Trigonometria 1
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(2) MATEMATICAS 1º Bachillerato. 1. Ángulos 1.1. Ángulo sexagesimal 1.2. Radianes 2. Razones trigonométricas 2.1. Razones trigonométricas de 30◦ ,45◦ y 60◦ • Razones de 45o • Razones de 30o y 60o 2.2. Fórmula fundamental de trigonometrı́a 3. Ampliación de las razones trigonométricas 3.1. Razones de 0o , 90o , 180o y 270o 3.2. Razones de ángulos complementarios 3.3. Reducción de razones al 1o cuadrante • Para ángulos suplementarios • Para ángulos que se diferencian en 1800 (π) • Para ángulos opuestos 3.4. Resumen 4. Identidades trigonométricas básicas Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. Tabla de Contenido. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(3) Sección 1: Ángulos. 3. r=A+lu. 1. Ángulos. El punto O se llama el vértice de ∠AOB. La orientación de la flecha curva se toma positiva cuando el giro es contrario a las agujas del reloj. El giro en sentido del reloj se considera como ángulo negativo.. A. d. B. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. α 0. A. 0. A −α. B. Trigonometrı́a I. Los ángulos se forman siempre que dos segmentos se unen. Los dos segmentos OA y OB de la figura, que se unen en el punto O, determinan el ángulo ∠AOB. La flecha curva en esta figura sugiere que el ángulo se mide desde segmento OA, el lado inicial del ángulo, al lado final OB.. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(4) Sección 1: Ángulos. 4. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 1.1. Ángulo sexagesimal. A. Se necesita dar una medida a los ángulos. Desde la época de los babilonios se toma una revolución completa como 360◦ grados sexagesimales.. d B s=B+mv. CIENCIAS. 90o. 180o. 270o. 360o. Quedando dividida una revolución completa en cuatro cuadrantes de 90◦ . Cada grado es igual a 600 minutos y cada minuto es igual a 6000 segundos. 1◦ 10. = 600 minutos = 6000 segundos. Ejemplo 1.1. Expresar en grados minutos y segundos 34,2577o . Solución: Tenemos 34◦ , con 0,2577◦ × 60 = 15,4620 y 0,4630 × 60 = 27,46200 ◦ ◦ 0 luego 34,2577 ' 34 , 15 2700. . Trigonometrı́a I. MaTEX. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(5) 5. r=A+lu. Ejemplo 1.2. Expresar en grados 80◦ 120 3000 . Solución: Se convierten los minutos y los segundos a grados 30 12 + = 80, 20833◦ 80 + 60 3600. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Ejemplo 1.3. Expresar en grados 1200 minutos. Solución: Se convierten los minutos a grados 1200 = 2◦ 60 Ejemplo 1.4. Expresar en grados , minutos y segundos 60,5◦ . Solución: Tenemos 60◦ , con 0,5◦ × 60 = 300 luego 60,5◦ = 60◦ 300 000. MATEMATICAS 1º Bachillerato. . MaTEX Trigonometrı́a I. Sección 1: Ángulos. 00. Ejemplo 1.5. Expresar en minutos 120 segundos. Solución: Se convierten los segundos a minutos 12000 = 20 60 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(6) Sección 1: Ángulos. 6. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 1.2. Radianes. A. arco. grados sex.. radianes. 2πr. 360◦. 2π. r. 180◦ π. 1. 2πr 360. 1◦. π 180. r. 1 radián ◦. 1. radian 0. = =. 180 grados π π radianes 180. r. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. Se define radián como el ángulo con centro en O que abarca un radio. Como un ángulo de 360◦ abarca un arco de circunferencia de 2πr, la tabla muestra la equivalencia entre arcos, grados sexagesimales y radianes. Arco = ángulo × radio. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(7) 7. r=A+lu. Ejemplo 1.6. Expresar en radianes los grados 90◦ , 180◦ , 270◦ , 360◦ . π Solución: Como 1◦ ≡ , 180 π π π = 180◦ = 180◦ =π 90◦ = 90◦ 180 2 180 π 3π π 270◦ = 270◦ = 360o =360◦ = 2π 180 2 180. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Ejemplo 1.7. Expresar en grados los radianes Solución: Como π ≡ 180◦ , π 180 = = 60◦ 3 3 3π 3 180 = = 135◦ 4 4. π 2π 3π 5π , , , . 3 3 4 6. 2π 2 180 = = 120◦ 3 3 5π 5 180 = = 150◦ 6 3 . Ejercicio 1. Expresar en grados los siguientes radianes: π 2π 3π a) b) c) 4 3 2. d). 3π 4. Ejercicio 2. Expresar en radianes los siguientes ángulos en grados: a) 30◦ b) 45◦ c) 120◦ d ) 330◦. MATEMATICAS 1º Bachillerato. MaTEX Trigonometrı́a I. Sección 1: Ángulos. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(8) Sección 2: Razones trigonométricas. 8. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 2. Razones trigonométricas. A. B cateto opuesto AB y sen α = = = hipotenusa OB z z y cateto contiguo 0A x cos α = = = hipotenusa OB z α cateto opuesto AB y x 0 A tan α = = = cateto contiguo OA x A partir de ellas se definen las inversas: cosecante, secante y cotangente: 1 z 1 z 1 x cosec α = = sec α = = cot α = = sen α y cos α x tan α y Ejercicio 3. Hallar las razones del ángulo α en el triángulo. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. En un triángulo rectángulo de catetos x, y e hipotenusa z se definen las razones trigonométricas del ángulo α, seno, coseno y tangente como:. B 5. 3. α 0. 4. A. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(9) Sección 2: Razones trigonométricas. 9. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 2.1. Razones trigonométricas de 30◦ ,45◦ y 60◦. A. • Razones de 45o. d. Para obtener las razones de 45◦ construimos un triángulo rectángulo ABC de catetos iguales. B. e hipotenusa BC =. Los ángulos son b = 90o A. 12. +. 12. √. =. 2. C. 2. 45o 1. CIENCIAS. MaTEX. 1. Trigonometrı́a I. √. AB = AC = 1 p. B s=B+mv. A. b=C b = 45o B. Se tiene ası́, que o. sen 45. cos 45o tan 45o. √ 1 2 = √ = 2 2 √ 1 2 = √ = 2 2 = 1. (1) JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(10) Sección 2: Razones trigonométricas. 10. r=A+lu. • Razones de 30o y 60o. A. d. C. B s=B+mv. CIENCIAS. o. 30. 1. √. MaTEX. 1. 3 2. 60o. A. 1 2. H. tan 30o =. AH 1 =√ CH 3. tan 60o =. √ CH = 3 AH. B. Trigonometrı́a I. Para obtener las razones de 30o y 60o partimos de un triángulo equilátero ABC de lado AB = AC = BC = 1 Al trazar la altura CH se obtiene el triángulo rectángulo AHC de lados √ 3 1 AC = 1 CH = AH = 2 2 b = 60o , C b = 30o . Se tiene con los ángulos A ası́, que √ AH 1 CH 3 o o sen 30 = = cos 30 = = AC 2 AC 2 Análogamente √ CH 3 AH 1 o sen 60 = = cos 60o = = AC 2 AC 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(11) Sección 2: Razones trigonométricas. 11. Es conveniente aprenderse las razones trigonométricas de 30o ,45o y 60o . Por ello, las resumimos en la siguiente tabla para memorizarlas.. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. 45o √ 2 2 √ 2 2. 60o √ 3 2 1 2 √ 3. 1 2 √ 3 cos 2 √ 3 tan 1 3 Para las razones cosec α, sec α y cot α, simplemente basta hacer los inversos. A continuación se proponen dos test para comprobar si el alumno las ha memorizado. sen. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. 30o. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(12) Sección 2: Razones trigonométricas. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. (d). √. 3. B s=B+mv. CIENCIAS. (d). (d). (d). (d). (d). √. √. √. √. √. 3. 3. 3. 3. 3. MaTEX Trigonometrı́a I. Inicio del Test Indicar el valor de las razones siguientes: 1. El valor de sen 30o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 2 2 2 2. El valor de cos 30o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 2 2 2 3. El valor de tan 30o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 3 2 2 4. El valor de sen 60o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 2 2 2 5. El valor de cos 60o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 2 2 2 6. El valor de tan 60o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 2 2 2 Final del Test Puntos:. 12. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(13) Sección 2: Razones trigonométricas. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. (d). √. 3. B s=B+mv. CIENCIAS. (d). (d). (d). (d). √. √. √. √. 3. 3. 3. 3. 2 (d) √ 3. MaTEX Trigonometrı́a I. Inicio del Test Indicar el valor de las razones siguientes: 1. El valor de tan 60o es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 2 2 2 2. El valor de tan 45o es: √ 3 1 (a) (b) (c) 1 2 2 o 3. El valor de sen 45 es: √ √ 3 1 2 (a) (b) (c) 3 2 2 4. El valor de sec 60o es: √ 1 2 (a) 2 (b) (c) 2 2 5. El valor de cosec 30o es: √ √ 3 2 (a) (b) 2 (c) 2 2 6. El valor de sec 30o es: √ √ 3 2 (a) (b) 2 (c) 2 2 Final del Test Puntos:. 13. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(14) Sección 2: Razones trigonométricas. 14. r=A+lu. 2.2. Fórmula fundamental de trigonometrı́a. A. A partir de un triángulo rectángulo de catetos x, y e hipotenusa z, el teorema de Pitágoras y la definición dada de las razones trigonométricas del ángulo α, se obtiene la fórmula fundamental de la trigonometrı́a. B z x. A. y x teniendo en cuenta que sen α = y que cos α = , sustituyendo se obtiene z z sen2 α + cos2 α = 1. (2). Dividiendo ambos miembros por cos2 α se obtiene otra relación 1 + tan2 α = sec2 α. CIENCIAS. MaTEX. y. α 0. d B s=B+mv. Trigonometrı́a I. x2 + y 2 = z 2 Dividiendo por z 2 se tiene x 2 y 2 + =1 z z. MATEMATICAS 1º Bachillerato. (3) JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(15) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 15. r=A+lu. 3. Ampliación de las razones trigonométricas. A. Si comparas la circunferencia de centro O y radio 1 de ecuación 2. 2. x +y =1. 2. d. 2. B s=B+mv. cos α + sen α = 1. CIENCIAS. se ve que todo punto P (x, y) de la circunferencia se puede escribir como (cos α, sen α) para algún ángulo α. II y. I. (cosβ, sen β). (cosα, sen α) β. Al dar una revolución completa se recorren todos los puntos de la circunferencia unidad.. MaTEX. α x. 0 γ θ. (cosθ, senθ). (cosγ, sen γ) III. IV. De esta forma definimos las razones para los ángulos que no son agudos.. Trigonometrı́a I. Los ángulos se miden desde el eje Ox en sentido contrario a las agujas del reloj.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(16) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 16. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. II y. I d B s=B+mv. β sen α. CIENCIAS. x. MaTEX. α 0. 0 < α < π =⇒ sen α > 0. III. IV. II y. I β. El seno del ángulo que está en los cuadrantes III y IV , al estar en la parte negativa del eje Oy es negativo. Es decir si. α x. 0. π < α < 2π =⇒ sen α < 0. Trigonometrı́a I. El seno de los ángulos que están en los cuadrantes I y II, al estar en la parte positiva del eje Oy es positivo. Es decir si. sen β. sen β sen α III. IV. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(17) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 17. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. II y. I d. cos α. β. CIENCIAS. α x. 0. α ∈ I, IV =⇒ cos α > 0. cos β III. IV. II y cos α. El coseno del ángulo que está en los cuadrantes II y III, al estar en la parte negativa del eje Ox es negativo. Es decir si. I. α. β. x. 0. MaTEX Trigonometrı́a I. El coseno del ángulo que está en los cuadrantes i y iv, al estar en la parte positiva del eje Ox es positivo. Es decir si. B s=B+mv. α ∈ II, III =⇒ cos α < 0 cos β III. IV. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(18) Inicio del Test Indicar el signo de las razones en los cuadrantes: 1. El signo del seno en el II cuadrante es: (a) positivo (b) negativo 2. El signo del seno en el III cuadrante es: (a) positivo (b) negativo 3. El signo del coseno en el II cuadrante es: (a) positivo (b) negativo 4. El signo del coseno en el IV cuadrante es: (a) positivo (b) negativo 5. El signo de la tangente en el II cuadrante es: (a) positivo Final del Test Puntos:. (b) negativo. 18. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(19) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 19. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3.1. Razones de 0o , 90o , 180o y 270o. A. A medida que nos desplazamos por el circulo unidad, se obtienen las razones:. d B s=B+mv. CIENCIAS. 0. 90. sen. 0. cos. 1. ◦. ◦. ◦. 180. 270. 1. 0. −1. 0. −1. 0. y. 0. @. 0. tanα. senα α. π 0. tan. π 2. cosα. x. @. 3 π2. El sı́mbolo @ significa que no está definida o no existe. Para las razones cosec α, sec α y cot α, simplemente basta hacer los inversos. A continuación se proponen dos test para comprobar si el alumno las ha memorizado.. MaTEX Trigonometrı́a I. ◦. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(20) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 20. r=A+lu. Inicio del Test Indicar el valor de las razones siguientes: 1. El valor de sen 180o es:. A. d. (c) −1. (a) 0 (b) 1 3. El valor de tan 180o es:. (c) −1. (d) @. (a) 0 (b) 1 4. El valor de cos 270o es:. (c) −1. (d) @. (a) 0 (b) 1 5. El valor de tan 270o es:. (c) −1. (d) @. (a) 0 (b) 1 o 6. El valor de cos 90 es:. (c) −1. (d) @. (c) −1. (d) @. Final del Test Puntos:. (b) 1. (d) @. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. (a) 0 (b) 1 2. El valor de cos 180o es:. (a) 0. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(21) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 21. r=A+lu. 3.2. Razones de ángulos complementarios. A. d. J. senα. 0 π − α) = cos α 2 π cos( − α) = sen α 2 π tan( − α) = cot α 2 sen(. cosec(. π 2. −α. CIENCIAS. α tanα. cosα. I. π − α) = sec α 2. π − α) = cosec α 2 π cot( − α) = tan α 2. sec(. B s=B+mv. (4). MaTEX Trigonometrı́a I. En el cı́rculo unidad, de la figura se representa un ángulo α ası́ como su π complementario − α. 2 Al ser los ángulos complementarios se observa que el seno de uno de ellos es el coseno del otro y recı́procamente, por ello:. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(22) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 22. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Las razones de ángulos complementarios, se ven fácilmente en un triángulo rectángulo 4CAB , ya que para los ángulos agudos se tiene π α + β = 90◦ = 2 De la definición de las razones se comprueban las relaciones anteriores con π β = −α 2. B d B s=B+mv. CIENCIAS. c a b sen β = a. b a c cos β = a. cos α =. c. α C. sen α =. β. b c b b tan β = c tan α =. A. MaTEX Trigonometrı́a I. a. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(23) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 23. r=A+lu. 3.3. Reducción de razones al 1o cuadrante. A. • Para ángulos suplementarios. CIENCIAS. J π−α. −cos(α). sen(α). 0. tan(α). MaTEX. α. cos(α) I. −tan(α). sen(π − α) = sen α. cosec(π − α) = cosec α. cos(π − α) = − cos α. sec(π − α) = − sec α. tan(π − α) = − tan α. cot(π − α) = − cot α. (5). Trigonometrı́a I. Sobre el cı́rculo unidad, en la figura se representa el ángulo α ası́ como su suplementario π − α. Se observa que el seno de ambos coincide en valor y signo, y el coseno y la tangente son de signo contrario. d B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(24) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 24. r=A+lu. • Para ángulos que se diferencian en 1800 (π). d. J. tan(x). MaTEX. 0 cos(x) I. π+x. sen(π + α) = − sen α. CIENCIAS. x. sen(x). −cos(x). B s=B+mv. −sen(x). cosec(π − α) = − cosec α. cos(π + α) = − cos α. sec(π − α) = − sec α. tan(π + α) = tan α. cot(π − α) = cot α. (6). Trigonometrı́a I. Sobre el cı́rculo unidad, en la figura se representa el ángulo α ası́ como el ángulo π + α. Se observa que el seno y el coseno cambian de signo y la tangente lo mantiene.. A. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(25) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 25. r=A+lu. • Para ángulos opuestos. d B s=B+mv. J. CIENCIAS. sen(x). x tan(x). MaTEX. 0 cos(x) −sen(x). sen(−α) = − sen α. cosec(−α) = − cosec α. cos(−α) = cos α. sec(−α) = sec α. tan(−α) = − tan α. cot(−α) = − cot α. I. −x −tan(x). (7). Trigonometrı́a I. Sobre el cı́rculo unidad, en la figura se representa el ángulo α ası́ como su ángulo opuesto 2 π − α = −α. Se observa que el coseno de ambos coincide en valor y signo, y el seno y la tangente son de signo contrario.. A. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(26) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 26. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3.4. Resumen. A. π 3π Las razones de los ángulos en rojo en función de o , se relacionan 2 2 con las razones de α de la siguiente forma. d B s=B+mv. CIENCIAS. − α) = cos α. π 2. +α. π 2. + α) = cos α. MaTEX. −α α. senα − α) = − cos α + α) = − cos α. cosα x. 0. − α) = sen α + α) = − sen α − α) = − sen α. 3π 2. −α. 3π 2. +α. Trigonometrı́a I. π 2 π sen( 2 3π sen( 2 3π sen( 2 π cos( 2 π cos( 2 3π cos( 2 3π cos( 2 sen(. y. + α) = sen α. cambian el seno por el coseno y recı́procamente. El signo es el del cuadrante.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(27) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 27. Las razones de los ángulos en rojo en función de π o 2 π, se relacionan con las razones de α de la siguiente forma. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. y. CIENCIAS. π−α. sen α. 0. π+α. α. cos α x. 2π − α. Ahora, las razones se conservan. El signo es el del cuadrante.. MaTEX Trigonometrı́a I. sen(π − α) = sen α sen(π + α) = − sen α sen(2 π − α) = − sen α cos(π − α) = − cos α cos(π + α) = − cos α cos(2 π − α) = cos α. B s=B+mv. Ejercicio 4. Calcular las siguientes razones trigonométricas: (a) sen 120◦. (b) cos 135◦. (c) tan 210◦. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(28) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 28. Ejemplo 3.1. Aplicamos la regla anterior para reducir las siguientes razones π 3π trigonométricas en función de , , π o 2π. 2 2 Solución:. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. =. cos α. C. cambia y sen I cuadrante. >0. =. cos α. C. cambia y sen II cuadrante. >0. = − sen α. C. cambia y cos III cuadrante. <0. cos(π + α). =. − cos α. C. se conserva y cos III cuadrante. <0. sen(π + α). = − sen α. C. se conserva y sen III cuadrante. <0. tan(π + α) = 3π tan( − α) = 2. tan α. C. se conserva y tan III cuadrante. >0. cot α. C. cambia y tan III cuadrante. >0. cos(2π − α). cos α. C. se conserva y cos IV cuadrante. >0. =. MaTEX Trigonometrı́a I. π sen( − α) 2 π sen( + α) 2 3π cos( − α) 2. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(29) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 29. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Inicio del Test Indicar el valor de las razones siguientes: π 1. El valor de sen( − α) es: 2. A. d B s=B+mv. (b) − sen α π 2. El valor de cos( + α) es: 2. (c) cos α. (b) − sen α. (c) cos α. (d) − cos α. (c) cos α. (d) − cos α. (c) cos α. (d) − cos α. (c) cos α. (d) − cos α. (a) sen α. (d) − cos α. MaTEX. 3. El valor de sen(π − α) es: (a) sen α. (b) − sen α. 4. El valor de cos(π − α) es: (a) sen α. (b) − sen α. 5. El valor de cos(π + α) es: (a) sen α. (b) − sen α. CIENCIAS. Trigonometrı́a I. (a) sen α. Final del Test Puntos: JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(30) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 30. r=A+lu. Inicio del Test Indicar el valor de las razones siguientes: 3π 1. El valor de cos( − α) es: 2. A. d B s=B+mv. (b) − sen α 3π 2. El valor de sen( + α) es: 2. (c) cos α. (b) − sen α. (c) cos α. (d) − cos α. (c) cot α. (d) − cot α. (b) − tan α 3π 5. El valor de tan( − α) es: 2. (c) cot α. (d) − cot α. (b) − tan α. (c) cot α. (d) − cot α. (a) sen α. (d) − cos α. MaTEX. 3. El valor de tan(π − α) es: (a) tan α. (b) − tan α. 4. El valor de tan(π + α) es: (a) tan α. (a) tan α Final del Test Puntos:. CIENCIAS. Trigonometrı́a I. (a) sen α. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(31) Sección 3: Ampliación de las razones trigonométricas. 31. r=A+lu. Ejemplo 3.2. Reducir al primer cuadrante las razones sen 150◦. cos 240◦. cos 100◦. tan 300◦. MATEMATICAS 1º Bachillerato A. tan 120◦. d B s=B+mv. √. CIENCIAS. 3 sen 150 = sen(180 − 30 ) = sen 30 = 2 ◦. ◦. ◦. ◦. cos 240◦ = cos(180◦ + 60◦ ) = − cos 60◦ = −. MaTEX. 1 2. cos 100◦ = cos(90◦ + 10◦ ) = − sen 10◦. √ tan 300◦ = tan(360◦ − 60◦ ) = − tan 60◦ = − 3 √ tan 120◦ = tan(90◦ + 30◦ ) = − cot 30◦ = − 3 Ejercicio 5. Reducir al primer cuadrante las razones: a) sec 225◦ b) cos 300◦ c) sen 240◦ Ejercicio 6. Reducir al primer cuadrante las razones: a) sen 1500◦ b) cos 2745◦ c) tan 2010◦ Ejercicio 7. Reducir al primer cuadrante las razones: 61 π 37 π 7π a) tan b) cos c) tan(− ) 3 6 3. Trigonometrı́a I. Solución:. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(32) Sección 4: Identidades trigonométricas básicas. 32. 4. Identidades trigonométricas básicas. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. A partir de la identidad fundamental 2. 2. sen α + cos α = 1. d B s=B+mv. CIENCIAS. 3 Ejemplo 4.1. Si sen α = y α está en el segundo cuadrante, calcula las 7 demás razones trigonométricas de α Solución: Como √ 3 2 40 2 10 2 2 cos α = 1 − sen α = 1 − ( ) = cos α = ± 7 49 7 Al estar α en el segundo cuadrante √ √ sen α 3 10 2 10 cos α = − tan α = =− 7 cos α 20 Ejemplo 4.2. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto 3 cuadrante si cos α = 5 Solución: Como 3 16 4 sen2 α = 1 − cos2 α = 1 − ( )2 = sen α = ± 5 25 5. MaTEX Trigonometrı́a I. se observa que conocido el seno o el coseno de un ángulo podemos hallar las demás razones trigonométricas.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(33) Sección 4: Identidades trigonométricas básicas. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. tan α =. sen α 4 =− cos α 3. d. Ahora intenta demostrar con el siguiente ejercicio otra identidad importante Ejercicio 8. A partir de la fórmula fundamental, demuestra la siguiente identidad tan2 α + 1 = sec2 α (Divide por cos2 α). Ejemplo 4.3. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del tercer 4 cuadrante si tan α = 3 25 5 4 2 Solución: sec α = 1 + tan2 α = 1 + ( )2 = sec α = ± 3 9 3 Al estar α en el tercer cuadrante 5 3 sec α = − cos α = − 3 5 4 sen α = tan α · cos α = − 5 . B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. Al estar α en el cuarto cuadrante 4 sen α = − 5. 33. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(34) 34. Ejercicio 9. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del segundo 3 cuadrante si cot α = − 4 Ejercicio 10. Calcula √ las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante si tan α = − 2 Ejercicio 11. Simplifica las expresiones: cos(π + α) − sen( π2 − α) cos2 α b) a) 1 + sen α sen( 3π 2 + α) + cos(π − α) Ejercicio 12. Simplifica las expresiones: a) sen4 α + sen2 α cos2 α. b). sen2 α 1 − cos α. Ejercicio 13. Simplifica las expresiones: sen(π + α) tan( π2 + α) sen(π + α) cos(π − α) a) b) π cot(π + α) cos( 3π 2 + α) sen( 2 + α). MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. Sección 4: Identidades trigonométricas básicas. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(35) Sección 4: Identidades trigonométricas básicas. 35. Ejercicio 14. Demostrar las siguientes identidades: sec2 α cosec α (a) (1 − sen2 α) cosec2 α = cot α cos α cos4 α − sen4 α 1 − tan2 α = sen α cos α tan α. MaTEX. 1 1 + cos2 α tan α = sen α cos α 2 − sen2 α. (e) (1 + tan α) (1 + cot α) =. (sen α + cos α)2 sen α cos α. Test. La fórmula fundamental sen2 α + cos2 α = 1 se puede simplificar y obtenemos sen α + cos α = 1 (a) Verdadero. d B s=B+mv. CIENCIAS. (c) cot4 α cos2 α − cot2 α = − cos2 α (d) (1 − sen2 α). r=A+lu A. (b) Falso. Trigonometrı́a I. (b). MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(36) Ejercicio 15. Demostrar las siguientes identidades: cosec α (a) tan α + cot α = cos α (b). sec α = sen α cot α + tan α. (c). 1 − cos α sen α = 1 + cos α sen α. (d). 1 − sen α cos α = 1 + sen α cos α. (e) cos4 α − sen4 α = 1 − 2 sen2 α (f). 1 − 2 sen2 α = sen α + cos α cos α − sen α. 36. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Trigonometrı́a I. Sección 4: Identidades trigonométricas básicas. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(37) Soluciones a los Ejercicios. 37. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Soluciones a los Ejercicios. A. Ejercicio 1. Como π ≡ 180◦ ,. d B s=B+mv. π 180 o = = 45◦ 4 4. CIENCIAS. 3π 3 × 180 o = = 270◦ 2 2 3π 3 × 180 o = = 135◦ 4 4 Ejercicio 1. Trigonometrı́a I. MaTEX. 2π 2 × 180 o = = 120◦ 3 3. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(38) Soluciones a los Ejercicios. π , 180. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. 30◦. π π = radianes ◦ 180 6. 45◦. π π = radianes ◦ 180 4. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. π 2π 120 radianes = ◦ 180 3 ◦. 330◦. π 11 π radianes = 180◦ 6 Ejercicio 2. Trigonometrı́a I. Ejercicio 2. Como 1◦ ≡. 38. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(39) Soluciones a los Ejercicios. 39. r=A+lu. Ejercicio 3.. A. B. sen α = =. 5. CIENCIAS. 3. α 0. 4. d B s=B+mv. A. Ejercicio 3. MaTEX Trigonometrı́a I. 3 AB = OB 5 4 0A = cos α = = OB 5 AB 3 tan α = = = OA 4. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(40) Soluciones a los Ejercicios. 40. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 4(a). A. sen 120◦ = sen(180◦ − 60) √ 3 = sen 60◦ = 2. J. 120o. (120◦ ∈ 2o cuadrante). d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. 60o. −cos(α). 0. cos(α). I . −tan(α). Trigonometrı́a I. sen(α). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(41) Soluciones a los Ejercicios. 41. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 4(b). A. cos 135◦ = cos(180◦ − 45) √ = − cos 45◦ = −. (135◦ ∈ 2o cuadrante). d B s=B+mv. 2 2. CIENCIAS. MaTEX. J o. o. 135. 45. −cos(α). 0. cos(α) I . Trigonometrı́a I. sen(α). −tan(α) JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(42) Soluciones a los Ejercicios. 42. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 4(c). A. tan 210◦ = tan(180◦ + 30) √ 3 = tan 30◦ = 3. (210◦ ∈ 3o cuadrante). d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. J. −cos30. Trigonometrı́a I. tan(30). sen30 0. cos30I. 210o. −sen30. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(43) Soluciones a los Ejercicios. 43. r=A+lu. Ejercicio 5. Como π ≡ 180◦ , a). A. d. (225◦ ∈ 3o cuadrante). CIENCIAS. 2 = − sec 45◦ = − √ 2. MaTEX. b) cos 330◦ = cos(360◦ − 30) √ 3 = cos 30◦ = 2. (330◦ ∈ 4o cuadrante). c) sen 240◦ = sen(180◦ + 60) √. B s=B+mv. (240◦ ∈ 3o cuadrante). 3 2 Ejercicio 5. Trigonometrı́a I. sec 225◦ = sec(180◦ + 45). = − sen 60◦ = −. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(44) Soluciones a los Ejercicios. 44. Ejercicio 6. a) Como 1500◦ es mayor que 360◦ vemos cuantas vuelta completas abarca. Como 1500 : 360 ' 4,166 supera las 4 vueltas y se tiene que 1500 − 4 × 360 = 1500 − 1440 = 60◦. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. √. 2745 − 7 × 360 = 2745 − 2520 = 225◦ cos 2745◦ = cos 225◦ = cos(180 + 45) (225◦ ∈ 3o cuadrante) √ 2 = − cos 45◦ = − 2 c) Como 2010◦ mayor que 360◦ reducimos al primer giro. Como 2010 : 360 ' 5,58, se tiene que 2010 − 5 × 360 = 2010 − 1800 = 210◦ tan 2010◦ = tan 210◦ = tan(180 + 30) √ 3 ◦ = tan 30 = 3. (210◦ ∈ 3o cuadrante). Ejercicio 6. MaTEX Trigonometrı́a I. 3 2 b) Como 2745◦ mayor que 360◦ vemos cuantas vuelta completas abarca. Como 2745 : 360 = 7,625 supera las 7 vueltas y se tiene que sen 1500◦ = sen(4 × 360 + 60)= sen 60◦ =. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(45) Soluciones a los Ejercicios. 45. Ejercicio 7. Como π ≡ 180◦ , 61 π a) Como = 3660◦ mayor que 360◦ reducimos al primer giro. Como 3 3660 : 360 ' 10,16, se tiene que. d B s=B+mv. 1110 − 3 × 360 = 1110 − 1080 = 30◦ √ 3 ◦ ◦ cos 1110 = cos 30 = 2 7π = 420◦ mayor que 360◦ reducimos al primer giro. Como 3 420 − 1 × 360 = 60◦ (−420◦ ∈ 4o cuadrante). Ejercicio 7. Trigonometrı́a I. MaTEX. 37 π b) Como = 1110◦ mayor que 360◦ reducimos al primer giro. Como 6 1110 : 360 ' 3,08, se tiene que. cos(−420◦ ) = cos(360 + 60) 1 = cos 60◦ = 2. r=A+lu A. CIENCIAS. 3660 − 10 × 360 = 3660 − 3600 = 60◦ √ tan 3660◦ = tan 60◦ = 3. c) Como. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(46) Soluciones a los Ejercicios. 46. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 8. Como. A. 2. 2. sen α + cos α = 1 d. 2. Dividiendo por cos α. B s=B+mv. 1 sen2 α cos2 α + = cos2 α cos2 α cos2 α y simplificando se obtiene 2. CIENCIAS. MaTEX. 2. Ejercicio 8. Trigonometrı́a I. tan α + 1 = sec α. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(47) 47. 4 3 =⇒ tan α = − Como 4 3 4 2 25 5 2 2 sec α = 1 + tan α = 1 + ( ) = sec α = ± 3 9 3 Al estar α en el segundo cuadrante 5 3 sec α = − cos α = − 3 5 4 sen α = tan α · cos α = 5. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 9. Como cot α = −. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Ejercicio 9. Trigonometrı́a I. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(48) Soluciones a los Ejercicios. 48. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 10. Como. A. √ sec α = ± 3. d B s=B+mv. Al estar α en el cuarto cuadrante √ sec α = 3. CIENCIAS. 1 cos α = √ 3 √ 2 sen α = tan α · cos α = − √ 3. MaTEX Ejercicio 10. Trigonometrı́a I. √ sec2 α = 1 + tan2 α = 1 + ( 2)2 = 3. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(49) Soluciones a los Ejercicios. 49. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 11. a). A. d. cos2 α 1 − sen2 α = 1 + sen α 1 + sen α (1 + sen α)(1 − sen α) = 1 + sen α =1 − sen α. for. fundamental dif. de cuadrados simplif.. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. cos(π + α) − sen( π2 − α) − cos α − cos α = − cos α − cos α sen( 3π 2 + α) + cos(π − α) =1 Ejercicio 11. Trigonometrı́a I. b). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(50) Soluciones a los Ejercicios. 50. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 12. a). A. d. sen4 α + sen2 α cos2 α = sen2 α(sen2 α + cos2 α) = sen2 α. factor común for. fundamental. CIENCIAS. MaTEX. b) for fundamental dif. cuadrados simplificar. Ejercicio 12. Trigonometrı́a I. 1 − cos2 α sen2 α = 1 − cos α 1 − cos α (1 − cos α)(1 + cos α) = 1 − cos α =1 + cos α. B s=B+mv. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(51) Soluciones a los Ejercicios. 51. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 13. a). A. d. sen(π + α) tan( π2 + α) (− sen α) (− cot α) = cot(π + α) cot α = sen α. B s=B+mv. CIENCIAS. − sen α (− cos α) sen(π + α) cos(π − α) = π sen α cos α + α) sen( + α) cos( 3π 2 2 =1. Ejercicio 13. Trigonometrı́a I. MaTEX. b). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(52) Soluciones a los Ejercicios. 52. r=A+lu. Ejercicio 14(a). A. cosec α cos α cosec α 2 cosec α = cos α cosec α 2 cosec α = cos α cosec α 2 cosec α = cos α cosec α cosec α = cos α cos α cosec2 α =. d. for. fundamental. B s=B+mv. CIENCIAS. simplif.. cot α =. MaTEX. cos sen. . Trigonometrı́a I. sec2 α (1 − sen2 α) cot α sec2 α (cos2 α) cot α 1 cot α sen α cos α. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(53) Soluciones a los Ejercicios. 53. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 14(b). A. 1 − tan2 α tan α 1 − tan2 α = tan α 1 − tan2 α = tan α 1 − tan2 α = tan α. d. =. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. 1 − tan2 α 1 − tan2 α = tan α tan α . Trigonometrı́a I. cos4 α − sen4 α sen α cos α (cos2 α − sen2 α)(cos2 α − sen2 α) sen α cos α cos2 α − sen2 α sen α cos α 2 α 1 − sen cos2 α cos α sen α cos 2α. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(54) Soluciones a los Ejercicios. 54. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 14(c). A. cot4 α cos2 α − cot2 α = − cos2 α. d. cot2 α (cos2 α − 1) = − cos2 α. B s=B+mv. CIENCIAS. − cot2 α sen2 α = − cos2 α. MaTEX. cos2 α sen2 α = − cos2 α sen2 α − cos2 α = − cos2 α . Trigonometrı́a I. −. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(55) Soluciones a los Ejercicios. 55. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 14(d). A. 1 1 + cos2 α tan α = sen α cos α 2 − sen2 α 1 1 + cos2 α tan α = sen α cos2 α cos α 2 − sen2 α 1 + cos2 α cos α tan α = sen α 2 − sen2 α 1 + cos2 α sen α = sen α 2 − sen2 α 1 + (1 − sen2 α) sen α = sen α 2 − sen2 α sen α = sen α. d. (1 − sen2 α). B s=B+mv. CIENCIAS. . Trigonometrı́a I. MaTEX. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(56) Soluciones a los Ejercicios. 56. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 14(e). A. (sen α + cos α)2 sen α cos α cos α (sen α + cos α)2 sen α ) (1 + )= (1 + cos α sen α sen α cos α cos α + sen α sen α + cos α (sen α + cos α)2 ( )( )= cos α sen α sen α cos α (sen α + cos α)2 (sen α + cos α)2 = sen α cos α sen α cos α. d. (1 + tan α) (1 + cot α) =. B s=B+mv. CIENCIAS. . Trigonometrı́a I. MaTEX. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(57) Soluciones a los Ejercicios. 57. r=A+lu. Ejercicio 15(a). sen2 α + cos2 α cosec α = sen α · cos α cos α cosec α 1 = sen α · cos α cos α cosec α cosec α = cos α cos α. A. definición. d B s=B+mv. CIENCIAS. operamos. MaTEX. for. fundamental. definición. . Trigonometrı́a I. cosec α cos α sen α cos α cosec α + = cos α sen α cos α tan α + cot α =. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(58) Soluciones a los Ejercicios. 58. sec α = sen α(cot α + tan α) cos α sen α + sec α = sen α sen α cos α 2 cos α + sen2 α sec α = sen α sen α · cos α 1 sec α = sen α sen α · cos α sec α =. 1 cos α. r=A+lu A. operando. d B s=B+mv. definición. CIENCIAS. MaTEX. operando. for fundamental. simplicando. definición. . Trigonometrı́a I. Ejercicio 15(b) sec α = sen α cot α + tan α. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(59) Soluciones a los Ejercicios. 59. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 15(c). A. sen2 α =1 − cos2 α. d. operando. B s=B+mv. CIENCIAS. for. fundamental. sen2 α = sen2 α . MaTEX Trigonometrı́a I. 1 − cos α sen α = 1 + cos α sen α. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(60) Soluciones a los Ejercicios. 60. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 15(d). A. cos2 α =1 − sen2 α. d. operando. B s=B+mv. CIENCIAS. for. fundamental. cos2 α = cos2 α . MaTEX Trigonometrı́a I. 1 − sen α cos α = 1 + sen α cos α. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(61) Soluciones a los Ejercicios. 61. r=A+lu. Ejercicio 15(e). A. 2. 2. 2. 2. dif. cuadrados. (cos α − sen α)(cos α + sen α) =1 − 2 sen α. for. fundamental. cos2 α − sen2 α =1 − 2 sen2 α. definición. 1 − sen2 α − sen2 α =1 − 2 sen2 α. definición. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX . Trigonometrı́a I. cos4 α − sen4 α =1 − 2 sen2 α 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(62) Soluciones a los Ejercicios. 62. r=A+lu. Ejercicio 15(f ). A. 1 − 2 sen2 α = sen α + cos α cos α − sen α. B s=B+mv. 1 − 2 sen2 α = cos2 α − sen2 α 2. d. operando. 1 − 2 sen2 α =(cos α − sen α)(sen α + cos α). 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato. CIENCIAS. operando. MaTEX. for. fundamental. 2. . Trigonometrı́a I. 1 − 2 sen α =1 − sen − sen α. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(63) Soluciones a los Tests. 63. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Soluciones a los Tests. A. Solución al Test: Es falso pues p sen2 α + cos2 α 6= sen α + cos α. d B s=B+mv. CIENCIAS. p. 42 + 92 =. √. 25 = 5 6=. √. 42 +. √. MaTEX. 92 = 4 + 9 = 13 Final del Test. Trigonometrı́a I. basta ver que. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(64) MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Índice alfabético Ángulo, 3 radián, 6 sexagesimal, 4. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. Demostrar identidades, 35, 36. Trigonometrı́a I. Fórmula fundamental, 14 Identidades trigonométricas, 32 Razones trigonométricas, 8 ángulos opuestos, 25 ángulos suplementarios, 23 ampliación, 15 de 30o y 60o , 10 de 45o , 9 de ángulos complementarios, 21 reducción de cuadrante, 23 Simplificar expresiones, 34 64. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
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