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Introducci¶on
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1. Efecto fotorrefractivo
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2. Ecuaciones Materiales
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :12
3. Soluci¶on num¶erica: BPM modi¯cado
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4. C¶alculo de la e¯ciencia de difracci¶on
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5. Conclusiones
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Referencias
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\Dedicatoria"
Le dedico este trabajo de tesis a mi Madre Celia y mi Padre Epifanio, por
todo el apoyo que me han brindado a lo largo de mis estudios. A mis hermanos y
familiares por su compa~nia y su comprensi¶on. A todas las personas que me brindar¶on
su amistad y han estado conmigo a lo largo de mis estudios.
\Agradecimientos"
Agradezco al Instituto Polit¶ecnico Nacional y a la Escuela Superior de F¶³sica y
Matem¶aticas por la formaci¶on que me ha dado. Al Dr.Arturo Z¶u~niga Segundo por
el apoyo en la realizaci¶on de este trabajo.
Introducci¶on
Hoy en d¶³a, las computadoras tienen microprocesadores sobre placas de silicio de algunos mil¶³metros cuadrados, con m¶as de 16 millones de circuitos en su interior. Es muy probable que en las pr¶oximos diez o quince a~nos esto cambie radicalmente, ya que hasta ahora la miniaturizaci¶on de los microchips ha servido para incrementar la velocidad del procesamiento de los datos. Es claro que este proceso no puede seguir m¶as alla de que los microchips y sus componentes alcancen la escala at¶omica. De ah¶³ que muchos expertos intenten construir computadoras enteramente ¶opticas, que en lugar de transportar elect- ricidad, funcionar¶an gracias a millones de l¶aseres microsc¶opicos, es decir, la computadora del futuro ser¶a tan r¶apida como la luz! [1].
\La computadora ¶optica es la gran esperanza de la ¶optica del futuro. Cuando se logre, las computadoras electr¶onicas que tanto nos maravillan ahora quedar¶an obsoletas y anticuadas. La computadora del futuro emplear¶a pulsos luminosos en lugar de pulsos el¶ectricos, ¯bras ¶opticas en lugar de conductores met¶alicos, l¶aseres de estado s¶olido en lugar de generadores de se~nales electr¶onicos, memorias hologr¶a¯cas en lugar de memorias de estado s¶olido, v¶alvulas y moduladores ¶opticos en lugar de ampli¯cadores electr¶onicos, etc¶etera" [2].
La capacidad de manipular y controlar la luz es una de las metas m¶as deseadas de la ¶optica moderna. Por lo tanto, la manipulazi¶on de la luz es el obstaculo m¶as importante para lograr el desarrollo de la computadora ¶optica. Esta manipulaci¶on se puede llevar acabo por medio de cristales fot¶onicos, particularmente los cristales fotorrefractivos se han propuesto como memorias hologr¶a¯cas de alta calidad [3,4]. El escarabajo con cristales fot¶onicos resulta ser el ¶ultimo descubrimiento cient¶³¯co en esta direcci¶on, debido a su perfecci¶on cristalina permite manipular la luz visible de maneras muy so¯sticadas [5]. Los investigadores de este descubrimiento han manifestado que estos cristales fotonicos ideales
pueden ampli¯car la luz haciendo que las celdas solares sean m¶as e¯cientes, al capturar luz sirven como catalizadores de reacciones quimicas, adem¶as de generar los l¶aseres miniautura que servirian como fuente de luz en los chips ¶opticos. Estos cristales manipulan la luz de manera no cl¶asica, ya que algunos colores pueden pasar a trav¶es del cristal con distintas velocidades, mientras que otros son re°ejados como si el cristal fuera un espejo. Sin mencionar las nonoestructuras naturales antire°ejantes que cubren los ojos de muchos insectos [6].
La naturaleza aprend¶³o desde un principio la manera en que interactua la luz con estructuras peri¶odicas como consecuencia de la selecci¶on natural de las especies. Super¯cies altamente re°ejantes y de colores vivos tienen un papel importante en el cortejo, o en la se~nalizaci¶on de advertencias a los predadores. El primer sistema ¶optico apareci¶o como un grating o rejilla de difracci¶on que se han encontrado en fosiles de m¶as de 500 millones de a~nos de antigÄuedad, que comprendian canales casi peri¶odicos y paralelos sobre las super¯cies externas duras de las criaturas. Similares a las presentan los insectos modernos tales como avispas, moscas y polillas. Cabe resaltar, que la raza humana tiene 100 a~nos de haber iniciado estudios sobre dispositivos ¶opticos y por lo tanto esta muy lejos de la experiencia que tiene la naturaleza [7-10].
En este trabajo no tratamos de tomarle la delantera a la naturaleza, ya que in- dubablemente hay muchas lecciones que aprender de ella y, seguramente existen fen¶omemos impresionante a¶un sin descubrir. Pretendemos m¶as bien, el estudio de los gratings o rejillas hologr¶a¯cas de volumen grabadas en materiales fotorrefractivos. Por una parte, el efecto fotorrefractivo se de¯ne como el cambio local del ¶³ndice de refracci¶on, que se produce por la variaci¶on espacial de la intensidad de la luz en el interior del material. Por la otra parte, las propiedades generales de los gratings se explican a trav¶es del camino ¶optico, de¯nido como la distancia o camino que recorre la luz multiplicado por el ¶³ndice de refracci¶on del medio.
En la mayor¶³a de las lentes, el ¶³ndice de refracci¶on se mantiene constante pero se var¶³a su espesor. Sin embargo, una lente tambi¶en puede ser fabricada manteniendo constante su espesor pero variando su ¶³ndice de refracci¶on. De manera similar, una rejilla de difracci¶on consiste de una variaci¶on peri¶odica del espesor de un medio con ¶³ndice de refracci¶on con- stante, o de un medio con ¶³ndice de refraci¶on peri¶odico con espesor constante. Al primer
tipo de rejilla se le conoce como rejilla de super¯cie y al segundo rejilla de volumen.
La aplicaciones de las rejillas hologra¯cas de volumen son muy variadas algunas van desde la astronom¶³a [11] a las comunicaciones ¶opticas donde la WDM (Wavelength Division Multiplexing) o multiplexaci¶on por divisi¶on en longitud de onda [12], ha sido empleada como la ¶unica tecnolog¶³a capaz de explotar todo el ancho de banda ofrecido por la ¯bra
¶ optica.
Fig. i.1. El grabado de un holograma de volumen, generalmente se realiza en la con¯guraci¶on de transmisi¶on y, la lectura en la con¯guraci¶on de re°exi¶on. La lectura generalmente se realiza con ¯bras ¶opticas.
La geometr¶³a de gabrado es mostrada en la ¯gura i.1. Dos haces colimados de longitud de onda ¸ se cruzan a un ¶angulo µ en el aire dentro del material formando un patr¶on de interferencia I (x) que puede ser representado por
I(x) = Io
·
1 + m cos µ2¼
¤ x
¶¸
; (i:1)
donde m = 2p
I1I2=(I1 + I2) es la modulaci¶on del patr¶on de interferencia generado por los dos haces de intensidades I1 e I2. La longitud de onda de la rejilla del patr¶on de
interferencia est¶a de¯nida por la relaci¶on de Bragg para transmisi¶on
¤ = ¸
2 sin µ : (i:2)
Para el proceso de lectura supongamos que se incide un haz compuesto de muchas longitude de onda ¸1¢ ¢ ¢ ¸m, el grating actua como un espejo re°ejando una longitud de onda ¸B que satisface la relaci¶on de Bragg para re°exi¶on
¤ = ¸B
2q
n2¡ sin2Ã=2
: (i:3)
Estos arreglos, llamados ¯ltros de Notch, se agrupan en arreglos en \cascada" para dar origen al \recon¯gurable optical-add-drop multiplexor" (ROADM) [13], utilizados en las tecnologias WDM. Cabe mencionar que estos dispositivos fueron creados por la naturaleza hace 500 millones de a~nos y es el mecanismo utilizado por los insectos para ser invisibles para su depredadores.
Las constantes diel¶ectricas en los gratings pueden ser complejos. El grating formado por la parte real se le conoce como grating de fase y al de la parte imaginaria como grat- ing de absorci¶on. En este trabajo, presentamos una soluci¶on anal¶³tica para la mezcla de dos ondas en la geometr¶³a de transmisi¶on, considerando el caso general de los dos grat- ings y cualquier valor de absorci¶on del material. Basados en la referencia 14, presentamos soluciones a las ecuaciones del material fotorrefractivo de silicato de bismuto BSO; con- siderando modulaciones grandes y varias longitudes de onda de la rejilla de interferencia y, dos campos el¶ectricos externos constantes (DC o de corriente directa). Por ¶ultimo uti- lizaremos la teor¶³a de Kogelnik modi¯cada para calcular la e¯ciencia de difracci¶on ´ en la con¯guraci¶on de transmisi¶on.
1
Efecto fotorrefractivo
Hace aproximadamente 40 a~nos, Arthur Ashkin y sus colaboradores de los labora- torios Bell, tuvieron las primeras experiencias del efecto fotorrefractivo, consider¶andolo una curiosidad, una molesta experiencia y una \demencia" ¶optica [15]. Hoy los materiales fotorrefractivos han sido la esencia para la construcci¶on de componentes, (compuertas, memorias, elementos procesadores de datos e imagenes), de una nueva generaci¶on de com- putadoras que utilizan la luz en lugar de la electricidad [4,5]. Ashkin experiment¶o con un cristal de Niobato de litio (LiNbO3), donde esperaba cambiar el color de un rayo l¶aser incidente por otro, proceso llamado generaci¶on de segundo arm¶onico. Como parte de sus pruebas, dirigi¶o un rayo a trav¶es del cristal. En un principio el cristal ejecut¶o un compor- tamiento normal, permitiendo el paso de la luz a trav¶es de ¶el sin distorsi¶on. Pero despu¶es de algunos minutos, el cristal comenz¶o a distorsionar el rayo, esparciendolo alrededor del laboratorio. De alguna manera la luz del l¶aser hab¶³a alterado las propiedades ¶opticas del cristal. Este efecto persisti¶o en el cristal por d¶³as. Sin embargo, si se iluminaba el cristal con un rayo de luz uniforme, el cristal volv¶³a a transmitir al rayo sin distorsi¶on.
De lo anterior es claro que la luz que incide en un material fotorrefractivo, afecta su propia rapidez. M¶as espec¶³¯camente el efecto fotorrefractivo es un proceso en el cual la luz altera el ¶³ndice de refracci¶on del material. Como se sabe la luz es una onda elec- tromagn¶etica, cuya intensidad de campo el¶ectrico es proporcional a la ra¶³z cuadrada de su intensidad. Por ejemplo, un rayo con intensidad de 100 £106 W=cm2, es equivalente a un campo el¶ectrico de 100 KV=cm, aproximadamente. Cuando dicha luz es dirigida a un material transparente, la posici¶on de sus ¶atomos es modi¯cada, cambiando el ¶³ndice de refracci¶on por algunas partes por mill¶on. Para nosotros el t¶ermino \fotorrefractivo" estar¶a reservado, para materiales cuyo ¶³ndice de refracci¶on cambia en algunas partes por 10 000!!, en respuesta a la luz de baja intensidad de una mil¶esima de W=cm2. En los materiales
fotorrefractivos el rayo de luz d¶ebil puede alterar el arreglo de ¶atomos, cambiando el ¶³ndice de refracci¶on, el cambio es semipermanente: ya que si un cristal alterado es aislado de to- das las fuentes de luz, el cambio persistir¶a desde milisegundos hasta a~nos dependiendo del material. De esta manera se puede almacenar informaci¶on en la forma de im¶agenes en un cristal. Es claro que las propiedades ¶opticas de los materiales fotorrefractivos pueden ser modi¯cadas por la luz que pasa a trav¶es de ellos, de ah¶³ que ¶estos sean categorizados como medios ¶opticos no lineales. En un medio ¶optico lineal tal como los prismas, las lentes, y los ¯ltros polarizados, los haces de luz pasan de un lado a otro sin cambiar las propiedades del material.
Es claro a¯rmar que las pel¶³culas de material fotorrefractivo, (semiconductoras o de compuestos org¶anicos), cambian r¶apidamente sus propiedades ¶opticas cuando son expues- tas a la luz brillante y responden lentamente cuando son sujetas a luz de baja intensidad, capturando detalles ¯nos cuando son iluminados por alg¶un patr¶on intrincado de luz. A diferencia de las otras pel¶³culas las de material fotorrefractivo son borrables: las im¶agenes pueden ser almacenadas o borradas a capricho o por dise~no [4,5].
La pregunta obligada ser¶³a: >Como puede un rayo de luz tan d¶ebil, causar un cambio tan fuerte en el ¶³ndice de refracci¶on del cristal? A ¯nales de 1960, F. S. Chen tambi¶en de los laboratorios Bell, propone el modelo b¶asico del efecto fotorrefractivo [16]. Justo como las hormigas mueven una gran cantidad de arena, un rayo d¶ebil puede gradualmente construir un fuerte campo el¶ectrico al mover cargas el¶ectricas una por una. En los cristales fotorrefractivos, las cargas se difunden de las regiones iluminadas a las regiones obscuras donde se acumulan. Como m¶as y m¶as cargas son desplazadas, el campo el¶ectrico dentro del cristal, (llamado campo espacial de carga Esc), se incrementa alcanzando una intensidad tan alta como 10 KV=cm. El campo el¶ectrico modi¯car¶a en ¶³ndice de refracci¶on como consecuencia de la peque~na distorsi¶on de la estructura cristalina (aproximadamente 0:01%).
Para acrecentar el efecto fotorrefractivo, se ha aprendido a controlar el °ujo de carga dentro del material. Los dos mecanismos que controlan el °ujo de la carga en el cristal son la difusi¶on y el arrastre. Ellos son an¶alogos a la difusi¶on y arrastre del humo de un cigarrillo. Saliendo del cigarro el humo se difunde hacia las regiones de baja densidad de humo. Si una ligera brisa °uye, arrastrar¶a al humo en una direcci¶on determinada. Las
part¶³culas de humo se comportan como las cargas moviles en un material fotorrefractivo:
las cargas tender¶an a moverse hacia las regiones de baja densidad de carga, y ellas son arrastradas en respuesta al campo el¶ectrico.
La simple difusi¶on de cargas desde las regiones brillantes a las oscuras de un cristal no produce el intenso campo el¶ectrico necesario. En 1981 Jean Pierre Huignard y Abdellatif Marrakchi de los laboratorios Thomson en Orsay, Francia, aplicaron un campo el¶ectrico externo a un cristal fotorrefractivo para producir un campo el¶ectrico espacial, m¶as intenso que el producido solamente por difusi¶on [17]. Sin embargo, el campo el¶ectrico aplicado desplaza al grating de ¶³ndice de refracci¶on del desfasamiento de cuarto de ciclo optimo.
Para prevenir este cambio espacial no optimo del grating, Sergei I. Stepanov y Mikhail P. Petrov del A. F. Io®e Instituto F¶³sico T¶ecnico de la academia sovi¶etica de ciencias en Leningrado, desarrollaron una inteligente t¶ecnica [18]. Ellos aplicaron un campo el¶ectrico externo que r¶apidamente alternaba, las cargas se desplazaron en una direcci¶on para la primera mitad del ciclo del campo aplicado y en la direcci¶on opuesta en la siguiente mitad del ciclo. El proceso es similar a tener dos personas que soplan alternadamente a la salida de un cigarrillo. Resultando un patr¶on de humo intensi¯cado por ambas brisas y esparcido en el espacio, con el mismo promedio de ubicaci¶on, como si las brizas de viento no estuviera presentes. En los cristales fotorrefractivos este proceso permite un campo el¶ectrico interno m¶as intenso que el producido solamente la difusi¶on, y el grating de ¶³ndice de refracci¶on tiene el mismo promedio en fase, de un cuarto de ciclo como si no hubiese sido desplazado el campo presente.
En un principio esto no parec¶³a tener ninguna aplicaci¶on, no fue hasta que Kukhtarev propuso las ecuaciones que rigen la formaci¶on del campo espacial de carga [19]. Esto tuvo un gran signi¯cado ya que por primera vez al calcular el campo espacial de carga, fue posible por medio de la electro-¶optica, calcular los cambios de ¶³ndice de refracci¶on dentro del material y as¶³ poder describir las trayectorias que la luz sigue en su interior.
Durante las ultimas tres d¶ecadas, los materiales fotorrefractivos han sido objeto de muchos estudios debido a la gran variedad de aplicaciones que tienen en la transmisi¶on y manipulaci¶on de informaci¶on ¶optica. Algunos materiales fotorrefractivos ferroel¶ectricos como el LiNbO3 y el BaTiO3 y no ferroel¶ectricos como el Bi12SiO20 (BSO), Bi12TiO20
(BTO), Bi12GeO20 (BGO), han sido utilizados en el procesamiento ¶optico de se~nales, en holograf¶³a din¶amica, en ¶optica de fase conjugada y en interconexi¶on ¶optica de redes entre otras aplicaciones tecnol¶ogicas.
2
Ecuaciones Materiales
Si dos haces de la misma frecuencia se intersectan dentro de un cristal, ellos in- terferir¶an y producir¶an un patr¶on estacionario de regiones brillantes y oscuras, o m¶as espec¶³¯camente un patr¶on de interferencia con periodo ¤ y cuya intensidad vari¶e sinu- soidalmente con la posici¶on en el cristal, ver Fig.2.1(a).
Fig. 2.1. La esencia de efecto Fotorrefractivo. (a) Formaci¶on del patr¶on de interferencia. (b) Redistribuci¶on de la densidad de carga. (c) Formaci¶on del campo de carga espacialEscy (d) Por efecto electro-¶optico cambios en el ¶³ndice de refracci¶on del cristal.
Este patr¶on sinusoidal formado dentro del cristal, mover¶a las cargas el¶ectricas generando
una densidad de carga el¶ectrica cuya magnitud tambi¶en variar¶a sinusoidalmente, (Fig.
2.1(b)). Por electrost¶atica se produce un campo de carga espacial (Fig.2.1(c)), que \dis- torsionar¶a" la estructura de la red cristalina peri¶odicamente, produciendo cambios en el
¶³ndice de refracci¶on (Fig.2.1(d)), calculados por medio de efecto electro-¶optico. El patr¶on de interferencia (el campo de carga espacial) y el grating de ¶³ndice de refracci¶on, tendr¶an la misma periodicidad, pero ellos estar¶an defasados por un ¶angulo Á mostrado. Cuando este ¶angulo sea de un cuarto de periodo, es decir cuando se tenga un desplazamiento de 90 grados, ser¶a la con¯guraci¶on m¶as optima para el intercambio de energ¶³a entre los dos rayos laser [18].
Las ecuaciones que gobiernan la respuesta f¶³sica del material fotorrefractivo son cono- cidas como ecuaciones de Kukhtarev [19]
@N+
@t = (sI + ¯)(ND¡ N+)¡ °nN+;
@n
@t = @N+
@t + @
@x µ
D@n
@x + ¹nE
¶
;
@(²²oE)
@x = e(N+¡ NA¡ n) ;
9>
>>
>>
>>
=
>>
>>
>>
>;
(2:1)
donde el movimiento de los portadores es a lo largo de x, NA es el n¶umero de aceptores ini- ciales, N+ es la concentraci¶on de aceptores al instante de tiempo t y NDes la concentraci¶on total de trampas. La concentraci¶on de electrones es n y su movilidad ¹; el coe¯ciente de difusion D = KBT donde KB es la constante de Boltzmann; ° es el coe¯ciente de atra- pamiento; ¯ la raz¶on de ionizaci¶on t¶ermica y s es la secci¶on e¯caz de ionizaci¶on. El campo el¶ectrico E esta dado por la suma del campo aplicado Ea y el campo espacial de carga Esc. Por ¶ultimo I est¶a de¯nida por la ecuaci¶on i.1.
Los calculos num¶ericos fueron realizados para un material de ¶Oxido de Silicio y Bismuto (BSO) [15], con los par¶ametros de¯nidos en la tabla 2.1, y un campo el¶ectrico aplicado Ea. Con las aproximaciones de utilizar el modelo de transporte de banda para los portadores mayoritarios (electrones), y que en este caso el transporte de los portadores de las franjas brillantes a las obscuras se debe ¶unicamente a difusi¶on y arrastre: donde hemos despreciado el efecto fotovoltaico.
Ea= 5:0; 10:0Kv=cm (Campo aplicado)
Io= 5:0mW=cm2 (Intensidad promedio de la luz)
² = 56:0 (Constante diel¶ectrica)
¹ = 3:0£ 10¡6m2=VS (Movilidad)
° = 1:6£ 10¡17m3=s (Coe¯ciente de atrapamiento)
¯ = 0:0 (Raz¶on de ionizaci¶on t¶ermica)
s = 1:0£ 10¡5m2=J (Secci¶on e¯caz de ionizaci¶on) ND = 1025m¡3 (Densidad de trampas)
NA = 1022m¡3 (Densidad de aceptores)
Tabla 2.1. Par¶ametros utilizados en el material fotorrefractivo BSO.
Fig.2.2. Evoluci¶on temporal del campo de carga espacial Esc. Para: ¤ = 0:5; 20:0ym = 0:9; 0:6. La °echa indica el incrmento en el tiempo.
En la Fig. 2.2 mostramos la evoluci¶on temporal del campo de carga espacial Esc(x; t) para una sucesi¶on de tiempos indicados por la °echa rotulada con la letra t. Creemos intrascendente especi¯car los tiempos exactos, debido a que estamos interesados en el estado estacionario. La coordenada x por simplicidad se normaliz¶o a la longitud de onda ¤.
El comportamiento es muy similar para las longitudes de onda entre el intervalo (0:5; 20:0), por tal motivo s¶olo mostramos los extremos.
La fase ©, correspondiente al defasamiento entre la intensidad y el ¶³ndice de re- fracci¶on, se encuentra al calcular la primera componente de Fourier del campo espacial de carga, es decir, el campo espacial de carga se puede escribir como,
Esc(x) = ao
2 + X1 n=1
h
ancosn¼
T x + bnsinn¼ T xi
; (2:2)
donde
an= 1 T
Z 2T 0
Esc(t) cosn¼
T t dt ; bn= 1 T
Z 2T 0
Esc(t) sinn¼
T t dt : (2:3) Ya que nuestro campo espacial de carga est¶a de¯nido en el intervalo 0· x · ¤, escribimos que los coe¯cientes de la primera componente de Fourier como,
a1= 2
¤ Z ¤
0
Esc(t) cos2¼
¤ t dt ; b1= 2
¤ Z ¤
0
Esc(t) sin2¼
¤ t dt ; (2:4) de donde la fase y la magnitud m¶axima ser¶a:
tan © = b1
a1 ; E1 = q
a21+ b21 : (2:5)
Con estos valores calculamos la constante de acoplamiento ¡ sin Á, de¯nida como:
¡ sin © = 2¼n3oreffsin ©j E1j
¸ cos µm ; (2:6)
donde µ es el coseno de¯nido por la relaci¶on de Bragg (i.2); ref f es el coe¯ciente electro-
¶
optico del BSO cuyo valor es 4:7£ 10¡12m/V y no = 2:5 es el ¶³ndice de refracci¶on de la muestra.
En la ¯gura 2.3 mostramos la evoluci¶on t¶³pica del campo espacial de carga, obser- vamos que conforme el tiempo aumenta, lo hace as¶³ tambi¶en el campo espacial de carga.
Observe tambi¶en que los valores son muy sensibles a la modulaci¶on m y a la longitud de onda del patr¶on de interferencia ¤.
Fig.2.3. M¶aximo campo de carga espacial como funci¶on del tiempo, el l¶³nea roja, para: ¤ = 0:5 ym = 0:9; 0:6; 0:3 y 0:1. Observe las distintas escalas para cada gr¶a¯ca. La l¶³nea azul y verde corresponden a la primera y segunda componente de Fourier.
Por ¶ultimo, en la ¯gura 2.4, mostramos los valores de la constante de acoplamiento
¡ sin Á de¯nida en la ecuaci¶on (2.6), para ¤ = 10:0 y Los campos aplicados Ea = 5:0 y 10:0Kv/cm; las gr¶a¯cas de la derecha representan los valores de la fase Á; ambas en funci¶on de la modulaci¶on m. Tenemos una gran variedad de gr¶a¯cas de la constante de
acoplamiento y su fase respectiva para longitudes de onda del grating ¤, desde 0.5 a 20 micras, es decir para una variedad de angulos de incidencia de¯nidos por la relaci¶on de Bragg (i.2).
Fig. 2.4. Constante de acoplamineto¡y la fase©en funci¶on de la modulaci¶on.
Para¤ = 10:0y campos aplicados de Ea = 5:0y10:0Kv/cm.
3
Soluci¶on num¶erica: BPM modi¯cado
La propagaci¶on de las ondas en el semiplano in¯nito es uno de los problemas can¶onicos de la ¶optica cl¶asica [20]. Los primeros resultados cuantitativos fueron dados por Fraunhofer y posteriormente por Fresnel. Sus teor¶³as apuntaban hacia los c¶alculos de patrones de difracci¶on producidos por aberturas. A principios del siglo XX, Sommerfeld trabaj¶o la teor¶³a rigurosa de la difracci¶on para un semiplano met¶alico. La propagaci¶on de haces en el semiplano in¯nito con inhomogeneidades arbitrarias {como un chip de ¶optica integrada{
puede ser simulado num¶ericamente. El procedimiento matem¶atico involucrado se llama m¶etodo de propagaci¶on de haces, (B.P.M, Beam Propagation Method) [21].
Fig. 3.1. Esquema de secciones para el BPM modi¯cado. Observe que la gu¶³a de longitudl se dividi¶o en nintervalos de tama~no ¢z.
El objetivo es propagar dos haces A1 y A2 a lo largo de una gu¶³a de longitud l, la cual la dividimos en n intervalos de tama~no ¢Z cada uno, ver la ¯gura 3.1. En la cara (a) del primer intervalo de¯nimos el ¶angulo de incidencia µ y por la relaci¶on de Bragg (i.2), encontramos la longitud de onda del grating de interferencia ¤. Ya que conocemos la intensidad y la modulaci¶on inicial Io y j m j, con estos datos podemos determinar las
magnitudes de las ondas A1 y A2 en la cara (a), por medio de:
A1= rIo
2
³1¡p
1¡ m2´
exp(iÁ1) ;
A2= rIo
2
³1 +p
1¡ m2´
exp(iÁ2) :
(3:1)
donde las fases Á1 y Á2 las determinamos arbitrariamente. Cabe mencionar que en la pr¶actica estas fases est¶an determinadas por los haces gaussianos, de hecho no ser¶³an nece- sarias las relaciones (3.1).
La modulaci¶on est¶a determinada por la relaci¶on, m = 2A1A¤2
Io
=j m j exp(iÃm) ; (3:2)
donde claramente tendr¶a valores complejos.
Las ecuaciones de acoplamineto en presencia de grating de absorci¶on y fase ser¶an [22]
dA1(z)
dz =¡i³
·¤ ¡ i® 4
´A2(z)¡ ®
2A1(z) ; dA2(z)
dz =¡i³
·¡ i® 4
´
A1(z)¡ ®
2A2(z) ;
(3:3)
cuyas soluciones son:
A1(z) = i 2·¡ i°
½ C1exp
·
¡1
2(®¡ ¯)z
¸
¡ C2exp
·
¡1
2(® + ¯)z
¸¾
;
A2(z) = C1exp
·
¡1
2(®¡ ¯)z
¸
+ C2exp
·
¡1
2(® + ¯)z
¸ :
(3:4)
donde la constante de acoplamiento · es:
·(z) = ¼
¸ cos µ
n3oreff j E1(z)j
2 exp i[©(z) + Ãm(z)] ; (3:5)
observe que esta expresion involucra las fases del campo © y la fase de la modulaci¶on Ãm. Adem¶as, ® es la constante de absorci¶on, C1 y C2 son constantes calculadas de las condiciones iniciales de A1 y A2 con,
¯ =p
°2¡ 4 j · j2 +2i°(·¤¡ ·) ; ° = 1
® :
La implementaci¶on es como sigue:
1.- Con la intensidad inicial Io, proponemos un valor a la modulaci¶on moy por medio de la relaci¶on (3.2), encontramos los campos A1 y A2 de¯nidos en la cara (a). Las fases las podemos considerar variables o cero, seg¶un se requiera en el c¶alculo.
2.- Con el valor de mo, podemos interpolar num¶ericamente con ayuda de las gra¯cas (2.4), los valores de la Funci¶on ¡ sin © (ver Ec. (2.6)) y los valores de la fase © para una determinada longitud de onda del grating ¤ y un campo aplicado Ea. Con esta interpolaci¶on es posible calcular la constante de acoplamiento · de¯nida por la ecuaci¶on (3.5).
3.- Conocida ·, con ayuda de la ecuaciones (3.4) determinamos los valores para las constantes C1 y C2 en la cara (a), es decir, para z = 0,
4.- Con los valores de las constantes, nuevamente con ayuda de las ecuaciones (3.4), determinamos los valores de los campos A1 y A2 en la cara (b), es decir, para z = ¢z.
5.- En la cara (b) con ayuda de la ecuaci¶on (4.6), determinamos la magnitud y la fase de la modulaci¶on m; interpolamos los valores para ¡ sin ©, © y recalculamos las constantes C1 y C2 en la cara (b) y como consecuencia calculamos los valores de los campos A1 y A2
en la cara (c).
6.- Repetimos este algoritmo hasa el ¯nal de la gu¶³a de longitud l.
Observe que ya no utilizamos las transformadas r¶apidas de Fourier, ya que tenemos las soluciones a las ecuaciones de acoplamiento (3.4).
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C¶alculo de la e¯ciencia de difracci¶on
La e¯ciencia de difracci¶on es la variable m¶as utilizada y reportada en las mediciones experimentales. Nos da una buena idea de la calidad y capacidad de la memoria que tendr¶oa nuestro dispositivo. Generalmente cuando se graba una rejilla se hace con dos haces de luz intensa, en nuestro caso fueron dos haces de color verde incidentes a un
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angulo que de¯ne la relaci¶on de Bragg (i.2).
Fig.4.1. E¯ciencia de difracci¶on para un rejilla de fase, en funci¶on de las mod- ulaciones m = 0:9, 0.7, 0.5 y 0.3. Grabadas para una longitud de onda de la rejilla¤ = 1:0¹m. Para un campo aplicado de (a) 5.0kV/cm. (b) 10.0kV/cm.
La lectura es realizada con un s¶olo haz de menor intensidad, en nuestro caso uti-
lizamos un haz de color rojo. Aunque a la entrada del cristal s¶olo tenemos un haz, a la salida emergen dos haces, el refractado por la rejilla y el transmitido. La e¯ciencia de difracci¶on se de¯ne como la raz¶on entre las intensidades de los haces refractado y transmi- tido, es decir, ´ = Ir=It .
En las ¯guras 4.1, 4.2 y 4.3, mostramos la e¯ciencia de difracci¶on en funci¶on de la longitud de onda de la rejilla de ¶³ndice de refracci¶on ¤ = 1:0, 5:0 y 10:0¹m, respectiva- mente. Para cada longitud de onda tendremos dos campos aplicados de 5.0 y 10.0kV/cm, denotados por las letras (a) y (b) respectivemente. Nuevamente para cada campo aplicado tendremos cuatro modulaciones m = 0:9, 0.7, 0.5 y 0.3, como se indican en cada gr¶a¯ca por un s¶³mbolo. Obseravemos que la e¯ceincia de difracci¶on no es mejor para longitudes de onda peque~nas como lo indica la ¯gura 4.1, que en este caso tampoco mejora con el campo aplicado. El todos loas casos el campo aplicado mejora la respuesta del cristal en t¶erminos de la longitud utilizada, es decir, que se necesitan cristales m¶as cortos para alcanzar las m¶aximas e¯encias de difracci¶on con campos el¶ectricos m¶as grandes, como se muestra al comparar las gra¯cas 4.3(a) y 4.3(b).
La e¯ciencia de difracci¶on tambi¶en depende de la modualci¶on de la luz. Por ejemplo, es de esperar que conforme la modulaci¶on aumente, aumente tambi¶en la e¯ciencia. Esto es claro para los cristales de menos de 1.0 cm de largo, pero para cristales mayores tendremos que esto no es cierto sobre todo para las longitudes de onda de la rejilla peque~nos, vea la gr¶a¯ca 4.1, donde las modulaciones de 0.3 y 0.5 tienen la mayor e¯ciencia de difracci¶on.
En los otros casos se observa un comportamiento oscilatorio pero no alcanzan valores m¶as grandes que las de¯nidas por la modulaci¶on de 0.9, excepto quiza la de la modulacion de 0.7 en la gr¶a¯ca 4.2(b).
Una pregunta interesante es sobre la in°uencia del grating de absorci¶on en en la e¯ceincia de difracci¶on de la muestra. En las ¯guras 4.4 y 4.5, mostramos la comparaci¶on entre los gratings de absorci¶on, fase y ambos. De estas gr¶a¯cas observamos que el efecto del grating de absorci¶on es v¶alido para cristales largos ¶o ¯bras ¶opticas. En la secuencia de las gr¶a¯cas 4.4(a), 4.4(b), observamos que conforme la modulaci¶on se hace peque~na los efectos del grating de absorci¶on son m¶as notorios como se muestran el as gr¶a¯cas de ambos gratings.
Fig.4.2. E¯ciencia de difracci¶on para un rejilla de fase, en funci¶on de las mod- ulaciones m = 0:9, 0.7, 0.5 y 0.3. Grabadas para una longitud de onda de la rejilla¤ = 5:0¹m. Para un campo aplicado de (a) 5.0kV/cm. (b) 10.0kV/cm.
Fig.4.3. E¯ciencia de difracci¶on para un rejilla de fase, en funci¶on de las modula- cionesm = 0:9, 0.7, 0.5 y 0.3. Grabadas para una longitud de onda de la rejilla
¤ = 10:0¹m. Para un campo aplicado de (a) 5.0kV/cm. (b) 10.0kV/cm.
Fig.4.4. Comparaci¶on de la e¯ciencia de difracci¶on producida por una rejilla de absorci¶on, fase y ambas, en funci¶on de las modulaciones; (a) m = 0:9, (b) m = 0:6. Grabadas para una longitud de onda de la rejilla¤ = 5:0¹m y un
campo aplicado de 5.0kV/cm.
Fig.4.5.Comparaci¶on de la e¯ciencia de difracci¶on producida por una rejilla de absorci¶on, fase y ambas, en funci¶on de las modulaciones; (a) m = 0:3, (b) m = 0:1. Grabadas para una longitud de onda de la rejilla¤ = 5:0¹m y un
campo aplicado de 5.0kV/cm.
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Conclusiones
Hemos resuelto num¶ericamente las ecuaciones materiales que de¯nen el efecto fotor- refractivo para el BSO, donde mostrarmos la evoluci¶on espacial y temporal de las solu- ciones a estas ecuaciones para modulaciones grandes con las m¶³nimas aproximaciones, s¶olo las referidas al modelo de transporte de banda. Como segundo objetivo, aplicamos nue- stros resultados al c¶alculo de la e¯ciencia de difracci¶on utilizando la teor¶³a de Kogelnik modi¯cada, donde la constante de acoplamiento · no es ¯ja y consideramos la rejilla de absorci¶on del material.
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