La distribución normal o de Gauss

La distribución normal o de Gauss

• Distribución límite

• La distribución Normal o de Gauss

• La distribución de Gauss tipificada

• La función integral. Cálculo de la función integral

• La desviación estándar de la media

• Intervalos de probabilidad y confianza

• Diferencias significativas

• La distribución límite

¿Qué ocurre si aumentamos el número de medidas?

Histograma de bins de 100 medidas de x

Histograma de bins de 1000 medidas de x

N=100 medidas

N=1000 medidas

• La distribución límite

Cuando N → ∞ ⇒ nos acercamos a la distribución límite.

Distribución límite f(x)

( ) Fraccion de las medidas que se encuentran entre y

Probabilidad de que una medida de un resultado comprendido entre y

f x dx x x dx

x x dx

= +

=

+

( ) Fraccion de las medidas que se encuentran entre y Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre y

b

a f x dx x a x b

a b

= = =

=

∫

¾ Distribuciones discretas y continuas

discretas

k k

x F n

N

→

=

continuas

k

( )

x

F f x dx

→

=

¾

Condición de normalización discretas

k

1

k

x F

→

∑ =

continuas

( ) 1 x

f x dx

+∞

−∞

→

∫ =

¾

Cálculo de la media discretas

k k k

x

x F x

→

= ∑

continuas

( ) x

x

xf x dx

−∞

→

= ∫

¾

Cálculo de la desviación estándar

2 2

discretas

( )

k

x k

k

x

n x x σ N

→

= ∑ −

continuas

( ) ( )

x

x

x x f x dx σ

−∞

→

= ∫ −

•

La distribución Normal o de Gauss

( )²

2 2

, 2

,

( ) 1

2

( ) 1

X X

x

X

G x e

G x dx

σ σ

σ

σ π

− −

+∞

−∞

=

∫ =

¾ Propiedades

♦ Tiene un máximo en x X=

♦ Es simétrica alrededor de X

♦ Tiende a cero rápidamente si ^{x X− >>σ}

• Valor medio y desviación estándar

¿Si se efectúan un gran número de medidas de una variable aleatoria que sigue una distribución de Gauss, ¿qué valores

hay que esperar para

x

( ) _X, ( )

x ^+∞xf x dx x ^+∞xG _σ x dx

−∞ −∞

=

∫

∫

{ }

2 2

2 2

2 2

( )

, 2 2

2 2 2

2 2

( ) 1

2

1 1

0 2

2 2

x X y x X

dy dx X

y y

x xG x dx xe dx

x ye dy X e dy X X

σ σ

σ σ

πσ

πσ πσ πσ

− − = −

+∞ +∞ =

−∞ −∞

− −

+∞ +∞

−∞ −∞

= = →

 

 

=  +  = + =

 

 

∫ ∫

∫ ∫

x = X

Desviación estándar

2 2 2

( ) ( )

( )

x x x X GX _σ x dx

σ

σ

= ∫

− =

2

( )

x x

σ = σ

• La distribución Normal tipificada:

¿Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de forma general?

( )²

2

2

, 2 2

0,1 2

( ) 1

2 ( ) 1

2

x X x X

z X

z

G x e

G z e

σ σ

σ

πσ

π

− −

− =

−

= →

→ =

Distribución normal tipificada

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-3 -2 -1 0 1 2 3

z

G0,1(z) ←

Distribución

Normal tipificada

2

0,1 2

( ) 1

2

z

G z e

π

=

1. Máximo en z =0 2. Puntos de inflexión:

1 z = ± =σ

σ=1

X=0

• La función integral

¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y b?

2 2

( )

, 2 2

Prob( ) ( ) 1

2

b b x X

a X a

a x b G

x dx e

dx

πσ

− −

≤ ≤ = ∫ = ∫

¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de una desviación estándar?

2 2

( )

, 2 2

Prob( )

( ) 1

2

X X x X

X X X

X x X

G x dx e dx

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

πσ

+ + − −

− −

− ≤ ≤ + =

= ∫ = ∫

¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de t desviaciones estándares?

2 2

( )

, 2 2

Prob( )

( ) 1

2

X t X t x X

X t X X t

X t x X t

G x dx e dx

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

πσ

+ + − −

− −

− ≤ ≤ + =

=

∫

∫

2 2

2

( ) 2 2

2

2 2

1

1 1

2

Prob( ) 1

2

Prob( ) 1

X t x X

X t

t z

X t x X t e dx

dx dz

x X x X X t X

z x X t z t

x X X t X

x X t z t

X t x X t e dz

σ σ

σ σ

πσ σ σ σ

σ σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

π

+ − −

−

+ −

− ≤ ≤ + =

 =

− = → = + → = − = + − =

 − − −

 = − → = = = −



− ≤ ≤ + =

∫

∫

• Cálculo de la función integral

2

1

Prob( )

2

t z

X t σ x X t σ

e dz π

+ −

− ≤ ≤ + = ∫

• Cálculo de la función integral (cont.)

2

,

2

Prob(dentro de ) ( )

1 2

X t X t X

t z

t

t G x dx

e dz

σ σ σ

σ

π

+

−

+ −

−

=

= =

=

∫

∫

t = x.yz

• Cálculo de la función integral (cont.)

2

,

2 0

( ) ( )

1 2

X t X X

t z

Q t G x dx

e dz

σ

σ

π

+

−

= =

=

∫

∫

Q(2)−Q(1) Q(2)+Q(1) 50%−Q(1)

• La desviación estándar de la media

Supongamos que x que se distribuye GX,_σx . Imaginemos la siguiente secuencia de experimentos:

1 N medidas de x

1

1

i i

x x

= N

∑

2 N medidas de x

2

1

i i

x x

= N

∑

...

 Si repetimos el experimento n veces, los valores de x_i cambiarán, y la media de las medias y su desviación estándar serán

1

i i

x x

= n

∑

( )

1

1 ^N

x i

i

x x σ n

=

=

∑

Efectuando sólo uno de los experimentos, ¿cuál es la desviación estándar de la media de las N medidas?

Los x_i se distribuyen GX,_σx, el verdadero valor de x es X La desviación estándar de la media será

1

2 2

1

2 2

1 1

x x xN

N

x

x x

x x

x x

N N N

σ σ σ

σ σ σ

 

∂  ∂

= ∂  + +∂  =

   

=   + +  =

"

"

• Intervalos de probabilidad y confianza

¾ ¿Cuál es el significado de asignar la desviación típica como error de una medida?

Si tomamos una muestra de N datos, calculamos su media y su desviación típica y escribimos

x ± σ

significa que el 68% de las medidas realizadas se encuentran en el intervalo

x ± σ

O bien, el mejor valor, X se encuentra en el intervalo:

x x

x − σ ≤ ≤ + X x σ

con un nivel de confianza del 68 %

• Diferencias significativas

¿Cómo se comparan nuestras medidas con los valores esperados?

Valor medido

x ± σ

Valor esperado

a

¾ Supongamos que: x − a ≤ σ x ⁽t ≤ ¹⁾

No es una diferencia significativa. Prob (fuera 1σ_x) = 32%

¾ Supongamos que: x − a ≥ ³σ x ⁽t ≥ ³⁾

La diferencia es muy significativa. Prob (fuera 3σ_x) = 0.3%

Norma generalmente aceptada:

¾ Si x − a ≤ ²σ x ⇒ Resultado aceptable.

¾ Si x − a ≥ ^2.5σ x ⇒ Resultado inaceptable.

¾ Si ^1.9σ ≤ x − a ≤ ^2.6σ x ⇒ Resultado no concluyente.

O bien:

¾

P (fuera

σ ) ≤ 5% ⇒

¾

P (fuera

σ ) ≤ 1% ⇒