Asignatura: GEOMETRIA 9°
Docente: María Inés Silva Manrique Fecha: _____________
Estrategia Evaluativa: Trabajo en casa y encuentro presencial y virtual Nombre del Estudiante: ____________________________________________ Grado: _____________
Competencia: Utiliza argumentos propios para exponer ideas matemáticas usando un lenguaje adecuado para expresar conceptos, relaciones y propiedades.
Guía N° 3: TEORAMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos.
es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
Recordatorio: un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto.
Está claro que, si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.
La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
El Teorema de Pitágoras dice que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
En símbolos: c2 = a2 + b2
Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir:
Que el: área de un cuadrado de lado igual a la medida de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son iguales a la medida de cada uno de los catetos respectivamente.
Existen muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras.
Ejercicio: Consulte una demostración geométrica del teorema de Pitágoras y realice un escrito sobre ella.
( en hojas y o en el cuaderno, para subir a la plataforma, en la fecha que se pacte con el grupo).
Ejemplo 1: Halle el valor de x en el triángulo QNP:
Solución:
Debemos calcular la longitud de la hipotenusa X2 = q2 + n2
X2 = (5 metros)2 + (12m)2 X2 = 25 m2 + 144m2
X2 = 169m2 √𝑥2 = √169𝑚2 X= 13 m
RTA: El valor de x es 13 metros.
Ejemplo 2: Una escalera de 2,5 metros está apoyada en una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro de dicha pared, ¿a qué altura sobre la pared llega la escalera?
( la respuesta debe estar en metros) Solución:
Al ser la pared vertical, la pared y el suelo son perpendiculares.
Si consideramos la escalera, la altura que alcanza ésta, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un triángulo rectángulo:
Llamamos a la altura que alcanza la escalera sobre la pared Aplicamos el teorema de Pitágoras:
(250 cm)2 = (50 cm)2 + a2 Despejamos la incógnita:
62500 cm2 ─2500 cm2 = a2 60000cm2 = a2 √60000 𝑐𝑚2 = √𝑎2 𝑎 ≈ 244,948
RTA: La escalera llega a una altura de 2,45 metros aproximadamente.
Taller de actividades N° 4
1.) En cada uno de los siguientes casos, se facilita la medida de los tres lados de un triángulo: Dibuje el triángulo, Calcule el cuadrado de los tres lados de estos triángulos y compruebe en cuál de ellos de cumple el teorema de Pitágoras. Sí, no se cumple escriba que clase de triangulo es (obtusángulo, acutángulo)
a) 11 cm ; 6 cm y 8 cm b) 13 m ; 12m y 4 m c) 2,5 cm ; 4 cm; 5 cm
d.) 5 dm ; 3 dm; 4 dm e.) 25 Km: 7 Km; 24 Km f.) 17 m; 8m; 15 m
g.) 3 cm; 6 cm; 8 cm h.) 7m ; 6m; 4m i)12cm, 16cm y 20cm
j) 13m, 12m y 10m k) 40cm, 41cm y 9cm
l)
11m, 61m y 60m2.) Halla la medida, en centímetros, del cateto desconocido de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 10 cm y el cateto conocido mide 8 cm.
3.) Halla la medida, en metros, del cateto desconocido de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 17 metros y el cateto conocido mide 15 metros.
4.) Realice un esquema o dibujo, de cada una de las siguientes situaciones y resuélvalas:
a) Una escalera de 65 decímetros se apoya en una pared vertical de modo que el pie de la escalera está a 25 decímetros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros alcanza la escalera?
b) Una letra “N” se ha construido con tres listones de madera; los listones verticales son 20 cm y están separado 15 cm. ¿Cuánto mide el listón diagonal?
c) Una escalera de 15 metros se apoya en una pared vertical, de modo que el pie de la escalera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la altura en metros, que alcanza la escalera sobre la pared.
d) Una escalera de bomberos de 15,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio.
¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?
e) Halla la medida en centímetros, de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 10 cm.
f) Halla la medida, en centímetros, de la altura de un rectángulo, cuya base mide 35 cm y su diagonal 37 cm
g) Una rampa de una carretera avanza 60 metros en horizontal para subir 11 metros en vertical. Calcula cuál es la longitud del tramo de carretera.
h)
El dormitorio de Pablo es rectangular, y sus lados miden 3 y 4 metros. Ha decidido dividirlo en dos partes triangulares con una cortina que une dos vértices opuestos. ¿Cuántos metros deberá medir la cortina?i.) Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 10 centímetros y sus lados iguales 13 centímetros.
j.) La cara frontal de una tienda de campaña es un triángulo isósceles cuya base mide 1,6 metros y cada uno de los lados iguales mide 170 centímetros. Calcula la altura en centímetros de esa tienda de campaña.
k.)En un rectángulo de altura 4 cm la diagonal es de 5,8 cm.
¿Cuánto mide la base del rectángulo?
l.)Una escalera de 65 decímetros está apoyada en una pared vertical a 52 decímetros del suelo. ¿A qué distancia se encuentra de la pared el pie de la escalera?
ll.) Calcula la medida, de cada lado de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 12 y 16 Centímetros.
m.) En un triángulo rectángulo isósceles, los catetos miden 25 milímetros cada uno,
¿Cuál es la medida de su hipotenusa?
n.)
Desde un balcón de un edificio en la playa se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura se encuentra ese balcón?o.)
Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la visual al extremo superior del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete?p.) Un auto que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una distancia horizontal de 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B?
q.)La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros.
¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central de la parte superior de la portería?
r.)
En una rampa inclinada, un ciclista avanza una distancia real de 85 metros mientras avanza una distancia horizontal de tan solo 77 metros.¿Cuál es la altura, en metros, de esa rampa?
rr.)
Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando la cuerda estátotalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 metros del punto donde se ató la cometa. ¿A qué altura está volando la cometa?
s)Un compás de bigotera tiene separadas las puntas de sus patas 100 milímetros, mientras que la vertical desde el eje hasta el papel alcanza una altura de 120 milímetros.
¿Cuál es la medida, en milímetros, de cada una de sus patas?
t.) Halla la medida de la altura de un trapecio rectángulo, cuya base mayor mide 28 metros, su base menor 20 metros y su lado oblicuo 17 metros:
u.) Halla el perímetro, y, el área, del triángulo de la figura.
v.) En un cuadrado de lado 10 centímetros se inscribe otro más pequeño que apoya sus vértices en los puntos medios de los lados del cuadrado mayor. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado menor?
w.)En un triángulo equilátero de 10 centímetros de lado se inscribe una circunferencia. Calcula el radio de la circunferencia, sabiendo que es la tercera parte de la altura del triángulo.
x.) Calcula el perímetro de este trapecio isósceles.
y) Calcula el radio r de una circunferencia inscrita en un cuadrado de 15 centímetros de diagonal.
z) En un triángulo rectángulo el cateto menor mide 5 metros; además, el cateto mayor y la hipotenusa son números enteros consecutivos. ¿Cuál es el perímetro de este triángulo?
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Al margen del teorema de Pitágoras, hay que mencionar dos más, no tan conocidos, pero sí importantes para resolver triángulos rectángulos:
Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
m = proyección del cateto b sobre la hipotenusa n= proyección del cateto c sobre la hipotenusa En símbolos
:
𝒂𝒃
=
𝒃𝒎 De donde 𝒃𝟐= 𝒂 ∙ 𝒎
Ejemplo:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.
𝒂 𝒄 = 𝒄
𝒏
𝒄𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒏 = ( 30 cm)(10,8 cm)𝒄𝟐 = 𝟑𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐 √𝑐2 = √324𝑐𝑚2 𝒄 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎
TEOREMA DE LA ALTURA
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
En simbolos:
𝒎𝒉
=
𝒉𝒏 Entonces: 𝒉𝟐= 𝒎 ∙ 𝒏
Aunque este enunciado parezca muy complicado a simple vista la afirmación que realiza el Teorema de la altura es simple. Este Teorema nos dice que, si tenemos un triángulo rectángulo, el cuadrado de su altura con respecto a ese ángulo es el producto de las dos medidas que se obtienen de la división de la altura en la hipotenusa, en este caso m y n.
Ejemplo:
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta con longitudes de 5 cm y 14 cm. Hallar la longitud de dicha altura y dibujar el triángulo correspondiente.Solución:
𝒎 𝒉
=
𝒉𝒏 𝒉𝟐= 𝒎 ∙ 𝒏 𝒉𝟐= (𝟓 𝒄𝒎) ∙ ( 𝟏𝟒 𝒄𝒎)
𝒉𝟐= 𝟕𝟎 𝒄𝒎𝟐 𝒉 = √𝟕𝟎𝒄𝒎𝟐 ≈ 8,36 cm
Taller N° 5
1 ) Si la distancia de A a B es 50 metros, la de A a C es 30 metros y la de B a C es 40 metros, ¿Cuál es la distancia de H a C?
2)En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 3 m y su proyección sobre la hipotenusa mide 2,1 m.
Calcula la longitud de la hipotenusa.
2.)La ciudad A, la ciudad B y la ciudad C está situadas en los vértices de un triángulo rectángulo, habiendo también una gasolinera entre la ciudad C y la ciudad B, tal y como se muestra en la imagen:
Calcular:
a) La distancia que hay entre la ciudad A y la ciudad B b) La distancia que hay entre la ciudad A y la ciudad C
3.) Calcule los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de 6cm y la altura relativa de la misma es de √ 24 m.
4.) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 237m y la proyección de un cateto sobre ella 90m. Calcule:
a) Los catetos.
b) La altura relativa a la hipotenusa.
5)Si tenemos el siguiente triángulo rectángulo y conocemos que su altura con respecto a A (h) son 40 cm., su lado b =104 cm. y a mide 126 cm.
Halle: a) su perímetro b) su área
6.) Halle el perímetro y el área del siguiente triangulo
