FUNDAMENTOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

TEMA 5:

TEMA 5:

TEMA 5:

TEMA 5: C

C

CÁ

C

Á

Á

ÁLCULO INTEGRAL DE

LCULO INTEGRAL DE

LCULO INTEGRAL DE

LCULO INTEGRAL DE

FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES

FUNDAMENTOS

FUNDAMENTOS

FUNDAMENTOS

FUNDAMENTOS

MATEM

MATEM

MATEM

C

C

C

CÁ

Á

Á

ÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES

LCULO INTEGRAL DE FUNCIONES

LCULO INTEGRAL DE FUNCIONES

LCULO INTEGRAL DE FUNCIONES

DE UNA VARIABLE

Integral definida

Dada una función f, ¿existe otra F tal que F’ = f?

Integral definida

Cálculo del área de un trapecio curvilíneo de la forma:

a _b

Integral definida

Definición de partición: Dado el intervalo [a,b] ⊂⊂⊂⊂ R, se llama partición de [a,b] a una colección finita de puntos del intervalo P = {x₀ = a, x₁, …, x_n = b} tales que x₀ < x₁ < …<x_n. El intervalo [a,b] queda dividido en n subintervalos [x_i,x_i+1], i = 0,1,…, n-1 de amplitud ∆∆∆∆x_i = x_i+1 – x_i.

Definición de norma de la partición: Longitud del subintervalo más largo de los determinados por P en [a,b] y se designa por P .

Si todos los subintervalos [x_i, x_i+1] tienen la misma longitud, se dice que P es una partición regular y, en este caso, P = (b-a)/n, donde n es el número de

subintervalos.

a = x_{0 x}

n = b

y = f(x)

Definición de función integrable-Riemann:

Sean f:[a,b]

→

→

→

→

R, P = {x

,x

,…, x

} una partición del intervalo [a,b], c

un

punto cualquiera del subintervalo [x

,x

] y

∆∆∆∆

x

la longitud del

mismo, para i = 1,2,…,n.

Si existe, es finito, e independiente de la elección de c

,

decimos que f es una función integrable-Riemann en el intervalo [a,b].

El valor del límite recibe el nombre de integral definida entre a y b de la

función f y se representa por:

Integral definida

∑

∆

f

c

x

(

)

lim

∫

_a

b

f

(

x

)

dx

Teorema:

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b] es integrable en el mismo.

Observación: La función f(x) también es integrable si presenta un número “pequeño” de discontinuidades y es acotada en el intervalo donde está definida

Integral definida

a

Integral definida

Propiedades de la integral:

1) Linealidad

Sean f,g:[a,b]

→

→

→

→

R funciones integrables y sea k

∈

∈

∈

∈

R. Entonces:

•

f + g es una función integrable en [a,b] y

ii) kf es integrable y

2) Monotonía

Dadas f,g:[a,b]

→

→

→

→

R funciones integrables tales que

∀

∀

∀

∀

x

∈

∈

∈

∈

R, se verifica que

En particular, si f es integrable y no negativa en [a,b], entonces

Integral definida

Propiedades de la integral:

3) Acotación

Sea f:[a,b]

→

→

→

→

R función integrable y sean k, K

∈

∈

∈

∈

R cotas superior e

inferior de la función f, respectivamente. Entonces:

4) Aditividad respecto del intervalo

Integral definida

Propiedades de la integral:

5) Teorema del valor medio

Sea f:[a,b]

→

→

→

→

R una función continua. Entonces existe

∫

−

=

f

x

dx

a

b

c

f

(

)

1

(

)

Definición de función integral indefinida:

Sea f:[a,b] →→→→ R una función integrable en [a,b]. Llamamos función integral indefinida de f a la siguiente función:

Cálculo de la integral

∫

=

f

t

dt

x

F

(

)

(

)

Teorema:

Sea f:[a,b]

→

→

→

→

R integrable. Se considera F:[a,b]

→

→

→

→

R definida por:

Se verifica:

a) F es continua en [a,b].

Regla de Barrow

Sea f:[a,b] →→→→ R una función continua y sea G una primitiva cualquiera de f en [a,b]. Entonces se verifica que:

Teorema fundamental del cálculo integral:

Sea f:[a,b] →→→→ R una función continua y sea F una función continua en [a,b]. Entonces F es derivable en (a,b) y F’(x) =f(x) para todo x ∈∈∈∈ (a,b) si y sólo si

Cálculo de la integral

∫

=

−

f

t

dt

a

F

x

F

(

)

(

)

(

)

Definición de función primitiva:

Dadas f,F: I

→

→

→

→

R, se dice que F es una primitiva de f en el intervalo I si F

es derivable en I y F’(x) = f(x) para todo x

∈

∈

∈

∈

I.

Área de una región plana:

Área encerrada por dos curvas definidas de forma explícita: Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] y para todo x ∈∈∈∈ [a,b], entonces el área de la región plana limitada por las curvas y = f(x) e y = g(x) y las

rectas verticales x = a y x = b es:

Aplicaciones de la integral

∫

−

=

f

x

g

x

dx

A

(

(

)

(

))

)

(

)

(

x

f

x

g

≤

∫

−

=

a

f

x

g

x

dx

∫

=

f

x

dx

A

(

)

Área de una región plana:

Aplicaciones de la integral

∫

∫

determinada por f, x = a, x = b y el eje de abcisas

.

3) Si f(x) no conserva el signo en el intervalo [a,b] se utilizará que

. Si suponemos que f(x) ≥≥≥≥ 0 para x ∈∈∈∈ [a,c] y f(x)

≤≤≤≤ 0 para x ∈∈∈∈ [c,b], entonces el área de la región plana

Longitud de arco de una curva plana: 1) Forma explícita.

Proposición: Sea C la curva plana dada mediante y = f(x) siendo f una función derivable y con derivada continua en [a,b]. La longiud del arco AB de dicha curva, con A y B los puntos de coordenadas (a,f(a)) y (b,f(b)) respectivamente, viene dada por:

2) Forma paramétrica.

Proposición: Se considera la curva expresada en forma paramétrica por las ecuaciones:

donde las funciones x e y tienen derivada continua en el intervalo [t₁,t₂]. La longitud del arco de dicha curva entre los valores t₁ y t₂ del parámetro viene dada por:

Volumen de un sólido:

Supongamos un cuerpo tal que su intersección con un plano perpendicular al eje OX da lugar, en cada punto de abcisa x, a una sección de área A(x), entonces el volumen de dicho cuerpo comprendido entre los planos perpendiculares al eje OX en los puntos de abcisas a y b es

Aplicaciones de la integral

∫

=

A

x

dx

V

(

)