LA RECTA La forma estándar de la ecuación Lineal Ax By C A, B y C constantes A y B

LA RECTA

La forma estándar de la ecuación Lineal AxByC A, B y C constantes A y B ≠ 0 Ejemplo: x2.y 2 => 2 1 2 2 x y x y     y x y 1 1/2 2 0 3 -1/2 x -1 3/2 0 -2 2 0 1

Ecuación General de la Línea Recta AxByc => B C x B A y  B≠0

Los puntos donde la recta cruza los ejes son los intersectos o puntos de intersección Intersección Con El Eje y se hace x=0 y se despeja y

 

0,y

Intersección Con El Eje x se hace y=0 y se despeja x

 

x,0

Uso de las intersecciones para graficar la Ecuación General. graficar 3.x4.y12

 3 4 3   x y => x y 0 -3 4 0 -3 3x4y12 Ejercicios: graficar: 4x3y 12 y 3yx60

PENDIENTE de una recta que pasa por dos puntos p1



x1, y1



y p2



x2, y2



La pendiente índica la inclinación de la recta está dada por:

1 2 1 2 var var x x y y iaciónx iacióny x y m       

para x2  x1 la pendiente m mide el cambio horizontal para ir de p1 a p2 m >0 + la recta asciende

m <0 - la recta desciende m0 la recta es horizontal m indefinida la recta es vertical

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos p₁

 

2,3 y p₂



4,5



 3 1 6 2 2 4 3 5 1 2 1 2              x x y y x y m 3 1  

m pendiente negativa => recta Ejercicios: Calcular la pendiente de las rectas que pasa por los puntos:

- p₁



6,1



y p₂

 

2,7 - p₁



2,6



y p₂



3,4



- p₁



3,2



y p₂



1,2



- p₁

 

0,1 y p₂



0,3



- p₁



3,2



y p₂



1,0



La ecuación de la recta que pasa por el punto p



x1, y1



y tiene pendiente m está dada por: yy₁ m



xx₁



Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto p

 

2,1 y tiene como

pendiente m3

 y y₁ m



xx₁



=> y33



x

 

2



 y33



x2



 y33x6

 y3x3

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta vertical y de la recta horizontal que pasa por



1,2



p

 recta vertical m indefinida => x1

 recta horizontal m0 yy1 m



xx1



=> y20



x1



 y2 En los anteriores ejercicios encontrar la ecuación de la recta (página anterior)

Ecuación de la Recta Pendiente-Intersecto con y que está dado por

 

0,b  yy1 m



xx1



=> ybm



x0



 ybmx ymxb

 ymxb ecuación pendiente-intersecto Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente

2 3

 

m y que intersecta al eje y en el punto p



0,5



=> 2 3   m y b5 =>

 

5 2 3 5 2 3 _{    }     mx b y x y x y ó 2y3x100

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente -2 y que pasa por el punto de intersección de

la recta 2x5y50 con el eje y

 punto de intersección de la recta 2x5y50 con y hacemos x0 y 1

el punto seria p

 

0,1 => y mxb => y2x1 ó y2x10

Ejercicios:

- Hallar la ecuación de la recta con pendiente 4 y que corta al eje y en el punto

 

0,3

p

- Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente -3/4 y como intersecto

3 2

 y Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene como intersectos 4 con el eje x y -5 con el eje y

 la recta pasa por los puntos (4,0) y (0,-5) => hallamos la pendiente conociendo dos puntos  hallamos la pendiente 4 5 4 5 4 0 0 5 1 2 1 2            x x y y m  y y1 m



xx1







5 4 5 4 4 5 0       y x y x

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto p

 

2,2 y por el punto de

 p₁

 

2,2 y p₂ punto de intersección de las rectas dadas y para hallarlo debemos resolver

el sistema 2x2 y la solución es el p2 dá como resultado p2

 

1,1 y conociendo dos puntos hallamos la pendiente y la ecuación de la recta pedida  y3x4

Rectas Paralelas

Dos rectas no verticales l1 y l2 son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales 2

1 m m 

Rectas Perpendiculares

Dos rectas no verticales l1 y l2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes

es igual a -1 m1.m2 1

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto p



2,1



y es:

a- Paralela a la recta 2x3y5 b- Perpendicular a la recta 2x3y5  2x3y5 => 3 5 3 2   x

y => ésta recta tiene

3 2

 m a- Cualquier recta paralela a ésta recta ha de tener

3 2

 m

=>- La recta que pasa por el punto p



2,1



y es paralela a la recta 2x3y5

tiene como ecuación yy1 m



xx1



=>

 



2



3 2 1     x y _=> 2x3y7

b- Cualquier recta perpendicular a la recta 2x3y 5 cuya pendiente es 2/3 ha de

tener pendiente 2 3   m ( 2 3 1 3 2 ) 1 . _{2 2 2} 1m   m  m  m )

 la recta que pasa por el punto p



2,1



y es perpendicular a la recta 2x3y5 tiene

como ecuación yy1 m2



xx1



 



2



3 2 4 2 3 1         y x x y

Ejercicios: - Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto p1 

 

2,1 y es: a- paralela b- perpendicular a la recta 4x2y3

- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto _     8 7 , 4 3 1 p _{y es:}

a- paralela b- perpendicular a la recta 5x3y 0

Distancia Entre Dos Puntos

Sea p1



x1, y1



y p2



x2, y2





 



2 1 2 2 1 2 x y y x d     

Distancia Entre Un Punto p1



x1, y1



y la Recta AxByC0

2 2 1 1 B A C By Ax d    

Punto Medio Entre Dos Puntos p1



x1, y1



y p2



x2, y2



        2 , 2 2 1 2 1 x y y x PM

Ejemplo: Demostrar que los 4 puntos A

 

6,2 , B

 

8,6 ,C

 

4,8 y D

 

2,4 son los vértices de un

rectángulo. => Hallamos las pendientes mAB ,mBC ,mCD y mDA

 mAB mCD => l // 1 l3 y mBC mDA => l2 // l4  mAB.mBC 1 => l1 l2 y mCD.mDA 1l3 l4

El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y el par de lados adyacentes son perpendiculares =>

el cuadrilátero es un rectángulo y si las distancias son iguales es un cuadrado Ejercicio: Demuestre que los puntos A

 

3,1 B

 

6,0 y C

 

4,4 son los vértices de un triángulo

rectángulo y calcule su área y su perímetro.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (3,4), hallar el perímetro del

triángulo formado por la recta que pasa por el punto (3,4) y es perpendicular a la recta hallada.

LA CIRCUNFERENCIA

Una Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia constante

de un punto fijo llamado Centro; la distancia de cada punto de la Circunferencia al Centro se denomina Radio

Ecuación Canónica o Forma Estándar de la Circunferencia con Radio r y con centro en el punto

 

a b c , _es:



 

2



2 2 r b y a x    _{círculo ≤ 0}

En particular si el centro está en el punto de origen c

 

0,0 => a0 y b0

 2 2 2

r y

x  

Ejemplos:

a- Determinar si el punto (4,-1) pertenece o no a la circunferencia



x2

 

2 y2



2 25

Reemplazo el punto



4,1



en la ecuación de la circunferencia dada





42

 

2 11



2 25 ? => 62

 

2 2 25 ? 36425 => el punto no pertenece a la circunferencia está por fuera porque 40 > 25 si estuviera dentro debería dar <25 y si perteneciera a la circunferencia debía dar 25=25

b- Determinar si el punto (1,-3) pertenece a la circunferencia



x2

 

2 y1



2 25

reemplazo el punto (1,-3) en la ecuación de la circunferencia dada





12

 

2 31



2 25 ? => 32 

 

4 2 91625 => pertenece a la

circunferencia

 a3 y b2 => c



3,2



r2 49r 7

d- Determine la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 2 y su centro



5,5



 como



 

2



2 2 r b y a x    _=>



x5

 

2 y5



2 2

e- Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y que pasa por el punto (1,4)

 a4 y b3 =>



x4

 

2 y3



2 r2 como el punto (1,4) pasa por la circunferencia debe satisfacer la ecuación y por tanto podemos hallar el radio de la circunferencia 



1 4

 

2 4 3



2 2 2 10       r r =>



x4

 

2  y3



2 10

f- Determine la ecuación de la circunferencia con los puntos A



2,3



y B

 

6,1 en los

extremos de un diámetro.

 El centro de la circunferencia está en el punto medio del diámetro que une los puntos A y B



4, 1



2 1 3 , 2 6 2 2 , 2 2 1 2 1                     c x x y y PM c



4,1



es el centro

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia a uno de los puntos del diámetro 



 



2 1 2 2 1 2 x y y x r

d      distancia del centro a uno de los puntos del diámetro

r  8 => ecuación de la circunferencia



x4

 

2  y1



2 8

Ecuación General de la Circunferencia

x2  y2 DxEyF 0

g- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en (-2,1) y con radio 2

Ecuación canónica



x2

 

2  y1



2 2 => x2 4x4y2 2y12

 la ecuación general de la circunferencia es: x2 y2 4x2y30

h- Hallar el radio y el centro de la circunferencia dada por la ecuación x2  y2 10x2y170

Debemos hallar la ecuación canónica. Asociamos términos de la misma variable x

x2 10

  y2 2y 17 completamos cuadrados para x y y

 

2 10x25y2 2y117251

x 



x5

 

2 y1



2 9 c



5,1



3  r

i- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos



3,5



y



5,1



y cuyo centro está sobre la recta 2x3y50

los puntos deben satisfacer la ecuación de la circunferencia



 

2



2 2 r b y a x    para



3,5





3a

 

2 5b



2 r2 para



5,1





5a

 

2 1b



2 r2

el centro

 

a,b está sobre la recta 2x3y50 debe cumplir con la ecuación 0 5 3 2     a b 2 5 3   a b 2 2 2 2 2 1 10 25 10 25 6 9 aa   bb   aa   bb  a23b 1 1 3 2 2 5 3  _{     }  b b b a => r2 5 



x1

 

2 y1



2 20 ó x2  y2 2x2y180

j- Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia



x1

 

2 y1



2 25

en el punto (4,3) primero vemos si el punto pertenece a la circunferencia

La Tangente a una Circunferencia es la perpendicular al radio en el punto de

tangencia

=>si conocemos la pendiente del radio en el punto dado es posible hallar la

pendiente de

la recta tangente y en consecuencia su ecuación

La circunferencia tiene su centro en (1,--1) y tenemos el punto (4,3) => podemos hallar la

pendiente del radio en ese punto =>

3 4

1 

m sea m2 la pendiente de la recta ┴ al radio en (4,3) => m1.m2 1 => 4 3 2  m

=>La ecuación de la recta tangente de la circunferencia en el punto (4,3) es:



4



4 3 3   x y => 6 4 3    x y

LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO

GRADO

IDENTIFICACION DE LAS SECCIONES CONICAS EN LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Ax2 BxyCy2 DxEy f 0

A, B

y C ≠ 0 Discriminante C A B2 4 . Si B2 4AC0 => es una Elipse Si B2 4AC0 => es una Parábola Si B2 4AC0 => es una Hipérbola Si B0 A y C ≠ 0  Ax2 Cy2 DxEyF 0 Si AC es una Circunferencia Si A0 ó C0 A.C0 es una Parábola

Si A0 y A y C tienen el mismo signo A.C0 es una Elipse Si A y C tienen diferente signo A.C0 es una Hipérbola

Las ecuaciones de la Circunferencia, la Parábola, la Elipse y la Hipérbola son ecuaciones de segundo grado en x ó en y ó en ambas Son conocidas como secciones CONICAS porque se obtienen por cortes en un cono con un plano

LA PARABOLA

La Parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que su distancia a una recta fija (directriz) es la misma que su distancia a un punto fijo F llamado foco

eje perpendicular a la directriz

V=Vértice punto de intersección de la parábola con el eje L=eje de simetría o eje focal

F=foco punto sobre el eje de simetría que está separado del vértice por una distancia igual a la que separa al vértice de la directriz d(v,direct)=d(V,F)

El vértice es el punto medio que une al foco y a la directriz

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en (0,0)

- Eje de simetría en el eje x

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en V(0,0) y el eje de

simetría en el eje x entonces las coordenadas del foco son F(P,0) La ecuación de la Directriz es xP

- Eje de simetría en el eje y

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice enV(0,0) y el eje de simetría en el eje y entonces las coordenadas del foco son F(0,P)

La ecuación de la Directriz es yP x2 4Py P0  P0 

Ejemplos: a- Determinar los elementos de la parábola y2 24x

Eje de simetría en el eje x, vértice en (0,0) Para determinar P 4Px24x P6 como P>0 =>  foco F(P,0) F(6,0)

Directriz xP => x6

b- Determinar los elementos de la parábola yx2 x2  y => 4Py y => P ₄1 => P0  eje de simetría eje y vértice en (0,0) foco (0,P) (0,1/4) Directriz yP => 4 1   y

c- Encontrar la ecuación de la parábola con foco F(0,3) y directriz y3

Tenemos que P3 => x2 4

 

3 yx2 12y P0  Vértice

 

0,0 _{eje de simetría} y

d- _{Encuentre la ecuación de la parábola con directriz} y 2 _{y Foco}



0,2



Graficamos la directriz y el foco y vemos su colocación, que nos dá la forma de la ecuación x2 4Py V 

 

0,0 P2 _=> 

x2 4

 

2 y _=> x2 8y

e- Encuentre el Foco el Vértice. la Directriz y el Eje de la parábola y2 6.x La ecuación es de la forma y2 4Px v

 

0,0 el eje es el eje x

6 4   P 0 2 3_{ }   P P =>  =>El Foco es       .0 2 3 y la Directriz 2 3   x

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en

 

a,b diferente al punto de origen

 

0,0

- Eje de simetría paralelo al eje x

- Sea P la distancia del vértice al foco



aP,b



- La directriz está dada por xaP

- La ecuación del eje de simetría es y b

- 



yb



2 4.P



xa



P0  y P0  - Eje de simetría paralelo al eje y

- La directriz está dada por ybP - La ecuación del eje de simetría es xa

- 



xa



2 4.P



yb



P0  y P0 

f- Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en



2,3



_{y pasa por el}

punto        2 3 , 5 Q

- La parábola tiene vértice en



2,3



- Pasa por el punto        2 3 , 5 Q - Tiene eje paralelo al eje y

- Por la posición de ñlos puntos dados la gráfica es: 

- =>



xa



2 4P



yb



v



2,3



_=> a2 y b3 - =>



x2



2 4P



y

 

3



_{el punto}        2 3 , 5 Q _{satisface la ecuación} - =>









2 3 3 5 4 2 5 2  P  P _=>







3



2 3 4 2 2          y x - =>



x2



2 6



y3



- Directriz de la parábola 2 9 2 3 3     a P y

- Eje de simetría xax2 foco





         2 3 , 2 ,b P f a

g- Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en



3,1



y

directriz y2

- Localizamos el vértice y la directriz y como el vértice está localizado 3 unidades por debajo de la directriz P3

- =>



xa



2 4P



yb



a 3 y b1 - =>



x3



2 12



y1



h- Determine la ecuación canónica de la parábola de vértice

 

2,1 y foco

 

2,4

- como el eje de la parábola es vertical

- =>



xa



2 4P



yb



v

 

2,1 a2 y b1 - f

 

2,4  f



a,bP



P3

-



x2



2 4

 

3 y1



=>



x2



2 12



y1



Ecuación General de la Parábola con vértice

 

a,b y con distancia P del foco al

vértice

Eje paralelo al eje x y2 DxEyF 0

i- Encontrar los elementos de la parábola x2 2y3x50

- Transponiendo términos y completando cuadrados => x2 2y3x50 4 9 5 2 4 9 3 2 _{    } x x y =>                 8 11 2 2 3 2 y x         8 11 , 2 3 v - Distancia del vértice al foco

2 1 2 4P P - Foco





         8 15 , 2 3 ,b P f a - Directriz 8 7 2 1 8 11              b P y y - Eje de simetría 2 3   a x x

j- Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos P



8,2



,



0,2



Q

y R



4,4



cuyo eje focal es paralelo al eje y

- Las coordenadas de cada punto satisfacen la ecuación de la forma: x2 DxEYF 0 asi: Para P



8,2



=> 8D2EF64 Para Q



0,2



=> 2EF 0 => D8 E 8 16   F Para R



4,4



=> 4D4E f 16

- la ecuación general de la parábola es: x2 8x8y160

- La reducimos a la forma canónica =>



x4



2 8



y2



2 8 4P P Vértice v

  

a,b  4,2



=> Foco f 



a,bP

  

 4,0

 

4,0   f Directriz ybP224 => y4 Eje de simetría xbx4

LA

ELIPSE

La Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos denominados focos F1 y F2 es constante.

Ecuación Canónica de la Elipse con Centro en

 

0,0

- Eje Focal en x 2 1 2 2 2    b y a x ab

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos 2a longitud del eje focal Distancia de vértice a vértice d1d2 2.a

la

elipse 2b longitud del eje normal Intersectos en y B1 

 

0,b y B2 



0,b



Los vértices v1 y v2 son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son: v1 

 

a,0 y

v2 



a,0



a2 b2 c2 Excentricidad e _ac Lado Recto LR _ab 2 2  - Eje Focal en y 2 1 2 2 2    a y b x ab

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos 2a longitud del eje focal Distancia de vértice a vértice d1 d2 2.a

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse 2b longitud del eje normal

Intersectos en x B1 

 

b,0 y B2 



b,0



Los vértices v1 y v son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son 2 v1 

 

0,a y

v2 



0,a



a2 b2 c2 Excentricidad e _ac Lado Recto LR _ab 2

2



Ecuación canónica de la elipse con centro en

 

h,k ab - Eje focal paralelo al eje x



 



1 2 2 2 2     b k y a h x Focos F1 



hc,k



y F2 



hc,k



Vértices V1 



ha,k



y V2 



ha,k



Intersectos en y B1 



h,kb



y B2 



h,kb



Ejemplos: a- Para la elipse _{25 16} 1 2 2   y x

determine los elementos

a5 b4 c3 Eje focal 2a10 Eje normal 2b8

F1 



c,0

 

 3,0



F2 

   

c,0  3,0 V1 

   

a,0  5,0 V2 



a,0

 

 5,0



B1 

   

0,b  0,4 B2 



0,b

 

 0,4



5 32 2 2   a b LR

b- Encuentre la ecuación de la elipse con vértices en



5,0



y focos en



2,0



a5 c2 b 21 focos en x centro en

 

0,0 => 2 1 2 2 2   b y a x => _{25 21} 1 2 2   y x

c- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto



2,1



uno de sus vértices es



2,6



y el LR 4

Dada la posición del centro y de uno de sus vértices se deduce que el eje focal de la elipse es paralelo al eje y



 

2



1 2 2 2      a k y b h x como c



2,1



y



,

 

2, 6



1  h ka    V V2 



h,ka



 ka61a6a5 V2 



2,4



2 4 10 2      b a b LR c a2 b2 c 15 =>



₁₀2

 

₂₅1



1 2 2     y x F1 



h,kc



F2 



h,kc



F1 



2,1 15



F2 



2,1 15



Ecuación General de la Elipse

0 2 2 _{    } F Ey Dx Cy Ax AC _{y mismo signo}

d- Identificar los elementos de la elipse 16x2 25y2 128x100y440 => debemos llevarla a la forma canónica =>



8 16

 

25 4 4



44 256 100 400 16 x2  x  y2  y     _=>



4



25



2



400 16 x 2 y 2 



 



1 16 2 25 4 2 _  2 _ 

 x y _{eje focal paralelo al eje x}

centro c



4,2



vértices V1



1,2



V2



9,2



B1



4,6



B2

 

4,2 focos F1



1,2



F2

 

7,2 LR  e