Tema 4 Álgebra Lineal Numérica

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Introducción Métodos directos: Descomposición Métodos iterativos Cálculo de autovalores Ejercicios

Tema 4

´

Algebra Lineal Num´

erica

Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜noz Velasco

Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de M´alaga

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¿Qu´

e es un Sistema Lineal?

Un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas puede ser

expresado de la forma:

a1,1x1+ a1,2x2+ . . . + a1,nxn = b1

a2,1x1+ a2,2x2+ . . . + a2,nxn = b2 . . .

am,1x1+ am,2x2+ . . . + am,nxn = bm

      

o bien, en forma matricial A~x = ~b, donde A es una matriz m × n y

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¿Qu´e es un Sistema Lineal?

Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas

Librer´ıas de Scilab

¿Introducir matriz en SCILAB?

El sistema 2x1+ 4x2+ 3x3 = 3 1x1+ 3x2− 2x3 = −1 −1x1− 3x2+ 0x3 = 2   

se introduce y resuelve en SCILAB de la siguiente forma:

--> A=[2 4 3; 1 3 -2; -1 -3 0] --> b=[3; -1; 2]

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Conocimientos previos-I

Sistema Compatible Determinado (SCD): Soluci´on ´unica.

Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitas soluciones.

Sistema Incompatible (SI): No existe soluci´on.

Determinante de una matriz cuadrada y su c´alculo.

--> det(A)

Rango de una matriz. Significado y c´alculo.

Matriz traspuesta.

--> A’

Matriz inversa.

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¿Qu´e es un Sistema Lineal?

Conocimientos previos

Definiciones. Propiedades Normas

Conocimientos previos-II

Si A es una matriz cuadrada:

Matriz inversible: (∃A−1, |A| 6= 0)

Matriz singular: (6 ∃A−1, |A| = 0)

Matriz diagonal: i 6= j ⇒ ai ,j = 0

Matriz triangular superior: i > j ⇒ ai ,j = 0. Matriz triangular inferior: i < j ⇒ ai ,j = 0. Matriz sim´etrica: A = A0.

Autovalores y autovectores. Significado y c´alculo.

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Propiedades

El producto de una matriz por su traspuesta siempre es una matriz sim´etrica.

Los autovalores de una matriz sim´etrica siempre son reales.

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¿Qu´e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades

Normas

Norma vectorial: Ejemplos

Las usuales son:

k~xkk = k

q

|x1|k+ |x2|k+ . . . + |xn|k de las que destacan:

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Radio espectral

Se define el Radio espectral de una matriz A como el m´odulo del

autovalor con mayor m´odulo. Esto es:

ρ(A) = m´ax

i |λi|

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Normas

Normas matriciales usuales

Norma 1: kAk1 = m´axjP

i|ai ,j| --> norm(A,1) Norma ∞: kAk∞= m´axi P j|ai ,j| --> norm(A,’inf’)

Norma 2: kAk2 =pρ(A0A)

--> norm(A,2) --> norm(A)

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Normas matriciales: Ejemplo

Ejemplo: Para la matriz A =

−2 3 0

0 −1 1

resulta:

kAk₁ = m´ax{2, 4, 1} = 4, kAk∞= m´ax{5, 2} = 5

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Normas

Sistemas Sobredeterminados y Vector Residuo

A los sistemas que no tienen soluci´on (incompatibles) se les llama

tambi´en sistemas sobredeterminados.

Vector residuo: Se llama as´ı al vector ~r = A~x − ~b.

--> r=A*x-b

Si ~x es la solución del sistema, el residuo es el vector cero, pero no será as´ı debido a los errores que siempre estarán presentes en los cálculos.

Llamamos soluci´on de un sistema sobredeterminado al vector

˜x que minimize la norma 2 del vector residuo. Es decir, no

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Librer´ıa para Scilab de S.E.L.

prac1.sci

En este fichero se encuentra la librer´ıa de rutinas para la pr´actica primera. Pasos para cargar la librer´ıa:

File - Change Directory. Cambiarse al directorio en el que est´a la pr´actica

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M´etodos de Gauss y de Gauss-Jordan

Otras opciones

M´etodo de Factorizaci´on QR

M´

etodos de Gauss y de Gauss-Jordan

Rutinas implementadas

Los m´etodos de Gauss implementados en Scilab son los

siguientes:

M´etodos Gaussianos.

Gauss, gauss.sci;

Gauss Jordan, gaussjor.sci;

Para resolver un sistema Ax = B por Gauss en Scilab, hay

introducir previamente las matrices A y B, a continuaci´on hay que

ejecutar las siguientes ´ordenes:

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Otras opciones

Hay otras formas de resolver un sistema de ecuaciones. Comparar los resultados.

--> x1=inv(A)*B --> x2=A\B

Conviene siempre comprobar el rango de A y de la ampliada para ver que tipo de sistema estamos resolviendo.

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M´etodos de Gauss y de Gauss-Jordan

Otras opciones

Ejemplo

--> A=[1 2 3; 3 4 5; 3 4 5] --> b=[1 2 3]’

Si estudiamos rangos de A y de la matriz ampliada:

--> rank(A) ans = 2. --> rrank([A b]) ans = 3.

El sistema por tanto es incompatible. Al intentar Gauss da error.

--> x=gauss(A,b)

Probar las opciones:

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M´

etodo de Factorizaci´

on QR

Dada una matriz A, la descompondremos en A = QR siendo Q una

matriz ortogonal (Q0 = Q−1) y R una matriz triangular superior.

Para resolver A~x = ~b consideramos

A~x = QR~x = ~b ⇒ Q0QR~x = R~x = Q0~b. As´ı:

1 Descomponemos la matriz A en el producto QR [Q,R]=qr(A)

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M´etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones

M´

etodo QR: Ejemplo 1

Para resolver el sistema A~x = ~b por el m´etodo QR, haremos:

1 _{Introducimos la matriz A, el vector ~}_{b y descomponemos:}

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M´

etodo QR: Ejemplo 2-(a)

Hallar una recta que pase por los puntos: (2,3), (-1,2), (-2,2), (0,2) y (3,4).

La ecuaci´on de la recta es y = mx + b por lo que debemos

encontrar m y b tales que se verifique: 3=2m+b; 2=-m+b; 2=-2m+b, 2=b; 4=3m+b, que no pueden verificarse

simult´aneamente (sistema sobredeterminado).

La mejor soluci´on (recta de regresi´on por m´ınimos cuadrados),

se obtiene de forma eficiente por el m´etodo QR:

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Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones Método de Factorización QR

M´

etodo QR: Ejemplo 2-(b)

Q =      −0,4714 −0,3558 0,2170 −0,1729 −0,5777 0,2357 −0,5083 −0,7079 −0,4298 −0,0126 0,4714 −0,5592 0,6410 −0,1414 0,1851 0 −0,4575 −0,1967 0,8663 −0,0392 −0,7071 −0,3050 0,0467 −0,1222 0,6244      , R =      −4,2426 −0,4714 0 −2,1858 0 0 0 0 0 0      ~_b0_{= Q}0_~_{b =}      −2,8284 −5,3374 0,3104 −0,4174 0,4910      ⇒ −4,2426x − 0,4714y = −2,8284 −2,1858y = −5,3374 ⇒ ~x = 0,3953 2,4419

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M´

etodos iterativos.

Los m´etodos directos resultan, en general, inservibles para

n > 50 inc´ognitas porque propagan los errores.

Otro problema es que los m´etodos directos necesitan

almacenar la matriz A en memoria.

Los grandes sistemas de ecuaciones que surgen en la pr´actica,

tienen la matriz A esparcida (muchos coeficientes igual a

cero) y aunque existen m´etodos directos especiales,

usualmente se resuelven por m´etodos iterativos.

Los m´etodos iterativos tienen la ventaja de no propagar el

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Introducción Métodos directos: Descomposición Métodos iterativos Cálculo de autovalores Ejercicios Generalidades Método de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Convergencia y otros problemas asociados

Los métodos iterativos obtienen una estimación de la solución del sistema ~x(m+1) en función de las anteriores, en este caso sólo será una función lineal de la anterior:

~x(m+1) = B~x(m)+ C

donde B es la matriz del m´etodo y C es un vector.

Los problemas asociados con los m´etodos iterativos son:

Convergencia Para que sea ´util debe ser convergente y el

l´ımite ser la soluci´on del sistema.

Velocidad de convergencia: Interesa que converja lo m´as

r´apido posible.

Vector inicial: ¿C´omo se elige?.

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Criterio de Convergencia

Un m´etodo iterativo de la forma: ~x(m+1) = B~x(m)+ C,

converge, si y s´olo si, ρ(B) < 1.

Tiene convergencia global, no depende del vector de inicio. Una medida de la velocidad de convergencia nos la da el valor

de ρ(B). Interesa que sea lo m´as pr´oximo a cero posible.

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Forma matricial del m´

etodo de Jacobi

Consideremos la descomposici´on A = D + L + R donde:

D= Matriz diagonal con la misma diagonal que A.

L= Matriz con todos los t´erminos nulos, excepto los que est´an por debajo de la diagonal en los que coincide con A.

R= Matriz con todos los t´erminos nulos, excepto los que se encuentran por encima de la diagonal en los que coincide con A.

Dado el sistema A~x = ~b ⇒ (D + L + R)~x = ~b ⇒

D~x = −(L + R)~x + ~b ⇒ ~x = −D−1(L + R)~x + D−1~b El m´etodo de Jacobi queda:

~x(m+1) = BJ~x(m)+ CJ

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Ejemplo

Hallar el vector residuo y sus normas tras dar 3 iteraciones por el m´etodo de Jacobi , ~x(0)_{= (2, 3, 0)}0_{, al sistema: A~}_{x = ~}_b:

A =   5 3 −1 −2 3 −1 1 3 −5  , ~b =   2 4 −5  

Tras 3 iteraciones por Jacobi,

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Condiciones de convergencia

La condici´on necesaria y suficiente de convergencia de

un m´etodo, es que el radio espectral de la matriz del

m´etodo sea menor que 1: ρ(B) < 1. Como para cualquier

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Errores en los m´

etodos iterativos

El error cometido en un m´etodo iterativo tras m iteraciones puede

acotarse mediante:

k~x(m)− ~x∗k∞= k∆~x(m)k∞ ≤ kBk

m

∞k~x(1)− ~x(0)k∞ 1 − kBk∞

donde B (kBk∞< 1) es la matriz del m´etodo iterativo.

De la f´ormula anterior, podemos calcular el n´umero de iteraciones

n necesario para obtener una soluci´on con un error determinado E :

m ≥ 1 log kBk∞)· log E · (1 − kBk∞) k~x(1)_{− ~x}(0)_k ∞

Estas f´ormulas pueden dar problemas en el caso de que kBk∞ sea

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Errores en los m´

etodos iterativos: Ejemplo

Acotar el error cometido al dar 3 iteraciones por el m´etodo de

Jacobi al sistema   5 3 −1 −2 6 −1 1 3 −5   ~x =   2 4 −5  , ~x(0) =   0 1 0  . --> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[0;1;0]) --> n=norm(BJ) --> ans=0.8 --> x1=jacobi(A,b,1,[0;1;0]) --> n1=norm(x1-[0;1;0]) Resultados y calculamos el error:

k∆~x(3)_k

∞≤

n3_n1

1 − n = 4,096

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C´

alculo de autovalores

Scilab calcula los autovalores de una matriz A con la orden

spec(A), si queremos adem´as la matriz diagonal V y la matriz de

paso X , escribiremos[X,V]=spec(A).

Un m´etodo iterativo para el c´alculo de autovalores se basa en la

descomposici´on QR de la matriz A.

1 A₀ = A

2 _Repetir:

[Q, R] = qr(Ai)

Ai+1 = RQ

En Scilab el algoritmo est´a implementado en el archivofrancis.sci,

ejecutarlo y luego introducirfrancis(A,n), siendo A la matriz de

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Introducción Métodos directos: Descomposición Métodos iterativos Cálculo de autovalores Ejercicios Ejercicio 1

Dado el sistema Ax=b, siendo:

A =             16 0 −1 0 −5 2 1 4 2 7 −2 0 3 0 −1 4 0 3 16 1 0 0 −1 4 4 2 0 20 4 0 0 4 −1 −1 −1 5 11 1 0 4 −1 −1 −1 −1 6 12 0 4 0 1 1 1 2 7 15 4 0 2 1 0 0 0 1 4             , b =             1 3 −2 2 5 6 3 0            

(a) Iterar por el m´etodo de Jacobi (30 iteraciones, inicio el origen). Estudiar previamente su convergencia y calcular las normas 1, 2, ∞ del vector residuo.

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Ejercicio 2

Dado el sistema Ax=b, siendo:

A =       1 −3 2 1 0 0 3 10 −1 2 1 10 30 −1 1 2 4 0 10 2 2 11 1 0 10       , b =       1 1 2 1 1      

(a) Estudiar la compatibilidad del sistema.

(b) Resolverlos por m´etodos directos e iterativos estudiados.

(c) Estudiar la convergencia de los m´etodos iterativos.

(d) Dar las iteraciones necesarias para obtener la soluci´on con

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Ejercicio 3

Dado el sistema Ax = b, con

A =     4 −1 −2 0 −1 4 0 −2 −2 0 4 −1 0 −2 −1 4     ; b =     4 0 0 −4    

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Ejercicio 5

Dado el sistema Ax = b con:

A =   8,9988745 2,3214327 6,6423 3,1871123 4,42111111 −1,222222 8,4364121 −8,62046793 16,9512661  ; b =   10,9983091 −6,8773192 42,62861406  .

(a) Resolver por los m´etodos QR, y Jacobi (100 iteraciones), estudiando previamente la convergencia.

(b) Calcular los residuos y comparar.

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Ejercicio 6

La ley de Kirchoff para el voltaje aplicado a un circuito produce el siguiente sistema de ecuaciones:

(R1+ R3+ R4)I1+ R3I2+ R4I3 = E1

R3I1+ (R2+ R3+ R5)I2− R5I3 = E2

R4I1− R5I2+ (R4+ R5+ R6)I3 = 0

Calcular las intensidades de corriente I1, I2, I3 cuando

R1 = 1, R2 = 1, R3 = 2, R4 = 1, R5= 2, R6= 4 y

E1 = 23, E2= 29. Calcular tambi´en para E1 = 12, E2 = 21,5.

Resolver por los distintos m´etodos estudiados, calcular errores y

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Ejercicio 7

Dado el sistema Ax = b con

A = (aij) = 1/(i + j − 1); b = (bi) = i2− 3, (i , j = 1 . . . ..n).

(a) Resolver por un m´etodo directo y por un m´etodo iterativo con

n = 8.

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Ejercicio 9

Calcular, si es posible, los autovalores de la matrices de los