PROBLEMARIO GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS NO. 3 “ESTANISLAO RAMIREZ RUIZ”

PROBLEMARIO GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Elaborado por: M. en C: Elsa Quero Jiménez

UTILIZADO DURANTE EL SEMESTRE

I) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4^(𝑥−1)− 2^(𝑥+3)+ 28 = 0 Sol: x = 2, x= 4.81

b) 𝑥^{𝑥2−7𝑥+2} = 1 Sol: x = ^{7 ±41}

2

c) 5^𝑥+𝑦= 100 𝑦 3^2𝑥−𝑦= 1000 Sol: x = 3.0497; y= -0.1883

d) 7^6𝑥+3 = 49^𝑥 Sol: x = - (3/4)

e) 5^3𝑥−2 = 625 Sol: x = 2

f) 2^2𝑥+1− 2^2𝑥−1 = 96 Sol: x = 3

g) 5^𝑥− 5^𝑥+4+ 5^𝑥−8 = 2^𝑥+ 2^𝑥+6− 2^𝑥+9 Sol: - 0.364

h) 25^3𝑥−4 = 5^2𝑥 Sol: x = 2

i) 3(8)^2𝑥+1= 4^3−𝑥 Sol: x = 0.1769

j) ^5𝑥+5₂^−𝑥= 2 Sol: x = ±0.8 1

k) 3^2𝑥+2 = 3^𝑥2 Sol: x = -1.3 l) 25^3𝑥+4 = 5^2𝑥

Sol: x = - 2 m) 2^5𝑋+3 = 3^2𝑥+1

Sol: x = -0.7730

n) 𝑒^5𝑥−2= [¹

2]^𝑥+3 Sol: x = -0.0139

o) 5^𝑥+ 25(5^−𝑥) = 26 Sol: x = 2, x=0

p) [¹₂]^−𝑥+2= 8 (2^𝑥−1)² Sol: x = -3

q) 4^𝑥−1= 16^𝑥−1 Sol: x = 1

r) 𝑃 = 𝑃₀𝑒^𝑘𝑡

Sol: t = ^𝐼𝑛

𝑝 𝑝0 𝑘

s) 2^𝑥+2= 4^𝑥−1

𝑆𝑜𝑙: 𝑥 = 4 t) [¹₂]^𝑥 = 16

Sol: x = - 2

u) ^𝑒_𝑒^𝑥_𝑥^+𝑒_−𝑒^−𝑥_−𝑥− 3 =5

𝑆𝑜𝑙: 𝑥 = 0.1257

a) log 𝑥² = log( −3𝑥 − 2) Sol: -1,-2

b) log(𝑥³ − 1) = log (𝑥²+ 𝑥 + 1) Sol: X= 2

C) 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥³− 5𝑥²− 4𝑥 + 21) = 0 Sol: X= 2, X= -2,X=5.

d) 𝑙𝑜𝑔7(8^𝑥+3− 8^𝑥+2+ 8^𝑥+1− 8^𝑥+0+ 8^𝑥−1− 8^𝑥−2=

𝑙𝑜𝑔₇(−16^2−𝑥+ 16^1−𝑥− 16^0−𝑥+ 16^1−𝑥

− 16^2−𝑥+ 16^3−𝑥) Sol: x= 0.427

e) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 = 1 Sol: x= 1

f) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔₄ 256 Sol: x=4

g) log(𝑥 + 15) + 𝑙𝑜𝑔 x = 2 Sol: x=5

h) 𝑙𝑜𝑔6(𝑥 + 2) − 𝑙𝑜𝑔₆𝑥 = 2 Sol: 𝑥 =₃₅²

i)𝑙𝑜𝑔₄(𝑥 + 1) = 2 + 𝑙𝑜𝑔₄(3𝑥 − 2) sol: 𝑥 =³³₄₇

j)log(𝑥 + 1) + log(𝑥 − 2) = 1 + log (𝑥 − 3)

Sol:𝑥 = 7, 𝑥 = 4

k) 𝑙𝑜𝑔₇(𝑥²− 2𝑥 − 15) = 1 + 𝑙𝑜𝑔₇(𝑥 + 3) Sol: X=12

l)2𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 3𝑙𝑜𝑔₂2 = 3𝑙𝑜𝑔₂𝑥 − 𝑙𝑜𝑔₂ ¹

32

Sol:𝑥 =¹₄

m) 10^{𝑙𝑜𝑔10(2𝑥+5)}=7 sol: X= 1

n) log(𝑥³+ 27) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥²− 3𝑥 + 9) Sol: X= -2

0)𝑙𝑜𝑔5(𝑙𝑜𝑔₃2𝑥) = 0 Sol: 𝑋 =³

2

p) log(𝑥 − 4) − log(3𝑥 − 10) = 𝑙𝑜𝑔¹

𝑥

Sol:𝑥 = 2, 𝑋 = 5

q)𝑙𝑜𝑔2𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₂(𝑥 − 2) = 3 Sol:𝑥 = 4, 𝑥 = −2

r)𝑙𝑜𝑔₁₈(𝑥 + 2) + 𝑙𝑜𝑔₁₈(𝑥 − 1) = 1 Sol: x= -5, X=4

s) ln(𝑥²− 9) − ln(𝑥 + 3) = −¹

2

Sol: 𝑋 = 𝑒⁻¹² +3

t)(¹₂) 𝑙𝑜𝑔₄25 + 2𝑙𝑜𝑔4(𝑥 − 3) = 2 sol:𝑥₁= 4.78, 𝑥₂ = 1.22

u)𝑙𝑜𝑔₃(𝑥 − 6) + 𝑙𝑜𝑔₃3=2 Sol:𝑥 = 9

V) 𝑙𝑜𝑔5(3𝑥 + 6) − 𝑙𝑜𝑔₅(𝑥 − 6) = 1 Sol:𝑥 = 18

w)log(𝑥 − 2) + log(𝑥 + 3) + 1 = log 40 Sol:𝑥 = − ¹₂± √41

x) ¹

2(𝑙𝑜𝑔₂𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₂𝑦) = 1 Sol:𝑥 =⁴

𝑦

Elabora la gráfica de las siguientes funciones a) 𝑓(𝑥) = 3^𝑥

b) 𝑓(𝑥) = 3^𝑥−2 c) 𝑓(𝑥) = 3

𝑥 2

d) 𝑓(𝑥) = 2^3𝑥 e) 𝑓(𝑥) = 2^(𝑥−1)2 f) 𝑓(𝑥) = 2^𝑥2 g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2^𝑥 h) 𝑓(𝑥) = log¹

2𝑥 i) 𝑓(𝑥) = log2𝑥 j) 𝑓(𝑥) = log10𝑥 k) 𝑓(𝑥) = log10(𝑥 + 10) l) 𝑓(𝑥) = log5𝑥 m) 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 − 3) n) 𝑓(𝑥) = log¹

42𝑥 o) 𝑓(𝑥) = 1 − log2𝑥

II) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 1.- El aumento de la altura arbórea se describe a menudo mediante una ecuación

logística. Supón que la altura h (en pies) de un árbol de edad t (en años) es 𝐻 = ¹²⁰

1+200𝑒^−0.2𝑡

Dónde: H: Altura en pies t= tiempo en años a) ¿Cuál será su altura a los 10 años?

b) ¿A qué edad medirá 50 pies?

Sol: a) H= 4.27 pies; b) t= 24.8 años 2.- La rapidez del viento a una altura ℎ₀ es 𝑣₀ y 𝑣₁ a una altura ℎ₁, la cortante vertical del viento se describe mediante la ecuación

𝑣₀ 𝑣₁= (ℎ₀

ℎ₁)

𝑝

Donde p es una constante. Durante todo un año, en Montreal, el viento transversal vertical máximo se presentó cuando los vientos a 200 pies del suelo eran de 25 mph, en tanto que a 35 pies sobre el suelo eran de 6 mph. Encuentra p para estas

condiciones.

Sol: 0.8188

3.- Si un gene cambia con una rapidez constante m y si se desprecian otras fuerzas de evolución, la frecuencia F del gene original, después de t generaciones, está dada por 𝐹 = 𝐹₀ (1 − 𝑚)^𝑡 , donde 𝐹₀ es frecuencia en t = 0.

a) Despeja t utilizando logaritmos comunes. Sol:

𝑙𝑛^𝐹 𝐹0 ln (1−𝑚)= 𝑡

b) Si m=5 𝑥 10⁻⁵, ¿Después de cuántas generaciones será F= ¹

2𝐹₀? Sol: 13861.65 4.- Se invierten 10,000 dólares en una cuenta de ahorros en que el interés es compuesto

continuamente a una tasa de 11 % por año. Si la fórmula de interés compuesto es:

𝐴 = 𝐶𝑒^𝑖𝑡 dónde: C= Capital inicial

i= tasa de interés anual expresada como decimal, t= los años que C está invertido

A= cantidad acumulada después de t años a) ¿Cuándo tendrá 35,000 dólares la cuenta? Sol: t= 11.38 años

b) ¿Cuánto tarda el dinero en duplicarse? Sol: t= 6.3 años 5 .- La corriente 𝐼(𝑡) en cierto circuito eléctrico, en un tiempo t, está dada por

𝐼(𝑡) = 𝐼₀ 𝑒^{−𝑅𝑡𝐿} , donde R es la resistencia, L es la inductancia e 𝐼₀ es la corriente inicial en t=0.

Encuentra el valor de t, en términos de L y R para el que 𝐼(𝑡) es el 1% de 𝐼₀. Sol: 𝑡 =^{4.6051 𝐿}

𝑅

6 La ley de Beer Lambert expresa que la cantidad de luz l que penetra a una cantidad de x metros en el mar está dada por l=l0 C^x donde 0 < c < l e I0 es la cantidad de luz de la superficie Despeje a x mediante logaritmos comunes Si c = ¼ calcula la profundidad a la que I= 0.01

Sol: x= Log (I/I0 )/Log c ; x = 3.32 7 EL ahorro de muchas personas está en función de la formula c=d (1+r)^2t Si un

ahorrador deposita 3,000.00 (d) al 18% de interés (r) ¿Cuántos años (t) deben pasar para tener un capital (c) de $50,000.00?

Sol: 16.9977157, 17

8 Cuando David empezó su educación a los 6 años, su padre invirtió una cantidad de dinero al 4% de interés anual compuesto, capitalizable, semestralmente, suficiente para que al terminar su carrera a los 26 años tuviera $25,000.00 Calcular el capital invertido.

Recuerda que el interés compuesto está dado por la función:

𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜(1 + 𝐼/𝑛)^𝑛𝑡 Dónde:

𝑝𝑜 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐼 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛

𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙

𝑛 = 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜

𝑡 = 𝐴ñ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑝(𝑡) = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 Sol: 11,322.26

9 En 1867 Estados Unidos compró Alaska a los rusos en 7, 200, 000. Hay 586,400 metros cuadrados de tierra en Alaska. Supón que el valor de la tierra aumenta en forma continua a razón de 3% por un año y que las tierras se pueden comprar a un precio equivalente, determina el precio de un acre en el año 2010. (1000 metros cuadrados a 640 acres).

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐴 = 𝐶𝑒^𝑖𝑡 Dónde:

𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

𝑡 =

𝐴ñ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠

Sol: 1.3998

10 La vida media del radio es de 1600 años, es decir, dada cierta cantidad, la mitad se desintegrará en 1600 años. Sí la cantidad inicial es 𝑞₀. Puede mostrarse que la cantidad 𝑞(𝑡) restante después de "𝑡" años está dada por: 𝑞(𝑡) = 𝑞₀2^𝑘𝑡 encuentra el valor de "𝑘".

Sol: 𝑘 = − ¹

1600 11 La población de una cierta ciudad en el año 2000 es de un millón y crece

continuamente a una tasa de 3.5% anual, de acuerdo con la ley del crecimiento natural.

Determine la población aproximadamente que tendrá en 2006 y 2016.

𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑞 = 𝑞₀𝑒^𝑟𝑡 Dónde:

𝑞₀= 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑟 = % 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙.

12 El caudal (o rapidez de descarga de agua) en la desembocadura del río Orinoco en Sudamérica se puede calcular mediante

𝐹(𝑡) = 26,000𝑠𝑒𝑛 [ ^𝜋

6(𝑡−5.5)] + 34,000

En donde 𝑡 es el número de tiempo en meses y 𝐹(𝑡) es el caudal en 𝑚³⁄ . ¿Durante 𝑠 aproximadamente cuántos meses de cada año rebasará el caudal los 55,000 𝑚³⁄ ? 𝑠

Sol: 𝑡 = 6.05 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

13 El aumento de la altura arbórea se describe a menudo mediante la siguiente ecuación.

Suponer que la altura en ℎ en pies de un árbol de 𝑡 edad en años es:

𝐻 = 120

𝐼 + 200𝑒^{0.2 𝑡}

a) ¿Cuál será su altura a los 10 años?

b) ¿A qué edad medirá 50 pies?

Sol: a)ℎ = 4.27 𝑝𝑖𝑒𝑠; b)𝑡 = 24.8 𝑎ñ𝑜𝑠 III) SEMEJANZA DE TRIANGULOS.

a) En los siguientes triángulos determina el valor de X.

Sol: 𝑥 =¹³

7 Sol:𝑋 = 15 Sol: 𝑥 = 15 3

Sol: x=16 sol: x=1 sol: 6.5

Sol: 4.47

b) Si el triángulo XYZ es semejante al triangulo HYJ y el YHJ = X , obtener el valor de m.

m = 12 Sol: 10.5

Sol: X=10

Sol: X= 6.66

Sol: X=15

Sol:X=2

c) Calcula la altura del árbol

R: 30 d) Encontrar la longitud del lago si :

R: 80 IV) TEOREMA DE PITAGORAS

a) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos

Sol: X= 3

Sol: X=6

Sol: 𝑏 = √𝑚⁴+ 𝑛⁴− 2

X= 3.1495

b= 180.09

IV) POLIGONOS

a) Calcula el número total de diagonales de un eneágono regular

R: 27 diagonales b) ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar un total de 14 diagonales?

R: Heptágono

c) Encuentre el número de lados de un polígono regular si cada Angulo interior mide 165°.

R: 24 Lados

d) El ángulo exterior de un polígono regular mide 72°. Encuentre el número de lados.

R: 5 Lados e) Encuentre el valor de los siguientes ángulos y lados desconocidos

V) CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA : Encuentre el valor del ángulo que se pide

R: m=70 n=110 n

R: x= 27 a=127 b=127 c=53 d=127

R: x= 40

Angulo x=60° Angulo y=30°

Calcular arco y calcular arco X

Calcular los ángulos indicados

80 °

X= 78°

Hallar el valor del ángulo y

Determina el valor de x y de cada uno de los ángulos y arcos

∆𝑅𝑆𝑇 = 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠, 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑂, ∠𝑖, ∠𝑗 𝑦 ∠ 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 ∠𝑂 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝑀

A

C B

a = 6

B

A 35⁰ C b = 10

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑃𝑄 ∥ 𝑅𝑆 𝑃 = 120°

∠𝑢, ∠𝑣∠, 𝑤, 𝑦 ∠𝑥 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 ∠𝑠 𝑦, 𝑧 𝑎

∠𝑦 = 112° ∠𝑦 = 75° y 240 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑥 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 X

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∠𝑥 𝑦 ∠𝑧 VI) TRIGONOMETRIA

1. Calcular los elementos faltantes de los siguientes triángulos rectángulos.









 c

B A







 a c B

R: 𝒄 = √𝟏𝟑𝟔 , < 𝑨 = 𝟑𝟎. 𝟗°, < 𝑩 = 𝟓𝟗. 𝟏° R:< 𝑩 = 𝟓𝟓°, 𝒄 = √𝟏𝟒𝟗 , 𝒂 = 𝟕 b=10

2. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que a=5 y c=7.

3. Determinar las funciones trigonométricas para el ángulo A de un triángulo rectángulo ABC, sabiendo que b=2 10 y c = 7.

4. Sí él CosB0.25,construye un triángulo rectángulo y determina el valor de las funciones para el ángulo B.

5. Sí la TanA0.75, construye el triángulo rectángulo y determina el valor de las funciones del ángulo A.

6. Dado el ,

7

 5 A

Cos hallar los valores de las demás funciones del ángulo A.

7. Dada la ,

3

8 B

Sec hallar los valores de las demás funciones del ángulo B.

8. Si

5

3 A

Sen y el ángulo A se localiza en el tercer cuadrante, calcular el valor de las demás funciones trigonométricas.

9. Si la

2

 3

 B

Cot y el ángulo B pertenece al cuarto cuadrante, calcular el valor de las demás funciones trigonométricas.

10. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

¡) Utilizando valores exactos.

a) sen²30sen²45 R= 3/4 b) 2sen²45cos²45 R= - 1/4

c)  tan 302 602cot45 4

60 3

cos^{3 2} sen⁴

R=5/4 d)  cot 30 60

2 45 1 tan

3 ^{2 2} sen² R=15/4

𝑒) 2𝑠𝑒𝑛²30º +³

4𝑐𝑜𝑠³60º −¹

2𝑡𝑎𝑛⁴(45º) = R= 3/32

f) 𝑠𝑒𝑐²30º + 2𝑡𝑎𝑛60º = R= 4.7974

11) Dados los siguientes puntos hallar las funciones trigonométricas y el ángulo Ѳ correspondiente.

a) F(-8,-2) b) G(6,-5) c) H(9,-13) d) A(1,2) e) E(-3,4)

VII) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

a) Una cabaña de 6m de altura está localizada a la orilla de una laguna; desde la orilla opuesta, el ángulo de elevación al techo de la cabaña es de 4º. Calcula el ancho de la laguna.

b) El cordón de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 54⁰ 20’ con la horizontal. Encontrar la altura aproximada del cometa con respecto al suelo, si el cordón mide 86 metros y el extremo del cordón se sostiene a 1.65 metros del suelo.

c) A medida que un globo se eleva verticalmente, su ángulo de elevación desde un punto P, en el suelo, situado a 110 Km. del punto Q, que está directamente bajo el globo, cambia de 19⁰ 20’ a 31⁰ 50’. Determinar cuántos Km. se eleva el globo durante ese periodo.

d) Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 18⁰ 20^/ con la horizontal; si cada 0.79 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 45 filas ¿Qué altura deberá tener el estadio?

e) Desde un helicóptero que está a 1,950 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra población es de 10° 14’. Hallar la distancia entre las dos poblaciones.

f) Desde un helicóptero que está exactamente sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra ciudad es de 10°45’.La distancia entre las dos poblaciones es de 6.3 km. Calcular a que altura se encuentra el helicóptero.

g) Desde la punta B de una torre, el ángulo de depresión D de otra torre, que dista 27 m de la primera es de 25°. Si la torre más alta mide 65 m. Calcula la altura de la torre menor.

h) Se desea conocer cuánto hilo se requiere para hacer que un papalote llegue a una altura de 55m. Si debe elevarse por lo menos a 20m. de la persona que lo

sostendrá ¿a qué ángulo deberá ser sostenido el papalote para mantener estas condiciones?

R= 70°

i) Calcula el ángulo de elevación del sol en cierto momento del día, si un árbol de 3m. de altura proyecta una sombra de 5.3m.

R= 29.5°

VIII) TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, calcular su área.

a) Sabiendo que b50m, A577',C 7828' b) Sabiendo que c15cm, A598', B1415' c) Sabiendo que a41m, c32.5, A10110' d) Sabiendo que a60m, b50m, c70m e) Sabiendo que a4m, c5m, B120

IX) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

a) Dos hombres están en un llano separados 3000 m uno del otro, observan un helicóptero. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 60⁰ y 75⁰. Determinar la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero.

b) Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas de 17.5 y 22.5 Kg. Las direcciones de las fuerzas forman un ángulo de 50⁰ 15´, encontrar la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza mayor.

c) Tres circunferencias, cuyos radios miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes exteriormente entre sí. Encontrar los ángulos que forman cuando se unen los centros de dichas circunferencias.

d) Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el punto B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384 m de A y 555 m de B. ¿Cuál será la longitud del túnel si el ángulo ACB mide 35⁰ 45^/ ?

e) Se requiere levantar la carpa de un circo, cuya entrada principal tiene forma de triángulo. La base de la entrada debe tener una medida de 22m. mientras que el cable que tensara el lado izquierdo de la entrada mide 27m. y el cable del lado derecho forma un ángulo de 30° con respecto al suelo. ¿Cuál es la medida que tendrá el cable que tensara el lado derecho tomando como referencia la siguiente figura?

R= 13.57 m f) Resuelve los siguientes triángulos:

R: B=73.2°, C=59.7°,c= 11.4 R: A= 18.5°, C=134.4°, c=130.1 g) Se sostiene un globo aerostático por medio de 2 cuerdas, tal como se muestra en

la siguiente figura. ¿Cuál es el valor de b?

h) Resuelve los siguientes triángulos

A) B)

R: b= 22.5

i) Dos personas desean bajar un papalote atrapado en un árbol, según los datos de la figura. Si suponemos que cada una de las personas coloca una escalera y A=50° y B=49°, ¿Cuál será la longitud de cada escalera?

j) Dos personas separadas entre sí 45000m sobre un mismo plano, observan un avión en pleno vuelo. El ángulo de elevación de cada uno respecto al avión en un cierto momento es de 79.2° y 53.7° respectivamente, ¿será correcto decir que la distancia de separación entre el avión y cada uno de los observadores es de 1651m?

k) Resuelve los siguientes triángulos:

a)

c)

b)

d)

X) IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Demuestre que las siguientes igualdades son identidades 1. (^{𝑠𝑒𝑛3𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥}

cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) = (1 + 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 2. 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑠𝑒𝑐²𝑥 = csc 𝑥 +_{(2−2𝑠𝑒𝑛𝑥)}¹ −_{(2+2𝑠𝑒𝑛𝑥)}¹

3. ^{𝑡𝑎𝑛𝑥}

1−𝑐𝑜𝑡𝑥+ ^{𝑐𝑜𝑡𝑥}

1−𝑡𝑎𝑛𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥 4. 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛²𝑥 = 2

5. ^{𝑠𝑒𝑐𝑎}

𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑐𝑜𝑡𝑎= 𝑠𝑒𝑛𝑎

6. ¹

𝑐𝑜𝑠²𝑥− 1 = 𝑡𝑎𝑛²𝑥 7. ^{𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑥}

𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑡𝑥= 𝑠𝑒𝑛²𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥

8. ^{𝑐𝑜𝑠𝜃}

1−𝑡𝑎𝑛𝜃+ ^{𝑠𝑒𝑛𝜃}

1−𝑐𝑜𝑡𝜃= 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

9. ^{𝑡𝑎𝑛2𝑎}

1+𝑡𝑎𝑛²𝑎−^{1+𝑐𝑜𝑡2𝑎}

𝑐𝑜𝑡²𝑎 = 𝑠𝑒𝑛²𝑎 − 𝑠𝑒𝑐²𝑎 10. 𝑠𝑒𝑛²𝑎 + 𝑠𝑒𝑛²𝑎𝑡𝑎𝑛²𝑎 = 𝑡𝑎𝑛²𝑎 11. ^{𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃}

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃 12. ^{𝑐𝑜𝑠𝜃}

𝑐𝑠𝑐𝜃−1+ ^{𝑐𝑜𝑠𝜃}

𝑐𝑠𝑐𝜃+1= 2𝑡𝑎𝑛𝜃

13. ^{𝑠𝑒𝑐𝑧−𝑐𝑠𝑐𝑧}

𝑠𝑒𝑐𝑧+𝑐𝑠𝑐𝑧= ^{𝑡𝑎𝑛𝑧−1}

𝑡𝑎𝑛𝑧+1

14. 𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 15. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥

16. (𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)²+ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)²= (1 − 𝑠𝑒𝑐𝜃)²

17. ^{𝑡𝑔 𝑥}

1−cot 𝑥+ ^{𝑐𝑜𝑡2 𝑥}

1−𝑡𝑔 𝑥 = csc 𝑥(sec 𝑥 + csc 𝑥)

18. ^{𝑠𝑒𝑛𝑥}

1+𝑐𝑜𝑠𝑥+^{1+𝑐𝑜𝑠𝑥}

𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 csc 𝑥 19. ^{1−𝑠𝑒𝑛𝑦}

1+𝑠𝑒𝑛𝑦 = (𝑡𝑔 𝑦 − 𝑆𝑒𝑐 𝑦)²

20. 𝑠𝑒𝑐²∅ + 𝑇𝑔²∅ = (1 − 𝑠𝑒𝑛⁴∅)𝑠𝑒𝑐⁴∅

21. ^𝑇𝑔

2 𝑥

𝑆𝑒𝑐 𝑥+1= ^{1−𝑐𝑜𝑠𝑥}

𝑐𝑜𝑠𝑥

22. ^{𝐶𝑠𝑐 𝑥}

1+𝐶𝑠𝑐 𝑥− ^{𝐶𝑠𝑐 𝑥}

1−𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐²𝑥 23. ^{𝐶𝑜𝑡 𝑦−𝑡𝑔 𝑦}

Sen y cos 𝑦= 𝑐𝑠𝑐²𝑦 − 𝑠𝑒𝑐²𝑦

24. cos (𝑥 −^𝜋

3) = −1 R: x=240°

XI) ECUACIONES TRIGONOMETRICAS . Resolver las siguientes ecuaciones

1. 3cosAsen²A R= 72.52°

2. sen²xsenx20 R= 90°

3. 2sen²A5senA2

R=30°

4. 2senxcscx3

R=30° y 90°

5. 2

) 1

(

cos² 3 senx x 

R=30° y 90°

6. 3tan² A1sec² A R= 45° y -45°

7. 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − √3 = 0 R= 15°

8. √3𝑡𝑎𝑛¹₃𝑡 = 1 R= 90°

9. 𝑠𝑒𝑛(𝜃 +^𝜋

4) =¹

2 R= -15°

10. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 −^𝜋

3) =¹

2 R=45°

11. 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 = 0 R=60°

12. 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 1 R=45°

13. (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1)(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1) = 0 R=0° y -90°

14. 𝑠𝑒𝑐²𝑎 − 4 = 0 R=60°

15. √3 + 2 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 0 R=-60°

16. 𝑐𝑜𝑡²𝑥 − 3 = 0 R= 30° y – 30°

17. (2 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1)(2 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 3) = 0 R= -30°

18. (2𝑠𝑒𝑛𝑢 − 1)(cos 𝑢 − √2) = 0 R=30°

19. 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 (csc 2𝑥 − 2) = 0 R= 0° y 15°

20. 2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 + √2 = 0 R: θ= -15°

21. cos (¹

4𝑥) = −^√2

2 R= 540°

25. cos (4𝑥 −^𝜋

4) =^√2

2 R:22.5°

26. 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 1 = 0 R: θ= - 45°

27. 3 − 𝑡𝑎𝑛²𝐵 = 0 R: B=60°

28. cos 𝑡 (𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 1) = 0 R: t=90°

29. tan 𝑎 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑎 = 0 R: a=0°y a= - 45°

30. ln (sen x) = 0 R: x=90°

31. cos (2𝑥 −^𝜋

4) = 0 R: x=22.5°

32. 2 − 8 𝑐𝑜𝑠²𝑡 = 0 R: x= 45°

33. 2 𝑠𝑒𝑛²𝑢 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑢 R:u= -90° y 30°

34. 2 𝑐𝑜𝑠²𝑡 + 3 cos 𝑡 + 1 = 0 R: t=120° y 180°

35. 𝑡𝑎𝑛²𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 R; x= 45°

36. 2𝑐𝑜𝑠²𝑦 + cos 𝑦 = 0 R: y=90° y 120°

37. 𝑠𝑒𝑛²𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 6 = 0 R: No tiene raíces reales 38. 2𝑠𝑒𝑛²𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 − 6 = 0 : R: No tiene raíces reales 39. 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 = √3 cos 𝑡 R: t= 90 y 30 °

40. cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 1 R: a=0° y 90°

41. 2 tan 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐²𝑡 = 0 R: t= 45°