La norma matricial inducida por la norma–m´ aximo
Estos apuntes est´an escritos por Maria de los Angeles Isidro P´erez y Egor Maximenko.
Objetivos. Repasar el concepto de la norma matricial inducida por una norma vectorial.
Deducir una f´ormula para la norma matricial inducida por la norma k · k∞.
Requisitos. Normas en Rn, norma-m´aximo (norma-supremo), producto de una matriz por un vector.
Aplicaciones. An´alisis de convergencia de m´etodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales (incluso los m´etodos de Jacobi y de Gauss–Seidel), an´alisis del concepto de matriz diagonal dominante, n´umero de condici´on (o n´umero de acondicionamiento) de una matriz.
En estos apuntes denotamos por kAkmatr,∞ la norma matricial de la matriz A asociada a la norma vectorial k · k∞:
kAkmatr,∞ := sup
x∈Rn\{0n}
kAxk∞
kxk∞
. (1)
Otra f´ormula equivalente:
kAkmatr,∞ := sup
x∈Rn: kxk∞≤1
kAxk∞. (2)
Por lo com´un en vez de kAkmatr,∞ se escribe simplemente kAk∞.
1. Teorema (f´ormula para la norma matricial inducida por la norma-m´aximo).
Sea A ∈ Mn(R). Entonces
kAkmatr,∞ = max
1≤j≤n n
X
k=1
|Aj,k|. (3)
En otras palabras,
kAkmatr,∞ = max
1≤j≤nkAj,∗k1, (4)
donde kAj,∗k1 es la 1-norma del j-´esimo rengl´on de A.
Demostraci´on. Denotemos el lado derecho de (3) por C:
C := max
1≤j≤n n
X
k=1
|Aj,k|. (5)
La norma matricial inducida por la norma–m´aximo, p´agina 1 de 2
1. Sea j ∈ {1, . . . , n} y sea x ∈ Rn con kxk∞≤ 1. Entonces
|(Ax)j| =
n
X
k=1
Aj,kxk
≤
n
X
k=1
|Aj,k| |xk| ≤ kxk∞ n
X
k=1
|Aj,k| ≤ C. (6)
2. Sea p el ´ındice tal que el m´aximo en (5) se alcanza con j = p:
n
X
k=1
|Ap,k| = C.
Consideremos el vector y ∈ Rn cuya k-´esima componente es sgn(Ap,k).
En otras palabras, definimos x por la f´ormula y = sgn(Ap,k) n
k=1. Entonces kyk∞≤ 1 y
|(Ay)p| =
n
X
k=1
Ap,ksgn(Ap,k) =
n
X
k=1
|Ap,k| = C,
as´ı que kAyk∞ ≥ C. Usando la f´ormula (2) concluimos que kAk∞= C.
2. Ejemplo num´erico. Sea
A =
7 −5
−8 −9
. Entonces
kA1,∗k1 = 7 + 5 = 12, kA2,∗k1 = 8 + 9 = 17, por eso
kAk∞ = max{12, 17} = 17.
3. Sea A una matriz diagonal:
A = diag(d1, d2, . . . , dn).
Entonces
kAk∞= max{|d1|, |d2|, . . . , |dn|}.
La norma matricial inducida por la norma–m´aximo, p´agina 2 de 2
