3; 1/2; 1/2; 2/3; 1/6; 2/3; 1/3; 1/3

120. RRR, RRV, RVR; RVV; VRR; VRV; VVR; RRR, RVR, VRR, VVR; RRR, RRV, RVR, VRR; RVR, VRV 121. 9/40; 7/40; 1/2; 37/40

122. 18 posibles menús

123. 1/2; 1/2; 1/3; 0; 1; B es más probable que C 124. 2/3

125. 1/4; 1/3; 5/12; 2/3 126. 1/4; 1/4; 1/2 127. 29/50; 8/15 128. 7/15; 2/15; 4/15 129. 3/22