Examen realizado el 9-2-2009
Examen de Trigonometría (1º Bachillerato de Ciencias)
1. Sea un triángulo del que conocemos los siguientes datos a=10cm, b=20cm, Aˆ =30º.
Calcular los demás datos del triángulo. Calcular el área del triángulo. (1.5 puntos) Solución:
Opción 1
Teorema del coseno (a 2 =b 2 +c 2 -2bc·cos Aˆ ) 100=400+c 2 -40·c·cos(30º) c 2 - 20√3c+300=0 c=10√3 (doble)
Si c=10 √3, apliquemos teorema del seno(
B sen
b A sen
a
ˆ
ˆ = )
B sen sen ˆ 20 30 10 =
Bˆ = 90 º
10 ) 30 (
·
20 =
sen
arcsen C ˆ = 60 º
Opción 2
Teorema del seno (
B sen
b A sen
a
ˆ ˆ = )
B sen sen ˆ 20 30
10 = 90 º
10 30
·
ˆ 20 =
= sen
arcsen B
º ˆ = 60 C .
Teorema del coseno para calcular c: c 2 =b 2 +a 2 -2ab·cos( Cˆ ) c=10√3 Gráficamente
Área: como es rectángulo un cateto es la base y el otro la atura area= 50 3 2
3 10
·
10 = cm 2
A 20cm C
10cm
30º
Examen realizado el 9-2-2009
2. Un buitre vuela a 120 m de altura y formando un ángulo con la horizontal respecto de nosotros de 60º. En la misma dirección pero formando un ángulo de 30º vuela una perdiz a 100 m de altura. Si el buitre quiere comerse la perdiz, pero sólo lo consigue si la distancia entre ambos es menor de 150 m. ¿Puede el buitre cazar a la perdiz? ¿A qué distancia están? (1.5 puntos)
Solución:
Podemos calcular la distancia si conocemos los catetos del triángulo rojo. Uno de los dos catetos mide 5km-3km=2km. El otro es y-x. Calculémoslo:
tg(30)=100/x x=100/tg(30)=100· 3 m tg(60º)=120/y y=120/tg(60º)=40· 3 m
Así la distancia entre las dos aves definida por la hipotenusa de un triángulo con catetos de 20m y de (x-y)=60· 3 m d=20 60 3 105.8 se come la peerdiz.
3. Calcular sin utilizar la calculadora el resto de razones trigonoméricas (seno, coseno) de α, sabiendo que tg(α)=1/2 y α∈3 er cuadrante. (0.75 puntos)
Solución:
5 5 5
1 2
· 1 5
5 ) 2
)·cos(
( ) ) (
cos(
) ) (
(
5 5 ) 2
cos(
5 ) 2 5 cos(
) 4 ( ) cos ( cos
1 4
5 ) ( cos ) 1 (
1
2 2 2 2 3−
=
−
=
−
=
=
→
=
−
=
→
±
=
→
=
→
=
→
= +
α α
α α α α
α α
α α α α
tg sen sen
tg
tg
ercuad60º 30º
100m 120m
x
y
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4. Resolver: (4 puntos)
a. 6·cos 2 (x/2)+cos(x)=1 b. sen(x)+cos(x)= 2 c.
= +
= +
y π x
y sen x
sen ( ) ( ) 1
d.
= −
−
= + +
2 1 ) 3
( ) (
2 1 ) 3
( ) (
y sen x sen
y sen x sen
Solución a)
+
= +
→
+ + + +
=
→
+ +
+ + +
=
→
±
=
→
=
=
→
=
−
+
→
=
+
k x k
k k k k x
k k
k k x
x x
x sen x
x x x
x
720 º 240
720 º 120 720
º 480
º 720 º 240
º 720 º 600
720 º 120
º 360 º 240
º 360 º 120
º 360 360 º 300
º 360 º 60
2 2 1 cos 2
4 1 cos 2
2 2
·cos 8 2 1
cos 2
·cos 2 6 1 ) 2 cos(
·cos 6
2
2 2
2 2
2
b)
sen(x)+cos(x)= 2 ·cos( ) 1 cos( 45 )· ( ) ( 45 )·cos( ) 1 2
) 2 ( 2 ·
2 sen x + x = → sen x + sen x =
sen ( x + 45 º ) = 1 → x + 45 º = 90 º → x = 45 º + 360 k
c) x=π-y sen(π-y)+sen(y)=1 sen(y)+sen(y)=1 sen(y)=1/2
−
=
→ +
= +
=
−
=
→ +
= +
=
k x
k k
y
k x
k k
y
π π π π
π π π π
3 2 3 2
º 2 360 º 120
3 2 2 2
º 3 360 º 60
d)
+
= +
→
=
+
= +
→
=
→
= −
−
= + +
→
= −
−
= + +
k y k
Y
k x k
X Y
X Y X y
sen x sen
y sen x sen
º 360 º 150
º 360 º 30 2
1
º 360 º 120
º 360 º 60 2
3
2 1 3
2 1 3
2 1 ) 3
( ) (
2 1 ) 3
(
)
(
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5. Demostrar: (1.5 puntos)
a) cos(x+y+z)=cos(x)·cos(y)·cos(z)-cos(x)·sen(y)·sen(z)-sen(x)·cos(y)·sen(z)-sen(x)·sen(y)·cos(z)
b) 4 ·cos( )
) )·cos(
cos 1 (
) 2 (
2 2
a a a
a
sen =
−
Solución:
a)
( )
( )
) ( ) cos(
) ( ) cos(
) ( ) ( ) ( ) ( ) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
) ( )·
cos(
) )·cos(
( )·
(
) ( )·
( ) )·cos(
cos(
)·
cos(
) ( )·
( ) )·cos(
cos(
)) ( cos(
z sen y x sen z y sen x sen z sen y sen x z
y x
z sen y z
y sen x sen
z sen y sen z y x
z y sen x sen z y x
z y x
−
−
−
=
= +
−
−
−
= +
− +
= + +
b) ( )
)
·cos(
) 4 )·cos(
(
) ( )·cos ( 4 )
·cos(
) )·cos(
(
· 2 ) )·cos(
cos 1 (
) 2 (
2
2 2
2
2 2
2
