APUNTES DE MATEMÁTICAS
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA ... 1
1. Definición de Ángulo ... 4
1.1. MEDIDA DE LOS ÁNGULOS ... 4
1.1.1. Grado sexagesimal ... 4
1.1.2. Radián (rad) ... 4
1.1.3. CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA. ... 4
1.1.4. Tipos de Ángulos según su medida ... 5
1.1.5. Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes ... 5
1.1.6. Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas ... 5
2. Razones trigonométricas... 6
2.1. Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas ... 7
2.2. RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA ... 8
2.2.1. Razones Trigonoméricas DE ángulos complementarios (SUMAN 90º o π/2 rad) ... 8
2.2.2. Razones Trigonoméricas de ángulos SUPERIORES a 360 ... 8
2.2.3. Razones Trigonoméricas de ángulos Opuestos entre sí ... 9
2.2.5. Razones Trigonoméricas que DIFIEREN 180º o π rad ... 10
3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ... 10
3.1. Ejercicios resueltos ... 10
3.2. Resultados útiles ... 11
3.2.1. Proyección de un segmento ... 11
3.2.2. Altura de un triángulo ... 11
3.2.3. Área de un triángulo... 11
3 . 3 . ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ... 11
3.4. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA ... 12
3.4.1. Teorema de los senos ... 12
3.4.2. Teorema de los cosenos ... 12
3.4.3. Resultados interesantes ... 13
4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS. ... 14
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE. ... 14
6. RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD. ... 14
7. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA PRODUCTO. ... 14
1.
Definición de Ángulo
Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que se encuentran en el mismo plano y se intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice.
1.1.
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1.1.1.
G
RADO SEXAGESIMALLa unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. Uno de los sistemas de medición de los ángulos se llama sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
1.1.2.
R
ADIÁN(
RAD)
Es la medida de un
ángulo
cuyo
arco mide un radio
.
El ángulo
α
de la figura mide un radian ya que el arco r es de la misma longitud que el radio2
π
rad = 360° ;π
rad = 180°30º ¿rad?
Conversión grado radian
rad
oo
6
180
30
30
180
π
π
α
α
π
=
=
⇒
=
Conversión radiangrado
3
π
rad ¿º?
o o
o o
o
60
30
180
180
3
180
3
=
=
⇒
=
⇒
=
α
α
α
π
π
1.1.3.
CONVERSIÓN
DE
GRADOS
A
RADIANES
Y
VICEVERSA.
1.- De x grados a radianes: 2.- De
α
radianes a grados:
180
.
π
α
=
x
π
α
.
180
=
1.1.4.
T
IPOS DEÁ
NGULOS SEGÚN SU MEDIDAÁngulo Agudo
Ángulo
Recto
Ángulo
Obtuso
Ángulo Perigonal
Ángulo
Nulo
Ángulo Llano
Es aquél cuya magnitud es
menor que 90º
Es aquél cuya magnitud
es igual a 90º
Es aquél cuya magnitud es mayor
que 90º
Es aquél cuya magnitud es igual a 360º
Es aquél cuya magnitud es igual a
0º
Es aquél cuya magnitud es igual a
180º
1.1.5.
E
QUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANESGrados Radianes
1.1.6.
T
IPOS DEÁ
NGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDASÁngulos Complementarios Ángulos Suplementarios
2.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo
α
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
c
a
AB
CB
sen
α
=
=
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
c
b
AB
AC
=
=
α
cos
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
b
a
AC
CB
tg
α
=
=
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
a
c
CB
AB
sen
=
=
=
α
α
1
csc
(el inverso de la razón senoα
)La secante (abreviado como sec) es la razón entre la hipotenusa sobre el cateto adyacente
b
c
AC
AB
=
=
=
α
α
cos
1
sec
(el inverso de la razón cosenoα
)La cotangente (abreviado como cotan o ctg) es la razón entre el cateto adyacente sobre el cateto opuesto,
a
b
CB
AC
tg
ctg
=
=
=
α
Radianes Grados sexag. seno coseno tangente cosecante secante cotangente
0
0
o0
∃
/
1
∃
/
30
o2
3
3
3
2
3
3
2
3
45
o2
2
2
2
1
2
2
1
60
o2
3
3
3
3
2
2
3
3
90
o∃
/
1
∃
/
0
2.1.
Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada del punto P.(y) El coseno es la abscisa del punto P.(x)
-1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1
El punto P tiene por coordenadas (x,y) por tanto el valor x está comprendido entre los valores [-1,1] al igual que los valores posibles de y
Como y=sen α -1 ≤ sen α ≤ +1 Como cos α =x -1 ≤ cos α ≤ +1
La línea de seno es PQ La Línea de coseno es OQ La línea tangente es la línea ST La línea secante es OS
T’S’ es la cotangente OS’ es la cosecante
2.2.
RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA
Se cumple para todos los ángulos que:
1
=
+
α
α
2 2cos
sen
α
α
α
cos
sen
tg
=
α
α
α
2 22
sec
cos
1
1
+
tg
=
=
2.2.1.
R
AZONESTR
IGONOMÉRICASDE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS(SUMAN
90
º O Π/2
RAD)
Llamamos
α
a uno de ellos. El otro evidente-mente seráπ
−
α
2
.Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro
α
α
π
α
α
π
α
α
π
ctg
tg
sen
sen
=
)
−
2
=
)
−
2
=
)
−
(
cos(
cos
2
(
Por ejemplo : el ángulo de
α
=30º ó6
π
. y90-
α
=60º o lo que es lo mismoπ
−
α
2
3
30
)
2
(
60
(
2
1
30
2
cos(
60
cos(
2
3
30
cos
)
2
(
60
(
=
=
−
=
)
=
=
)
−
=
)
=
=
−
=
)
o o o o o octg
tg
tg
sen
sen
sen
α
π
α
π
α
π
2.2.2.
R
AZONEST
RIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOSSUPERIORES
A360
Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas de uno entre 0 y 360º
Un ángulo > 360º situará el punto que lo
representa en algún lugar de la cfa después de un determinado número de vueltas n
Por ejemplo : el ángulo de 750º dará dos vueltas completas y su punto coincidirá con el de 30º.por tanto serán iguales sus razones trigonométricas
En este caso k=2 y
π
k
2
=2
⋅
2
⋅
π
serán dos vueltas2.2.3.
R
AZONESTR
IGONOMÉRICAS DE ÁNGULOSO
PUESTOS ENTRE SÍEl ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
α
α
α
α
α
α
tg
tg
sen
sen
−
=
)
−
=
)
−
−
=
)
−
(
cos
cos(
(
Por ejemplo : el ángulo de -30º ó
6
−
π
3
3
30
)
(
30
(
2
3
30
cos
6
cos(
30
cos(
2
1
30
30
(
−
=
=
6
−
=
)
−
=
=
)
−
=
)
−
−
=
−
=
)
−
o o otg
tag
tg
sen
sen
π
π
2.2.4.
R
AZONESTR
IGONOMÉRICAS QUEDIFIEREN
90
º O2
π
RAD
Llamamos
α
a uno de ellos. El otro evidente-mente será2
+
π
α
.Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro
α
π
α
α
π
α
α
π
α
ctg
tg
sen
sen
−
=
)
2
+
−
=
)
2
+
=
)
2
+
(
cos(
cos
(
Por ejemplo : el ángulo de 30º ó
6
π
. y 120º
2.2.5.
R
AZONESTR
IGONOMÉRICAS QUEDIFIEREN
180
º O Π RADLlamamos
α
a uno de ellos. El otro evidente-mente seráα
+
π
.Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro
α
π
α
α
π
α
α
π
α
tg
tg
sen
sen
−
=
)
+
−
=
)
+
−
=
)
+
(
cos(
cos
(
Por ejemplo : el ángulo de 30º ó
6
π
. y 210º
3
3
30
)
6
(
210
(
2
3
30
cos
6
cos(
210
cos(
2
1
30
)
6
(
210
(
=
=
+
=
)
−
=
−
=
)
+
=
)
−
=
−
=
+
=
)
o o o o otg
tg
tg
sen
sen
sen
π
π
π
π
π
π
3.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos.
PREGUNTAS CLAVE PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO
¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es el elemento desconocido?
¿Qué razón trigonométrica liga los elementos conocidos y desconocidos?
ELEMENTO CONOCIDO COMO SE CALCULAN LOS DEMÁS
CASO I
Dos lados
•
El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras.•
El ángulo que forman los dos lados conocidos se halla a partir de la razón trigonométrica que los relacionaCASO II
Un lado Un ángulo
• Otro lado se calcula mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.
• El otro ángulo agudo es el
complementario del que conocemos.
3.1.
Ejercicios resueltos
En un triángulo se conocen un cateto, a = 11 cm, y la hipotenusa, c = 20 cm. Hallar los demás elementos.
El otro cateto: b = 1202 - 112 = 16,7 cm
Un ángulo: sen Á =
22
11
El otro ángulo agudo: B = 90° - Á = 56° 38'
En un triángulo rectángulo del que se conocen B = 50° y un cateto a = 15 cm, hallar los demás elementos.
tgB=
a
b
> b = a tg50º = 15 tg 50° = 17,88 cm
cos B =
c
a
23
,
34
50
cos
15
cos
=
=
=
B
a
c
A = 90° - B = 90° - 50° = 40°
3.2.
Resultados útiles
Los siguientes resultados, ligados a la resolución de triángulos rectángulos, aparecen con tanta fre-cuencia que es conveniente memorizarlos:
3.2.1.
P
ROYECCIÓN DE UN SEGMENTOEn el triángulo ABC,
AB
C
Α
=
α
cos
AC=ABcos
α
A'B' = ABcos
α
La longitud de la proyección de un segmento sobre una recta es igual al producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo que forman.
3.2.2.
A
LTURA DE UN TRIÁNGULOEn el triángulo rectángulo de la izquierda,
a
h
sen
α
=
h
=
asen
α
La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.
3.2.3.
Á
REA DE UN TRIÁNGULOÁrea =
b
⋅
h
=
⋅
b
⋅
a
⋅
sen
α
2
1
2
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
3 . 3 .
ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto, aplicando los m todos de resolución de los triángulos rectángulos, mediante la estrategia de la altura. Consiste en elegir adecuadamente una de sus alturas, de modo que, al trazarla, se obtengan dos triángulos rectángulos resolubles con los datos que se tienen.Ejemplo 1
Estamos en A. Conocemos las distancias de A a C (b = 3 800 m ) de C a B (a = 5 600 m). Queremos calcular la distancia de A a
(AB = c).
Para ello medimos el ángulo Á = 49°. Y, sobre el papel, trazamos
altura h y nombramos x e y a las proyecciones de a y b sobre • x = b cos Á = 3 800 cos 49° = 2 493 m
h = b sen = 3 800 sen 49° = 2 868 m
Conociendo h y a calculamos y (teorema de Pitágoras):y = a2 - h2= 6002 - 2 8682= 4 810 m
Estamos en P, situado en un llano. Queremos hallar la altura de montaña, M. Para ello medimos el ángulo P que forma la visual la montaña con la horizontal
(P = 29°). Avanzamos 300 m hacia Ia montaña y
volvemos a medir el ángulo (Q = 32°).
En MM'Q, tg 32° =h/x--> h = x tg 32°
En MM'P, tg 29° = h = ( x + 3 0 0 ) t g 2 9 °
x tg 32° = ( x + 300) tg 29°x(tg 32° - tg 29°) = 300 tg 29°
m
x 2357
29 tg -32 tg
29 tg 300
= ° °
° =
Ahora volvemos a h:
h = x tg 32° = 2 357 tg 32° = 1 473 m Hemos obtenido que la altura de la montaña es de 1473 m.
3.4.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Vamos a obtener unas fórmulas que nos permitirán resolver directamente triángulos cualesquiera, sin necesidad de utilizar cada vez la estrategia de la altura para descomponerlos en dos triángulos rectángulos.
3.4.1.
T
EOREMA DE LOS SENOSEn un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes igualdades
senC
c
senB
b
senA
a
=
=
• Ejemplo
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos. Sol:
A=180º-45º=30º
m
sen
sen
b
sen
b
sen
6
2
2
1
2
2
6
º
30
º
45
6
º
45
º
30
6
=
=
=
==>
=
m
sen
sen
c
b
sen
c
sen
30
º
11
.
6
º
105
º
º
105
º
30
6
=
=
==>
=
3.4.2.
T
EOREMA DE LOS COSENOSEn un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes igualdades
A
bc
c
b
a
2=
2+
2+
2
cos
E j e m p l o El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
O
A
bc
c
b
a
2=
2+
2+
2
cos
==>
36
2=
25
2+
25
2−
2
⋅
25
⋅
25
cos
O=92º6’32’’
En el cuadrilátero AOBT, los ángulo A y B son rectos. O+T=180ºT=190º-O=107º53’27’’
3.4.3.
R
ESULTADOS INTERESANTESEl área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente
.
S
=
b
⋅
h
2
1
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
senC
a
b
S
=
⋅
⋅
2
1
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.
R
abc
S
4
=
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
S=r.p
4.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS.
sen(x+y) = senx.cosy + sen y. cos x sen(x-y) = sen .cosy – seny.cosx
cos(x+y) = cosx.cosy - senx.seny cos(x-y) = cosx.cosy + senx.seny
5.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE.
sen(2x)=sen(x+x) = 2senx.cosx cos(2x)= cos(x+x) = cos2x.- sen2xy
6.
RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD.
2
cos
1
)
2
(
x
x
sen
=
±
−
2
cos
1
)
2
cos(
x
=
±
+
x
x
x
x
tg
cos
1
cos
1
)
2
(
+
−
±
=
7.
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA
PRODUCTO.
SenA+SenB = 2.sen
−
+
2
B
A
cos
.
2
B
A
SenA-SenB = 2.sen
+
−
2
B
A
cos
.
2
B
A
CosA+CosB = 2.cos
−
+
2
B
A
cos
.
2
B
A
CosA–CosB = -2.sen
+
2
B
A
.sen
−
2
B
A
8.
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS
SUMA.
senx.cosy = ½.[ sen(x+y) + sen(x-y)] cosx.seny = ½.[sen(x+y) – sen(x-y)]
Se conocen como ecuaciones trigonométricas aquellas que contienen razones trigonométricas de ángulos desconocidos. Por ejemplo, en sen x = 0 buscamos ángulos que tengan seno cero. Una solución
particular es un valor del ángulo que satisface la ecuación. Así, dos soluciones particulares de la ecuaci ón anterior son x1 = 0 y x2 = π. Ahora bien, cuando una ecuación dada tiene una solución, tendrá, en general, un conjunto infinito de soluciones. En el ejemplo anterior, el conjunto de soluciones o solución general viene dado por:
x1 = 0 + 2kπ, x2 = π+ 2kπ, k ∈Z
Al resolverlas, tendremos en cuenta que a cada ángulo le corresponde un valor único para cada razón trigonométrica, sin embargo, puede haber infinitos ángulos con la misma razón. Será de gran utilidad recordar que, en el primer giro:
Tienen el mismo seno αyπ − α, ya que sen(π − α ) = sen α,
Tienen el mismo coseno αy 2 π − αya que cos(2π – α) = cos α
Tienen la misma tangente αyπ +αpues tg ( π + α) = tg α
Para resolver una ecuación trigonométrica, en primer lugar, la reduciremos a una de los tipos seno, coseno o tangente, y seguiremos las instrucciones que se recogen en la siguiente tabla:
