3.4. Combinación lineal y vectores generadores de un espacio vectorial

Ejercicio 2

Determina en cada caso si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V.

1. V = R²: H = {(x, y) tales que x = y}.

2. V = R²: H = {(x, y) tales que x² + y² ≤ 1}.

3. V = M_n×n: H = {A ∈ M_n×n donde A es triangular superior}.

4. V = M_2×2: H = A M A a b

b c

∈ =

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎧⎨

⎪

⎩⎪

⎫⎬

⎪

× ⎭⎪

2 2 tal que

.

3.4. Combinación lineal y vectores generadores de un espacio vectorial

En esta sección veremos cuándo un conjunto de vectores puede generar un espacio vectorial. Para esto necesitaremos los conceptos de combinación lineal, conjunto que genera y espacio generado.

Definición 3.3. Sean v₁, v_2, ... ,v_n vectores en un espacio vectorial V.

Entonces cualquier vector de la forma v=a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n donde a₁, a₂, ..., a_n son escalares, se llama combinación lineal de v₁, v_2, ..., v_n.

Ejemplo 3

a) Consideremos los siguientes vectores en R², (1, 0) y (0, 1), entonces cualquier vector de R² se puede escribir como combinación lineal de (1, 0) y (0, 1) ya que

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1).

b) En R³, (–7, 7, 7) es una combinación lineal de (–1, 2, 4) y (5, –3, 1) ya que (–7, 7, 7) = 2(–1, 2, 4) – (5, –3, 1).

c) Consideremos en M_2×3 −

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟= ⎛−

⎝⎜ ⎞

⎠⎟+ −

− −

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3 2 8

1 9 3 3 1 0 4

1 1 5 2 0 1 2

2 3 6

por

lo que −

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3 2 8

1 9 3 es una combinación lineal de ⎛−

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 0 4

1 1 5

y 0 1 2

2 3 6

−

− −

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ . d) Cualquier polinomio de P_n (polinomios de grado menor o igual a n) se puede escribir como combinación lineal de los polinomios: 1, x, x², x³, ... x^n–1, xⁿ.

Definición 3.4. Un conjunto de vectores {v₁, v₂, ..., v_n} de V generan a V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de ellos. Es decir, si para todo v en V existen a₁, a₂, ..., a_n, escalares de modo que v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n.

Ejemplo 4

a) En el ejemplo 3a) de la definición 3.3. vimos que cualquier vector de R² podía escribirse como combinación lineal de los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1) de R² ; por lo tanto podemos decir que {i, j} generan a R².

b) De igual manera podría probarse que los vectores de R³: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) generan a todo R³.

c) Consideremos a b c d

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ en M^2×2, entonces:

a b

c d a b c d

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟= ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟+ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟+ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟+ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1 0

0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0

0 1 por lo que podemos decir que las matrices 1 0

0 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ , 0 1 0 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ , 0 0 1 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ y 0 0 0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ generan a M2×2. d) Los polinomios 1, x, x², x³, ... x^n–1, xⁿ generan a P_n (véase ejemplo 3 inciso d).

e) El conjunto de vectores de R² H = {(1, 1), (–3, –3)} no puede generar a R².

Considera el vector (1, 0) de R², si H generara a R², entonces existirían a y b escalares de modo que (1, 0) = a(1, 1) + b(–3, –3) de donde tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

a – 3b = 1 y a – 3b = 0 pero el sistema no tiene solución, por lo tanto H no genera a R².

f) Consideremos el conjunto H = {(2, 3), (1, –2)}. Vamos a ver si H genera a R². Sea (x, y) en R², si H generara a R², existirían a y b de modo que (x, y) = a(2, 3) + b(1, –2), de donde obtenemos el sistema de ecuaciones:

2a + b = x, 3a – 2b = y

resolviendo el sistema obtenemos que a x y

b x y

=2 + = −

7

3 2

, 7 , de donde

podemos asegurar que H sí genera a R².

De acuerdo con los ejemplos anteriores, no podemos suponer que cualquier conjunto de vectores genera a todo el espacio vectorial. La siguiente definición nos aclara este asunto:

Definición 3.5. Sean {v₁, v₂, ..., v_k} k vectores de un espacio vectorial V.

Denotado por gen {v₁, v₂, ..., v_k}, el espacio generado por {v₁, v₂, ..., v_k} es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v₁, v₂, ..., v_k, es decir,

gen {v₁, v₂, ..., v_k} = {v ∈ V tales que v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_kv_k}

Aquí surge una pregunta: ¿el espacio generado por un conjunto de vectores es un espacio vectorial? El siguiente teorema contesta esa pregunta.

Teorema 3.4. Si v₁, v₂, ..., v_k son k vectores de un espacio vectorial V, entonces

gen {v₁, v₂, ..., v_k} es un subespacio vectorial de V.

Ejemplo 5

a) Sean v₁ = (2, –1, 4) y v₂ = (4, 1, 6) elementos de R³ .

Sea H = gen {v₁, v₂} = {a₁v₁ + a₂v₂} se tiene que si (x, y, z) está en H, entonces

(x, y, z) = a₁v₁ + a₂v₂ = a₁(2, –1, 4) + a₂(4, 1, 6) = (2a₁ + 4a₂, –a₁ + a₂, 4a₁ + 6a₂) de donde obtenemos x = 2a₁ + 4a₂, y = –a₁ + a₂ , z = 4a₁ + 6a₂ para algunas a₁ y a₂.

Usaremos el teorema 3.2 para probar que H es un subespacio vectorial de R³. i) Sean x = (x₁, y₁, z₁) y y = (x₂, y₂, z₂) elementos de H, entonces existen a₁, a₂, b₁ y b₂ tales que x₁ = 2a₁ + 4a₂ , y₁ = –a₁ + a₂, z₁ = 4a₁ + 6a₂ y x₂ = 2b₁ + 4b₂, y₂ = –b₁ + b₂, z₂ = 4b₁ + 6b₂

entonces x + y = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂) de donde, x₁ + x₂ = 2(a₁ + b₁) + 4( a₂ + b₂)

y₁ + y₂ = –(a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) z₁ + z₂ = 4(a₁ + b₁) + 6(a₂ + b₂) por lo cual x + y está en H.

ii) Sea α un escalar, entonces αx = α(x₁, y₁, z₁) = (αx₁, αy₁, αz₁) de donde αx₁ = α(2a₁ + 4a₂ ) = 2αa₁ + 4αa₂

αy₁ = α(–a₁ + a₂ ) = –αa₁ + αa₂ αz₁ = α(4a₁ + 6a₂) = 4αa₁ + 6αa₂

por lo cual αx está en H.

Por lo tanto, H es un subespacio vectorial de R³.

El siguiente teorema nos indica que si agregamos un vector a un conjunto generador, el conjunto que resulta también es generador del mismo espacio vectorial.

Teorema 3.5. Sean {v₁, v₂, ..., v_n, v_n+1} vectores de un espacio vectorial V.

Si {v₁, v₂, ..., v_n} genera a V, entonces {v₁, v₂, ..., v_n, v_n+1} también genera a V.

Ejemplo 6

Sean v₁=(1,0) y v₂=(0,2) elementos de R².

Propongamos que sea F el espacio vectorial generado por v₁ y v₂ de tal manera que:

F= gen {v₁, v₂} = {α v₁ + β v₂} y sean α y β dos escalares, de tal manera que:

x x₁, ₂

( )= ( )+ (α 1 0, β 0 2, )=(α+0 0, +2β)= (α β,2 )

por lo que x₁=α y x₂=2β que pertenecen a R², entoces v₁ y v₂ generan a F.

Sea v₃ = (3,4) tendremos que x x₁, ₂

( )= ( )+ (α 1 0, β 0 2, )+ (γ 3 4, )=(α+ +0 3 0γ, +2β+4γ)=(α+3 2γ β, +4γ)

de donde x₁=α+3γ y x₂=2β+4γ que son elementos de R² por lo que v₁, v₂ y v₃ son vectores que generan a F.

Ejercicio 3

1. Responde si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:

a) (3, 5) está en el espacio generado por {(1, 1), (2, 4)}.

b) (1, 2, 3) está en el espacio generado por {(2, 0, 4), (–1, 0, 3)}.

c) Si {(1, 2), (2, 3)} genera a R², entonces {(1, 2), (2, 3), (–2, –3)} también genera a R².

2. Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio vectorial dado:

a) En R²: H = {(1, 2), (3, 4)}.

b) En R²: K = {(1, 1), (2, 2), (5, 5)}.

c) En R³: M = {(1, –1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}.

d) En M_2×2: 1 0 1 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎧⎨

⎪

⎩⎪ , 1 2

0 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ , 4 1

3 0

⎛ −

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ , ⎛−

⎝⎜ ⎞

⎠⎟⎫

⎬⎪

⎭⎪

2 5

6 0

.

3.5. Vectores linealmente dependientes e independientes

En la sección anterior vimos cómo un conjunto de vectores podía o no generar a todo un espacio vectorial. En esta sección veremos qué condiciones debe cumplir un conjunto de vectores para asegurar que genere un espacio vectorial; para ello necesitaremos introducir los conceptos de conjunto linealmente independiente y dependiente.

Definición 3.6. Sean {v₁, v₂, ..., v_n} n vectores de un espacio vectorial V.

Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igual a cero, es aquella cuyos escalares son cero.

Es decir, si a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0 entonces a₁ = a₂ = a₃ = ... = a_n = 0.

Definición 3.7. Sean {v₁, v₂, ..., v_n} n vectores de un espacio vectorial V.

Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos igual a cero, cuyos escalares no son todos cero.

Es decir existen a₁, a_2, a₃,... ,a_n no todas cero tales que a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0.

Ejemplo 7

a) Consideremos los siguientes vectores en R⁴. v₁ = (2, –1, 0, 3) y v₂ = (–6, 3, 0, –9).

Vamos a tomar una combinación lineal de ellos igual a cero a₁v₁ + a₂v₂ = 0.

Entonces a₁(2, –1, 0, 3) + a₂(–6, 3, 0, –9) = (0, 0, 0, 0), por lo tanto tenemos el sistema

2 6 0

3 0

3 9 0

1 2

1 2

1 2

a a

a a

a a

− =

− + =

− =

que si a₁ = 3 y a₂ = 1 se cumple la igualdad, por lo

tanto v₁ y v₂ son linealmente dependientes.

b) Consideremos los vectores en R³. v₁ = (1, 2, 4) y v₂ = (2, 5, –3).

Al tomar una combinación lineal igual a cero b₁v₁ + b₂v₂ = 0 tenemos que b₁(1, 2, 4) + b₂(2, 5, –3) = (0, 0, 0) de donde obtenemos el sistema

b₁+2b₂=0

+ =

por lo tanto v₁ y v₂ son linealmente independientes.

c) Determinar si los vectores de R³ v₁ = (1, –3, 0) , v₂ = (3, 0, 4) y v₃ = (11, –6, 12) son linealmente independientes o dependientes.

Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero,

c₁(1, –3, 0) + c₂(3, 0, 4) + c₃(11, –6, 12) = (0, 0, 0), entonces tenemos el

sistema de ecuaciones

c c c

c c

c c

1 2 3

1 3

2 3

3 11 0

3 6 0

4 12 0

+ + =

− − =

+ =

de donde obtenemos que c c

c c

1 3

2 3

2 0

3 0

+ =

+ =

haciendo c₃ = 1 obtenemos c₂ = –3 y c₁ = –2, por lo tanto v₁, v₂ y v₃ son linealmente dependientes.

¿Cuántos vectores deberá tener un conjunto para ser linealmente dependiente?

Teorema 3.6. Un conjunto de m vectores en Rⁿ siempre es linealmente dependiente si m > n.

Ejemplo 8

Consideremos el conjunto H = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,2,3)} de 4 vectores de R³ y una combinación lineal de ellos igual a cero.

a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) + d(1,2,3) = (0,0,0) entonces tenemos que:

a d

b d

c d

+ =

+ =

+ =

0

2 0

3 0

de donde obtenemos

a d

b d

c d

= −

= −

= − 2 3

el sistema tiene una infinidad de

soluciones y por lo tanto el conjunto H es linealmente dependiente.

Corolario 3.1. Un conjunto de vectores linealmente independientes en Rⁿ contiene a lo más n vectores.

Consideremos ahora un sistema homogéneo (definición 2.2.) de m ecuaciones con n incógnitas.

a c a c a c

a c a c a c

a c a

n n n n

m m

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1

0 0

+ + + =

+ + + =

+

...

...

   

2

2 2c ++a c_{mn n} =0

y sea la matriz asociada

A=

a a a

a a a

a a a

n n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

  

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

entonces tenemos el siguiente resultado.

Teorema 3.7. Las columnas de A, consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene soluciones diferentes de cero.

Ejemplo 9

Considera el sistema homogéneo x x x x

x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0

3 7 4 0

+ − + =

+ + + = y su matriz

asociada A = 1 2 1 2 0

3 7 1 4 0

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

sus columnas son linealmente dependientes (4 vectores en R², teorema 3.6) por lo tanto, el sistema homogéneo tiene más de una solución no trivial. Vamos a encontrarla: Reduciendo por renglones

obtenemos 1 0 9 6 0

0 1 4 2 0

−

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

de donde el sistema asociado es x x x

x x x

1 3 4

2 3 4

9 6 0

4 2 0

− + =

+ − =

despejamos x₁ y x₂

x x x

x x x

1 3 4

2 3 4

9 6

4 2

= −

= − +

Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones que se pueden escribir como combinación lineal de los vectores columna:

x x x x

x x

x x

x x

x

1 2 3 4

3 4

3 4

3 4

9 6

4 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

=

−

− +

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

= _{33 4}

9 4 1 0

6 2 0 1

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

+

⎛−

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

x

⎞⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

. Comprobaremos que

9 4 1 0

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

y

⎛−

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟⎟

6 2 0 1

son soluciones linealmente independientes del sistema original.

Vamos a sustituir cada una de ellas en el sistema original:

9 + 2(–4) – 1 + 2(0) = 9 – 8 – 1 + 0 = 0 –6 + 2(2) – 0 + 2(1) = –6 + 4 + 2 = 0

3(9) + 7(–4) + 1 + 4(0) = 27 – 28 + 1 + 0 = 0 3(–6) + 7(2) + 0 + 4(1) = –18 + 14 + 4 = 0

por lo tanto (9, –4, 1, 0) y (–6, 2, 0, 1) son soluciones del sistema original.

Probaremos ahora que son linealmente independientes:

Tomemos una combinación lineal de ellos igual a cero:

a(9, – 4, 1, 0) + b(–6, 2, 0, 1) = 0

entonces

9 6 0

4 2 0

0 0

a b

a b

a b

− =

− + =

=

=

de donde a b

=

= 0 0

por lo que (9, – 4, 1, 0) y (–6, 2, 0, 1) son linealmente independientes.

De aquí se desprende el siguiente teorema que agrupa varios resultados.

Teorema 3.8. Sea A una matriz de n×n. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) A es invertible.

ii) La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial.

iii) El sistema Ax = b tiene una solución única.

iv) A es equivalente a la matriz identidad.

v) det A ≠ 0.

vi) Las columnas de A (y sus renglones) son linealmente independientes.

Como consecuencia de los teoremas 3.5 y 3.6 tenemos el siguiente resultado que nos será muy útil en la siguiente unidad.

Teorema 3.9. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rⁿ genera a Rⁿ.

Como consecuencia de los teoremas 3.8 y 3.9 tres vectores en R³ generan a R³, si y sólo si, su determinante es diferente de cero.

Ejemplo 10

a) Los vectores (2, –1, 4), (1, 0, 2) y (3, –1, 5) generan a R³ ya que su determinante

2 1 3

1 0 1

4 2 5

− − = 2(2) –1(–5+4) +3(–2) = –1 y por lo tanto son

linealmente independientes.

b) En M_2×3 sean A₁ = 1 0 2

3 1 1

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ , A2 = ⎛ −

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 1 4

2 3 0

y A₃ = ⎛−

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1 0 1 1 2 1

Determinar si A₁, A₂ y A₃ son linealmente independientes o dependientes.

Suponga que c₁A₁ + c₂A₂ + c₃A₃ = 0,

entonces c₁ 1 0 2 c₂ c₃

3 1 1

1 1 4

2 3 0

1 0 1 1 2 1

0

−

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟+ ⎛ −

⎝⎜ ⎞

⎠⎟+ ⎛−

⎝⎜ ⎞

⎠⎟= 00 0

0 0 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟