2 3 Problemas trigonometría

(1)

Trigonometría.

Ejercicio nº 1.-

a)))) Calcula x e y en el triángulo:

b)))) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos αααα y ββββ. Solución:

a) x ≈ 8,54 cm y = 4 cm

b)

4 _0,8 3 _0,6 4 _1,3

5 5 3

senα = = cosα = = tgα = =

3 _0,35 8 _0,94 3 _0,375

8,54 8,54 8

senβ = ≈ cosβ = ≈ tgβ = ≈

4 Calcula y de un ángulo agudo, , sabiendo que la .

3 senαααα cosαααα αααα tg α =α =α =α = Solución: 4/5 y 3/5 respectivamente

. 3 De un ángulo agudo, , conocemos que

5 sen

α α =

Halla cos αααα y tg αααα.

Solución: 4/5 y 3/4 respectivamente

Ejercicio nº 4.- 2

Si y 270 360 calcula y

3

cosα =α =α =α = ° < α <° < α <° < α <° < α < °, °, °, °, senαααα tg αααα....

Solución: sen α = -3

7 _y_tg_{α =} -2 14 _.

º

Calcula senαααα y cos αααα sabiendo que la tg α = −α = −α = −α = − 5 y α ∈α ∈α ∈α ∈ 2 cuadrante.

Solución:

6 30

La solución es: y

6 6

cos α = sen α =

= 5

Si y 90 180 ¿Cuánto valen y ?

3

senαααα ° < α <° < α <° < α <° < α < °, °, °, °, cosαααα tgαααα

(2)

3

De un ángulo sabemos que la y que 180 270 Calcula 4

y

tg sen

cos

α α = ° < α < °. α

αα α =α = ° < α <° < α < °. °. αα

α α = ° < α < °. α

α αα α

....

Solución: -3/5 y -4/5 respectivamente

Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo de 225°°°°, y calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 225°°°° con uno del primer cuadrante.

Solución:

2

225° 45° 225°

2 2

225° 45° 225°

2

225° 45° 225° 1

sen sen sen

cos cos cos

tg tg tg

= − → = −

= → =

Calcula las razones trigonométricas de 240°°°° dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica.

Solución:

Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 135°°°° y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante.

Expresa, con valores comprendidos entre 0°°°° y 360°°°°, el ángulo de 2 130°°°°. Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante.

Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60°°°°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable?

Solución:

La altura de la casa es de 7,79 m.

El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa.

C/ Francisco García Pavón, 136 – Tomelloso 13700 – (C. Real) Teléfono – Fax: 926 51 39 29

(3)

Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35°°°°; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25°°°°.

Calcula la altura del árbol y la anchura de río.

Solución: La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m.

Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°°°°. a)))) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?

b)))) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. Solución:

a) El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.

b) La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m.

La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40°°°°. Calcula el perímetro y el área del triángulo.

Solución:

Perímetro = 252,24 cm

2 64 88,47

Área 2831,04 cm

2

⋅

= =

Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 30°°°°.

Solución: La altura de la antena es de 10,39 m.

Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50°°°°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°°°°. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago.

Solución: La altura de la estatua es de 7,65 m. La superficie del lago es de 129,78 m2. Ejercicio nº 18.-

El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40°°°°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Solución: La sombra del árbol mide 17,86 m.

(4)

Solución:

La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente:

y 10

tg30 y 10 tg30 y m

10 3

= ⇒ ₌ _⋅ ⇒ ₌

Solución:

En la figura aparecen dos triángulos rectángulos, los cuales verifican, cada uno de ellos, las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema:

y tg45

x y tg30

3 x 

 =

   ₌

 ₊



Operando:

(

)

x tg45 y

3 x tg30 y

 ⋅ =

 _⇒



 + =



(

)

(

)

x tg45 y

x tg45 3 x tg30 40 x tg30 y

 ⋅ =

 _{⇒ ⋅} ₌ ₊ _⋅ _⇒



 + =



(

)

1 3 3 3

x 3 x x

2

3 3 1

+

⇒ = + ⋅ ⇒ = =

− m

Calculemos finalmente el valor de y:

3 3 x tg45 y x y

2 +

⋅ = ⇒ = = m

Solución: x

30º 45º

3 m

y

20. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.

21. Calcula x e y:

22

. Calcula x e y en la siguiente figura.

(5)

Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica.

Resolvemos el sistema:

y 100

1 100

m y x

200

100 3

3 ₃ 3 _x _m

x y x y 100 3

3 ₃

100 ₁₀₀



 _

 =

= _ _ +

 _

_⇒ _⇒ ₌ _⇒ ₌

 

 

+ _ ₊ _

= _ = _

 

 _

Solución:

Aplicamos el teorema del coseno: 2 2 2

a =b + − ⋅ ⋅ ⋅c 2 b c cos A

Entonces

2 2 2

y =10 +12 − ⋅ ⋅ ⋅2 10 12 cos 45⇒

y= 100 124 240 cos 45+ − ⋅ =9, 9 m

a b c

senA=senB=senC

Solución:

Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno:

a b c

senA=senB=senC⇒ y

3 x

sen80 sen40 sen60

⇒ = = ⇒

3 sen40

y 1, 96 m

sen80 3 sen60

x 2, 64 m

sen80

 ⋅

 = =

 ⇒ _

⋅

 = =

 

45º

10

y 12

80º

40º

x

y

z= 3m

m

100 m 30º

y

100 m 60º

x+y y

tg30 100

= tg60 x y

100 + =

(6)

Solución:

En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Hay que hallar a b+ .

Solución:

Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo

rectángulo (el

CBB´

y el

ACC´

30º 45º

c b

45º 5 m a

c

30º

a 5

sen30 a m

5 2

= ⇒ ₌

c 5 3

cos 30 c m

5 2

= ⇒ ₌

Con el anterior triángulo hemos hallado el valor de c. Observando el triángulo de la izquierda podemos obtener b:

b 5 3

tg45 b m

c 2

= ⇒ ₌

Luego la altura pedida es:

(

)

5 3 1 5 3 5

a b m

2 2 2

+ + = + =

Con este triángulo obtenemos a y c: 25. Halla la altura del cuerpo más alto

26

. Halla la altura de la montaña

A

C

B

45º

30º

h

4000 m

(7)

Resolvamos éste sistema:

4000 h

1 tg45

_x

_{4000 h}

x

_{4000 h}

_{h 3}

1 h

h

x

h 3

tg30

x

3 x

−



₌



=

_

₌

₋

_

_

⇒

_{− =}

⇒



=





₌



=

_



4000

h

m

1464 m

3 1

⇒

₌

_≈

+

A

C

B

45º

30º

h

4000 m

45º

4000 h

−

x

B´

C´

Triángulo

CBB´

:

4000 h

tg45

x

−

=

Triángulo

ACC´

:

h

tg30

x

=

27. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.

60º

45º

75º

678 m

x

y

z

A

B

C

(8)

Solución:

Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC

:

y 678 y z 678 sen45 sen60

z 678 sen45 sen75 sen60

sen75 sen60

 =



= = ⇒ ⇒

 ₌

  y 678

2

2 3 _y ₆₇₈ _m

3

2 2

z 678 ₁₃₅₆

z sen75 m

sen75 3 ₃

2 

 = _

 _

 _ =

 _

 

⇒ ⇒

 

 ₌ 

  =

 

 



Ahora nos fijamos en el triángulo ACD

:

2 2 2

x 678 sen60 678 452 m

3 3 3

= ⋅ = ⋅ =

A

B

C

75º 45º

60º

y z

2 600 m

3

60º x

D C

A