Unidad 5-. Trigonometría II 1

(1)

ACTIVIDADES

FINALES

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1

Sabiendo que sen a = - 1 2/13 y tg b = 24/7 , y que 270° < a < 360° y 180° < b < 270°, calcula:

a

aa)))

_{sen (a+ b)}

bbb)))

_{cos (a + b)}

ccc)))

_{tg (a + b).}

EEEFFDFFEEE

Hallamos el resto de razones trigonométricas de los ángulos que se nos dan: Partiendo de sen a = -12/13, a en el cuarto cuadrante:

       − = − = = = = − =       − − = − = 5 12 13 / 5 13 / 12 a cos sena tga 13 5 169 25 169 144 1 13 12 1 a sen 1 a cos 2 2

Partiendo de la tg b = 24/7 y b en el tercer cuadrante: 1+tg2_b=sec2_b 25 7 7 / 25 1 b sec 1 b cos 7 25 49 625 49 576 1 7 24 1 b tg 1 b sec 2 2 ₌₋ − = = ⇒ − = − = + − =       + − = + − = ⇔

Como tg b = senb/cosb ⇒ senb = cosb·tgb =

25 24 7 24 · 25 7 − = − .

Ahora podemos hallar los valores de las razones de ángulos de adicción que se nos piden.

a

aa))) sen(a + b) = sena·cosb + senb·cosa =

325 36 325 120 325 84 13 5 )· 25 24 ( ) 25 7 ·( 13 12 − = − = − + − − . b

bb))) cos(a + b) = cosa·cosb – sena·senb =

325 323 325 288 325 35 25 24 · 13 12 25 7 · 13 5 − = − − =      ₋      ₋ −      ₋ _. c cc))) tg(a +b) =          = =      − − + − = − + = = − − = + + 323 36 35 / 323 35 / 36 7 24 · 5 12 1 7 24 5 12 tgb · tga 1 tgb tga 323 36 325 / 323 325 / 36 ) b a cos( ) b a ( sen

usando las dos posibilidades.

EEEFFDFFEEE

2

Partiendo de las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°, calcula:

a

aa)))

_{sen 90°}

bbb)))

_{cos 90°}

ccc)))

_{sen 120°}

ddd)))

_{cos 120°}

eee)))

_{tg 120°}

fff)))

_{sen 105°}

ggg)))

_{cos 105°}

hhh)))

_{tg 105°}

(2)

a aa))) sen90º =       = = = = = = = + = + = + = + 1 4 4 4 2 · 2 2 2 · 2 2 · 2 º 45 º·cos 45 sen 2 ) º 45 · 2 ( sen 1 4 4 4 3 4 1 2 3 · 2 3 2 1 · 2 1 º 60 sen º· 30 cos º 60 º·cos 30 sen ) º 60 º 30 ( sen b bb))) cos90º =        =         −         = − = = − = − = − = + 0 2 2 2 2 º 45 sen º 45 cos ) º 45 · 2 cos( 0 4 3 4 3 2 3 · 2 1 2 1 · 2 3 º 60 sen º· 30 sen º 60 º·cos 30 cos ) º 60 º 30 cos( 2 2 2 2 . c

cc))) sen120º = sen(2·60º) = 2sen60º·cos69º =

2 3 2 1 · 2 3 · 2 = . d

dd))) cos120º = cos(2·60º) = cos2_{60º - sen}2_{60º =}

2 1 4 2 4 3 4 1 2 3 2 1 2 2 − = − = − =         −       _. e ee))) tg120º = 3 2 / 1 2 / 3 º 120 cos º 120 sen − = − = . f

ff))) sen105º = sen(60º + 45º) = sen60º·cos45º+cos60º·sen45º =

4 2 6 4 2 4 6 2 2 · 2 1 2 2 · 2 3 ₊ ₌ ₊ ₌ + _. g

gg))) cos105º = cos(60º + 45º) = cos60º·cos45º - sen60º·cos45º =

4 6 2 4 6 4 2 2 2 · 2 3 2 2 · 2 1 ₋ ₌ ₋ ₌ − _. h hh))) tg105º =

( )

( ) ( )

− = + = − + + = + − + = − + = − + = 4 12 2 8 6 2 2 2 · 6 · 2 6 ) 6 2 )·( 6 2 ( ) 2 6 ( 6 2 2 6 4 / ) 6 2 ( 4 / ) 2 6 ( º 105 cos º 105 sen 2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 2 · 2 8+ ₌₋ + − = .

EEEFFDFFEEE

3

_{Sabiendo que el seno de un ángulo es sen a = 3/5 y}

π

_{/2 < a <}

π

_{, halla las razones}

trigonométricas de a - 30°.

EEEFFDFFEEE

Calculamos primero la razones trigonométricas del ángulo a que faltan:

       − = − = = − = − = − − =       − − = − − = 4 3 5 / 4 5 / 3 a cos sena tga 5 4 25 16 25 9 1 5 3 1 a sen 1 a cos 2 2

sen(a – 30º) = sena·cos30º - cosa·sen30º =

10 3 3 4 10 4 10 3 3 2 1 · 5 4 2 3 · 5 3 _ ₌ ₊ ₌ +     ₋ − .

cos(a – 30º) = cosa·cos30º + sena·sen30º =

10 3 4 3 10 3 10 3 4 2 1 · 5 3 2 3 · 5 4_ ₊ ₌₋ ₊ ₌ −     ₋ _.

(3)

tg(a -30º)=           − + = + − = − − + + − = − + − = − + − =      ₋ + − − = + − = − + = − + + + = + − + + = − + = − + = − − 39 3 25 48 117 3 75 144 ) 3 3 12 )·( 3 3 12 ( ) 3 3 12 )·( 3 4 9 ( 3 3 12 ) 3 4 9 ( 12 / ) 3 3 12 ( 12 / ) 3 4 9 ( 3 3 · 4 3 1 3 3 4 3 º 30 tg · tga 1 º 30 tg tga 39 3 25 48 48 9 36 3 9 3 16 12 ) 3 4 3 )·( 3 4 3 ( ) 3 4 3 )·( 3 3 4 ( 3 4 3 3 3 4 10 / ) 3 4 3 ( 10 / ) 3 3 4 ( ) 30 a cos( ) º 30 a ( sen .

EEEFFDFFEEE

4

Justifica las siguientes igualdades:

a

aa)))

_{sen (180° + a) = -sen a}

ccc)))

_{sen (270° + a) = -cos a}

eee)))

_{cos (90° + a) = -sen a}

b

bb)))

_{tg (}

_π

_{/ 2 + a) = -cotg a}

ddd)))

_{tg (}

_π

_{+ 2a) = tg 2a}

fff)))

_{tg (270° + a) = -cotg a}

EEEFFDFFEEE

a

aa))) sen(180º + a) = sen180º·cosa + cos180º·sena = 0·cosa + (-1)·sena = -sena.

b bb))) cotga tga 1 tga 1 tga 1 tga 2 tg 1 2 tg tga 1 2 tg tga · 2 tg 1 2 tg tga 2 tg tga · 2 tg 1 tga 2 tg a 2 tg =− − = − ∞ ∞ + = − π π + = π π − π + π = π − + π =       + π _{, ya que}K ₀ = ∞ . c

cc))) sen(270º + a) = sen270º·cosa + cos270º·sena = (-1)·cosa + 0·sena = -cosa.

d dd)))

(

)

tg2a 1 a 2 tg a 2 tg · 0 1 a 2 tg 0 a 2 tg · tg 1 a 2 tg tg a 2 tg = = − + = π − + π = + π . e

ee))) cos(90º + a) = cos90º·cosa – sen90º·sena = 0·cosa – 1·sena = - sena.

f ff)))

(

)

cotga tga 1 tga 1 tga 1 tga º 270 tg 1 º 270 tg tga 1 º 270 tg tga º· 270 tg 1 º 270 tg tga º 270 tg tga º· 270 tg 1 tga º 270 tg a º 270 tg =− − = − ∞ − ∞ − + = − + = − + = − + = + .

EEEFFDFFEEE

5

Calcula el valor de la siguiente expresión: sena ·sen (b - c) - sen b· sen (a - c) + sen c · sen (a-b)

EEEFFDFFEEE

sena sen (b - c) - sen b - sen (a - c) + sen c . sen (a-b) = sena·(senb·cosc –cosb·senc) – senb(sena·cosc – cosa·senc) + senc(sena·cosb –cosa·senb) = sena·senb·cosc (1) _{– sena·cosb·senc}(2)_{– sena·senb·cosc}(1)

+ senb·cosa·senc (3)_{+ senc·sena·cosb}(2)_{– senc·cosa·senb}(3)_{= 0 ya que las expresiones con}

subíndices iguales son opuestas.

(4)

6

Demuestra que cos (a + b) cos (a - b) = cos

2

_{a - sen}

2

_{b = cos}

2

_{b – sen}

2

_a.

EEEFFDFFEEE

cos (a + b) cos (a - b) = (cosa·cosb –sena·senb)( cosa·cosb + sena·senb) = (cosa·cosb)2_{– (sena·senb)}2

= cos2_a·cos2_{b – sen}2_a·sen2_b(₌1)_cos2_{a(1 –sen}2_{b) – (1 –cos}2_a)·sen2_{b = cos}2_{a – cos}2_a·sen2_{b – sen}2_{b +}

cos2_a·sen2_{b = cos}2_{a - sen}2_b.

(1) en donde hemos sustituido cos2b = 1 – sen2b y sen2a = 1 – cos2a para llegar a la primera igualdad.

Si la sustitución la hacemos cos2_{a = 1 – sen}2_{a y sen}2_{b = 1 – cos}2_{b, tenemos:}

cos (a + b) cos (a - b) = (cosa·cosb –sena·senb)( cosa·cosb + sena·senb) = (cosa·cosb)2_{– (sena·senb)}2

= cos2_a·cos2_{b – sen}2_a·sen2_{b = (1 – sen}2_a)cos2_{b - sen}2_{a(1 – cos}2_{b) = cos}2_{b – sen}2_{a· cos}2_{b – sen}2_{a +}

sen2_{a· cos}2_{b = cos}2_{b – sen}2_a

EEEFFDFFEEE

7

_{Demuestra que sen (a + b) sen (a - b) = sen}

2

_{a - sen}

2

_{b = cos}

2

_{b – cos}

2

_a.

EEEFFDFFEEE

sen (a + b) sen (a - b) = (sena·cosb + cosa·senb)·( sena·cosb + cosa·senb) = (sena·cosb)2_–

(cosa·senb)2_{= sen}2_a·cos2_{b – cos}2_a·sen2_{b, a partir de aquí, como en el ejercicio anterior, tenemos dos}

caminos:

(1) sen2_a·cos2_{b – cos}2_a·sen2_{b = sen}2_{a·(1 - sen}2_{b) –(1- sen}2_a)·sen2_{b = sen}2_{a - sen}2_a·sen2_{b – sen}2_{b +}

sen2_a·sen2_{b = sen}2_{a – sen}2_{b, que demuestra la primera igualdad.}

(2) sen2_a·cos2_{b – cos}2_a·sen2_{b = (1 - cos}2_a)·cos2_{b – cos}2_{a·(1 - cos}2_{b) = cos}2_{b - cos}2_a·cos2_{b - cos}2_{a +}

cos2_a·cos2_{b = cos}2_{b - cos}2_{a que demuestra la segunda igualdad.}

EEEFFDFFEEE

8

Halla las expresiones que se piden usando los teoremas de adición:

a

aa)))

_{cos 3a en función de cos a}

bbb)))

_{sen 4a en función de sen a}

EEEFFDFFEEE

a

aa))) cos3a = cos(2a + a) = cos2a·cosa – sen2a·sena = (cos2_{a – sen}2_{a)·cosa – (2sena·cosa)·sena = cos}3_a

– sen2_{a·cosa – 2sen}2_{a·cosa = cos}3_{a – 3sen}2_{a·cosa = cos}3_{a – 3(1- co}2_{a)·cosa = 4cos}3_{a – 3cosa.} b

bb))) sen(4a) = sen(2·2a) = 2 sen2a·cos2a = 2(2sena·cosa)(cos2_{a – sen}2_{a) = 4sena·cos}3_{a – 4sen}3_{a·cosa =}

4sena·cosa(cos2_{a – sen}2_{a) = 4sena·cosa ( 1- sen}2_{a – sen}2_{a) = 4sena·cosa( 1 – 2sen}2_{a) =}

) a sen 2 1 ( a sen 1 sena 4 − 2 − 2 = .

EEEFFDFFEEE

(5)

9

Sabiendo que tg a =

24

, y que a es un ángulo cuyo seno y coseno son negativos, calcula las

razones trigonométricas del ángulo 2a.

EEEFFDFFEEE

Hallamos primero las razones trigonométricas de las razones que faltan: 1+tg2_a=sec2_a 5 1 a sec 1 a cos 5 24 1 a tg 1 a sec =− + 2 =− + 2 =− ⇒ = =− ⇔

Como tg a = sena/cosa ⇒ sena = cosa·tga =

5 24 24 · 5 1 ₌₋ − .

Ahora las razones trigonométricas del ángulo doble:

( )

                        − = − = − = − = − = − = = − = − =         − −       − = − = =       −         − = = 23 24 2 24 1 24 · 2 24 1 24 · 2 a tg 1 tga 2 23 24 2 25 / 23 25 / 24 2 a 2 cos a 2 sen a 2 tg 25 23 25 24 25 1 5 24 5 1 a sen a cos a 2 cos 25 24 2 5 1 · 5 24 · 2 a ·cos sena 2 a 2 sen 2 2 2 2 2 2

EEEFFDFFEEE

10

Sabiendo que tg 2a =

3

, halla tg a

EEEFFDFFEEE

0 3 tga 2 a tg 3 tga 2 ) a tg 1 ( 3 a tg 1 tga 2 3 a 2 tg ₂ ⇔ − 2 = ⇔− 2 − + = − =

= ecuación de segundo grado en tga que

resolvemos:        = − = − = − = − ± = − − − ± = 3 3 3 1 3 3 2 3 2 3 3 6 3 2 4 2 3 2 3 ) 3 ( 4 4 2 tga

EEEFFDFFEEE

11

Simplifica las expresiones:

EEEFFDFFEEE

a aa))) tga a cos sena a cos 2 a ·cos sena 2 a cos a cos a ·cos sena 2 a sen a cos 1 a ·cos sena 2 a 2 cos 1 a 2 sen 2 2 2 2 2 ₋ = ₊ = = = + = + .

(6)

b bb))) 1 a cos 2 a cos 2 a sen a cos 1 a cos 2 ) a sen a cos 1 ( sena a ·cos sena 2 · a cos ) a 2 cos 1 ( sena a 2 sen · a cos a cos a 2 cos 1 : sena a 2 sen 2 2 2 2 2 2 2 ₋ = ₊ ₋ = = + = + = + _.

EEEFFDFFEEE

12

Demuestra que tg x = cotg x - 2 cotg 2x.

EEEFFDFFEEE

Partimos del segundo miembro con intención de obtener el primero:

cotgx – 2 cotg 2x = tgx tgx x tg tgx x tg 1 1 tgx x tg 1 tgx 1 x tg 1 tgx 2 2 tgx 1 x 2 tg 2 tgx 1 2 2 2 2 = = + − = − − = − − = − , Q.E.D.

EEEFFDFFEEE

13

_{Comprueba que:}

cos2a tga a 2 tg tga = −

EEEFFDFFEEE

= − = − = + − = − + = − − = − − = − = − = − a cos 1 a cos a sen a cos a sec a cos a sen 1 a tg 1 a tg 1 a tg 1 a tg 1 1 1 a tg 1 2 1 1 tga a tg 1 tga 2 1 1 tga a 2 tg 1 tga tga a 2 tg tga tga tga a 2 tg tga 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= cos2_{a – sen}2_{a = cos2a, Q.E.D.}

EEEFFDFFEEE

14

_{Calcula las razones trigonométricas de 22° 30' y las de 75°. En ambos casos, utiliza las}

expresiones del ángulo mitad.

EEEFFDFFEEE

               − = − = − + − = + − = + − = + − = = + = + = + = + = + = = − = − = − = − = − = = 2 2 3 2 2 4 6 ) 2 2 )( 2 2 ( ) 2 2 ( 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 º 45 cos 1 º 45 cos 1 2 º 45 tg ' 30 º 22 tg 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 º 45 cos 1 2 º 45 cos ' 30 º 22 cos 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 º 45 cos 1 2 º 45 sen ' 30 º 22 sen 2

(7)

               + = + = − + + = − + = − + = + − = = − = − = − = − − = + = = + = + = + = + + = − = = 3 4 7 1 3 4 7 ) 3 2 )( 3 2 ( ) 3 2 ( 3 2 3 2 º 30 cos 1 º 30 cos 1 º 150 cos 1 º 150 cos 1 2 º 150 tg º 75 tg 3 2 2 1 4 3 2 2 2 3 2 22 3 1 2 º 30 cos 1 2 º 150 cos 1 2 º 150 cos º 75 cos 3 2 2 1 4 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 2 º 30 cos 1 2 º 150 cos 1 2 º 150 sen º 75 sen 2

EEEFFDFFEEE

15

Sabiendo que cotg a = -2 y a es el mayor ángulo negativo que verifica esta igualdad,

calcula las razones trigonométricas del ángulo mitad.

EEEFFDFFEEE

Estamos en el segundo cuadrante ya que dice que es ángulo negativo mayor que verifica que la cotangente es negativa. Necesitamos el cosa:

1 + cotg2_{a = cosec}2_a 5 5 sena 5 ) 2 ( 1 a g cot 1 eca cos = + 2 = + − 2 = ⇒ = ⇔ 5 5 2 ) 2 ( 5 5 tga ·cos sena a cos sena a cos ga cot = ⇔ = = − =−

Calculamos las razones, directas, del ángulo mitad

                − = − = + − + = − + = − + = + − = − = − = − = + = + = + = + = − = 5 4 45 2 1 4 5 4 45 ) 5 2 5 )( 5 2 5 ( ) 5 2 5 ( 5 2 5 5 2 5 10 5 2 5 10 5 2 5 a cos 1 a cos 1 2 a tg 10 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 5 2 1 2 a cos 1 2 a cos 10 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 5 2 1 2 a cos 1 2 a sen 2

EEEFFDFFEEE

16

Expresa, en función de una razón trigonométrica del ángulo mitad:

a aa))) 2 a tg 2 a cos 2 a sen 2 a ·cos 2 a sen 2 2 a sen 2 2 a cos 2 · 2 a sen 2 2 a sen 2 ) a cos 1 )( a cos 1 ( 2 a sen 2 a cos 1 a cos 1 sena a cos 1 2 2 2 2 2 2 = ₋ ₊ = = = = − − = − _. b bb)))

(8)

= + − + = + − + = + − = + = + = + + 2 2 2 ₍₁ _cos_a₎ ) a cos 1 )( a cos 1 ( a cos 1 ) a cos 1 )( a cos 1 ( a cos 1 a cos 1 a cos 1 sena a cos 1 a cos · a cos 2 a ·cos sena 2 a cos 1 a cos · a 2 cos 1 a 2 sen 2 a tg a cos 1 a cos 1 = + − = .

EEEFFDFFEEE

17

Sabiendo que cos x/2 = - 2/3 y que x es un ángulo del tercer cuadrante, halla sen x, cos x.

EEEFFDFFEEE

9 1 x cos 2 x cos 1 9 4 2 x cos 1 3 2 2 x cos 1 3 2 2 x cos 2 2 − = ⇔ + = ⇔         ₊ − =       − ⇔ + − = − = 9 5 4 81 80 9 1 1 x cos 1 senx 2 2 _ ₌₋ ₌₋      − − − = − − =

EEEFFDFFEEE

18

_{Simplifica las expresiones siguientes:}

a aa))) 3 3 º 30 tg º 30 cos º 30 sen º 10 º·cos 30 cos º 10 º·cos 30 sen 2 º 20 º 40 ·cos 2 º 20 º 40 cos 2 2 º 20 º 40 ·cos 2 º 20 º 40 sen 2 º 20 cos º 40 cos º 20 sen º 40 sen = = = =       −       +       −       + = + + _. b bb))) 3 1 3 º 135 tg º 60 tg º 60 º·cos 135 sen º 60 sen º· 135 cos 2 º 75 º 195 ·cos 2 º 75 º 195 sen 2 2 º 75 º 195 sen · 2 º 75 º 195 cos 2 º 75 sen º 195 sen º 75 sen º 195 sen − = − = = =       −       +       −       + = + − c cc))) tg50º º 50 cos º 50 sen º 10 sen º· 50 cos º 10 sen º· 50 sen 2 º 40 º 60 sen · 2 º 40 º 60 cos 2 2 º 40 º 60 sen · 2 º 40 º 60 sen 2 º 40 sen º 60 sen º 40 cos º 60 cos − = − = − =       −       +       −       + − = − − _.

EEEFFDFFEEE

19

_{Demuestra que}

tgy ) y x ( sen ) y x ( sen ) y x cos( ) y x cos( = − + + + − −

EEEFFDFFEEE

tgy y cos seny y cos seny ) y ·cos( senx ) y ( sen · senx 2 ) y x ( ) y x ( ·cos 2 ) y x ( ) y x ( sen 2 2 ) y x ( ) y x ( sen · 2 ) y x ( ) y x ( sen 2 ) y x ( sen ) y x ( sen ) y x cos( ) y x cos( = = − − = − − − = + − − + + − + − − + + − − = − + + + − − _Q.E. D.

EEEFFDFFEEE

(9)

20

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a aa)))       π + π = ⇒ π + π = π +       π₋π = ⇒ π + π π + π = ⇒ π + π = π +      π₋π = ⇒ π + π =       + π ⇔ =       + π k 24 5 x k 2 12 5 k 2 4 3 2 x 2 k 2 3 2 k 24 x k 2 12 k 2 4 3 x 2 k 2 3 x 2 4 2 3 x 2 4 sen .

ya que el ángulo cuyo seno es

2

3 _{mide 60º =}_π_{/3 rad en el primer cuadrante y 120º = 2}_π_{/3 rad en el}

segundo. b bb)))       π + π = ⇒ π + π = π +       π₊π = ⇒ π + π π + π = ⇒ π + π = π +       π₊π = ⇒ π + π =       ₋π ⇔ − =       ₋π k 24 19 x k 2 12 19 k 2 4 3 4 x 3 k 2 3 4 k 24 11 x k 2 12 11 k 2 4 3 2 x 3 k 2 3 2 4 x 3 2 1 4 x 3 cos

ya que el ángulo cuyo coseno es -1/2 mide 120º = 2π/3 rad en el 2º cuadrante y 240º = 2π/3 rad en el tercero. c cc)))       π + π = ⇒ π + π = π +       π₋π = ⇒ π + π π + π = ⇒ π + π = π +       π₋π = ⇒ π + π =       ₊π ⇔ − =       ₊π k 2 3 2 x k 3 4 k 3 3 5 x 2 k 3 5 k 2 6 x k 3 k 3 3 2 x 2 k 3 2 3 x 2 3 3 x 2 tg

ya que el ángulo cuya tangente es − 3mide 120º = 2π/3 rad en el 2º cuadrante y 300º = 5π/3 rad en el 4º. d dd)))       π + π = π + π = ⇒ π + π = π +       π₋π = ⇒ π + π π + π = π + π − = ⇒ π + π − = π +      π₋π = ⇒ π + π =       π + ⇔ =       π + k 4 3 4 k 4 3 16 x k 2 3 8 k 2 2 6 11 x 2 1 k 2 6 11 k 4 3 2 k 4 3 4 x k 2 3 2 k 2 2 6 x 2 1 k 2 6 ) x ( 2 1 2 3 ) x ( 2 1 cos

ya que el ángulo cuyo coseno es

2

3 _{mide 30º =}_π_{/6 rad en el primer cuadrante y 330º = 11}_π_{/6 rad en el}

4º.

e

ee))) sen 3x – sen30º = 0 ⇔ sen 3x = sen30º ⇔ sen 3x = ½

   + = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ º 120 · k º 50 x º 360 · k º 150 º 120 · k º 10 x º 360 · k º 30 x 3 . f ff)))    + = ⇔ + = + ⇒ + + = ⇔ + = + ⇒ + =       + ⇔ =       + º 360 · k º 375 x º 360 · k º 420 º 45 x º 180 · k º 210 º 360 · k º 15 x º 360 · k º 60 º 45 x º 180 · k º 30 2 º 45 x 3 2 º 45 x g cot .

ya que el ángulo cuya cotangente es 3mide 30º en el primer cuadrante y 210º en el 3º. Como la primera solución incluye la segunda, tomamos la primera.

EEEFFDFFEEE

21

_{Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:}

a

aa)))

_{sen 2x = 2 cos x}

ddd)))

_{cos 2x - cos 6x = sen 5x + sen 3x}

b

bb)))

_{sen x + sen 3x = cos x}

eee)))

_{sen 2x - cos x = 6 sena x}

c

cc)))

_{sen 4x = sen 2x}

fff)))

_{2 sen x = tg x}

(10)

a

aa))) sen2x = 2cosx ⇔ 2senx·cosx – 2cosx = 0 ⇔ 2cosx(senx – 1) = 0    = ⇔ = − + = ⇒ = ⇒ 1 senx 0 1 senx º 180 · k º 90 x 0 x cos , la solución de la segunda x = 90º + k·360º ya está incluida en la primera.

b

bb))) senx + sen3x = cosx cosx 2sen2x·cos( x) cosx 2sen2x·cosx cosx 0 2 x 3 x ·cos 2 x 3 x sen 2 + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ; cosx(2sen2x – 1) = 0        + = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = ⇔ = − + = ⇒ = ⇒ º 180 · k º 75 x º 360 · k º 150 º 180 · k º 15 x º 360 · k º 30 x 2 2 1 x 2 sen 0 1 x 2 sen 2 º 180 · k º 90 x 0 x cos c

cc))) sen4x = sen2x ⇔ 2sen2x·cos2x = sen2x ⇔ 2sen2x·cos2x - sen2x = 0 ⇔ sen2x(2cos2x -1) = 0, e igualando cada factor a cero:

       + + = ⇒    + + = ⇒ = ⇔ = − + = ⇔ + = ⇒ = º 180 · k º 60 º 180 · k º 30 x º 360 · k º 120 º 360 · k º 60 x 2 2 1 x 2 cos 0 1 x 2 cos 2 º 90 · k º 0 x º 180 · k º 0 x 2 0 x 2 sen d

dd))) cos2x – cos6x = sen5x + sen3x

2 x 3 x 5 ·cos 2 x 3 x 5 sen 2 2 x 6 x 2 sen · 2 x 6 x 2 sen 2 ) 1 ( ₊ ₋ = − + − ⇔ ⇔ -

sen4x·sen(-2x) = sen4x·cosx(⇔2)sen4x·sen2x – sen4x·cosx = 0 ⇔ sen4x(sen2x – cosx) = 0, ahora igualamos cada factor a cero:              + + = ⇒ = ⇔ = − + = ⇒ = ⇒ = − ⇔ = − ⇔ = − + = ⇔ + = ⇒ = º 360 · k º 150 º 360 · k º 30 x 2 1 senx 0 1 senx 2 º 180 · k º 90 x 0 x cos 0 ) 1 senx 2 ( x cos 0 x cos x cos senx 2 0 x cos x 2 sen º 90 · k º 0 x º 180 · k º 0 x 4 0 x 4 sen

(1) Aplicamos las fórmulas de adición para convertir sumas (o diferencias) en productos. (2) sen(-2x) = -sen2x y pasamos al primer miembro todo.

e

ee))) sen2x ·cosx = 6sen3_x_⇔_{2senx·cosx – 6sen}3_{x = 0}_⇔_{2senx(cosx – 3sen}2_{x) = 0, ahora ya podemos}

igualar cada factor a cero: 2senx = 0 ⇒ x = 0º + k·180º.    − = + ± − = ⇒ = − + ⇔ = − − ⇔ = − 18046 , 1 847127 , 0 6 36 1 1 x cos 0 3 x cos x cos 3 0 ) x cos 1 ( 3 x cos 0 x sen 3 x cos 2 2 2 , la

segunda solución no es válida ya que el coseno no puede ser menor que -1 y para que cosx = 0,847127; x = 32º 5’ 58” +k·360º ó x = 327º 54’ 2” + k·360º. f ff))) 2senx = tgx     ⇒ = ⇔ = − + = ⇒ = ⇒ =       − ⇔ = − ⇔ = − 2 1 x cos 0 x cos 1 2 k º 180 º 0 x 0 senx 0 x cos 1 2 senx 0 x cos senx senx 2 0 tgx senx 2

la segunda ecuación tiene por soluciones x = 60º + k·360º ó x = 300º + k·360º.

EEEFFDFFEEE

22

_{Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:}

a

aa)))

_{sen x = 1 + 2 cos}

2

_x

dd_d)))

_{6 cos}

2

_{x + 6 sen}

2

_{x = 5 + sen x}

b

bb)))

_{sec x + tg x = 0}

eee)))

_{tg 2x tg x = 1}

c

cc)))

_{6 cos2 (x/2) + cos x = 1}

fff)))

_cos

2

_{x = 3 sen}

2

_x

(11)

a

aa))) senx = 1 + 2cos2_x_⇔_{senx = 1 + 2(1 – sen}2_x)_⇔_{senx = 1 + 2 – 2sen}2_x_⇔_2sen2_{x + senx – 3 = 0,}

ecuación de segundo grado en senx que resolvemos:

    − = ± − = + ± − = 2 3 1 4 5 1 4 24 1 1

senx , la segunda no es válida ya que el seno no puede ser menor que -1 y de la primera obtenemos x = 90º + k·360º. b bb))) secx + tgx = 0     + = ⇔ = ⇔ = + ⇒ = ⇒ = + ⇔ = + ⇔ º 360 · k º 270 x -1 senx 0 senx 1 válida No 0 x cos 1 0 ) senx 1 ( x cos 1 0 x cos senx x cos 1 c cc))) 2 1 x cos 2 x cos 4 1 x cos x cos 3 3 1 x cos 2 x cos 1 6 1 x cos 2 x cos 6 2 + = ⇔ + + = ⇔ =− ⇔ =−      + ⇔ = +

cuyas soluciones son x = 120º + k·360º ó x = 240º + k·360º.

d

dd))) 6cos2_{x + 6sen}2_{x = 5 + senx}_⇔_{6(1 – sen}2_{x) + 6sen}2_{x = 5 + senx}_⇔_{6 – 6sen}2_{x + 6sen}2_{x = 5 + senx}

⇔ senx = 1 ⇒ x = 90º + k·360º. e ee))) tg2x·tgx = 1 3 1 tgx 1 x tg 3 x tg 1 x tg 2 1 tgx · x tg 1 tgx 2 2 2 2 2 = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =± −

⇔ , de tener en cuenta los dos

signos tenemos:       + = ⇒ + = + = ⇒ − = º 180 · k º 30 x 3 3 tgx º 180 · k º 150 x 3 3 tgx . f ff))) cos2_{x = 3sen}2_x 3 3 tgx 3 1 x tg 3 1 x cos x sen 2 2 2 ± = ⇔ = ⇔ =

⇔ cuyas soluciones ya hemos hallado en el

ejercicio anterior:       + = ⇒ + = + = ⇒ − = º 180 · k º 30 x 3 3 tgx º 180 · k º 150 x 3 3 tgx .

EEEFFDFFEEE

23

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a

aa)))

_{senx +}

3

cosx = 2

bbb)))

_{senx + cosx =}

2

ccc)))

_{sen x + cos x = 5/2}

EEEFFDFFEEE

En estas ecuaciones hay que aplicar los teoremas de adición.

a

aa))) ·cosx 1 senx·cos60º cosx·sen60º 1 sen(x 60º) 1 2 3 senx 2 1 2 x cos 3 senx+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇒ x + 60º = 90º + k·360º ⇔ x = 30º + k·360º . b bb))) 1 sen(x 45º) 1 2 2 · x cos 2 2 · senx 1 x cos 2 1 senx 2 1 2 x cos senx+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇒ x + 45º = 90º + k·360º ⇔ x = 45º + k·360º .

(12)

c cc))) _ ₌ ₋ _⇔      ₋ ⇔ − = − ⇔ = − + ⇔ =

+ 2 ₂ ₁ _sen2_x ₍₅ ₂_senx₎ ₂ ₁ _sen2_x 2 ₍₅ ₂_senx₎2

2 5 x sen 1 senx 2 5 x cos senx 0 21 senx 20 x sen 8 x sen 4 senx 20 25 ) x sen 1 (

4 − 2 = − + 2 ⇔ 2 − + = , ecuación de 2º grado en senx que

resolvemos:

16 672 400 20

senx= ± − que no tiene soluciones reales.

EEEFFDFFEEE

24

Resuelve los siguientes sistemas:

a

aa))) cos y sen y 1 cos2y 1 2y 180º k·360º

1 y sen y cos ___ __________ 1 y cos x 2 y sen x 1 y cos x 2 y sen x 2 2 2 2 2 2 reducción 2 2 + = ⇒ − = ⇔ − = − ⇒        − = − = + − = − −     →      = + = + _⇔

y = 90º + k·360º, sustituyendo en la primera x + sen2_{(90º + k·360º) = 2}_⇔_{x + 1 = 2}_⇔_{x = 1.}

b bb)))        = − = + ⇔     = − = + ⇔     = − = + ⇔      = = º 150 º 30 y x º 90 y x 2 1 ) y x ( sen 1 ) y x ( sen 2 1 seny · x cos y ·cos senx 1 seny · x cos y ·cos senx do tan res sumando 4 1 seny · x cos 4 3 y ·cos senx luego tenemos dos sistemas posibles (considerando sólo una vuelta a la circunferencia):

       = ⇒ = ⇔ =     →     = − = + = ⇒ = ⇔ =     →     = − = + º 330 y º 120 x º 240 x 2 º 150 y x º 90 y x º 30 y º 60 x º 120 x 2 º 30 y x º 90 y x sumando sumando c cc)))    = + = + 1 ) y x cos( 1 y cos x cos

de la segunda se deduce que x + y = 0º, luego y = -x que sustituida en la primera nos da: cosx + cos(-x) = 1⇔ cosx + cosx = 1⇔ 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇒ x = 60º + k·360º ó x = 120º + k·360º, la y, por tanto, es y = - x = -60º = 300º + k·360º ó y = -120º = 240º + k·360º d dd)))       = + π = + 2 6 seny senx 2 y x

de la primera se deduce y = π/2 – x que sustituido en la segunda arroja senx +

sen(π/2 – x) =

2

6 _{que convertimos en producto mediante la fórmula de adición:}

4 6 ) 4 x ·cos( 4 sen 2 6 2 x 2 x ·cos 2 x 2 x sen 2 x 2 sen senx 2 B A ·cos 2 B A sen 2 senB senA + = ⇔ π −π = π − − π + =      π₋ + ⇒ − + = +            π = π = π + π π = π + π = ⇒ π = π = = π − ⇔ =       ₋π ⇔ =       ₋π 12 12 25 4 6 11 12 5 4 6 x 6 11 º 330 6 º 30 4 x 2 3 4 x cos 4 6 4 x cos 2

2 _{luego los valores}

de y son:      π = π − = π − π = π = π − π = 12 5 12 19 12 25 2 y 12 12 5 2 y

, da valores cambiados: para x = 5π/12, y = π/12 y viceversa.

EEEFFDFFEEE

(13)

25

En una de las orillas de un río hay un pedestal de 60 m de altura sobre el que se apoya una

estatua de 9 m de alzada. Halla la anchura x del río, sabiendo que desde un punto A, situado en

la orilla opuesta al pedestal, se ve la estatua bajo el mismo ángulo que se vería a un hombre de

1,80 m situado delante del pedestal.

EEEFFDFFEEE

        = β + α = β + α = α x 69 ) 2 ( tg x 60 ) ( tg x 8 , 1 tg

resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tenemos x = 32,17 m.

EEEFFDFFEEE

26

_{Sabiendo que tg (A/2) =}

2 3

−

y que A es un ángulo cuyo seno es menor que su coseno,

halla cos 3A - cos A.

EEEFFDFFEEE

En el ejercicio 8 hallamos cos3A = 4cos3_{A – 3cosA, en función del cos A.}

A partir de la tangente del ángulo mitad hallamos el valor de cosA:

⇔ + = − ⇔ = + − ⇔         − =         + − ± ⇔ − = + − ± = 2 2cosA 3 3cosA 2 3 A cos 1 A cos 1 2 3 A cos 1 A cos 1 2 3 A cos 1 A cos 1 2 A tg 2 2 5cosA =-1 ⇔ 5 1 A

cos =− , ahora podemos hallar el valor de la expresión pedida: cos3A – cosA = 4cos3A – 3cosA – cosA = 4cos3A – 4cosA =

125 96 5 1 125 1 4 5 1 5 1 4 3 =       + − =         +       − .

EEEFFDFFEEE

(14)

27

Una calle mide 12 m de ancha. Desde el punto

medio de la misma se observan los aleros de sendos

edificios de alturas H y h bajo ángulos 2

β

y

β

,

respectivamente.

En el caso de que los ángulos sean de 60° y 30°, calcula H

y h. Encuentra la relación general que liga a las alturas H

y h, y comprueba que las alturas calculadas

anteriormente verifican la relación general.

EEEFFDFFEEE

AE = ED = x = 6 m      ≅ = ⇔ = = β ≅ = ⇔ = = β m 39 , 10 º 60 tg · m 6 H m 6 H º 60 tg 2 tg m 46 , 3 º 30 tg · m 6 h m 6 h º 30 tg tg En general: 2 2 2 2 2 2 6 h 1 h 2 h 36 h 72 H h 36 h 12 6 H h 36 h 12 6 h 1 6 h · 2 tg 1 tg 2 6 H 2 tg 6 h tg       − = − = ⇔ − = ⇒          − =       − = β − β = = β = β

Comprobemos la relación anterior:

39 , 10 ) º 30 tg 6 ( 36 º 30 tg · 6 · 72 h 36 h 72 H ₂ ₂ ≅ − = − =

EEEFFDFFEEE

28

Siendo A, B, C los ángulos de un triángulo, demuestra que:

tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C

Nota: ayúdate del desarrollo de tg (A + B + C), y recuerda que A + B + C = 180°.

EEEFFDFFEEE

A + B + C = 180º ⇔ A + B = 180º - C ⇔ tg(A+B) = tg(180º-C) =− ⇔ − + ⇔ tgC tgB · tgA 1 tgB tgA _{tgA + tgB = -tgC(1}

– tgA·tgB) ⇔ tgA + tgB = -tgC + tgA·tgB·tgC ⇔ tgA + tgB +tgC = tgA·tgB·tgC Q.E.D.

EEEFFDFFEEE

(15)

29

En los manuales de agrimensura aparece la siguiente fórmula para calcular el área de un

triángulo, siempre que se conozcan los elementos que en ella aparecen:

tgB tgA tgB · tgA · c · 2 1 S 2 + =

Ayudándote de la altura correspondiente al vertice C, demuestra la fórmula anterior.

EEEFFDFFEEE

En el triángulo rectángulo ADC tenemos:

x h tgA=

En el triángulo rectángulo CDB tenemos:

x c h tgB − =

Si despejemos h del sistema formado por las dos expresiones anteriores:

tgA h x x h tgA= ⇔ = tgB h c x tgB h x c x c h tgB ⇔ − = ⇔ = − − = Igualando x: tgA tgB tgB · tgA c tgB · tgA tgA tgB c tgB 1 tgA 1 c h c tgB 1 tgA 1 h c tgB h tgA h tgB h c tgA h + = + = + = ⇒ =       + ⇔ = + ⇔ − =

El área del triángulo es S =

tgA tgB tgB · tgA c 2 1 tgA tgB tgB · tgA · c · c 2 1 h · c 2 1 2 + = + = Q.E.D.

En donde hemos sustituido h por la expresión obtenida más arriba.