Geometría y Trigonometría

(1)

Geometría FIGURAS PLANAS (2D)

FIGURA ÁREA (A) PERÍMETRO (P)

Triángulo

1 A  2 b h 

Fórmula de Herón:

   

A  s s a  s b s c  

Donde:

2 a b c s   

P    a b c

Cuadrado

A  a

2

P  4 a

Rectángulo

A   a b

^P^²



^{a b}^



Rombo

1 2

2 A  d d  P  4 a

Paralelogramo cualquiera

A   a b

^P^²



^{a b}^



(2)

Geometría

FIGURA ÁREA (A ) PERÍMETRO (P)

Trapecio



₁ ₂



2 b b h

A  

 P     a b b

1

b

2

Pentágono regular

2 A  P a 

1.721

2

A  d

5 P  d

Hexágono regular

2 A  P a 

2.598

2

A  d

6 P  d

Heptágono regular

2 A  P a 

3.634

2

A  d

7 P  d

Circunferencia

A    r

2

P  2 

(3)

Geometría

FIGURA ÁREA (A ) PERÍMETRO (P)

Sector circular

2

360 A     r 

2 A  s r 

0.01745

P  r 

2 P s r 



SÓLIDOS (3D)

FIGURA VOLUMEN (

V

) ÁREA LATERAL (A)

Esfera

4

3

V  3  r A  4  r

²

Tetraedro

0.1178

3

V  a A  1.7321 a

²

Hexaedro (Cubo)

V  a

3

V  6 a

²

Cono circular recto

1

2

V  3  r h

lateral

A   r g

2 total

A   r g   r

(4)

Geometría

FIGURA VOLUMEN (

V

) ÁREA LATERAL (A)

Cilindro circular recto

V   r h

2

lateral

2 A   r h

2 2

2 total

A   r h   r

Paralelepípedo rectangular

V  a b h

 

lateral 2

A  a b c

 

2 2

total

A  a b c  ab

ÁNGULOS

Ángulo: Es la apertura entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice. Las dos semirrectas que forman al ángulo se denominan lados.

Ángulos complementarios: Son dos ángulos que suman 90°. El primero se llama complemento del segundo (y viceversa).

Ángulos suplementarios: Son dos ángulos que suman 180°. El primero se denomina el suplemento del segundo (y viceversa).

Ángulos adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y sus otros lados respectivos forman un ángulo llano.

Propiedad: Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Nota: Algunos autores llaman

“adyacentes” a dos ángulos consecutivos (Wentworth y Smith, 1915).

Ángulos consecutivos: Son aquellos que tienen un lado común.

Si se tienen varios ángulos, en los que el primero es consecutivo del segundo, el segundo del tercero y así sucesivamente, también se llaman ángulos consecutivos.

Ángulos opuestos por el vértice:

Son dos ángulos cuyos lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro.

Propiedad: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

(5)

Geometría ÁNGULOS

Ángulos conjugados: Son dos ángulos que suman 360°. El primero se llama el conjugado del segundo (y viceversa).

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Agudo: Mide más de 0°, pero menos de 90°.

Recto: Mide 90°. Obtuso: Mide más de 90°, pero menos de 180°.

Colineal o llano: Mide 180°. Entrante: Mide más de 180°, pero menos de 360°.

Perigonal: Mide 360°.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS (ATENDIENDO SUS ÁNGULOS INTERIORES) Triángulo acutángulo:

Presenta sus tres ángulos interiores agudos.

Triángulo rectángulo:

Presenta un ángulo interior recto.

Triángulo obtusángulo:

Presenta un ángulo interior obtuso.

Triángulo equiángulo:

Presenta sus tres ángulos interiores iguales.

Triángulo oblicuángulo:

Ninguno de sus ángulos es recto, es decir, es aquel que no es

rectángulo.

(6)

Geometría CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS (ATENDIENDO LA LONGITUD DE SUS LADOS)

Equilátero: Sus tres lados presentan la misma longitud.

Estos triángulos tienen la propiedad de que sus ángulos interiores siempre miden 60°.

Isósceles: Presenta un ángulo interior recto.

Estos triángulos tienen la propiedad de que los ángulos adyacentes a la base siempre son iguales.

Escaleno: Sus tres lados presentan longitudes diferentes.

Los tres ángulos interiores de este tipo de triángulos tienen longitudes diferentes.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMOS (Tienen lados opuestos paralelos e iguales) Cuadrado: Presenta sus cuatro

lados iguales.

Rectángulo: Rombo: Tiene sus cuatro lados

iguales.

Romboide:

NO PARALELOGRAMOS (Sus lados opuestos no son paralelos)

Trapecio: Trapezoide:

(7)

Geometría ÁNGULOS EN UN SISTEMA DE DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Ángulos Alternos:

1. Se localizan en diferente paralela.

2. Se encuentran en diferente semiplano respecto a la secante.

3. Ambos son externos o ambos son internos.

Alternos Externos: 1 y 7; 2 y 8.

Alternos Internos: 4 y 6; 3 y 5.

Teorema: Los ángulos alternos entre paralelas son iguales.

Ángulos Correspondientes:

2. Se encuentran en el mismo semiplano respecto a la secante.

3. Uno es interno y el otro externo (o viceversa).

Correspondientes:

1 y 5; 4 y 8; 2 y 6; 3 y 7.

Teorema: Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.

Ángulos Colaterales (o Conjugados):

2. Se encuentran en el mismo semiplano respecto a la secante.

3. Uno es interno y el otro externo (o viceversa).

Colaterales Externos: 1 y 8; 2 y 7.

Colaterales Internos: 4 y 5; 3 y 6.

Teorema: Los ángulos colaterales entre paralelas son suplementarios.

DIAGONALES Y SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO Número de Diagonales de un

polígono, TOMADAS DESDE UN SOLO VÉRTICE:

𝑫 = (𝒏 − 𝟑) 𝒏 = 𝑵𝒐. 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔

NÚMERO TOTAL de Diagonales de un polígono:

𝑫 =𝒏(𝒏 − 𝟑) 𝟐 𝒏 = 𝑵𝒐. 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔

Suma de los ángulos interiores de un polígono:

𝑺∡ = 180°(𝑛 − 2)

POLÍGONOS REGULARES

Longitud del ángulo central de un POLÍGONO REGULAR:

Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 =𝟑𝟔𝟎°

𝒏 𝒏 = 𝑵𝒐. 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔

Longitud de la apotema 𝒶, si la longitud de su lado es ℓ y radio 𝑟:

𝓪 = √𝒓^𝟐−𝓵^𝟐

𝟒 =√𝟒𝒓^𝟐− 𝓵^𝟐 𝟐

TEOREMA (VALOR DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CUALQUIER TRIÁNGULO)

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo

es igual a 180°.

(8)

Geometría TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, el valor de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. Esto se expresa por la siguiente relación matemática:

2 2 2

c  a  b

RECTAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA

CONVERSIÓN DE UNIDADES ANGULARES

De Grados Sexagesimales a Radianes De Radianes a Grados Sexagesimales

Multiplicar el valor del ángulo dado en Grados Sexagesimales por:

𝝅 𝟏𝟖𝟎°

Multiplicar el valor del ángulo dado en Radianes por:

𝟏𝟖𝟎°

𝝅

(9)

Geometría RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

BISECTRIZ: Recta que divide en dos partes iguales a un ángulo interior de un triángulo. Todo triángulo tiene tres bisectrices, las cuales se intersecan en un punto llamado INCENTRO.

Ejemplo: En la figura, las rectas f, g y h, son las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo ABC.

Observa que como el ángulo ACB es iguala 57.72°,

entonces su mitad es igual a 28.86°, además, el incentro en este caso es D.

Nota1: Recuerda que una bisectriz es cualquier recta que divida a un ángulo a la mitad, aunque éste no sea interior a un triángulo.

Nota 2: El incentro es el centro de la circunferencia inscrita a un triángulo, la cual es tangente a sus tres lados.

MEDIANA: Segmento de recta que une a un vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto. Todo triángulo presenta tres medianas, las cuales se intersecan en un punto llamado BARICENTRO o CENTROIDE.

Ejemplo: En la figura, las rectas f, g y h, son las medianas del triángulo ABC. En este caso el baricentro es G.

ALTURA: Segmento de recta que parte de un vértice y es perpendicular a su lado opuesto (o su prolongación). El triángulo presenta tres alturas, las cuales concurren en un punto llamado ORTOCENTRO.

Ejemplo: En la figura, las rectas i, j y k, son las alturas del triángulo ABC. El ortocentro es G.

MEDIATRIZ: Recta perpendicular a un lado de un triángulo y que pasa por su punto medio. Un triángulo cuenta con tres mediatrices que concurren en un punto llamado CIRCUNCENTRO.

Ejemplo: En la figura, las rectas f, g y h, son las mediatrices del triángulo ABC. El circuncentro es G.

Nota: El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo, la cual es aquella que pasa por