DISTRIBUCIONES DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

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DISTRIBUCIONES DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1.- IDEA INTUITIVA DE VARIABLE ALEATORIA

Comencemos estudiando algunos ejemplos sencillos:

1. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas. El espacio muestral es E =

{

CCC

,

CCX

,

CXC

,

XCC

,

CXX

,

XCX

,

XXC

,

XXX

}

Supongamos que a cada uno de estos sucesos le asignamos un número real, como se indica en el esquema.

Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales.

A esta función, que denotaremos por X, la llamamos variable aleatoria. En este ejemplo, la función X asocia a cada terna el número de caras que contiene.

2. Supongamos ahora que lanzamos dos dados. El espacio muestral de este experimento aleatorio es E=

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 , 2 ,..., 1 , 6 , 2 , 1 ,..., 6 , 1 ,..., 6 , 6 }

.

La ley que asocia a cada resultado la suma de los puntos obtenidos en cada dado es una variable aleatoria que toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

3. Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 judías verdes de una plantación y medir su longitud. La ley que asocia a cada judía su longitud es una variable aleatoria.

4. En un estudio antropométrico realizado sobre 1000 varones se les ha medido el perímetro craneal. La ley que asocia a cada uno de los varones su perímetro craneal es una variable aleatoria.

Se llama variable aleatoria a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. El conjunto de valores asignados se llama recorrido de la variable.

¿Cuáles son los recorridos de las variables de los ejemplos anteriores?

1. La variable número de caras en el lanzamiento de tres monedas toma los valores 0, 1, 2, 3.

2. La variable suma de las caras superiores de dos dados toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

3. La variable longitud de las judías verdes toma valores, por ejemplo, en el intervalo

[ ] 0 , 20

cm, pudiendo tomar cualquier valor de entre los infinitos que hay en ese intervalo.

4. La variable medida del perímetro craneal toma valores, por ejemplo, en el intervalo

[ 60 , 90 ]

cm, pudiendo tomar cualquier valor de entre los infinitos que hay en ese intervalo.

Según como sean los recorridos de las variables, estas se pueden clasificar en discretas y continuas:

 Una variable aleatoria es discreta cuando solo puede tomar un número finito o infinito numerable (equivalente a tantos valores como los elementos del conjunto de los números naturales). Las variables de los ejemplos 1 y 2 son discretas.

 Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Las variables de los ejemplos 3 y 4 son continuas.

En esta unidad limitaremos el estudio a las variables aleatorias discretas, en la siguiente CCC→3 CCX→2 CXC→2 XCC→2 CXX→1 XCX→1 XXC→1 XXX→0

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2.- FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE DISCRETA

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones teóricas de las distribuciones de frecuencias relativas, que se obtienen empíricamente (experimentando u observando).

Se llama función de probabilidad, ley de probabilidad o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la función que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi; más concretamente:

Se denomina función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la función:

:

( ) ( )

f

x f x P X x

→ = =

ℝ ℝ

Esta función la podemos expresar fácilmente mediante la siguiente tabla:

X pi =P(X = xi)

x1 p1 x2 p2

. .

. .

. .

xn pn

En el primer ejemplo, para la variable aleatoria X= “Número de caras obtenidas” asociada al experimento consistente en el lanzamiento de tres monedas, su función de probabilidad es:

1 8 0 ó 3

( ) 3 8 1 ó 2

0 en otro caso

si x x

f x si x x

= =

 

=

= =

 

En forma de tabla escribimos:

X P X( =xi)

0

1 8

1

3 8

2

3 8

3

1 8

En toda función de probabilidad se verifica:

a) Cada pi es un número comprendido entre 0 y 1:

b) La suma de todos los pi es 1: p1+ p2+ +

...

pn =

pi=

1

c) Se representa mediante un diagrama de barras.

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Ejemplo: Consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados. El espacio muestral es Ω=

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 , 2 ,..., 1 , 6 , 2 , 1 ,..., 6 , 1 ,..., 6 , 6 }

. Consideramos la variable aleatoria X =”suma de los puntos obtenidos en cada dado”, que toma los valores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, y construimos su función de probabilidad.

Se representa gráficamente:

Ya que por ejemplo:

{ } ( )

36 ) 1 1 , 1 ( ) 2

(X = =P =

P

{ ( ) ( ) }

36 ) 2 1 , 2 , 2 , 1 ( ) 3

(X = =P =

P

( ) ( ) ( )

{ }

36 ) 3 1 , 3 , 2 , 2 , 3 , 1 ( ) 4

(X = =P =

P

3._ FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE DISCRETA.

Consideremos ahora la función F que asigna a cada número real x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que :

( ) ( )

F x =P Xx

Esta función Fse puede obtener a partir de la función de probabilidad f , ya que:

( ) ( ) ( )

i

i x x

F x P X x P X x

= ≤ =

=

En el ejemplo anterior, la función de distribución asociada a la variable aleatoria X= “Número de caras obtenidas” asociada al experimento consistente en el lanzamiento de tres monedas, tendríamos:

0 0

1 8 0 1

( 1 2 1 2

7 8 2 3

1 3

si x

si x

F x si x

si x si x

<

 ≤ <

= ≤ <

 ≤ <

 ≥



X pi =P(X =xi)

2

1 36

3

2 36

4

3 36

5

4 36

6

5 36

7

6 36

8

5 36

9

4 36

10

3 36

11

2 36

12

1 36

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4.- MEDIA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se llama media de una variable aleatoria X, que toma los valores x1,x2,...,xn con probabilidades p1,p2,...,pn respectivamente, al valor de la siguiente expresión:

=

=

⋅ + +

⋅ +

= n

i

i i n

n p x p

x p

x p x

1 2

2 1

1 ...

µ

A la media también se le llama esperanza matemática. Representa el valor central alrededor del cual los valores de la variable aleatoria tienden a agruparse.

Se llama varianza de una variable aleatoria X, que toma los valores x1,x2,...,xn con probabilidades p1,p2,...,pn respectivamente, al valor de la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )

=

=

=

⋅ + +

=

=

− + +

=

n

i

i i n

n

n

i

i i

n n

p x p

x p

x

bien o p x

p x

p x

1 2 2 2 2

1 2 1 2

1

2 2

1 2 1 2

...

...

µ µ

σ

µ µ

µ σ

La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica y se representa por

σ

.

La varianza y la desviación típica son medidas de la dispersión que presenta la distribución.

Ejemplo: Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y la variable aleatoria “puntuación obtenida en el dado”, y calculamos su media y su varianza.

xi pi xipi xi2pi

1

1 6 1 6 1 6

2

1 6 2 6 4 6

3

1 6 3 6 9 6

4

1 6 4 6 16 6

5

1 6 5 6 25 6

6

1 6 6 6 36 6

1

21 6 91 6

Media:

µ

=

21 6

=

3 , 5

Varianza:

σ

2 =91 6−3,52 =2,917

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5.- VARIABLE ALEATORIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados, el suceso A y su contrario A. Para distinguirlos con más facilidad, al suceso A lo llamaremos éxito y al suceso A fracaso.

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.

3. La probabilidad del suceso A es constante y, por tanto, no varía de una prueba a otra.

Representamos por p a la probabilidad de A y por q= −1 p a la probabilidad de A.

Todo experimento que tenga estas características, diremos que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en n pruebas del experimento la llamaremos variable aleatoria binomial.

Esta variable aleatoria es discreta, ya que únicamente toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., n.

Representaremos por B(n,p) a la variable de la distribución binomial, siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

Ejemplo: Se lanza un dado 20 veces y se considera la variable aleatoria X=”número de veces que se ha obtenido múltiplo de 3”. La variable X es una variable aleatoria binomial



 

 3 ,1 20

B .

5.1.- FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Se realizan n pruebas de un experimento que sigue una distribución binomial y queremos saber la probabilidad de obtener k éxitos en las n pruebas:

1.- Uno de los casos en los que se obtienen k éxitos en las n pruebas es el suceso:

... ...

n k fracasos k éxitos

B A A A A A A

= ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

La probabilidad deB , teniendo en cuenta la independencia en pruebas sucesivas, será:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n k veces k veces

k n k k n k

P B P A P A P A P A P A P A P A P A p q

 

= ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ =  ⋅  = ⋅

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2.- Ahora bien, hay que considerar todas las maneras posibles de obtener kéxitos y nkfracasos en esas n pruebas, número que viene dado por:

, !

!( )!

k n k n

n n

PR k n k k

 

= = 

−  

Por lo tanto, si X es la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos, k, obtenidos en n pruebas, obtenemos:

P(obtener k éxitos)= ( ) n k n k

P X k p q

k

 

= = ⋅ ⋅

 

Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de la distribución binomial.

Observación.- Las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir, 1

q= −p y p= −1 q, por lo que basta conocer una de ellas para calcular la otra.

5.2- MEDIA Y VARIANZA

Si X es B(n,p) su media es µ =np y su varianza es σ2 =n p

(

1 p

)

=npq.

Figure

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