Queda prohibida la reproducción total o parcial, por cualquier medio o para cualquier fin, sin la autorización escrita de su Autor o de la Editorial Universidad de Nariño. Si bien el texto no realiza un tratamiento formal de los fundamentos teóricos de los conceptos de cálculo, las definiciones se presentan de manera precisa y práctica; para que pueda ser consultado por estudiantes de programas que incluyan las matemáticas como parte de su formación troncal o disciplinar; también pueden ser consultados por estudiantes de artes, ciencias sociales y humanidades que deseen iniciarse en el estudio del cálculo diferencial. Capítulo 3: Límites y continuidad, trata los temas de límites, continuidad de funciones, límites infinitos y en el infinito, infinitesimales y asíntotas de una curva; temas que son fundamentales para el estudio del capítulo cuarto.
De cara a la producción del trabajo, los coautores realizaron sus aportes individuales por capítulo, así: los capítulos 2 y 4 fueron escritos por el profesor Oscar Fernando Soto Ágreda; Capítulos 1 y 3 del Profesor Segundo Javier Caicedo Zambrano.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
CLASES DE FUNCIONES
- Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
- Función constante
- Función inversa
- Función identidad
En este caso, 𝑓 no es una función, ya que para 𝑥 <– 6 tenemos que √𝑥 + 6 no es un número real, es un número imaginario; por lo tanto, estos valores de 𝑥 no tienen imagen real.
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
- Dominio y recorrido de una función real
- Función polinómica
- Función lineal
- Función cuadrática
- Función exponencial
- Función logaritmo
- Propiedades de los logaritmos
- Ecuación exponencial
- Funciones trigonométricas
- Dominio y recorrido
- Identidades trigonométricas
- Funciones trigonométricas inversas
La expresión algebraica de la función no cambia, ni su gráfica, pero es posible tener una función biyectiva. Para un número real positivo 𝑎, 𝑎 ≠ 1, la función 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥, es una función real; la función 𝐸 se llama función exponencial. La gráfica de la función exponencial 𝐸 intercepta el eje 𝑦 en el punto de coordenadas (0, 1) (ver Figura 1).
Dado que el dominio de la función logaritmo es ℝ+, NO existe logaritmo con números reales cero o negativos.
EJERCICIOS
INTRODUCCIÓN
EL PUNTO
- Noción de punto
- Distancia entre dos puntos
- División de un segmento en una razón k
- Pendiente determinada por dos puntos
- Segmentos paralelos
El teorema de Tales establece que los segmentos definidos por una secante a un conjunto de paralelas son proporcionales (ver Figura 4). Cada segmento en el plano ℝ2 tiene una inclinación con respecto al lado positivo del eje 𝑥 (ver Figura 5). Dados los puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2) se construye un triángulo rectángulo con el tercer vértice 𝑅(𝑥2, 𝑦1); 𝜃 es el ángulo de inclinación del segmento 𝑃𝑄 con relación al significado positivo del eje 𝑥 y constituye la Pendiente del segmento en cuestión, 𝑚 = 𝑇𝑎𝑛(𝜃); entonces,.
Un conjunto de 𝑛 puntos, tal que dos-dos tienen la misma pendiente, se llama colineal y está en la misma recta.
LA RECTA
- Definición
- Ecuación normal de la recta
- Distancia de un punto a una recta
- Ángulo entre dos rectas
- Posiciones relativas de dos rectas
La ecuación de una recta definida por dos puntos sugiere que un punto y una pendiente son suficientes. Al estudiar una línea recta como un lugar geométrico definido por dos puntos, llegamos a la ecuación. Esta ecuación determina la intersección de la recta con los ejes coordenados, a saber: 𝐴(𝑎, 0) y 𝐵(0, 𝑏).
Vale la pena señalar que la elección del signo del radical depende de la posición de la línea.
LA CIRCUNFERENCIA
- Definición
- Problemas relacionados con la circunferencia
- Tangente en un punto de la circunferencia
- Ecuación de la tangente a la circunferencia desde un punto exterior
Si tomamos la circunferencia 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑟2 y cada punto 𝑀(𝑥, 𝑦) de ella, el problema no pierde generalidad. Esto muestra que los segmentos PM y QM son perpendiculares al punto 𝑀; Por tanto, el triángulo PMQ es correcto. En cualquier curva, dado un punto 𝑇 de la curva, la recta perpendicular a la tangente en ese punto se llama recta normal.
LA PARÁBOLA
Definición
Las siguientes ecuaciones representan la misma parábola desplazada al punto 𝑉(𝑎, 𝑏) (ver Figura 19). Lado recto, definido como el segmento paralelo a la directriz cuyo punto medio es el foco y con extremos en la parábola: mide 4𝑝. De la misma forma se obtienen los elementos de una parábola con dirección paralela al eje de ordenadas.
Problemas relacionados con parábolas
LA ELIPSE
Definición
Algunos problemas relacionados con elipses
LA HIPÉRBOLA
Definición
El producto de las distancias desde cualquier punto de la hipérbola hasta las asíntotas es constante. De manera similar se determinan los elementos de una hipérbola cuyo eje real es paralelo al eje de las ordenadas.
Problemas relacionados con hipérbolas
COORDENADAS POLARES
Definición
El sistema consta de un punto 𝑂, llamado Polo, y una recta que pasa por ese punto, llamada Eje Polar. Las cantidades 𝑟 que indican la distancia de un punto 𝑃 al polo, y 𝜃 que es la amplitud del ángulo medido en radianes, formado por el eje polar y el segmento 𝑂𝑃, constituyen las coordenadas de 𝑃 en el sistema polar y escribe 𝑃( 𝑟, 𝜃) ; 𝑟 se llama Radio Vector y 𝜃 es el ángulo polar, ángulo vectorial o argumento principal de 𝑃 (ver Figura 23). El par (𝑟, 𝜃) está asociado únicamente con un punto en el plano; por lo tanto define un solo punto.
Conversión entre coordenadas polares y rectangulares
Por lo tanto, el punto P en coordenadas cartesianas corresponde a 𝑃 Determina las coordenadas polares del punto con coordenadas cartesianas 𝑃(3,4).
Trazado de curvas en el sistema polar
Por lo tanto, el punto P tiene en coordenadas polares lo siguiente: 𝑃(5, arctan(4 .. 5) Para dibujar adecuadamente la curva en coordenadas polares se sugiere analizar los valores de 𝑟, ya que solo se toman valores finitos La es Si es una curva cerrada, de lo contrario la curva es abierta. Tenga en cuenta que la ecuación no cambia si reemplazamos (𝑟, 𝜃) con (𝑟, 𝜋 − 𝜃), lo que significa que la curva es simétrica con respecto al eje 𝜃 = 𝜋.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
COORDENADAS POLARES
LÍMITES
Definición
Límites laterales
En consecuencia, el límite de una función en 𝑎 existe si los límites de los lados en 𝑎 existen y son iguales.
Álgebra de límites
En general, para calcular el límite de una función en un punto donde está definida, se reemplaza la variable por el valor en el que se quiere determinar el comportamiento de las imágenes de la función. En este caso queremos calcular el comportamiento de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2, cuando la variable 𝑥 tiende al valor 2. Si la función no está definida en un punto en el que no está definida, es necesario recurrir a operaciones algebraicas. . para transformar la función en un equivalente o se debe utilizar un tipo límite.
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Definición
Límite especial
Discontinuidad insalvable
LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO
Límites Infinitos
Límites en el infinito
Límites en el infinito de funciones racionales
INFINITÉSIMOS
Definición
Funciones equivalentes en la vecindad de un punto y principio de sustitución
Equivalencia de infinitésimos
LÍMITE DE FUNCIONES COMPUESTAS
LÍMITES QUE DEPENDEN DEL NÚMERO e
Calcular los límites de la forma 1∞ que dependen de 𝑒 requiere la técnica algebraica de capturar el "uno", la base de potencia, y ajustar el exponente. El primero requiere la implementación de una división o un reajuste de la base;
ASÍNTOTAS
LÍMITES DE FUNCIONES
INFINITÉSIMOS
LÍMITE DE FUNCIONES COMPUESTAS
LÍMITES QUE DEPENDEN DEL NÚMERO e
ASÍNTOTAS
Dominio de definición: dado que se trata de una función polinómica, el dominio de la función son los números reales. Gottfried Leibniz e Isaac Newton desarrollaron por separado el concepto de derivada de una función; el primero, lo hizo resolviendo el problema geométrico de calcular la tangente a una curva en un punto; y el segundo, lo hizo resolviendo un problema inmerso en el mundo de la física, al encontrar la velocidad instantánea de un cuerpo que se mueve a diferentes velocidades.
DETERMINACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA
REGLAS DE DERIVACIÓN
- Derivada de una suma
- Derivada de un producto
- Derivada de un cociente
- Derivada de la función exponencial
- Derivada de la función logaritmo
- Derivada de la función seno
- Derivada de la función coseno
- Derivada de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante
- Regla de la cadena
- Derivada de la función potencial de base variable
Las funciones trascendentales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas satisfacen el carácter continuo por la existencia de sus derivadas, y cerca de algunos valores obedecen a razones o razones de equivalencia que pueden usarse en el cálculo de límites especiales. Esto tiene un significado aritmético importante ya que, 𝑒𝑥− 1 ∼ 𝑥 en una vecindad de 𝑥 = 0, lo que nos permite escribir, por ejemplo, que,. Necesitamos aprovechar la regla de equivalencia: 𝑙𝑛(1 + 𝛼(𝑥)) ∼ 𝛼(𝑥) cuando 𝛼(𝑥) es un infinitesimal en la vecindad de un punto 𝑎.
En el trabajo académico y científico, es poco probable que aparezca una función expresada en su forma canónica simple; por ejemplo 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) o 𝑦 = 𝑒𝑥; más bien, aparecen como una combinación de ellas, como 𝑦 = 𝑒2𝑥−1 o 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑥2+ 1), llamadas funciones compuestas. El trabajo matemático requiere que se recurra a la sustitución de variables, con lo que el proceso de derivación se vuelve simple y comprensible. La función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥2+ 1) sugiere el cambio de la variable 𝑢 = 𝜋𝑥2 + 1, donde la variable 𝑢 tiene una dependencia cuadrática de la variable 𝑥.
Es decir, obtenemos la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 como el producto de la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑢 por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥. Una aplicación de la regla de la cadena es calcular la enésima derivada de cualquier función diferenciable.
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE BASE CONSTANTE
DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
APROXIMACIÓN DE FUNCIONES
Imágenes aproximadas de una función derivable
Raíces aproximadas de una función derivable
- Ejercicios
Con este procedimiento, la aproximación de la raíz cuadrada 𝑟 se puede hacer tan fina como se desee (ver Figura 40). El método demuestra la concordancia de la aproximación por uno de los dos valores iniciales que son los extremos del intervalo en el que se busca la raíz de 𝑟. De hecho, uno u otro se acerca más rápido a la raíz, dependiendo de cuál esté más cerca de ella desde el inicio de la iteración.
Se observa que la aproximación se ha fijado en torno al valor que se puede considerar como raíz de 𝑟 que se busca. Como en el caso anterior, los cambios en los valores son mínimos, por lo que la raíz aproximada buscada se puede considerar que es 𝑟.
APLICACIONES DE LA DERIVADA
- Razón de cambio
- Tangente a una curva en un punto
- Extremos relativos de una función
- La Regla de L’Hopital
Sustituimos las coordenadas del punto y el valor de la pendiente en la expresión de la recta tangente, con lo que se obtiene la ecuación de la recta solicitada (ver Figura 42):. La combinación de los conceptos de que una recta en el plano se describe mediante la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, que si 𝑚 = 0, la recta es paralela al eje de abscisas, y que si la recta es tangente a la curva 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥) en un momento determinado 𝑃(𝑥, 𝑦) del mismo, calculan el valor de la pendiente en 𝑚 = 𝑓′(𝑥), determinan el procedimiento para encontrar los puntos extremos (máximo y mínimo) de una función en un intervalo , ya que en estos puntos 𝑓 ′(𝑥) = 0. Para determinar los valores extremos de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), debemos encontrar los valores para los cuales 𝑓′(𝑥) = 0, raíces que determinan la abscisa de los puntos extremos; estos valores se sustituyen en la ecuación de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) con la que se obtienen sus respectivas ordenadas.
La Regla de L'Hopital, que debería llamarse Regla de Bernoulli, en honor a su creador, el matemático suizo John Bernoulli y cuya popularidad fue el célebre marqués francés L'Hopital, nos permite, a través de la derivada, calcular cualquier límite de lo indefinido. formas 0. convertir las expresiones indefinidas en funciones continuas. Por extensión y mediante álgebra y logaritmos, la indeterminación o ∞ − ∞ e incluso 1∞ se pueden transformar en expresiones de las formas 0. En ocasiones es factible recurrir a la combinación de estrategias, como el principio de sustitución o el misma regla de L'Hopital, como se indica a continuación.
FUNCIONES ALGEBRAICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
FUNCIONES COMPUESTAS
DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
La regla de L’Hopital
Profesor adscrito al Departamento de Matemáticas y Estadística, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Nariño.
