La Derivada Definición Ejemplos de derivadas usando la definición. Interpretación geométrica de la derivada.

SESIÓN

CONTENIDOS:

16

↘La Derivada

∼

Definición

∼

Ejemplos de derivadas usando la

definición.

∼

Interpretación geométrica de la

derivada.

Profesor: Víctor Manuel Reyes F.

Asignatura: Matemática Básica - Segundo Semestre 2010

OBJETIVO:

∼

Determina derivadas por definición.

∼

Usando derivadas, determina la ecuación de la

recta tangente y la recta normal a una curva en

cualquier punto, y en puntos específicos.

LA DERIVADA

Sea y = f (x) una función dada. La primera derivada de la función f

con respecto a la variable: x, que se escribe por: f '(x), se define mediante el siguiente límite, si este existe:

c x c f x f x f c x − − =lim_→ ( ) ( ) ) ( ' h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = →

Si en la definición de derivada, hacemos el cambio de variable

h = x − c

se sigue quehtiende a0cuandoxtiende acy obtenemos Fórmula para conocer la derivada en un punto determinado

Fórmula para conocer la derivada de la función

Interpretación Geométrica:

Seafuna función derivable enc. La siguiente figura nos muestra la gráfica de la función y de la recta (llamada secante) que pasa por los puntos(c, f(c))y(x, f(x))conx∈]a, b[.

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (c, f(c)) y

(x, f(x))es

c f x f( )− ( )

Ahora mantendremos fijo el punto (c, f(c)) y acercaremos x a c, la situación geométrica se muestra como sigue

Cuando x está suficientemente próximo de c la recta secante está muy próxima a lo que llamaremos recta tangente al gráfico defen el punto(c, f(c)).

De lo anterior tenemos la siguiente definición

De esta forma, geométricamente

Definición Sea f es una función derivable en c. Llamaremos recta tangente en c a la recta que pasa por el punto(c, f(c))con pendiente

f ’(c)es la pendiente de la recta tangente al gráfico def en el punto

Conociendo la derivada defency el punto(c, f(c))es posible usando la forma punto-pendiente establecer la ecuación de la recta tangente:

y – f(c) = f ’(c) (x – c)

Nota: La Diferenciabilidad implica la Continuidad: Si una curva tiene tangente en un punto, la curva no puede dar un salto. Sin embargo la continuidad no garantiza la derivabilidad

Ejemplo: Dada la función: f(x)= 3x+1obtener: a) La derivada de la función, es decir

h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = → h x h x x f h 1 3 1 ) ( 3 lim ) ( ' 0 + − + + = _→ ) 1 3 1 ) ( 3 ( ) 1 3 1 ) ( 3 )( 1 3 1 ) ( 3 ( lim ) ( ' 0 + + + + + + + + + − + + = → _{h x h x} x h x x h x x f h ) 1 3 1 ) ( 3 ( ) 1 3 ( 1 ) ( 3 lim ) ( ' 0 + + + + + − + + = _→ x h x h x h x x f h ) 1 3 1 ) ( 3 ( 3 lim ) ( ' 0 + + + + = → _{h x h x} h x f h 1 3 2 3 ) 1 3 1 ) ( 3 ( 3 lim ) ( ' 0 + + + + = + = → _{x h x x} x f h

b) El valor de la pendiente de la función en el punto: (1,f(1)), es decir, se debe de calcular: m(1)=f `(1) donde:

1 ) 1 ( ) ( lim ) 1 ( ' ) 1 ( 1 − − = = _→ x f x f f m x es decir: lim 3 1₁ 2 1 ) 1 ( ) ( lim 1 1 − − + = − − → → _x x x f x f x x ) 2 1 3 )( 1 ( ) 2 1 3 )( 2 1 3 ( lim 1 − + + + + − + = _→ x x x x x ) 2 1 3 )( 1 ( 4 1 3 lim 1 − + + − + = → _{x x} x x ) 2 1 3 )( 1 ( ) 1 ( 3 lim 1 − + + − = _→ x x x x 4 3 ) 2 1 3 ( 3 lim 1 + + = = _→ x x

Entonces la pendiente de la recta tangente a la función fen el punto

(1, f (1)) es m = 3/4

Sabiendo la pendiente y utilizando un punto de esta podemos conocer la ecuación de la recta tangente a la curva a través de la ecuación punto-pendiente.

Ejemplo: Dada la función: obtener la ecuación de la recta tangente en el punto de coordenadas:(1, f (1)).

Como: (1, f (1)) = (1, 2), y al calcular: m(1) = f `(1) se obtuvo: m =3/4, entonces la ecuación pedida es:

1 3 ) (x = x+ f ) 1 ( 4 3 2= − − x y 4 3 4 3 2= − − x y 4 5 4 3 − = x y

Ejemplo: Dada la función: obtener: x x x f − + = 2 5 3 ) (

a) La derivada de la función, es decir

h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 − + = _→ h x x h x h x x f h − + − − − + + = _→ 2 5 3 2 5 ) ( 3 lim ) ( ' 0

Por lo tanto sí: , entonces 2

) 2 ( 11 ) ( ' x x f − = h x h x x h x x h x x f h ) 2 )( 2 ( ) 5 3 )( 2 ( ) 2 )( 5 ) ( 3 ( lim ) ( ' 0 − − − + − − − − + + = → ) 2 )( 2 ( ) 5 3 )( 2 ( ) 2 )( 5 ) 3 3 ( lim ) ( ' 0 _{h x h x} x h x x h x x f h − − − + − − − − + + = → ) 2 )( 2 ( 11 lim ) ( ' 0_{h x h x} h x f h − − − = → 2 0 _{(2 )} 11 ) 2 )( 2 ( 11 lim ) ( ' x x h x x f h − − − = − = _→ x x x f − + = 2 5 3 ) (

b) Para determinar la ecuación de la recta tangente a la funciónfen el punto:(1, f (1) ), debemos calcular el valor de la pendiente que corresponde a:m(1)= f ´(1), o sea:

f ’(1)= , y además saber cual es el punto, que es en

este caso: (1,8), ya que: = 8 Por lo tanto,

utilizando la ecuación punto - pendiente de la línea recta dada por:y – y₀= m(x – x₀), se obtiene que:

11 ) 1 2 ( 11 2= − 1 2 5 1 3 ) 1 ( − + ⋅ = f y – 8 = 11(x – 1) y = 11x – 11 + 8 y = 11x – 3

Nota: Recordemos que dos rectas son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a -1,es decir si:m₁x m₂= -1.

Ejemplo: Dada la función: la ecuación de la recta Normal

en el punto:(1, f (1))esta dada por: de donde

x x x f −+ = 2 5 3 ) ( ) 1 ( 11 1 8=− − − x y 11 89 11 1 ₊ − = x y _{es la ecuación pedida}

Como se calcula la derivada de una función por definición:

El siguiente método o proceso de los cuatro pasos es útil en el cálculo de la derivada de una función por definición:

Paso 1: Evaluar la función fen x + h , o sea se calcula:

Paso 2: Restar f (x)a la expresión anterior, es decir obtener:

) ( ) (x h f x f + − ) (x h f +

Paso 3: Forma el cociente de incrementos, dividiendo por h h x f h x f( + )− ( )

Paso 4: Simplifique algebraicamente el cociente de incrementos. Tomar el límite para: h

→

) ( ' ) ( ) ( lim 0 _h f x x f h x f h = − + →