Hiperboloide de dos hojas

Esfera

Ecuación: x

²

+y

²

+z

²

= a

2

Aplicación:

Hiperboloide de dos hojas

Ecuación Cartesiana:

Aplicación:

Cilindro eliptico

Ecuación

^:

X² + Y² = 1 a² b²

Usos :

Los multiplanos del Marqués de Ecquevilly

Rosa de cuatro hojas

Ecuacion :

p= a sen 2 

^



Usos : Esta ecuacion es muy utilizada en programas virtuales para la elaboracion de flores de 4 petalos para publicidad

,objetos artesanales

El seno hiperbólico de un número real x, que está definido mediante la fórmula, donde e

^x

es la función exponencial.

Esta función, junto con el coseno hiperbólico y la tangente hiperbólica, conforman unas reglas como las

trigonométricas tradicionales,

El coseno hiperbólico de un número real , está definido mediante la fórmula,

donde e

^x

= exp.(x), siendo exp.(x) la función

exponencial, es decir, la potencia de base natural e y exponente x.

Folium de Descartes

• La ecuación cartesiana del folium de Descartes:

x³ + y³ − 3axy = 0

• Su ecuación polar

• Existe también un método para el folium de descartes que es a través de sus tangentes creado por Fermat (no solo para el folium de descartes también para la cicloide) se adjunta una pagina con la explicación y la deducción en de estas

http://revistaerm.univalle.edu.co/VolXIIIN2/delatorre.pdf

• La ecuación según las tangentes:

• Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea, puede hallarse una

ecuación para la tangente de la curva en (x

1

,y

1

):

• La curva tiene una asíntota:

x + y + a = 0

Aplicación del folium de Descartes

La aplicación del folium de descarte es graficar la curva presentada con este nombre en el plano cartesiano.

No encontré aplicación al folium de descartes en la vida real y se descarta que las vueltas de una montaña rusa sean la aplicación del folium de descartes puesto que es una

clotoide.

Parábola Cúbica

La función

y = f(x) = x³

Es una parábola cúbica

• Ecuación Canónica de la parábola cúbica :

En que:

L es la longitud de la curva de transición R es el radio de la curva circular

• En la parábola cúbica las ordenadas aumentan en forma proporcional al cubo de las

abscisas y el radio de curvatura en cada punto es aproximadamente proporcional al inverso de la distancia al origen.

• Ecuación Cartesiana:

Aplicación de la Parábola Cúbica

• Es la graficación de una función cúbica f(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³

• En la vida cotidiana los ferrocarriles en sus rieles tienen esta forma en algunas de sus curvas.

Extras

• Como dato extra se adjunta una página donde podrás encontrar información referente al tema.

http://www.epsilones.com/paginas/i-curvas.html#curvas-parabola

Ecuación :

x = ( a + b ) cos - b cos + b / b

y = ( a + b ) sen - b sen a + b / b

APLICACIONES :

CONO ELIPTICO :

ECUACION :

En palabras : X al cuadrado partido a al cuadrado mas y al cuadrado partido b al cuadrado menos z al cuadrado partido c al cuadrado es 0 .

APLICACIONES :

Espiral de Fermat

(Espiral parabólica)

Gráfico:

Su Ecuación:

r = θ ^1/2

Aplicación:

Curva cotangente

Gráfico:

Su ecuación:

Y= ctnX

Aplicación:

CARACOLES DE PASCAL

Primer caracol de pascal segundo caracol de pascal tercer caracol de pascal

Formula: Formula: Formula:

R = 1 + Cos (a) R = 1 + 2Cos (a) R = 1.5 + Cos (a)

Aquí les dejo las curvas con sus fórmulas y algunas aplicaciones lo más parecido posible.

Lemniscata de dos hojas

Aplicaciones:

Símbolo infinito Hélice

Elipsoide

Aplicaciones

Planeta Tierra Huevo

La Cisoide de Diocles:

Ecuación Polar:

Y cartesiana:

Su aplicación se remonta siglos atrás, cuando se le intentaba dar

solución a problemas tales como: la trisección de un triángulo, la

duplicación del cubo o la cuadratura de un círculo, la que consiste

en la elaboración de un cuadrado que tuviera la misma área a la de

un círculo, algo así:

Esto problemas sin solución

con regla y compás se podía solucionar con el uso de ciertos tipos de cónicas, como la Cisoide de Diocles o la concoide de Nicomedes.

Concoide de Nicomedes:

Ecuación polar:

Ecuación cartesiana:

Aplicación: tiene el mismo uso que la cisoide de Diocles.

Como dato:

La siguiente dirección, muestra como se crean la concoide y la cisoide.

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/03-04/PG03-

04-lcandres.pdf.

Campana De Gauss.

En matemáticas la función Gaussiana (En honor a Carl Friedrich Gauss).

Descripción: El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, + ∞), es simétrica respecto a la media µ, Tiene un máximo en la media µ, crece hasta la media µ y decrece a partir de ella, en los puntos µ - σ y µ + σ presenta puntos de inflexión, El eje de la abscisas es una asíntota de la curva.

La grafica de la función es simétrica en forma de campana, conocida como campana de gauss.

Las funciones Gaussiana se utilizan frecuentemente en estadística.

Formula: La campana de gauss es una curva que obedece a la ecuación G(X)=1/(δ √ (2π)) · e (− (x − μ)2)/ (2δ2) ^ (Función de densidad)

Aplicación:

La campana de Gauss esta muy relacionada con las campanas de iglesia y cualquier otro tipo de campanas.

Muchos dicen que le pusieron campana por que se asemejaba a la forma de una campana.

Hipérbola

Descripción: Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.

El primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge. La Hipérbola es un lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) de R² ubicados de tal manera, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de el, es constante, es una curva plana y no cerrada formada por dos ramas que se extienden hasta el infinito pero en sentido opuesto.

Los puntos fijos son los focos y la distancia F1 y F2 entre ellos se encuentra la distancia focal.

Fórmula:

Aplicación:

Uno de los objetos que más se asimilan a una hipérbola son los relojes de arena .

Lemniscata de Benvoulli

Se define como el lugar geométrico donde el producto de las distancia de los puntos a los focos es constate.

Ecuación:

Dibujo:

Aplicación:

Con esta curva se puede hacer fácilmente, un infinito perfecto; expresión tan utilizada por los matemáticos desde su descubrimiento.

Espiral de Arquímedes

Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.

Ecuación en coordenadas polares (r, θ)

Siendo a y b números reales

Estrofoide

Es el lugar geométrico de los puntos

M

1

y M

2

(

que se ubican en rectas arbitrarias que pasan por el punto A

),

para las cuales

PM

1 =

PM

2 =

OP

(

P

es el punto arbitrario del eje OX)

Ecuaciones:

En forma paramétrica

En coordenados polares

Ahora saquemos la ecuación de una letra de este nombre:

Curva de Probabilidades:

A lo largo de la historia, matemáticos como De Moivre, Gauss o Galton se sorprendieron por la frecuencia con la que aparece la llamada curva Normal o de Gauss en estudios estadísticos.

La curva normal, como cualquier otra curva de probabilidad, verifica que:

• El área total que limita con el eje de abscisas es igual a 1.

• La probabilidad de la variable X tome valores entre a y b coincide con el área limitada por la curva, el eje OX y las rectas x = a y x = b.

• La probabilidad de que X tome un valor concreto es igual a 0. Porque no existe una única curva normal; la gráfica depende de su media, y de su desviación típica.

Normal

• Distribuciones de probabilidad normales

• La distribución de probabilidad normal (D.P.N.) es la distribución de probabilidad más importante. Hay una cantidad ilimitada de variables aleatorias continuas que tienen una

distribución normal. La D.P.N. tiene una variable aleatoria continua y usa dos funciones: una para Donde el parámetro t es la tangente del triángulo Box.

determinar los valores de y de la gráfica que representa la distribución, y otra para determinar probabilidades. La siguiente fórmula es la que se denomina función de distribución de

probabilidad normal:

• Para toda x real.

• Cuando se traza una gráfica de tales puntos, aparece la curva normal o Campana de Gauss como se muestra en el siguiente gráfico:

La probabilidad asociada con el intervalo a ≤ x ≤ b está dada por:

P(a ≤ x ≤ b) = (x).dx La Distribución Normal Estándar

• Hay un número ilimitado de distribuciones de probabilidad normal, aunque afortunadamente todas están relacionadas con una distribución, la distribución normal Estandard.

Propiedades:

• El área total bajo la curva normal es igual a 1.

• La distribución tiene forma de campana en donde el eje x es su asíntota.

• Tiene media igual a 0 y desviación Estándar igual a 1.

• La media divide el área en dos mitades simétricas.

• Casi toda el área está entre z = -3 y z = +3.

Aplicación:

Una aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad.

Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.

En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocida, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente.

Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta.

Evoluta de Elipse

Mantarraya

La evoluta de una curvas el lugar geométrico de los centros de curvatura

de la misma.

La ecuación genérica de la evoluta de una elipse en coordenadas cartesianas es:

(ax)

^2/3

+ (by)

^2/3

= (a

²

-b

²

)

^2/3

La ecuación genérica de la evoluta de una elipse en ecuaciones paramétricas es:

ax = (a

²

- b

²

) cos

³

by = (a

²

- b

²

) sen

³

Curva seno inversa

Molecula de ADN

Al considerar la gráfica de la función seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:, etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la

función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno como:

La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo

, por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función senoinverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:

Se tiene entonces que .

Luego, es el único número para el cual .

Por ende, la ecuación de la curva seno inversa es:

Y= arc sen x

Aplicación

Los surcos de los discos de viriles, forman una espiral de Arquímedes, los cuales se van haciendo igualmente espaciados y maximizados al tiempo de grabaciones.

INVOLUTA DEL CÍRCULO Parametros cartesianos:

(involucionar del círculo de centro 0 y un radio a , (a, 0)).

Parametros complejos:

Parametros polares : con

Ecuación polar:

cartesiano:

Ángulo tangensial

Abscisa curvilínea:

Radio de curvatura :

Ecuación intrínseca :

1.-

2.-

Ecuación cartesiana diferencial :

APLICACIONES:

ESPIRAL HIPERBOLICA

Una espiral hiperbólica es una Curva Plana trascendental, también conocida como espiral recíproca. Se define por la ecuación polar rθ = a, y es la inversa de la Espiral de

Arquímedes.http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hyp erspiral.png

Comienza en una distancia infinita del polo central (para θ comenzando desde cero, r = a/θ comienza desde el infinito), y se enrolla cada vez más rápidamente mientras se aproxima al polo central, la distancia de cualquier punto al polo, siguiendo la curva, es infinito. Aplicando la transformación desde el sistema de coordenadas polares:

  conduce a la siguiente representación paramétrica en Coordenadas cartesianas:

  donde el Parámetro t es un equivalente de θ en las coordenadas polares.

 La espiral tiene una asíntota en y = a: cuando t se aproxima a cero, la ordenada se aproxima hacia a, mientras que la abscisa crece hasta el infinito:





Aplicaciones:

Es uno de los tipos de espiral mas comunes en la naturaleza, se halla generalmente en las conchas de los moluscos (en especial de la familia Gastropoda) y en los centros de las flores.

Ovalo de cassini:

Definición:

Los óvalos de Cassini son una generalización de las lemniscatas de Bernoulli (a=b); son el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el producto de sus distancias a dos puntos fijos P y P' es una constante b

²

, siendo 2a=distancia (P, P’). Para a=0 se obtiene una circunferencia.

Esta es la curva descrita por

un punto P que se mueve de

tal manera que el producto

de las distancias entre P y

dos puntos fijos (situados

entre si a una distancia 2a)

es una constante b

²

.

Ecuaciones:

La ecuación genérica de los óvalos de Cassini en forma polar es:

r

⁴

+ a

⁴

- 2a

²

r

²

cos 2q = b

⁴

La ecuación canónica de los óvalos de Cassini en coordenadas cartesianas es:

(x

²

+ y

²

)

²

- 2a

²

(x

²

- y

²

) - a

⁴

+ b

⁴

= 0

Nota: La forma del óvalo depende de la proporción b/a. Cuando

b/a es mayor que 1, el lugar geométrico es una única vuelta

conectada. Cuando b/a es menor que uno, el lugar comprende

dos vueltas desconectadas. Cuando b/a es igual a 1 la curva se

denomina Lemniscata.

Ovalo de cassini

Lemniscata.

Aplicaciones:

*Esta curva fue estudiada por Cassini en 1680 al estudiar el movimiento relativo de la Tierra y el Sol.

*Se utiliza tambien en la construccion de tablas de superficie

regladas:

Curva coseno:

Definición:

El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

cos t = coordenada x del punto P

sin t = coordenada y del

punto P

Grafica y ecuaciones:

y = A cos [ω(x - α)] + C

Donde:



A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).



C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).



P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).



ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.



α es el desplazamiento de faso.

y = cos x

Aplicaciones:

*La curva coseno es utilizada en la arquitectura para poder crear diseños innovadores para la sociedad logrando que las simples y comunes formas arquitectónicas ya construidas sean mejoradas por un diseños poco común y mas llamativo como es el caso de este edificio, la torre espacio que de verdad impresiona como la matemática influye en nuestra vida y no nos damos cuenta:

*Se utiliza también en la construcción de las curvas de las

montañas rusas para que su confección se exitosa y no se

produzca ningún desequilibrio en sus mediadas para que

todo “calce en su lugar” y no se produzca un gran accidente

en su uso en la los parques de diversiones:

Lituus

La curva Lituus fue estudiada por Roger Cotes en 1722 [Robert C Yates 1952].

Descripción

La curva es asintótica al eje x positivo, y el otro extremo del espiral hacia el polo. La sobre imagen esta en un terreno desde 0.1a 20*π. Como θ se aproxima al infinito, esta curva se aproxima al origen.

Fórmulas

El Lituus es una espiral descrita por la ecuación polar

p² θ = a²

Imagen

Aplicaciones

Esta curva es utilizada principalmente como un elemento decorativo. Ejemplos:

Un báculo del Arzobispo

de Heinrich Finstingen

1260-1286

Voluta de un violín inacabado

(El espiral lituus es a veces erróneamente llamada voluta)

Rosa de “n” hojas

Investigada en el siglo XVIII por Abbot Guido Grandi.

Descripción

Esta formada por una forma que rota y se repite periódicamente, es una curva que se aleja y se acerca al centro repetidas veces

En el caso de las plantas suele ser la base de la hoja, el “nodo” alrededor del cual se desarrolla toda la hoja o el centro de simetría circular en el caso de las flores.

Fórmulas e imágenes

Imagen muestra posición del primer pétalo.

Si k es par, n=2k Si k es impar, n=k

π/k

P= a cos K θ

a a

x

π/2k

P=a sen K θ

Aplicaciones

Esta ecuación que define la curva formada por las flores que tienen más de 4 pétalos geométricos. Por ejemplo:

Black-Eyed Susan Margaritas

a

x

Cardioide

Ecuación polar es: r = 2a(1 + cos) Sus ecuaciones paramétricas son: x = a * (1 + cosA); y = A.

La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas cartesianas es:

(x² + y² - 2ax)² = 4a²(x² + y²)

Su aplicación: Se le llama cardioide por su semejanza con el dibujo de un corazón.

También es parecida a una manzana cortada por la mitad.

Semiparabola

Aplicación:

El caso de un avión que vuela horizontalmente con velocidad constante (M. R.

U), sin en algún momento es dejado caer desde el avión un objeto, su movimiento resultante tendrá como trayectoria una semiparábola.

También cuando una persona lanza una pelota de tenis contra la muralla y cae al piso. Su trayectoria tendrá como resultado una semiparabola.

Lemniscata de dos hojas

Elipsoide

Aplicación:

La forma de la Tierra y la forma de un huevo de gallina

Aplicación

Símbolo infinito que se utiliza en muchos casos en matemáticas.

Hiperboloide de 1 hoja

Gráfico Aplicación

Basurero

Fórmula

x² + y² - z² = 1

a² b² c²

Paraboloide elíptico

Gráfico Aplicación

Copa

Fórmula

y² + x² = cz

b² a²

Curva Sinusoide:

Se entiende por Sinusoide a la función seno o la curva que la representa, en general todos los gráficos de ondas se llaman sinusoides. La sinusoide puede ser descrita por la siguiente fórmula:

Fórmula → Y=Asen(bx+c)

Gráfico →

Aplicación →

Se puede ver que

las ondas se ven reflejadas en la pantalla de este osciloscopio.

Bifolium:

Ecuación Cartesiana → o

Otra Ecuación →

Gráfico →

Aplicación →

Se puede apreciar que las alas de la mosca tienen un gran parecido a la curva bifolium.

Espiral Logarítmica

Su ecuación en coordenadas polares sería:

Hiperboloide de dos hojas

En plano

cartesiano En la

naturaleza

En plano cartesiano

Focos de Automóvil

Paraboloide Hiperbólico

Ecuacion: ^2x+y

²

^-z

²

^{= 0}