“La Técnica al Servicio de la Patria”

Precio $70.00 Vol. 15 Núm. 4• Octubre-Diciembre de 2011 • Científica: The Mexican Journal of Electromechanical Engineering • ESIME

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

“La Técnica al Servicio de la Patria”

Contenido Contenido

Detección y aislamiento de fallas en el sistema térmico IFATIS

Detection and Isolation Problem in IFATIS Thermal System

Salvador Saucedo-Flores, Efraín Alcorta-García | M

ÉXICO

Desarrollo de software para el análisis probabilístico de integridad de ductos

Software Development for the Probabilistic Analysis Pipeline Integrity

José de Jesús Silva-Lomelí, Alfonso Campos-Vázquez, Alejandro Escamilla-Navarro | M

ÉXICO

Análisis de un modelo de optimización para reducir al mínimo el contragolpe angular en un tren de engranajes

Analysis of an Optimization Model to Minimize the Angular Backlash in a Gear Trains Luis Orlando Cotaquispe-Zevallos | P

ERÚ

Celda de combustible: análisis teórico del rendimiento eléctrico de hidrógeno almacenado en fase sólida

Fuel Cell: Theoretical Efficiency Electrical Analysis of Stored Hydrogen in Solid Phase

I. A. Vértiz-Maldonado, C. A. González-Rodríguez, A. Miranda-Cid | M

ÉXICO

Comparación del modelo Hata con mediciones de atenuación en la ciudad de México

Comparison of Hata Model with Measurements of Attenuation in Mexico City

Fabiola Martínez-Zúñiga, Jorge R. Sosa-Pedroza, María Elena Acevedo-Mosqueda | M

ÉXICO

159-166

DIRECTORIO

Guillermo Urriolagoitia Calderón Editor en Jefe

Alma Vicenta Miranda Godínez Coordinación Editorial

Cuauhtémoc Jiménez Pérez Edición Técnica

Miguel Ángel Tenorio Trejo Producción Editorial

Margarita Sam Rodríguez Revisión

Indizada en:

Latindex: Sistema Regional de Información en Línea para Revistas Científicas de América Latina,

Periódica:

Índice de Revistas Latinoamericanas en Ciencias.

Redalyc: Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal. Sistema de

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NVESTIGACIÓN

Científica ^Revista

ISSN 1665-0654

VOLUMEN

15,

NÚMERO

4,

OCTUBRE

-

DICIEMBRE

2011

2

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NGINEERING

167-182

183-188

189-195

197-203

Alexander Balankin

Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Jesús del Castillo

Instituto Venezolano de Investigación Científica (VENEZUELA)

María Teresa Alonso Rasgado University of Manchester (REINO UNIDO)

Manuel Elices Calafat

Universidad Politécnica de Madrid (ESPAÑA)

Marco Ceccarelli

University of Cassino (ITALIA)

Héctor Pérez Meana

Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Jinhui Shao

University of Shuo (JAPÓN)

Baltasar Mena Inesta

Universidad Nacional Autónoma de México (MÉXICO)

Édgar Sánchez Sinencio Texas A&M University College Station (ESTADOS UNIDOS)

Francisco Sánchez Sesma

Universidad Nacional Autónoma de México (MÉXICO)

Garret Sautis

University de Shieffield (REINO UNIDO)

Guillermo Urriolagoitia Sosa Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Hidilberto Jardón Aguilar

Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (MÉXICO)

Israel Sauceda Meza

Universidad de Baja California (MÉXICO)

Joaquín Fernández Valdivia Universidad de Sevilla (ESPAÑA)

Jorge Sosa Pedroza

Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

José de Jesús Álvarez Ramírez

Universidad Autónoma Metropolitana (MÉXICO)

José Luis del Río Correa

Universidad Autónoma Metropolitana (MÉXICO)

José Manuel de la Rosa

Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Juan Alfonso Beltrán Fernández Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Luis Héctor Hernández Gómez Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Luis Niño de Rivera y Oyarzábal Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Michael Shapiro Fihman

Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (MÉXICO)

Miguel Ángel Rodríguez Díaz Instituto de Física de Cantabria (ESPAÑA)

Miguel Castro Fernández Centro de Investigación y Pruebas Electromagnéticas de Cuba (CUBA)

Miguel Cruz Irisson

Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Pablo Rogelio Hernández Rodríguez Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (MÉXICO)

Patricia Camarena Gallardo Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Rafael Castro Linares

Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (MÉXICO)

Régulo López Callejas

Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares (MÉXICO)

Valery Kontorovich

Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados (MÉXICO)

Víctor Champac Vilela

Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica (MÉXICO)

Victor Kravchenko

Moscow Institute of Physics and Technology (FEDERACIÓN RUSA)

Vladislav Kravchenko

Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados Querétaro (MÉXICO)

Volodymir Ponomaryov

Instituto Politécnico Nacional (MÉXICO)

Revista Científica ESIME, ISSN 1665-0654, Volumen 15, Número 4, octubre-diciembre de 2011. Revista trimestral editada por la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional (IPN), México. Edificio 5, 1

^er

piso, Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI-ESIME Zacatenco), Col. Lindavista, Unidad Profesional Adolfo López Mateos, CP 07738, México, DF, Tel. 5729 6000 ext. 54518. correo electrónico:

[email protected]. Página en Internet: www.revistacientifica.esimez.ipn.mx. Certificado de Reserva de Derechos al Uso Exclusivo. Reserva: 04-2004- 053109300500-102, 31-V-06. Certificado de Licitud de Contenido 7611, 10-I-00. Certificado de Licitud de Título 10962,10-I-06. Suscripción anual: $ 400.00 (pesos). Annual fee including airmail charges US $ 50.00 (fifty US Dollar). El contenido de los artículos firmados es responsabilidad del autor. Prohibida la

I NSTITUTO P OLITÉCNICO N ACIONAL

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ECCIÓNDE

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STUDIOSDE

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^OSGRADOE

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NVESTIGACIÓN

Científica ^Revista

ISSN 1665-0654

VOLUMEN

15,

NÚMERO

4,

OCTUBRE

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LECTROMECÁNICA

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OURNALOF

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LECTROMECHANICAL

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NGINEERING

E ^DITORIAL

Científica, finalizando su volumen 15 (2011), publica cinco artículos de investigación que cubren las diferen- tes disciplinas que le competen y le invita, además, a consultar su contenido en línea (desde 2005) en su página electrónica www.cientifica.esimez.ipn.mx.

en el primer artículo, se resuelve el problema de detección y aislamiento de fallas para una planta piloto no lineal, orientada a desarrollar algoritmos de tolerancia a las fallas, auspiciada por la Unión Europea. Se retoma una forma novedosa de modelar las fallas de los sensores, de manera que cada falla física es asociada a un conjunto adecuado de fallas matemáticas. Ello permite, mediante geometría diferencial, diseñar un FDI no lineal ligeramente extendido para tomar en cuenta la estructura del sistema. Se describen las técni- cas del modelado, el diseño de los generadores de los residuales, la matriz de residuales y se termina con la simulación de un sistema térmico de tres tanques del proyecto europeo IFATIS.

Considerando al estudio de oleogasoductos como una de las aplicaciones de la mecánica de la fractura probabilística (MFP), se publica este trabajo donde el resultado obtenido del análisis es una distribución estadística de la probabilidad de falla; mientras que la mecánica de fractura determinística (MFD) solamen- te genera el valor para fractura elastoplástica de ciertos valores previos. De esta manera, los análisis probabilísticos proporcionan un panorama más completo de la situación real de la integridad de ductos. La aplicación de la MFP reemplaza el factor de seguridad clásico N por el concepto de confiabilidad estructu- ral. De esta manera, el análisis de riesgo basado en la MFP permite incrementar el nivel de seguridad en oleogasoductos y al mismo tiempo disminuir los costos de mantenimiento.

En el siguiente manuscrito se construye un modelo de optimización para seleccionar las relaciones de reducción óptima que minimicen el contragolpe angular total en un tren de engranajes con limitaciones en relación de reducción total y espacio disponible. Se ha encontrado que un diseño adecuado de relaciones de reducción tiene un efecto importante en el contragolpe angular total de un tren de engranajes.

En el cuarto trabajo se presenta una metodología para determinar el efecto del almacenamiento de hidróge- no en una estructura de fase sólida formada por hidruro de magnesio (acumulación de hidrógeno). Se realiza un análisis comparativo del porcentaje teórico que es capaz de almacenar en peso este hidruro que es del 7.59%, mientras que el obtenido en un experimento de hidruración es de 5.955% en peso. Lo anterior se llevó a cabo con el fin de determinar el rendimiento de energía acumulada en 1 000 g de MgH

₂

, para así, determinar el volumen de hidrógeno almacenado y que esté en condición de establecer el tiempo de funcio- namiento de diversos motores operando a distintos voltajes, así como efectos de trabajo tales como tiempo de funcionamiento y energía consumida.

Finalmente se presenta la comparación de la aplicación del modelo Hata con mediciones hechas en la Banda de 400 MHz en la Ciudad de México, se pretende establecer una alternativa de aplicación para las viejas ciudades coloniales españolas de América Latina. El estudio pretende establecer una relación objetiva entre el modelo y mediciones hechas en una ciudad de edificios de paredes gruesas de piedra, con alturas superiores a 15 m y calles angostas, que contrasta estructuralmente con las ciudades japonesas, en donde se hicieron las mediciones del modelo, por parte de Okumura y Hata. Se incluyen también en el análisis las zonas modernas de paredes ligeras y baja altura de una típicamente urbana y sin dejar a un lado las zonas rurales que rodean normalmente a las antiguas ciudades. Los resultados se presentan comparando la atenuación en ambos casos, en función de la distancia.

Para concluir este número, en una página independiente, se señalan estadísticas de uso de 2010 extraídas de

la página en Internet del Sistema de Información Científica Redalyc, las cuales nos dan una idea clara del

impacto y la relevancia que Científica ha adquirido en estos cinco años, como parte de la hemeroteca en

línea de publicaciones de investigación de Redalyc.

Detección y aislamiento de fallas en el sistema térmico IFATIS

Salvador Saucedo-Flores ¹ Efraín Alcorta-García ²

1

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica,

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional.

Unidad Profesional ‘Adolfo López Mateos’, Col. Lindavista, CP 07738, México, DF.

MÉXICO.

2

Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad Autónoma de Nuevo León.

Av. Universidad s/n, Ciudad Universitaria, San Nicolás de los Garza, Nuevo León, CP 66451.

MÉXICO.

correo electrónico (email): [email protected] [email protected]

Recibido el 26 de noviembre de 2010; aceptado el 27 de mayo de 2011.

1. Resumen

Se resuelve el problema de detección y aislamiento de fallas para una planta piloto no lineal, orientada a desarrollar algoritmos de tolerancia a las fallas, auspiciada por la Unión Europea. Se retoma una forma novedosa de modelar las fa- llas de los sensores, de manera que cada falla física sea aso- ciada a un conjunto adecuado de fallas matemáticas. Ello permite, mediante geometría diferencial, diseñar un FDI no lineal ligeramente extendido para tomar en cuenta la estruc- tura del sistema. Se describen las técnicas del modelado, el diseño de los generadores de los residuales, la matriz de residuales y se termina con la simulación de sistema térmico de tres tanques del proyecto europeo IFATIS.

Palabras clave: detección y aislamiento de fallas (FDI), genera- dor de residuales, control inteligente tolerante a fallas en siste- mas integrados (IFATIS), sistemas hidráulicos, planta piloto.

2. Abstract (Detection and Isolation Problem in IFATIS Thermal System)

The fault detection and isolation problem is solved for a nonlinear pilot plant used on educational purposes in several

European countries. A novel technique to model the dynamics of the faults for the plant under study was used. That allows, by means of differential geometry, the design of a FDI taking into account the plant structure. Procedures for modeling and design of the residual generators are described, including the simulation for the three tank thermal/hydraulic system.

Key words: residual generator, fault detection and isolation (FDI), intelligent fault tolerant control in integrated systems (IFATIS), hydraulic systems, pilot plant.

3. Introducción

Al supervisar la correcta operación de plantas dinámicas, uno se interesa en la detección e identificación pronta de fallas en los componentes del hardware de control [1], [2].

La fase de detección consiste en la generación de señales de diagnóstico (residuales) disparados por una desviación de la planta desde el comportamiento esperado, con base en el pro- cesamiento de los comandos de entrada y las mediciones de las salidas y, posiblemente, el uso del modelo dinámico. La fase de aislamiento consiste en la discriminación de la ocu- rrencia de una falla específica de un conjunto de fallas po- tenciales, lo cual se usa para la reconfiguración del sistema de control.

Cuando el modelo de la planta nominal (sin falla) está dis- ponible, es natural modelar a la presencia de fallas como entradas adicionales que afectan la dinámica del sistema.

Para plantas con dinámica lineal, varios métodos para mo- delar el sistema para FDI han sido propuestos en la literatura, i. e., basándose en el filtro de Kalman, observadores de Luen- berger, técnicas de paridad espacio o estimación de parámetros ( [3]-[4]). Los ejemplos de aplicación incluyen sistemas de bombas centrífugas [1], sistemas de experimentación termo- hidráulica [5], fuga de válvulas en hornos de gas [6], turbi- nas industriales de gas [7] e intercambiadores de calor [8].

Para sistemas con dinámicas con no linealidades inherentes, el tratamiento usual es recurrir a aproximaciones lineales en el diseño FDI, lo que sin embargo, limita la validez del es- quema a cierto punto de operación e introduce perturbacio- nes endógenas en la dinámica de los residuales.

Las dinámicas no lineales han sido directamente considera-

das en métodos FDI basados en señales usando modelos

ARMAX no lineales (i. e., en [9] para una maquina de com-

e

bustión interna) o bien sistemas difusos (véase [10] para un sistema de tres tanques con modelado Takagi-Sugeno) o al explotar lo lineal de los parámetros del modelo (como en [4]

y [11] para control adaptable de aeronaves). La detección robusta de fallas para sistemas generales no lineales ha sido considerada en [12]. Más recientemente, las técnicas FDI se han desarrollado de manera explícita para sistemas no linea- les de la forma (véase [13] y [14])

(1)

i.e., donde las dinámicas del estado: x R

ⁿ

(así como las expre- siones de la salida: y R

^p

) son no lineales en, pero afines, en las entradas de control: u

_i

, i = 1,2,...,m, en las entradas de falla, f

_k

, k = 1,2,...,s y en las perturbaciones: w

j

, j = 1,2,...,d.

Aplicaciones en esta clase incluyen manipuladores de robots [13]-[14] y un horno industrial [15]. Los campos vectoriales g

₀

, g

₁

a g

₄

, del sistema en (1) se asumen como perfectamente conocidos. Además, las entradas de falla y las perturbaciones aparecen solamente en las dinámicas del estado y no en la ecuación de salida. Empero, no se asume que se requiera la forma o los parámetros del comportamiento en el tiempo de la falla, en general. Como una consecuencia de ello, los métodos FDI basados en un modelo del proceso con falla de la forma (1) son útiles para tratar con averías de componentes de hardware (i. e., actuadores o sensores) de cualquier tipo y com- portamiento en tiempo, pero que no afecten la estructura de las dinámicas del sistema (i.e., fallas de sistema son difíciles de tratar). Esto debe compararse con la manera en [12] y [4], que son capaces de detectar y aislar fallas de sistema con in- certidumbre en el modelo, siempre que las mediciones del es- tado sean confiables, y que los cambios en la estructura de las dinámicas del sistema se puedan parametrizar mediante una clase de funciones de un conjunto finito de ciertas de ellas.

Para los sistemas no lineales en la forma (1), ciertas condi- ciones de geometría diferencial han sido dadas en [14], que son necesarias para la solución del problema FDI con fallas con posibilidad de ocurrencia simultánea. Tales condiciones, empero, se violan en muchas situaciones de interés práctico, notablemente cuando el número total de entradas de falla excede la dimensión del espacio del estado. En [19] se han propuesto varias maneras para relajar el problema FDI para el sistema (1), cuando no es solucionable en la formulación original de [14]. Una posibilidad es introducir la suposición adicional de la no ocurrencia simultánea de las fallas, lo que resulta en condiciones necesarias mucho más débiles para obtener detección y aislamiento.

Aquí se presenta, a través de un caso completo, los pasos relativos en el diseño no lineal del esquema de la detección y aislamiento para múltiples fallas no concurrentes en actuadores y fallas en sensores del estado. El proceso en con- sideración es un típico sistema termohidráulico, usado como banco de pruebas en la Unión Europea conocido como el proyecto IFATIS [17] y ya tomado como aplicación proble- ma para otros métodos basados en aproximaciones lineales [18] o bilineales [19] de la dinámica del sistema. Ahora se tomará en cuenta como un modelo no lineal de un sistema tolerante a fallas [5].

Las fallas consideradas pueden afectar a todas los actuadores (bombas hidráulicas y resistores eléctricos) y a todos los sensores para medición de estado (transductores de nivel y termómetros) que se suponen disponibles para todas las va- riables de estado.

En una etapa preliminar de modelado se deriva, para la planta con fallas, ecuaciones dinámicas que tienen la estructura (1).

Mientras que las fallas de los actuadores de cualquier tipo (pérdida de energía, deriva, saturación, etc.) pueden directa- mente modelarse en esta forma, ello no es tan inmediato para fallas que afectan a los sensores que definen al estado, debi- do a la dependencia no lineal del modelo del sistema en las variables de estado. Por tanto, se propone para tal clase de fallas una nueva manera de modelar, donde cada falla de un sensor físico es modelada por un conjunto adecuado de (siem- pre concurrentes) entradas de falla. Correspondientemente, se extiende a esta situación más general las condiciones ne- cesarias (y dada la disponibilidad del estado completo, tam- bién suficientes) por no concurrencia FDI, las que son dadas en [16] para el caso estándar cuando cada falla física es mo- delada mediante sólo una entrada de falla. Basados en el cumplimiento de tales condiciones de naturaleza geométrica, se ilustra el diseño de generadores de residuales y de la lógi- ca combinatoria que permite aislamiento perfecto de las fa- llas. El rendimiento de este esquema híbrido de FDI se de- muestra con la simulación numérica, donde se toma en cuenta la presencia de entradas no modeladas y ruido de medicio- nes. Una alternativa moderna a este método viene dada en [20], la cual se basa en redundancia analítica no lineal.

4. Sistema de calentamiento de tres tanques

El proceso usado como caso de estudio en este breve docu- mento está compuesto de tres tanques cilíndricos. De acuer- do con el esquema de la Fig. 1, tanques 1 y 2 se usan para precalentar los fluidos suministrados por la bomba 1 y la bomba 2. La temperatura del fluido en estos tanques puede ser ajustada por medio de dos resistores eléctricos. El tercer x = g

^. ₀

(x) + g

_i

(x)u

_i

+ δ

k

(x)f

_k

+ η

j

(x)w

_j

i=1

Σ

m k=1

Σ

S

Σ

_j=1^d

y = h(x)

e

tanque permite la mezcla de los flujos que vienen desde los dos tanques de precalentamiento. Mediciones del nivel y la temperatura están disponibles para los tres tanques. El obje- tivo del control es el regular el nivel del fluido y su tempera- tura en el tanque 3. Al escribir las ecuaciones del balance de la masa y energía para cada uno de los tres tanques resulta en un modelo no lineal, afín en sus entradas, de la forma:

(2) En ausencia de fallas en los sensores, la salida del sistema coinci- de plenamente con el vector de estado x = [H

₁

H

₂

H

₃

T

₁

T

₂

T

₃

]

^T

, con H

_i

, el nivel del fluido y T

_i

, respectivamente, la tempera- tura en el tanque i. En (2) se da el vector u = [Q

₁

Q

₂

P

₁

P

₂

]

^T

realmente aplicado en la entrada: (el cual puede ser diferen- te de la entrada comandada en caso de falla), con Q

_i

y P

_i

la tasa de flujo y, respectivamente, la energía calorífica sumi- nistrada al tanque i. La expresión de los campos vectoriales viene dada por:

En las expresiones dadas, A es la sección de los tanques, c es el calor específico del fluido, ρ es su densidad, y T

1i

y T

_2i

, las temperaturas del fluido a las entradas de los tanques 1, 2, y α

i

el recíproco del (constante) estrangulamiento de la válvula de sa- lida i, i = 1,2,3. Notar que los campos vectoriales del sistema g

_i

, i = 0,...,4 son suaves en la región de interés en el estado-espacio.

5. Modelado de fallas

Se supone que el sistema puede verse afectado por fallas de los actuadores que suministran los comandos de entrada u

_i

, i = 1,...,4, y de los sensores que brindan medidas de las va- riables de estado x

_i

, i = 1,...,6. Por tanto, el número total de fallas posibles afectando al sistema es: s = 10. Ya que este número es mayor que la dimensión del estado espacio, las condiciones necesarias para el FDI dado en [14] para fallas posiblemente concurrentes son obviamente (y estructu- ralmente) violadas. En consecuencia, siguiendo el método en [16] se relaja el problema FDI al suponer que a lo más una falla puede afectar al sistema en cualquier tiempo (no concurrencia de fallas).

A. Fallas de actuadores

Al ser el modelo (2) afín en las entradas de control, las fallas de los actuadores pueden simplemente ser modeladas me- diante un vector de entradas con fallas f

u

definido como:

f

u

= u − u

^c

(3) donde u

c

es la entrada del comando de control. Remplazando la expresión (3) en la dinámica del estado del sistema (2) se obtiene:

Fig. 1. Diagrama esquemático del sistema de calentamiento de tres tanques.

x = g

^. ₀

(x) + g

_i

(x)y

_i

Σ

1⁴

g

₀

= 1 A

−α

1

x

₁

−α

₂

x

₂

α

1

x

₁

+ α

2

x

₂

− α

3

x

₃

0 0

−α

1

x

₁

(x

6

− x

4

)/ x

3

− α

2

x

₂

(x

6

− x

5

)/ x

₃

g

₁

= 1

A (x

4

− T

1i

) x

₁

− 1 0 0

0 0

g

₂

= 1 A

0 1 0 0

0 (x

5

− T

2i

)

x

₂

−

g

₃

= 1 A ρc

0 0 0

0 0 1 x

₁

g

₄

= 1 A ρc

0 0 0 0

0

1

x

₂

(4) Con δ

_ui

(x) = g

_i

(x). La ecuación (4) incluye los efectos de las fallas de los actuadores y todavía es afín en las entradas (con- trol y fallas), por tanto, permite la aplicación directa de las técnicas no lineales del FDI en [12] y [16].

B. Fallas de sensores

Al enfocarse en el modelado de fallas de sensores que dan mediciones de las variables de estado. El modo más natural de tomar en cuenta la posible ocurrencia de tales fallas sería definiendo la falla en la medición k, k = 1,…,n, como:

F

x

k

= x

_k

− y

_k

(5) i. e. como la diferencia entre valor real y valor medido de la k-ésima variable de estado. Sin embargo, este modelado con- duce ya sea a la aparición de entrada de fallas en las ecuaciones de salida (y = x − F

^x

) o a un modelo que no es lineal en las entradas de fallas de sensores (cuando el estado se remplaza por la expresión y + F

^k

en (2)).

Se propone entonces un procedimiento diferente para mode- lar esta clase de fallas, el cual dé como resultado la estructura deseada (1) para las ecuaciones del sistema. Como se mostró en [3], esto se obtiene al introducir un conjunto adecuado ϑ

_k

>

1 de entradas de falla F

x

k

, k = 1,..., ϑ

_k

, en vez de las cantidades naturales para falla F

x

k

de (5). Esto implica que la correspon- dencia uno a uno de (5) entre un evento físico (la falla de un transductor) y la representación matemática (entrada de falla del sensor) se pierde. Por tal razón, en el resto del documento a menudo se necesita distinguir entre la falla física del sensor, denotada por simplicidad mediante F

x

k

como en (5), y las co- rrespondientes entradas de fallas matemáticas.

Siempre que ocurra una falla física de un sensor (i. e., cuando x

_k

= y

_k

), todas sus entradas de falla asociadas llegarán a ser gené- ricamente no cero, aunque con comportamientos completamente diferentes en el tiempo y, en general, con una interpretación física directa más bien intuitiva. De acuerdo con este modelado, para detectar y aislar una simple falla física del sensor de estado k, será suficiente el reconocer la ocurrencia de cualesquiera (una o más) de las entradas de falla matemáticas. Esto es con el afán de aislar un conjunto dado de fallas de las otras, como se esta- blece en [16]. Para la falla genérica k de sensor, se propone el procedimiento de modelado siguiente:

1) Buscar en el modelo del sistema todas las expresiones Φ

_ki

(x,u) diferentes (en general, no lineales), implicando

x

_k

y de modo que el modelo sea afín en Φ

_ki

(x,u). Para la variable x

₁

, por ejemplo, es:

2) Por cada expresión Φ

_ki

(x,u) hallada en el paso 1, definir la entrada de falla f

_xk,i

= Φ

^k,i

(x,u) − [Φ

^k,i

(x,u)/x

_k

] = y

_k

, i. e.

el error inducido en la computación de Φ

_ki

(x,u) por el uso del valor medido y

_k

en lugar del valor real x

_k

, y computar el correspondiente campo vectorial de la falla δ

xk,i

(x). Se denotará el número de fallas introducidas de esta manera por ϑ

_k

− 1.

Notar que f

_xk,i

es, por definición, sólo afectado por una falla del sensor k del estado (lo que es consistente con la suposición de no concurrencia), y es cero siempre que F

_xk

= 0 , i. e. cuando x

_k

= y

_k

. Como un resultado de este paso del modelado, toda ocurrencia de la expresión Φ

^k,i

(x,u) en el modelo del sistema se puede remplazar mediante Φ

^k,i

(x,u)/x

_k

= y

_k

+ f

_xk,i

, y el modelo es ciertamen- te afín en la entrada de falla f

_xk,i

. Notar que el lado dere- cho de (2) sólo depende ahora de la variable y

_k

y no de x

_k

. 3) Definir la posterior entrada de falla f

_xk,ϑk

= x

_k

− y

_k

. La in- troducción de esta entrada adicional en el modelo permite escribir también el lado izquierdo de la ecuación k del sistema en términos de la nueva variable y

_k

(con dinámi- ca: y

_k

= x

_k

+ f

xk,i

). El campo vectorial de falla asociado a este f

_xk,ϑk

es δ

xk,ϑk

= −I

_k

, por tanto, (I

_k

es la columna k de la matriz identidad n x n).

4) Si, para dos índices i,j, se puede escribir δ

xk,i

= β(x)δ

xk,j

para alguna función real β(x), hacer entonces f

xk,i

= f

_xk

+ β(x)f

xk,l

y eliminar f

_xk,i

(el campo vectorial δ

xk,i

permanece igual).

Con un ligero abuso de notación, se usa el símbolo ϑ

k

para indicar el número final de la entrada k de falla matemática correspondiente a la falla del sensor k del estado.

Como resultado de este procedimiento general de modelado, en el caso bajo estudio a considerar, se introducen las si- guientes entradas de falla:

. Por falla en el sensor 1 ( ϑ

1

= 3) x = g

^. ₀

(x) + g

_l

(x)u

_cl

+ δ

ui

(x)f

_ui

l=1

Σ

4

Σ

_i=1⁴

Φ

1,1

= α

1

A x

₁

Φ

1,2

= − x

₄

− T

1i

+

A

1 x

₃

u

₃

A ρc

f

x 1,1

= α

1

A ( x

₁

− y

₁

) f

x1,2

= − x

₄

− T

_1i

+

A

u

₃

A ρc

u

₁

1

x

₁

− 1 y

₁

/

. .

. .

. Por falla en el sensor 2 ( ϑ

2

= 3)

. Por falla en el sensor 3 ( ϑ

3

= 2)

. Por falla en el sensor 4 ( ϑ

4

= 2)

. Por falla en el sensor 5 ( ϑ

5

= 2)

. Por falla en el sensor 6 ( ϑ

6

= 1)

Ahora que las salidas y

₁

,...,y

₆

se toman en cuenta como las nuevas variables de estado para la dinámica del sistema, la estructura general de (1) se ha recuperado. El modelo defini- tivo, incluyendo el efecto de todas las fallas (no simultaneas) es entonces:

(6) donde se omite la fórmula trivial de la salida. La ecuación (6), que modela el sistema con fallas, se expresa en términos de los comandos de control disponibles u

_c

y las salidas medi- das y, y es afín en todos los controles y todas las fallas, como

se pedía. En otras palabras, toda discrepancia entre sistema sin falla y sistema con falla se contempla dentro del modelo desarrollado con las entradas de fallas dado por (6), el cual se puede compactar aún más:

(7) Con m = 4, s = 10, etc. Notar que los ruidos de entrada y de mediciones no están incluidos en (7), ni se emplean para el diseño del FDI. Se intuye que dicho ruido no se puede distin- guir de las fallas de los actuadores ni de las fallas de los sensores. Por ello, se emplean zonas de umbral para definir si cierta falla se ha disparado al generar los residuales de la siguiente sección.

6. Diseño de los generadores de residuales

Al suponer que todo el estado es medido, el diseño de residuales para el modelo (7) requiere que para todo par (i,k) se defina una función adecuada de desacople de salida z = φ(y) cuya dinámica esté afectada por al menos una de las entradas de falla asociadas con F

_i

y no asociada con ninguna de las entra- das de falla asociadas con F

_k

.

Luego, se puede diseñar un observador estándar no lineal con una dinámica lineal del error [7]. En particular, la diná- mica del estado ε de este generador/observador es una copia del modelo nominal (sin fallas) de la dinámica de más un término de corrección K(z − ε) que hace que el error de ob- servación/residual r = z − ε tienda asintóticamente a cero cuando no hay fallas.

En [5] se dan las condiciones teóricas para poder diseñar los generadores de residuales que presenten estabilidad y que tiendan asintóticamente a cero cuando exista ausencia de fa- llas. Entre dichas condiciones está la no simultaneidad de fallas. Otra condición importante es que para todo par de fa- llas F

_i

, F

_k

se pueda definir un sistema dinámico que se vea afectado por una de ellas y que no sea afectado por la otra.

La tabla 1 detalla los seis generadores de residuales que con- forman el FDI para este caso de sistema no lineal. Es conve- niente, además, formar la matriz de residuales cuyos ele- mentos binarios relacionan a cada falla física con cada resi- dual, como muestra la tabla 2.

En este caso dicha matriz es de 10×6, para diez fallas y seis residuales.

Notar que en la tabla 2 ningún par de fallas físicas excita al mismo conjunto de residuales, lo que permite aislar a cada una de las fallas.

f

x1,3

= x

₁

− y

1

f

x

2,2

= − x

₅

− T

2i

+ A

u

₄

A ρc

u

₂

1

x

₂

− 1 y

₂

f

x2,1

= α

2

A ( x

₂

− y

₂

)

f

x2,3

= x

₂

− y

2

. .

f

x3,1

= α

₃

A ( x

₃

− y

₃

) −(x .

3

− y .

3

) f

x3,2

= −α

₁

x

₆

− x

4

A

1 x

₃

− 1

y

₃

x

₁

− α

₂

x

₆

− x

5

A x

₂

f

x4,1

= u

₁

Ax

₁

(x

4

− y

₄

) − (x .

4

− y .

₄

)

− x

₁

f

x4,2

= α

1

Ax

₃

(x

4

− y

4

)

f

x5,1

= u

₂

Ax

₂

(x

5

− y

5

) − (x .

5

− y .

5

)

− x

₂

f

x5,2

= α

2

Ax

₃

(x

5

− y

5

)

x

₂

− Ax

₃

x

₁

α

₁

+ α

₂

f

x6,1

= (x

6

− y

6

) − (x .

6

− y .

6

)

y = g

₀

(y) + g

_l

(y)u

_c,l

+ δ

u,i

f

_u

i

+ δ

x k,j

f

_j

.

i=1

Σ

4 l=1

Σ

4

Σ

_k=1⁶

Σ

_j=1^ϑk

y = g

₀

(y) + g

_l

(y)u

_c,l

+ δ

k,j

f

_x

k,j .

l=1

Σ

4

Σ

_k=1^S _j=1

Σ

^μk

7. Simulación numérica

Para verificar que el FDI propuesto trabaje bien sobre el modelo de la planta termo-hidráulica bajo escrutinio, se hizo una simulación con los siguientes datos numéricos:

α

1

= 0.0067 (dm)

^5/2

/s α

2

= 0.0096 (dm)

^5/2

/s α

3

= 0.0212 (dm)

^5/2

/s A = 1.54 (dm)

²

c = 4.18e3 J/kg ρ = 1.0 kg/L T

1i

= 15.0 ºC T

2i

= 20.0 ºC T

20

= 22.0 ºC T

30

= 19.78 ºC T

10

= 17.0 ºC H

10

= 4.0 dm H

20

= 3.0 dm H

30

= 2.0 dm Q

10

= 1.333×10-2 L/s Q

20

= 1.667×10

⁻²

L/s P

10

= 111.467 watts P

20

= 139.333 watts

Los residuales sólo se usan para indicar la existencia de fa- llas y no para compensar las fallas, es decir, fuera de línea.

De los residuales de la figura 3 se puede constatar que, de acuerdo con la tabla 2, cada residual se ve afectado por al menos una falla física. Las fallas de los actuadores excitan uno, y sólo uno, de los residuales r

₁

,…,r

₄

. Las fallas de los sensores excitan, en cambio, más de un residual. Las ganan- cias K

_i

de la tabla 1 para cada generador de residual son:

[0.05 0.05 0.03 0.03 0.05 0.05]

para i = 1, … , 6 y se fijaron por prueba y error. La teoría de las desigualdades entre matrices, LMI, puede servir para el cálculo óptimo de tales ganancias, según sea el nivel de rui- do imperante.

8. Conclusiones

Se presentó un estudio parcial para el diseño de un FDI no lineal, usando el modelo térmico IFATIS para fallas no si- multáneas en actuadores y en transductores.

Se revisó el método propuesto para modelar fallas derivado de la teoría de la geometría diferencial, de modo de obtener Tabla 1. En [5] se propone el siguiente conjunto de

generadores para el caso en consideración.

G

ENERADORDERESIDUALES

GR

₁

(z

₁

− y

₁

)

r

1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 r

1

= K

1

(z

₁

− ε

₁

)

ε .

¹

= α

1

+

− A y

₁

1

A u

_c1

+ K

₁

(z

₁

− ε

₁

)

r

2

= K

2

(z

₂

− ε

₂

) ε .

²

= α

2

+

− A y

₂

1

A u

_c2

+ K

₂

(z

₂

− ε

2

) G

ENERADORDERESIDUALES

GR

₂

(z

₂

− y

₂

)

G

ENERADORDERESIDUALES

GR

₃

(z

₃

= y

₁

(y

₄

− T

_2i

))

r

3

= K

3

(z

₃

− ε

3

) (y

4

− T

1i

)

ε .

³

= α

₁

+

− A y

₁

1

A ρc u

_c3

+ K

₃

(z

₃

− ε

3

)

G

ENERADORDERESIDUALES

GR

₄

(z

₄

= y

₂

(y

₅

− T

_2i

))

r

4

= K

4

(z

₄

− ε

₄

) (y

5

− T

2i

)

ε .

⁴

= α

2

+

− A y

₂

1

A ρc u

_c4

+ K

₄

(z

₄

− ε

₄

)

G

ENERADORDERESIDUALES

GR

₅

(z

₅

= y

₃

)

r

5

= K

5

(z

₅

− ε

5

)

G

ENERADORDERESIDUALES

GR

₆

(z

₆

= y

3

y

₆

) ε .

⁵

= α

1

− A y

₁

+ α

2

y

₂

+ K

₅

(z

₅

− ε

5

) A

α

3

− A y

₃

r

6

= K

6

(z

₆

− ε

₆

) ε .

6

= α

1

− A y

₁

+ α

2

y

₂

+ K

₆

(z

₆

− ε

₆

) A

α

3

− A y

₃

y

₄

y

₅

y

₆

Tabla 2. Matriz de residuales y lógica de aislamiento de fallas.

Residual Falla física

F

₁

= f

_u1

F

₂

= f

_u2

F

₃

= f

_u3

F

₄

= f

_u4

F

₅

= f

_x1

F

₆

= f

_x2

F

₇

= f

_x3

F

₈

= f

_x4

F

₉

= f

_x5

F

₁₀

= f

_x6

r

2

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

r

3

0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

r

4

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

r

5

0 0 0 0 1 1 1 0 0 0

r

₆

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 r

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

9. Referencias

fórmulas para las ecuaciones del estado que sean afines en las entradas y ecuaciones de salida que sean independientes de dichas entradas.

Los generadores de residuales conforman una batería de sis- temas dinámicos no lineales con la estructura de observado- res no lineales que se asemejan a los observadores tradicio- nales [21].

Fig. 2. Fallas de actuadores y de sensores.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

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Fig. 3. Evolución de residuales en el tiempo.

[14]

[15]

[16]

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[19]

[20]

[21]

Desarrollo de software para el análisis probabilístico de integridad de ductos

José de Jesús Silva-Lomelí Alfonso Campos-Vázquez Alejandro Escamilla-Navarro

Departamento de Mecánica,

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas, Instituto Politécnico Nacional.

Col. Ticomán, CP 07340, México, DF.

MÉXICO.

Tel: (52) 5729-6000 ext. 56882 correo electrónico (email): [email protected] [email protected] [email protected]

Recibido el 27 de enero de 2010; aceptado el 30 de junio de 2011.

1. Resumen

Una de las aplicaciones de la mecánica de la fractura probabilística (MFP) es el estudio de oleogasoductos, este procedimiento se basa en la determinación de la probabili- dad, en donde variables aleatorias como: cargas aplicadas, propiedades mecánicas del material, geometría del ducto y grietas, pueden ocasionar la falla de una estructura. Utili- zando el método Monte Carlo escenarios múltiples, introdu- ciendo valores aleatorios a partir de las distribuciones de pro- babilidad tanto de carga como de resistencia. El resultado obtenido de este análisis es una distribución estadística de la probabilidad de falla; mientras que la mecánica de fractura determinística (MFD) solamente genera el valor de J

_Ic

para fractura elasto-plástica (MFEP) de ciertos valores previos.

De esta manera, los análisis probabilísticos proporcionan un panorama más completo de la situación real de la integridad de ductos. La aplicación de la MFP reemplaza el factor de seguridad clásico N por el concepto de confiabilidad estruc- tural. De esta manera, el análisis de riesgo basado en la me- cánica de fractura probabilística permite incrementar el ni- vel de seguridad en oleogasoductos y al mismo tiempo dis- minuir los costos de mantenimiento. Este trabajo considera los siguinetes puntos: a). Determinar dos ecuaciones determinísticas para la Integral J

_a

y J

_c

. b). Crear un progra-

ma generatedo en el ambiente MATLAB, este código mues- tra los procesos determinísticos y probabilísticos del análisis de ductos, con una relación R

_i

/t = 43.6 para mecánica de fractura elastoplástica.

Palabras clave: mecánica de la fractura probabilística (MFP), fractura elastoplástica, oleogasoducto, probabilidad de falla.

2. Abstract (Software Development for the Probabilistic Analysis Pipeline Integrity)

One of the applications of Probabilistic Fracture Mechanics (PFM) is the study of pipeline system, this procedure is based on determining the probability of random values, such as:

applied load, mechanical propierties of material, pipe geometry and cracks, may be to failure structure, using Monte Carlo simulation multiple scenarios are modeled, sampling values from the probability distribuitons for the load and strength. The result from this analysis is a statistical distribution of the failure probability, not just as a single number, as in the case of deterministic fracture mechanics.

Thus, the analysis gives a more complete picture of the ac- tual situation with pipeline integrity. PFM analysis replaces the classical safety factors by the concept of structural reliability. Thus, the analysis of risk based on probabilistic fracture mechanics allows increasing of the level of security in oil pipeline and at the same time to diminish the maintenance costs. This work considers the followin points:

a). To determinate two deterministic equations for J

_a

and J

_c

. b). To create a program generated under MATLAB enviroment, this code shows the deterministic and probabilistic process of the pipeline analysis with a rate R

_i

/t

= 43.6 for elasto-plastic fracture mechanics.

Key words: probabilistic fracture mechanics (PFM), elasto- plastic fracture, pipeline, structural reliability.

3. Introducción

Una de las causas más comunes de falla en ductos amargos

en servicio es el agrietamiento inducido por hidrógeno. Esta

forma de daño origina la creación de grietas microscópicas

en las paredes del ducto, siendo este defecto una de las cau-

sas principales de reparación y fin de vida útil de una línea

de conducción [1.1].

Cuando las grietas son detectadas, deben evaluarse para deter- minar la conveniencia de que el ducto continúe operando o la necesidad de reparación del mismo. Para llevar a cabo esta eva- luación, se necesita conocer la geometría del ducto y las dimen- siones de la grieta, asimismo los valores exactos de las propie- dades mecánicas del material, así como las tensiones generadas en servicio. Para la obtención del factor de intensidad de tensio- nes K y la integral J de varios ductos en servicio dentro del rango elástico y plástico, es necesaria la utilización de métodos numéricos como el método del elemento finito MEF.

En los últimos años el MEF ha sido de gran importancia para solucionar casi cualquier tipo de problema elasto-plás- tico de una manera eficiente. Software que utilizan este mé- todo son muchos, los más importantes: ABAQUS, ANSYS, WARP3D y FEACrack. En el caso de los dos últimos soft- ware se utilizan de forma constante en la NASA y empresas americanas para estudios de fisuras en estructuras aeroespaciales y plantas de generación, ya que cuentan con menús que incluyen diversos tipos de grietas disponibles y las interfaces necesarias con otros programas.

El análisis de la integridad estructural del ducto [1.2], te- niendo como variables aleatorias el tamaño de las grietas elípticas (longitud y profundidad), así como el espesor del ducto se efectúa mediante el método clásico de prueba utili- zando azar o generación de números aleatorios como parte importante del método Monte Carlo. En esta técnica se tiene un valor calculado J

_a

y J

_C

que se compara con un valor críti- co J

_Ic

, con bastantes iteraciones se logra determinar la pro- babilidad de falla dividiendo las ocasiones que se generaron las fallas (J

_a

> J

_Ic

y J

_c

> J

_Ic

), entre el número de simulaciones o pruebas realizadas[1.3].

Se crea el programa FRACPROB, bajo el ambiente de MATLAB para su utilización en análisis de ductos con una relación de radio medio y espesor R/t = 43.6, cabe hacer la aclaración que este programa es parte inicial de un ambiente computacional que se piensa tener en un futuro para análisis no sólo de grietas internas, sino que también externas, tanto circunferenciales como longitudinales, sometidas a presión interna, externa, temperatura, flexión y torsión combinada.

4. Objetivo

Desarrollar la metodología para el análisis probabilístico de la integridad estructural de oleogasoductos, que presentan un defecto caracterizado como grieta elíptica interna longitudinal, mediante la interacción de un software bajo el ambiente MATLAB. El software FRACPROB servirá como herramien- ta que permita al personal de mantenimiento tomar la deci-

sión entre reparar, eliminar o mantener en servicio a un oleoga- soducto hasta la siguiente inspección programada.

Este trabajo se propone presentar a la consideración de espe- cialistas del Instituto Mexicano del Petróleo (IMP) que inter- vienen de manera constante en la evaluación de la integridad de los oleogasoductos, sea numérica o experimentalmente.

5. Definición del problema

México es un país que cuenta con importantes yacimientos petroleros, éstos se encuentran tanto en el continente como en el lecho marino. Debido a la necesidad de una distribu- ción eficiente y confiable tanto del petróleo como del gas natural, se utilizan para su transporte a los oleogasoductos.

Petróleos Mexicanos (PEMEX) gasta enormes sumas de di- nero en el mantenimiento de sus ductos y aún así, se presen- tan fallas inesperadas (figura 1) que provocan fugas y explo- siones. Estos eventos acarrean enormes costos por pérdidas de producción, pago de afectaciones y reparación de las áreas ecológicas dañadas, además de deteriorar seriamente la ima- gen de la empresa.

Con la finalidad de tener información que permita tomar decisiones adecuadas es conveniente conocer la probabili- dad de que ocurra alguna falla, en este artículo se realizará la metodología para el análisis determinístico y probabilístico de un ducto que tiene un diámetro exterior d, y un espesor de pared t, el cual está afectado por una grieta interna elíptica en la dirección longitudinal con dimensión 2c y transversal a. El ducto es sometido a una presión interna de operación P.

Fig. 1. Falla en ducto.

El análisis se efectuará utilizando el modelado de elementos finitos para ocho diferentes propiedades mecánicas de ace- ros (obtenidas de probetas) y configuraciones de grietas. En la figura 2 se muestra el modelado de la geometría del ducto y la grieta elíptica interna.

5.1. Propiedades mecánicas del material utilizado Cuando se realiza un análisis de integridad, es necesario con- tar con las propiedades mecánicas del material que intervie- ne en el análisis, esta información se puede obtener efec- tuando ensayos destructivos de probetas de los ductos. En el caso de estudio de este trabajo, se realizaron pruebas de re- sistencia a la tracción en el Laboratorio de Pruebas Mecáni- cas de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctri- ca (ESIME Zacatenco) del Instituto Politécnico Nacional de México. Los ensayos se efectuaron en una prensa hidráulica de 10 toneladas marca INSTRON 4505, conforme a la Nor- ma ASTM E-8. Las probetas utilizadas fueron maquinadas del mismo material que el ducto fracturado. El material de la tubería es acero API-5L Gr. X52.

Los datos en la tabla 1 muestran las propiedades mecánicas obtenidas de ocho ensayos destructivos realizados a diferen- tes probetas. Las propiedades mecánicas que se obtuvieron son: el módulo de elasticidad E, tensión de cedencia o fluencia σ

₀

, tensión máximo σ

_m

, y la tensión de fractura σ

_fract

. En la figura 3 se muestra la curva tensión-deformación caracterís- tica para este acero.

Se puede observar que en el primer ensayo de acuerdo a la curva, corresponde a un material dúctil, la tensión de cedencia se ha obtenido mediante un offset del 0.2% de la deforma- ción total, este método es adecuado para obtener la tensión de cedencia en gráficos donde no es apreciable con facilidad el valor de σ

₀

.

5.2. Curva tensión-deformación real

La curva tensión-deformación real es muy importante para la obtención de la integral J, ya que son los datos que se introducen en el software FEACrack y WARP3D para la so- lución y obtención de la energía total en la apertura de grie- ta. Los datos que se introducen deben de ser los obtenidos del comportamiento elástico y plástico del acero.

Para transformar las tensiones y deformaciones de ingenie- ría a tensiones y deformaciones reales se hace uso de la ac- tualización del A

₀

dentro de la ecuaciones básicas de la resis- tencia de los materiales; sin embargo, estas transformacio- nes son válidas hasta justo antes de la tensión máxima de la curva tensión-deformación ingenieril.

Fig. 2. Ducto con grieta interna elíptica longitudinal.

Tabla 1. Características geométricas de las probetas.

Núm.

ensayo 1 2 3 4 5 6 7 8

Elongación 0.36904 0.36546 0.40040 0.35927 0.38548 0.37263 0.32384 0.39161 L

0

(mm) 49.1 49.8 49.1 49.6 49.6 49.7 49.9 50.1

L

f

(mm) 67.22 68.00 68.76 67.42 68.72 68.22 66.06 69.72

A

0

(mm

²

) 120.7628 118.8229 118.9229 118.8229 118.8229 120.7628 120.7628 118.8229

Fig. 3. Curva tensión-deformación del acero API-5L Gr. X52 para

el primer ensayo destructivo.

Los valores de las propiedades mecánicas reales del material del ducto se muestran en la tabla 2, donde se aprecia que los valores obtenidos son muy similares a los de la curva ten- sión-deformación ingenieril.

La curva tensión-deformación real correspondiente se mues- tra en la figura 4.

5.3. Condiciones de operación del ducto

El Instituto Mexicano del Petróleo (IMP) ha proporcionado unas muestras del material con el que han sido manufactura- dos los ductos. Así mismo, se hizo llegar la información que se muestra en la tabla 3, con las características geométricas del ducto y las condiciones de operación.

5.4. Factores geométricos

Debido a que no existe fórmula adecuada y actual para la obtención de la integral J en un ducto a presión interna y con una grieta elíptica que varía en forma transversal y longitudinal, a continuación se presenta el procedimiento para la obtención de los valores F y H, que son parte importante de las integrales J (J

_elastic

y J

_plastic

).

Para cumplir con el objetivo de esta sección, es decir, para encontrar el valor del factor F en la expresión de J

elastic

, es necesario calcular el factor de intensidad de tensiones K. Por otro lado, para determinar el factor H en la expresión de J

_plastic

, es necesario calcular la integral J total, que es igual a la suma de J

_elastic

y J

_plastic

. Para llevar a cabo esta tarea, en primer lugar, se analizarán en forma elástica treinta ductos diferentes que contemplan las siguientes variaciones de la grieta:

2.0 mm < a < 6.5 mm 5.0 mm < c < 9.0 mm La relación entre el radio interior del ducto y el espesor de pared es R

_i

/t = 43.6. Posteriormente para la parte elastoplástica, se volverán a analizar treinta diferentes ductos con las mismas variaciones de grietas, pero ahora agregando al análisis los factores de Ramberg-Osgood n y α, que ajus- tan la curva tensión-deformación en el rango plástico (véase tabla 2). El software que se utilizará será FEACrack y WARP3D.

3.5. Análisis elástico (grieta mínima y máxima) A continuación se presenta el desplazamiento total en el ducto, la tensión de Von Mises y la integral J elástica contra el án- gulo de variación del frente de grieta.

Tabla 2. Propiedades mecánicas reales del acero API-5L Gr.X52.

Ensayo 1 2 3 4 5 6 7 8

α 10.8 11.2 12.0 12.7 11.

12.7 11.7 15.0 E

(GPa) 184.898 181.048 183.233 195.708 183.814 185.145 197.850 199.459

ε

0

(mm/mm) 0.00386219 0.00395802 0.00411575 0.00389864 0.00384840 0.00394092 0.00400001 0.00390951

σ

0

(MPa) 382.801637 374.724788 391.896355 391.600059 372.360430 366.828493 384.309328 393.082866

n 5.29 4.90 5.20 5.25 4.90 4.70 5.60 5.28

Fig. 4. Curva tensión-deformación real del acero API-5L Gr. X52.

Tabla 3. Información general del ducto.

Material

Diámetro nominal Espesor nominal

acero al carbono API-5L Gr. X52 30 pulgadas [0.762 m]

0.344 pulgadas [0.00874 m]

Condiciones de operación Fluido manejado

Tamperatura de operación Presión de operación

crudo 30ºC

aprox. 72 kg/cm

²

[7.0632 MPa]

aprox. 15 kg/cm

²

[1.4715 MPa]

Fig. 5. Grieta con longitud de 5 mm y profundidad de 2 mm.

8787 nodos, 1885 elementos (pipe_01).

Fig. 6. Tensión de Von Mises. Software utilizado FEACrack (pipe_01).

Fig. 7. Gráfico de la integral J − φ (pipe_01).

Fig. 8. Grieta con longitud de 9 mm y profundidad de 6.5 mm.

15352 nodos, 3406 elementos (pipe_30).

Fig. 9. Tensión de Von Mises. Software utilizado FEACrack (pipe_30).

Fig. 10. Gráfico de la integral J − φ

(pipe_30).

5.6. Análisis elastoplástico (grieta mínima y máxima) Con las propiedades mecánicas de material (incluyendo las constantes de Ramberg-Osgood) se solucionan los treinta mo- delos. Es conveniente mencionar que el tiempo de solución de un análisis elastoplástico es dependiendo de la malla de ele-

Tabla 6. Análisis elásticos efectuados.

Nombre del análisis

pipe_26 pipe_27 pipe_28 pipe_29 pipe_30

a mm

6.5 6.5 6.5 6.5 6.5

J

^c

(0º) N/mm 6.8993 7.8036 8.5970 9.2916 9.8603 c

mm 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

t mm 8.74 8.74 8.74 8.74 8.74

J

^a

(90º) N/mm 3.4196 4.3470 5.2906 6.2403 7.2133

Fig. 11. Grieta con longitud de 5 mm y profundidad de 2 mm.

5584 nodos, 1089 elementos (pipe_01).

Fig. 12. Tensión de Von Mises. Software utilizado FEACrack (pipe_01).

Fig. 14. Gráfico de la integral J − p (pipe_01).

Fig. 15. Longitud de 9 mm y profundidad de 6.5 mm.

9531 nodos, 1938 elementos (pipe_30).

Fig. 13. Gráfico de la integral J − φ (pipe_01).

mentos finitos y la velocidad de procesamiento de la computa-

dora en donde se realizará el proceso. La solución tiene que

converger a un resultado adecuado (Método de Newton-

Raphson) para poder conocer la integral J elastoplástica.

Observando el comportamiento de la integral J en todo el análisis (figura 20), se puediron determinar dos ecuaciones que muestran el comportamiento elastoplástico de la grieta.

Fig. 16. Tensión de Von Mises. Software utilizado FEACrack (pipe_30).

Fig. 18. Gráfico de la integral J − p (pipe_30).

Fig. 17. Gráfico de la integral J − φ (pipe_30).

Fig. 19. Gráfico de Kr − Lr.

Para las ecuaciones (1) y (2) se necesita saber el valor de los parámetros F y H que definen el comportamiento elástico y plástico del ducto.

(1) Fig. 20. Comportamiento de la integral J.

πtσ

²

(1 − v

²

)

E + ασ

0

ε

0

t

J

a

= F

σ

n+1

σ

0

a H t , c

t

a c , c

t

pR

i

t para

σ = R

_i

t = 43.6

F = A a t

4

+ B a t

3

+ C a t

2

+ D a t + E a

0.2288 < < 0.7437 t a

0.2222 < < 1.3 c