UNIVERSIDAD COMPLUTENSE FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTíFICAS
INSTITUTO DE ASTRONOMíA Y GEODESIA
(Centro Mixto e.S.Le. - U.e.M.). MADRID
Publicación núm. 199
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TRIANGULOS RECTANGULOS DE LADOS ENTEROS Y PRIMOS ENTRE SI
por
Vicente Bongera
(En Memoria de J. M. Torroja) MADRID
2004
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTíFICAS
INSTITUTO DE ASTRONOMíA Y GEODESIA
(Centro Mixto UCM-CIC). MADRID
Publicación núm. 199
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS Y PRIMOS ENTRE SI
por
VICENTE BONGERA
(En Memoria de J. M. Torroja)
MADRID
2004
2 V Bongera
DEDICATORIA
En recuerdo afectuoso de mi Maestro y amigo Don José María
Torroja Menéndez
Triángulos rectángulos de lados enteros 3
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS Y PRIMOS ENTRE SI
(Soluciones enteras de la ecuación pitagórica
Z2=X2+y2NTREP)
Por VICENTE BONGERA
Sean a, b y e tres números enteros, que cumplan la ecuación (1) Si son primos entre sí diremos que el triángulo que tiene estos lados es un triángulo rectángulo primitivo. Si dos cualquiera tienen un factor común, también lo tendrá el tercero, por la ecuación que los liga. En este caso diremos que el triángulo es derivado.
Multiplicando por cualquier número entero los lados de un triángulo primitivo obtenemos triángulos derivados que son semejantes, es decir todos tienen los mismos ángulos.
En adelante todos los triángulos que utilicemos serán primitivos, a menos que especifiquemos lo contrario, o que claramente se desprenda del contexto.
Representaremos la hipotenusa por a, el cateto par por b y el cateto impar por e; ya que todo triángulo primitivo, solución de la ecuación pitagórica tiene una hipotenusa impar, un cateto par divisible por 4, y un cateto impar.
No puede tener dos catetos pares porque la hipotenusa también
sería par y el triángulo no seria primitivo. Tampoco puede tener dos
catetos impares:
4 V Bongera
b = 2k + 1, e = 2h + 1, b' + e' = 4m + 2 = 2( 2m + 1) = a
2)(2) k, h Y m enteros; a
2sería divisible por 2 pero no por 4, lo que es imposible para un cuadrado perfecto. Luego necesariamente un cateto es par y el otro impar.
La ecuación fundamental puede transformarse como sigue:
(3) Los paréntesis (a+b) y (a-b) no pueden tener ningún factor común, pues también lo sería de su semi suma a y de su semidiferencia b, en contra de la hipótesis de que el triángulo es primitivo. Entonces podemos establecer (a+b)(a_b)=e
2=u
2v
2,u y v impares y primos entre si y de aquí tomando ia+bv=u" y (a-b)=v
2obtenemos a, b y e en función de u y v:
(4) Recíprocamente: cualquier par de valores impares y primos entre sí, que tomemos para u y v nos da un triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre si.
Apoyándonos en lo expuesto podemos enunciar:
PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y
primos entre sí la suma a+b y la diferencia a-b de la hipotenusa y el cateto par son cuadrados impares.
Hemos dicho que el cateto par b es divisible por 4. Efectivamente b=(u
2_v
2)/2 como u y v son impares será u=2k+v
b = (4e + 4kv)/ 2 = 2k(k + v) (5)
y sea k par o impar b es siempre divisible por 4 al ser v impar.
Triángulos rectángulos de lados enteros 5
PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre sí uno de los catetos es múltiplo de 3, el otro es primo con 3y la hipotenusa nunca es múltiplo de 3.
Todo número entero es de una de estas tres formas, en relación con el módulo 3: n=3k; n=3k+l o n=3k+2. Elevando al cuadrado las igualdades anteriores tenemos:
Las tres posibilidades se reducen a dos: los cuadrados de los números enteros son del tipo 3h o 3h+1. Aplicando esto a los catetos de la ecuación pitagórica tendríamos:
Si los dos catetos son múltiplo de tres también lo sería la hipotenusa y el triángulo no sería primitivo.
Si los dos catetos son primos con 3 sus cuadrados serían del tipo 3k+l y su suma nos daría a
2=3h+2, lo que es imposible:
Luego la única posibilidad es que uno sea múltiplo de 3 y el otro primo con 3 y la hipotenusa resulta prima con 3.
(7)
Cualquier número impar es cateto de uno o varios triángulos rectángulos de lados enteros y primos entre sí. El número de triángulos depende del número de descomposiciones que admita el impar en dos factores primos entre sí. Estos factores serían las u y v de los triángulos buscados, y con las fórmulas (4) obtendríamos el cateto par y la hipotenusa. Tomemos como ejemplo el número 15:
u=15, v=l, c=15, b=112, a=113, u=5, v=3, c=15, b=8, a=17
Más adelante calcularemos una tabla con los triángulos
ordenados de menor a mayor por el cateto impar.
6 V Bongera
Vamos a buscar las fórmulas que nos permitan encontrar el cateto impar y la hipotenusa correspondientes a un múltiplo de 4 que tomaremos por cateto par.
Al ser la hipotenusa a y el cateto e impares su diferencia será un número par
a - e = 2k, a = 2k + e, a' = (2k + e)2 = e
2+ b", e = b' / 4k - k (8)
El cateto e ha de ser entero, positivo e impar y primo con b, lo que es equivalente que los dos últimos términos de (8) sean primos entre si, de diferente paridad y k<bl2.
Estas condiciones se cumplen para k=l cualquiera que sea el valor múltiplo de 4 de b, así que podemos concluir:
PROPOSICIÓN: Todo múltiplo de cuatro es cateto de uno o varios triángulos rectángulos de lados enteros y primos entre sí.
En el caso de que b tenga únicamente el factor primo 2 la solución dada por k=l es única. Si b tiene otros factores primos hay otras soluciones.
Es evidente que los factores primos de k, excepto el 2, han de estar en b
2y con el mismo exponente, para que b
2/4k sea entero y primo con k, lo que implica que k ha de ser un cuadrado perfecto, ya que el exponente de 2 en k debe de ser cero o el de b
2disminuido en 2 unidades. Nótese que al ser b múltiplo de 4 el exponente de 2 en b
2será 4 como mínimo. Como consecuencia de esto y la primera de (8) enunciamos:
PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre si la diferencia a-e entre la hipotenusa y el cateto impar
es 2 o el producto de 2 por un cuadrado perfecto.
De (4) deducimos: a-e=2[(u-v)/2]2 que demuestra la proposición.
Triángulos rectángulos de lados enteros 7 Para clasificar los triángulos por sus hipotenusas nos apoyaremos en la proposición que sigue.
PROPOSICIÓN: La diferencia entre dos hipotenusas de dos triángulos rectángulos de lados enteros y primos entre si es siempre múltiplo de cuatro.
Sea a la hipotenusa mayor, e la hipotenusa menor, y d la diferencia;
aplicando a estos triángulos las fórmulas (4) tendremos:
a2 = (u2 + v
2 )/2, e = (r2 + S2 ) / 2, d = a - e = (u2 - r? ) /2 + ( v
2 -S2 ) / 2
(9)
Los dos últimos términos entre paréntesis divididos por 2 son diferencias de cuadrados de números impares divididas por 2, y según hemos demostrado al principio de la página 2 son divisibles por 4, luego también lo será su suma, o diferencia si el segundo paréntesis fuera negativo.
Luego partiendo de un triángulo podemos buscar la hipotenusa del siguiente incrementando en un múltiplo de 4 la hipotenusa del triángulo de partida. Para simplificar los ensayos hay que tener en cuenta que la nueva hipotenusa no puede ser múltiplo de 3, lo que se consigue combinando la hipotenusa de partida y los incrementos:
4
3k+1
8
3k+2 12 3k+0
16 3k+1
20 3k+2
24 3k+0
28 3k+1
32 3k+2 Debajo de cada incremento múltiplo de 4, hemos escrito el resto de la división por 3; k representa el cociente entero. El incremento ha de elegirse de forma que la nueva hipotenusa no sea múltiplo de 3.
Probaremos dando valores impares a v, para determinar u con la fórmula:
(lO)
8 V Bongera
La prueba se detiene cuando llegamos a un valor de u menor que la v que probamos. Sólo son válidos los valores de v que hacen a u entero en (10)
Ejemplo: triángulo 11-60-61. La hipotenusa 61 es del tipo 3k+l, luego el primer incremento será 4, que nos da para probar la hipotenusa 65 tipo 3k+2; en (10) probamos valores impares de v comenzando por l.
Para v=3 u=ll; y para v=7 u=9; los catetos e serán c=33 y c=63 y los triángulos encontrados son:
33 56 65 63 16 65
En este ejemplo hay dos triángulos con la misma hipotenusa.
Si tenemos en cuenta que la primera hipotenusa es 5 podemos enunciar la proposición siguiente:
PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre sí la hipotenusa es múltiplo de cuatro más uno.
Hemos visto que en este tipo de triángulos la hipotenusa no puede ser múltiplo de 3, ocurre pensar si sucederá 10 mismo con otros factores primos. Para investigar si la hipotenusa a es divisible por el factor primo p tomamos congruencias (P) de la ecuación pitagórica:
Esto quiere decir que el resto cuadrático de a ha de ser la suma de los restos cuadráticos de b y c. Pero si a es múltiplo de p su resto cuadrático será cero o 10 que es igual p, luego la suma del resto de b, r mas la del resto de c, s han de sumar p: r+s=p; o s=p-r. Sí p-r es resto cuadrático (P) será:
(p _ r
)(P-l)/2== 1 (p) (12)
(
p-r
)(P-l)/2 _ (= -r
)(P-l)/2 -= 1 ( ) p (13) Triángulos rectángulos de lados enteros 9
según demostraremos más adelante. Desarrollando la potencia de esta congruencia obtenemos una suma de términos congruentes con cero ya que todos tienen el factor p, excepto el último que no contiene el factor p:
La condición para que se cumpla la congruencia (13) es que el exponente de (-r) sea par, ya que r es un resto cuadrático de p: (P-l)12
= 2k o lo que es equivalente el número primo p = 4k + 1, k representa un número entero.
Sí (P-l)12 es impar, la congruencia (13) pasa a ser:
(_r)(P-l)/2
=-1 (p) (14)
que indica que r no es resto cuadrático del módulo p, según demostraremos más adelante. Esto nos permite enunciar:
PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre sí la hipotenusa solo admite como divisores factores primos del tipo 4k+1.
Llamaremos a estos números primos del tipo 4k+l números primos de CLASE l. El resto de los números primos, que son del tipo 4k-l diremos que son de CLASE -l.
Con estos conceptos podemos ampliar la proposición de la página 4:
PROPOSICIÓN: En todo triángulo rectángulo de lados enteros y
primos entre sí la hipotenusa es múltiplo de cuatro más uno, al igual
que todos los factores primos de dicha hipotenusa, que han de ser
única y exclusivamente de CLASE 1.
10 V Bongera
Consecuencia de la demostración del final de la página anterior podemos enunciar:
PROPOSICIÓN: Los restos cuadráticos de los módulos primos p de CLASE 1, que son un número par, pueden agruparse en parejas de RESTOS CUADRÁTICOS ASOCIADOS que suman p.
En el Apéndice D tenemos una tabla de números primos en la que se señalan los de CLASE 1. Comparando esta tabla con el catálogo de triángulos rectángulos clasificados por hipotenusas comprobamos que todos estos números primos de CLASE 1 son la hipotenusa de un solo triangulo. Por el contrario las hipotenusas que son el producto de dos de estos números primos figuran en dos triángulos; o más general cuando la hipotenusa es el producto de n factores primos, necesariamente de CLASE 1, hay 2 elevado a (n-l) triángulos con esta hipotenusa.
La lista de triángulos rectángulos de lados enteros y primos entre sí, clasificados por hipotenusas crecientes, se ha hecho utilizando todo 10 anteriormente expuesto, de modo que se han excluido los ensayos de los números que contienen algún factor primo de CLASE -1; es decir se suprimen los ensayos de los múltiplos de 3, 7, 11, ""etc. etc.
Así pues partiendo de 5 se le suman múltiplos de 4, y se descompone, con la calculadora, en sus factores primos el número obtenido. Sí contiene algún factor primo de CLASE -1 se rechaza, en caso contrario se determinan la u y la v con la fórmula (10), y a partir de aquí los catetos correspondientes a la hipotenusa ensayada.
Hay que señalar que todas las hipotenusas probadas han dado triángulos rectángulos de lados enteros y primos entre si, por lo que parece que se cumple la siguiente proposición:
PROPOSICIÓN: Todo número primo de CLASE 1, ó número
compuesto por el producto de n factores primos de CLASE 1, es
hipotenusa de uno o
2(n-l)triángulos rectángulos de lados enteros y
primos entre sí.
Triángulos rectángulos de lados enteros 11 Como comprobación veamos el caso de la hipotenusa 32045=5x13x17x29.
a 32045 32045 32045 32045 32045 32045 32045 32045
b 2277 8283 17253 21093 23067 27813 31323 32037
e 31964 30956 27004 24124 22244 15916 6764 716
u 253 251 243 237 233 219 197 181
v 9 33 71 89 99 127 159 177
Podemos ver los ocho triángulos que corresponden a una hipotenusa compuesta por cuatro factores primos de CLASE l.
Resumiendo: ningún número primo de CLASE -1, o número compuesto que contenga algún número primo de CLASE -1, pude ser hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados enteros y primos entre sí. Solamente los números primos de CLASE 1 Y los números compuestos de primos de CLASE 1 pueden ser dichas hipotenusas.
La demostración de (12) se basa en la congruencia de Fermat y otras proposiciones que desarrollamos a continuación.
Se llama gaussiano de la base n respecto al módulo P al menor exponente de n diferente de cero que da el resto 1
Multiplicando reiteradamente por n (15)
(15)
(16)
12 V Bongera
obtenemos nuevos ciclos de restos de g elementos. Solo las potencias de exponente múltiplo de g dan resto 1. El mayor valor que puede tener g es g=P-l, ya que este es el número de restos que puede dar el módulo P. En este caso la base n es una Raíz Primitiva del módulo P.
Los números O 1 2 ... P-I forman un Sistema Completo de Números Incongruentes. Si multiplicamos los dos miembros de una congruencia por un número n primo con P obtenemos otra congruencia, los números: On In 2n .... (P-l)n también forman un sistema completo de números incongruentes, y cada uno de los múltiplos de n tendrá un elemento del primer sistema con el que será congruente. Supongamos escritas todas estas congruencias excepto la
0== On y multiplicándolas miembro a miembro tendremos:
1.2.3 ...(P-l) == ln.2n ...(P-I)n
y como los números 1 2 ... (P-l) son primos con P podemos dividir los dos miembros de la congruencia anterior por ellos y nos queda:
n
P-1== l(modP) (17)
Esta es la Congruencia de Fermat.
Como g es un divisor de P-l (16), definimos q:
(P-l)/g=q (18)
q es el orden de la base n.
TEOREMA: Todo resto cuadrático r respecto al módulo primo P cumple la congruencia siguiente:
,'(p-1)/2
== 1 (19)
Todos los restos cuadráticos son congruentes con el cuadrado de
un cierto número r ==
S2y sustituyendo r:
Triángulos rectángulos de lados enteros 13
S(P-l)
== 1 (mod P)
que es la misma (17). Si s fuese una Raíz Primitiva de P los restos potenciales de s reproducirían todos los restos del modo P.
Las potencias pares darían Restos Cuadráticos, ya que son congruentes con cuadrados y las potencias impares los No Restos Cuadráticos.
La congruencia anterior se cumple ya que es la congruencia de Fermat para el número
S.Por el contrario: sea u una raíz primitiva de P, si r no es resto cuadrático de P será r congruente con una cierta potencia impar de u:
r
==
U2k+1,
r(P-l)/2==
U(2k+l)(P-l)/2(20)
que no puede ser congruente con 1, pues los únicos exponentes que dan potencias de la raíz primitiva u congruentes con 1, son los múltiplos de (P-1) y el exponente del último término de la congruencia anterior no puede ser múltiplo de P-l para ningún valor de k. Luego la congruencia (19) se cumple única y exclusivamente si r es Resto Cuadrático.
Repetimos que al ser u raíz primitiva su gaussiano g es igual a P-l y sus restos potenciales forman un sistema completo de números incongruentes, los (P -1)/2 de exponente par dan los (P -1)/2 restos cuadráticos del módulo P y los (P-1)/2 de exponente impar los No Restos Cuadráticos.
Como ejemplo de lo que antecede vamos a calcular los restos cuadráticos de la base 3 respecto al módulo 17.
Exponentes de 3: o 2 4 6
1 9 13 15
3 10 5 11
8 10 12 14 16
16 8 4 2 1
14 7 12 6
(21)
14 V Bongera
El 1 de la línea superior corresponde a 3°, se multiplica por 3 y se coloca en la línea inferior, y así sucesivamente hasta llegar al gaussiano. En la línea superior están los restos cuadráticos y en la inferior los no restos cuadráticos. El número de restos es P-l=16, luego 3 es una raíz primitiva de 17. Cambiemos de base y veamos los restos potenciales de la base 5.
1 8 13 2 16 9 4 15 1 5 6 14 10 12 11 3 7
Son 16 restos, 5 es raíz primitiva y los restos y los no restos están colocados de la misma forma pero no en el mismo orden. Hagamos ahora el desarrollo con la base 2.
1 4 16 13 1
2 8 15 9
Como 2 es resto cuadrático todas sus potencias son restos cuadráticos, en total 8 restos diferentes y 2
8== 1 (17).
La congruencia (19) nos indica que el gaussiano de un resto cuadrático es (P-1)12 o un divisor de este número:
kg=(P-1)/2, g=(P-1)/2k, q=2k (22)
De acuerdo con la definición (18) del orden q de un resto.
Así podemos decir que todo resto cuadrático tiene un orden q que es SIempre par.
La congruencia de Fermat (17) puede ponerse en forma diferente:
nP-1
-1 = kP,
(n(P-l)12+ 1)
(n(P-l)/2-1) = kP (23)
Las igualdades (23) se cumplen siempre cualquiera que sea n,
primo con P pero los dos últimos paréntesis no pueden ser
Triángulos rectángulos de lados enteros 15 simultáneamente múlti~los de P pues este número primo debería dividir a su suma 2n ep-
1) 2y a su diferencia 2, lo que es imposible.
Dependiendo de la naturaleza de n será múltiplo de P uno u otro paréntesis. El segundo paréntesis es múltiplo de P única y exclusivamente cuando n es resto cuadrático, según (19), luego si n es no resto cuadrático es el primer paréntesis múltiplo de P.
El teorema que sigue, nos permite con una sola determinación, saber la naturaleza de un número cualquiera n en relación con un módulo primo P, primo también con n.
TEOREMA: Dado un módulo primo P y una base n, prima con P la potencia de exponente (P-1)/2 de n será congruente con 1 si n es
resto cuadrático de P y congruente con -1 si no lo es.
Aclararemos todo esto con un estudio del módulo 23. Señalaremos con una e los restos cuadráticos y con una p las raíces primitivas.
Módulo 23
cc ccpcpcc ppccp p e pc ppp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 g= 11 11-11 22 11 22 11 11 22 22 11 11 22 22 11 22 11 22 22 22 2 q= 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 11 Bajo cada número figura su gaussiano g, más abajo su orden q.
Hay que observar que el número 22 no esta señalado ni con p ni con
C,es debido a que es un resto impar de gausiano 2 y q 11, Y por lo tanto no es raíz primitiva.
Veamos los restos potenciales de la raíz primitiva 5.
1 2 4 8 16 9 18 13 3 6 12 1
5 10 20 17 11 22 21 19 15 7 14
16 V Bongera
Podemos ver en la línea superior todos los restos cuadráticos, el resto de exponente 11 es 22 que es congruente con -1, de acuerdo con la fórmula (23) Y el teorema que inmediatamente precede.
Hipotenusa 2.576.450.045
=5x13x17x29x37x4lx53 que pertenece a 64 triángulos:
e 44719563 70413237 185727093 261457077 272467083 374359797 478355403 514731147 531265077 556386123 599754357 652093323 809536587 851138763 861578997 983035893 1014492213 1062959883 1127400267 1166751243 1268493387 1290799413 1310700747 1356862773 1430107083 1545325173 1546414773 1580263797 1635884853 1706671413 1779167733 1797667467 1908352587 1931111307 1948027893 1955450763 1982910987 2011028853 2121456267 2134454133 2164203147 2178040053 a
2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 25/6450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 2576450045 25/6450045 2576450045 25/6450045
b
2576061916 2575487684 2569747124 2563149436 2562002444 2549107604 2531653796 2524509196 2521081564 2515656836 2505671476 2492562764 2445965116 2431810316 2428122004 2381540524 2368311716 2346957844 2316692356 2297125676 2242547516 2229782284 2218143004 2190209636 2143102556 2061568564 2060751364 2034910604 1990471196 1930121116 1863506644 1845666956 1730978116 1705550924 1686203476 1677589684 1645040684 1610545804 1462025356 1442983156 1397968804 1376312596
u
71781 71777 71737 71691 71683 71593 71471 71421 71397 71359 71289 71197 70869 70769 70743 70413 70319 70167 69951 69811 69419 69327 69243 69041 68699 68103 68097 67907 67579 67131 66633 66499 65631 65437 65289 65223 64973 64707 63549 63399 63043 62871
v
623 981 2589 3647 3801 5229 6693 7207 7441 7797 8413 9159 11423 12027 12179 13961 14427 15149 16117 16713 18273 18619 18929 19653 20817 22691 22709 23271 24207 25423 26701 27033 29077 29511 29837 29981 30519 31079 33383 33667 34329 34643
Triángulos rectángulos de lados enteros 17
2576450045 1323927164 2210274123 62453 35391 2576450045 1277352196 2237513597 62079 36043 2576450045 1281004476 2279404107 61461 37087 2576450045 1097970644 2330784267 60617 38451 2576450045 1013117524 2368900107 59913 39539 2576450045 978929084 2383231563 59627 39969 2576450045 968680636 2387415477 59541 40097 2576450045 947278276 2395988043 59361 40363 2576450045 897827204 2414953653 58943 40971 2576450045 772834084 2457808437 57873 42469 2576450045 689329564 2482522827 57147 43441 2576450045 678366556 2485540917 57051 43567 2576450045 653539844 2492183883 56833 46851 2576450045 637192676 2496413493 56689 44037 2576450045 476886004 2531930997 55257 45821 2576450045 354364724 2551964043 54137 47139 2576450045 310785244 2557637067 53733 47599 2576450045 249641876 2564327157 53161 48237 2576450045 195888364 2568992523 52653 48791 2576450045 170253236 2570818677 52409 49053 2576450045 147241676 2572239243 52189 49287 2576450045 136188844 2572848117 52083 49399
Estos ejemplos nos confirman que el número de soluciones solamente depende del número de factores primos que contenga la hipotenusa, cuando estos factores primos son todos diferentes.
Veamos a continuación el caso de factores repetidos.
Hipotenusa 3125 = 55
a e
b
3125 237 3116
3125 1875 2500
3125 2925 1100
(24) De estos tres triángulos sólo es primitivo el primero, los otros son:
a e b
534
125 117 44
18 V Bongera
multiplicados por 625 y 25 respectivamente. Luego con un número primo elevado a un exponente solo un triángulo primitivo.
Veamos el caso de emplear potencias de dos números primos de Clase 1: Hipotenusa 4225 = 52 x 132
u=13 v=91 c=1183 b=4056
23 89 2047 3696
35 85 2975 3000
47 79 3713 2016
(25) De estos triángulos son primitivos el segundo y el cuarto, luego vemos que el hecho de utilizar potencias de los primos de Clase 1 no agrega más triángulos primitivos.
Los triángulos primitivos de (24) y (25) que son:
u=3 v=79 13 91 47 79
e =237 1183 3713
b=3116 4056 2016
a=3125 4225 4225
figuran en el Catálogo de Triángulos Rectángulos de Lados Enteros y
Primitivos. En este catálogo figura la hipotenusa con sus factores
primos, los parámetros u y v además del cateto impar e, y el cateto par
b.
Triángulos rectángulos de lados enteros 19 APÉNDICE
Triángulos rectángulos primitivos desde hipotenusa 5 hasta hipotenusa 1825. Figura el cateto par el cateto impar y los parámetros u y
v.Primeros triángulos clasificados por el cateto Par, el cateto Impar y primos de Clase 1
CLASIFICACIÓN POR LA HIPOTENUSA
a b e u v
5
PRIMO
4 3 3 113
PRIMO
12 5 5 117
PRIMO
8 15 5 325 5X5 24 7 7 1
29
PRIMO
20 21 7 337
PRIMO
12 35 7 541
PRIMO
40 9 9 153
PRIMO
28 45 9 561
PRIMO
60 11 11 165 5X13 56 33 11 3
65 5x13 16 62 9 7
73
PRIMO
48 55 11 585 5x17 84 13 13 1
85 5x17 36 77 11 7
89
PRIMO
80 39 13 397
PRIMO
72 65 13 5101
PRIMO
20 99 11 9109
PRIMO
60 91 13 7113
PRIMO
112 15 15 1125 5X5X5 44 117 13 9
137
PRIMO
88 105 15 7145 5X29 144 17 17 1
145 5X29 24 143 13 11
149
PRIMO
140 51 17 3157
PRIMO
132 85 17 5169 13X13 120 119 17 7
173
PRIMO
52 165 15 11181
PRIMO
180 19 19 1185 5X37 176 57 19 3
185 5X37 104 153 17 9
193
PRIMO
168 95 19 5197
PRIMO
28 195 15 13205 5X41 156 133 19 7
205 5X41 84 187 17 11
221 13X17 220 21 21 1
221 13X17 140 171 19 9
229
PRIMO
60 221 17 13233
PRIMO
208 105 21 520 V Bongera
241
PRIMO
120 209 19 11257
PRIMO
32 255 17 15265 5x53 264 23 23 1
265 5x53 96 247 19 13
269
PRIMO
260 69 23 3277
PRIMO
252 115 23 5281
PRIMO
160 231 21 11289 17X17 240 161 23 7
293
PRIMO
68 285 19 15305 5X61 224 207 23 9
305 5X61 136 273 21 13
313
PRIMO
312 25 25 1317
PRIMO
308 75 25 3325 13X25 204 253 23 11
325 13X23 36 323 19 17
337
PRIMO
288 175 25 7 349PRIMO
180 299 23 13 353PRIMO
272 225 25 9365 5X73 364 27 27 1
365 5X73 76 357 21 17
373
PRIMO
252 275 25 11377 13X29 352 135 27 5
377 13X29 152 345 23 15
389
PRIMO
340 189 27 7 397PRIMO
228 325 25 13401
PRIMO
40 399 21 19409
PRIMO
120 391 23 17421
PRIMO
420 29 29 1425 17X25 416 87 29 3
425 17X25 304 297 27 11
433
PRIMO
408 145 29 5445 5X89 84 437 23 19
445 5X89 396 203 29 7
449
PRIMO
280 351 27 13 457PRIMO
168 425 25 17461
PRIMO
380 261 29 9481 13X37 360 319 29 11
481 13X37 480 31 31 1
483 5X97 44 483 23 21
485 5X97 476 93 31 3
493 17X29 132 475 25 19
493 17X29 468 155 31 5
505 5XI0l 336 377 29 13
505 5X101 456 217 31 7
509
PRIMO
220 459 27 17 521PRIMO
440 279 31 9533 13X41 308 435 29 15
533 13X41 92 525 25 21
541
PRIMO
420 341 31 11545 5X109 544 33 33 1
545 5X109 184 513 27 19
Triángulos rectángulos de lados enteros 21
557
PRlMO
532 165 33 5565 5Xl13 396 403 31 13
565 5Xl13 276 493 29 17
569
PRlMO
520 231 33 7577
PRlMO
48 575 25 23593
PRlMO
368 465 31 15601
PRlMO
240 551 29 19613
PRlMO
612 35 35 1617
PRlMO
608 105 35 3625 25X25 336 527 31 17
629 17X37 460 429 33 13
629 17x37 100 621 27 23
641
PRlMO
200 609 29 21653
PRlMO
572 315 35 9661
PRlMO
300 589 31 19 673PRlMO
552 385 35 11677
PRlMO
52 675 27 25685 5X137 684 37 37 1
685 5X137 156 667 29 23
689 13X53 680 111 37 3
689 13X53 400 561 33 17
697 17X41 672 185 37 5
697 17X41 528 455 35 13
701
PRlMO
260 651 31 21709
PRlMO
660 259 37 7725 25X29 644 333 37 9
725 25X29 364 627 33 19
733
PRlMO
108 725 29 25745 5XI49 624 407 37 11
745 5X149 216 713 31 23
757
PRlMO
468 595 35 17761
PRlMO
760 39 39 1769
PRlMO
600 481 37 13773
PRlMO
748 195 39 5785 5X157 736 273 39 7
785 5X157 56 783 29 27
793 13X61 432 665 35 19
793 13X61 168 775 31 25
797
PRlMO
572 555 37 15 809PRlMO
280 759 33 23 821PRlMO
700 429 39 11 829PRlMO
540 629 37 17841 29X29 840 41 41 1
845 5X13X13 836 123 41 3
845 5X13X13 116 837 31 27
853
PRlMO
828 205 41 5857
PRlMO
232 825 33 25865 5X173 816 287 41 7
865 5X173 504 703 37 19
22 V Bongera
877
PRIMO
348 805 35 23 881PRIMO
800 369 41 9901 17X53 780 451 41 11
901 17X53 60 899 31 29
905 5X181 616 663 39 17
905 5X181 464 147 37 21
925 25x37 924 43 43 1
925 25x37 756 533 41 13
929
PRIMO
920 129 43 3 937PRIMO
912 215 43 5 941PRIMO
580 741 39 19949 13X73 900 301 43 7
949 13X73 420 851 37 23
953
PRIMO
728 615 41 15965 5X193 884 387 43 9
677 5X193 124 957 33 29
977
PRIMO
248 945 35 27985 5X197 864 473 43 11
985 5X197 696 697 41 17
997
PRIMO
372 925 37 25 1009PRIMO
840 559 43 13 1013PRIMO
1012 45 45 1 1021PRIMO
660 779 41 191025 25X41 496 897 39 23
1025 25X41 64 1023 33 31
1033
PRIMO
192 1015 35 291037 17X61 988 315 45 7
1037 17X61 420 851 43 15
1049
PRIMO
320 999 37 27 1061PRIMO
620 861 41 21 1069PRIMO
780 731 43 171073 29X37 952 495 45 11
1073 29X37 448 975 39 25
1093
PRIMO
132 1085 35 31 1097PRIMO
928 585 45 131105 5X13X17 1104 47 47 1
1105 5X13X17 744 817 43 19
1105 5XI3X17 576 943 41 23
1105 5XI3X17 264 1073 37 29
1109
PRIMO
1100 141 47 3 1117PRIMO
1092 235 47 5 1129PRIMO
1080 329 47 71145 5X229 1064 423 47 9
1145 5X229 704 903 43 21
1153
PRIMO
528 1025 41 251157 13X89 868 765 45 17
1157 13X89 68 1155 35 33
1165 5X233 1044 517 47 11
1165 5X233 204 1147 37 31
1181
PRIMO
340 1131 39 291189 29X41 1020 611 47 13
Triángulos rectángulos de lados enteros 23
1189 29X41 660 989 43 23
1193
PRIMO
832 855 45 19 1201PRIMO
1200 49 49 11205 5x241 ll96 147 49 3
1205 5x241 476 1107 41 27
1213
PRIMO
ll88 245 49 5 1217PRIMO
992 705 47 15 1229PRIMO
140 1221 37 33 1237PRIMO
612 1075 43 251241 17X73 1160 441 49 9
1241 17X73 280 1209 39 31
1249
PRIMO
960 799 47 171261 13X97 ll40 539 49 11
1261 13X97 420 1189 41 29
1277
PRIMO
748 1035 45 231285 5X257 1116 637 49 13
1285 5X257 924 893 47 19
1289
PRIMO
560 1161 43 27 1297PRIMO
78 1295 37 35 1301PRIMO
1300 51 51 11313 13X101 1288 255 51 5
1313 13X101 1088 735 49 15
1321
PRIMO
360 1271 41 311325 25X53 1276 357 51 7
1325 25X53 884 987 47 21
1345 5X269 1056 833 49 17
1345 5X269 504 1247 43 29
1361
PRIMO
1240 561 51 II1369 37X37 840 1081 47 23
1373
PRIMO
148 1365 39 35 1381PRIMO
1020 931 49 191385 5X277 1216 663 51 13
1385 5X277 296 1353 41 33
1405 5X281 1404 53 53 1
1405 5X281 444 1333 43 31
1409
PRIMO
1400 159 53 31417 13X109 1392 265 53 5
1417 13X109 192 1175 47 25
1429
PRIMO
1380 371 53 7 1433PRIMO
592 1305 45 291445 5X17X17 1364 477 53 9
1445 5X17X17 76 1443 39 37
1453
PRIMO
228 1435 41 351465 5X293 1344 583 53 11
1465 5X293 936 ll27 49 23
1469 13Xll3 740 1269 47 27
1469 13Xl13 380 1419 43 33
1481
PRIMO
ll20 969 51 19 1489PRIMO
1320 689 53 1324 V Bongera
1493
PRIMO
532 1395 45 311513 17X89 1512 55 55 1
1513 17x89 888 1225 49 25
1513 17x89 1292 795 53 15
1525 25X61 684 1363 47 29
1525 25x61 156 1517 41 37
1537 29x53 1488 385 55 7
1537 29x53 312 1505 43 35
1549
PRIMO
1260 901 53 17 1553PRIMO
1472 495 55 91565 5x313 1036 1173 51 23
1565 5x313 836 1323 49 27
1585 5X317 1224 1007 53 19
1585 5X317 624 1457 47 31
1597
PRIMO
1428 715 55 13 1601PRIMO
80 1599 41 39 1609PRIMO
240 1591 43 37 1613PRIMO
988 1275 51 25 1621PRIMO
780 1421 49 291625 5X5X13 1624 57 57 1
1625 5X5X13 1184 1113 53 21
1637
PRIMO
1612 285 57 51649 17X97 1600 399 57 7
1649 17X97 560 1551 47 33
1657
PRIMO
1368 935 55 17 1669PRIMO
1140 1219 53 231681 41X41 720 1519 49 31
1685 5X337 1564 627 57 11
1685 5X337 164 1677 43 39
1693
PRIMO
1332 1045 55 19 1697PRIMO
328 1665 45 37 1709PRIMO
1540 741 57 131717 17XlOl 1092 1325 53 25
1717 17XI0l 492 1645 47 35
1721
PRIMO
880 1479 51 29 1733PRIMO
1292 1155 55 21 1741PRIMO
1740 59 59 11745 5x349 1736 177 59 3
1745 5X349 656 1617 49 33
1753
PRIMO
1728 295 59 51765 5X353 1716 413 59 7
1765 5X353 84 1763 43 41
1769 29X61 1480 969 57 17
1769 29X61 1040 1431 53 27
1777
PRIMO
1248 1265 55 231781 13X137 1700 531 59 9
1781 13X137 820 1581 51 31
1789
PRIMO
420 1739 47 37 1801PRIMO
1680 649 59 111825 25X73 1656 767 59 13
Triángulos rectángulos de lados enteros 25
TIDÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS
CLASIFICACIÓN POR EL CATETO PAR
b e a 92 525 533
4 3 5 92 2115 2117
8 15 17 96 247 265
12 5 13 96 2303 2305
12 35 37 100 75 125
16 63 65 100 2499 2501
20 21 29 104 153 185
20 99 101 104 2703 2705
24 7 25 108 725 733
24 143 145 108 2915 2917
28 45 53 112 15 113
28 195 197 112 3135 3137
32 255 257 116 837 845
36 77 85 116 3363 3365
36 323 325 120 119 169
40 9 41 120 209 241
40 399 401 120 391 409
44 117 125 120 3599 3601
44 483 485 124 957 965
48 55 73 124 3843 3845
48 575 577 128 4095 4097
52 165 173 132 85 157
52 675 677 132 475 493
56 33 65 132 1080 1098
56 783 785 132 4355 4357
60 11 61 136 273 305
60 91 109 136 1158 1160
60 221 229 136 4623 4625
60 899 901 140 51 149
64 1023 1025 140 171 221
68 285 293 140 1221 1229
68 1155 1157 140 4899 4901
72 65 97 144 17 145
72 1295 1297 144 5183 5185
76 357 365 148 1365 1373
76 1443 1445 148 5475 5477
80 39 89 152 345 377
80 1599 1601 152 5775 5777
84 13 85 156 667 685
84 187 205 156 1517 1525
84 437 445 156 6083 6085
84 1763 1765 160 231 281
88 105 137 160 6399 6401
88 1935 1937 164 1677 1685
26 V Bongera
164 6723 6725 176 7743 7745
168 95 193 180 19 181
168 425 457 180 299 349
168 775 793 180 2021 2029
168 7055 7057 180 8099 8101
172 1845 1853 172 7395 7397
176 57 185
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS CLASIFICACIÓN POR EL CATETO IMPAR
e b a u v
3 4 5 3 1
5 12 13 5 1
7 24 25 7 1
9 40 41 9 1
11 60 61 11 1
13 84 85 13 1
15 8 17 5 3
15 112 113 15 1
17 144 145 17 1
19 180 181 19 1
21 20 29 7 3
21 220 221 21 1
23 264 265 23 1
25 312 313 25 1
27 364 365 27 1
29 420 421 29 1
31 480 481 31 1
33 56 65 11 3
33 544 545 33 1
35 12 37 7 5
35 612 613 35 1
37 684 685 37 1
39 80 89 13 3
39 760 761 39 1
e b a u v
41 840 841 41 1
43 924 925 43 1
45 28 53 9 5
45 28 53 9 5
45 1012 1013 45 1
47 1104 1105 47 1
49 1200 1201 49 1
51 140 149 17 3
51 1300 1301 51 1
53 1404 1405 53 1
55 48 73 11 5
Triángulos rectángulos de lados enteros 27
55 1512 1513 55 1
57 176 185 19 3
57 1624 1625 57 1
59 1740 1741 59 1
61 1860 1861 61 1
63 16 65 9 7
63 1984 1985 63 1
65 72 97 13 5
65 2112 2113 65 1
67 2244 2245 67 1
69 260 269 23 3
71 2520 2521 71 1
73 2664 2665 73 1
e b a u v
75 308 317 25 3
75 2812 2813 75 1
77 36 85 11 7
77 2974 2975 77 1
79 3120 3121 79 1
81 3280 3281 81 1
83 3444 3445 83 1
85 132 157 17 5
85 3612 3613 85 1
87 416 425 29 3
87 3784 3785 87 1
89 3960 3961 89 1
91 60 109 13 7
91 4140 4141 91 1
93 476 485 31 3
93 476 485 31 3
93 4324 4325 93 1
95 168 193 19 5
95 4512 4513 95 1
97 4704 4705 97 1
99 20 101 11 9
99 4900 4901 99 1
101 5100 5101 101 1
103 5304 5305 103 1
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE LADOS ENTEROS.
TABLA DE NÚMEROS PRIMOS (4k+l)
1 2 3 (5) 7 11 (13) (17) 19 23
(29) 31 (37) (41) 43 47 (53) 59 (61) 67
71 (73) 79 83 (89) (97) (101) 103 107 (109)
(113) 127 131 (137) 139 (149) 151 (157) 163 167
(173) 179 (181) 191 (193) (197) 199 211 223 227
28 V Bongera
(229) (233) 239 (241) 251 (257) 262 (269) 271 (277)
(281) 283 (293) 307 311 (313) (317) 331 (337) 347
349 (353) 359 367 (373) 379 383 (389) (397) (401)
(409) 419 (421) 431 (433) 439 443 (449) (457) (461)
463 467 479 487 491 499 503 (509) (521) 523
(541) 547 (557) 563 (569) 571 (577) 587 (593) 599
(601) 607 (613) (617) 619 631 (641) 643 647 (653)
659 (661) (673) (677) 683 691 (701) (709) 719 727
(733) 739 743 751 (757) (761) (769) (773) 787 (797)
(809) 811 (821) 823 827 (829) 839 (853) (857) 859
863 (877) (881) 883 887 907 911 919 (929) (937)
(941) 947 (953) 967 971 (977) 983 991 (997) (1009)
(1013) 1019 (1021) 1031 (1033) 1039 (1049) 1051 (1061) 1063 (1069) 1087 1091 (1093) (1097) 1103 (1109) (1117) 1123 (1129)
1151 (1153) 1163 1171 (1181) 1187 (1193 ) 1201 (1213) (1217)
1223 1231 (1249) 1279 (1289) (1297) 1303 1319 (1321) 1327
(1361) 1367 1399 (1409) 1423 (1429) (1433) 1439 1447 1459
1471 (1481) 1487 (1489) 1511 1543 (1553) 1559 1567 1579
1583 (1597) (1601) 1607 (1609) (1613) 1627 (1657) 1663 (1697) 1699 (1709) (1721) 1723 (1752) 1759 (1777) 1783 (1789) (1801) 1811 1823 1831 1847 1871 (1873) (1877) 1879 (1889) (l901)
1907 (1913) 1931 (1933) (1949) 1951 (1973) 1979 1987 (1993)
(1997) 1999 2003 2011 (2017) 2027 (2029) 2039 (2053) 2063
(2069) (2081) 2083 2087 (2089) 2099 2111 (2113) (2129) 2131 (2137) (2141) 2143 (2153) (2161) 2179 2203 2207 (2213) (2221)
BIBLIOGRAFíA
Abellanas, M. Y Lodares D. "Análisis de Algoritmos y Teoría de Grafos". Ed. Ra-ma. 1990.
Anderson, l. "Introducción a la combinatoria". Ed. Vicens Vives, 1993
Anderson, l. "A First Course in Discrete Mathematics". Ed. Sprinqer, 2001
Barnett, S. "Discrete Mathematics". Ed. Addison-Wesley, 1998.
Biqgs, N. L. "Matemática Discreta". Vicens Vives 1994
García Merayo, F. "Matemática Discreta". Ed. Paraninfo 2001.
Goodaire, E. y Parmenter, M. "Discrete Mathematics with Graph Theory". Ed. Prentice Hall 1998.
Grimaldi, R. P. "Matemática Discreta y Combinatoria". Ed. Addison-
Wesley Iberoamericana. 1989.
Triángulos rectángulos de lados enteros 29 Hernández, G. "Grafos. Teoría y algoritmos". Facultad de Informática. UPM. 2003.
Jonhsonbaugh, R. "Matemáticas Discretas'" Ed. Prentice Hall, 1999.
Rey Pastor, J. ELEMENTOS DE ANÁLISIS ALGEBRAICO. 15
aEdición. CAPITULO 11Teoría de la Divisibilidad Numérica.
Rosen, K "Matemática Discreta y sus Aplicaciones". 5 Ed. McGraw- Hill.2004
Libros de problemas
Bujalance, E.; Bujalance, J. A.; Costa, A. F. Y Martínez, E.
"Problemas de Matemática Discreta. Ed. Sanz y Torres, 1993
García Merayo, F.; Hernández, G. y Nevot, A. "Problemas resueltos de Matemática Discreta". Ed. Thomson-Paraninfo, 2003.
García, c.; López, J. y Puigjaner, D. "Matemática Discreta.
Problemas y ejercicios resueltos". Ed. Prentice Hall, 2002.
Lipschutz, S. "Matemática Discreta. Teoría y 600 problemas
resueltos". Serie Schaum. Ed. Mc-Graw-Hill. 1990
PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIA' DE LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE - MADRID
(Antes Seminario de Astronomía y Geodesia)
l.-Efemérides de 63 Asteroides para la oposición de 1950 (1949).
2.-E, PAJARES:Sobre el cálculo gráfico de valores medios (1949).
3.-1. PENSADO:Orbita del sistema visual a' U Maj (1950).
4.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1951 (1950).
5.-J. M. TORROJA:Corrección de la órbita del Asteroide 1395 "Aribeda" (1950).
6.-R. CARRASCOy 1. M. TORROJA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1371 "Resi"
(1971).
7.-J. M. TORROJAy R. CARRASCO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1560 (1942 XB) y efemérides para la oposición de 1951 (1951).
8.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual ;2728-32 Orionis (1951).
9.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1952 (1951).
10.-J. PENSADO:Orbita provisional de ;21883 (1951).
1l.-M. L. SIEGRIST:Orbita provisional del sistema visual ;22052 (1952).
12.-Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953 (1952).
13.-1. PENSADO:Orbita de ADS 9380
=
;21879 (1952).14.-F. ALCÁZAR:Aplicaciones del Radar a la Geodesia (1952).
15.-J. PENSADO:Orbita de ADS 11897=;22438 (1952).
16.-B. RODRÍGUEZ-SALINAS:Sobre varias formas de proceder en la determinación de perío- dos de las marcas y predicción de las mismas en un cierto lugar (1952).
17.-R. CARRASCOy M. PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1528 "Conrada"
(1953).
18.-1. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Orbita de ADS 1709=;2228 (1953).
19.-1. BALTÁ: Recientes progresos en Radioastronomía. Radiación solar hiperfrecuente (1953).
20.-1. M. TORROJAy A. VÉLEZ:Corrección de la órbita del Asteroide 1452 (1938 DZ,) (1953).
21.-J. M. TORROJA:Cálculo con Cracovianos (1953).
22.-S. AREND:Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representación matemática de fenómenos experimentales (1953).
23.-1. M. TORROJAy V. BONGERA:Determinación de los instantes de los contactos en el eclipse total de Sol de 25 de febrero de 1952 en Cogo (Guinea Española) (1954).
24.-1. PENSADO:Orbita de la estrella doble ;22 (1954).
25.-J. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1420 "Radcliffe" (1954).
26.-1. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1557 (1942 AD) (1954).
27.-R. CARRASCOy M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1290 "Alber- tine" (1954).
28.-J. PENSADO:Distribución de los períodos y excentricidades y relación período-excen- tricidad en las binarias visuales (1955).
29.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Nueva órbita del Asteroide 1372 "Harernari" (1955).
30.-M. DE PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1547 (1929 CZ) (1955).
31.-1. M. TORROJA:Orbita del Asteroide 1554 "Yugoslavia" (1955).
32.-1. PENSADO:Nueva órbita del Asteroide 1401 "Lavonne" (1956).
33.-J. M. TORROJA:Nuevos métodos astronómicos en el estudio de la figura de la Tierra (1956).
34.-D. CALVO: Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 "Miindleira" (1956).
35.-M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1238 "Predappia" (1956).
36.-1. PENSAOO: Distribución de las inclinaciones y de los polos de las órbitas de las es- trellas dobles visuales (1956) .
.>7.-J. M. TORROJA y V. BONGERA: Resultados de la observación del eclipse total de Sol de 30 de junio de 1954 en Sydkosler (Suecia) (1957).
38.--ST. WIERZBINSKI: Solution de- équations normales par l'algorithme des cracoviens (1958).
39.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN: Rectificación de la órbita del Asteroide 1192 "Prisma" (1958).
40.-M. LÓPEZ ARROYO: Sobre la distribución en longitud heliográfica de las manchas so- lares (1958).
4 l.-F. MÚGICA: Sobre la ecuación de Laplace (1958).
42.-F. MARTÍN Asín: Un estudio estadístico sobre las coordenadas de los vértices de la triangulación de primer orden española (1958).
43.-ST. WIERZBINSKI: Orbite arnéliorée de h 4530
= )"
Cen = Cpd -48', 4965 (1958).44.-D. CALVO BARRENA: Rectificación de la órbita del Asteroide 1164 "Kobolda" (1958).
45.-M. LóPEZ ARROYO: El ciclo largo de la actividad solar (1959).
46.-F. MÚGICA: Un nuevo método para la determinación de la latitud (1959).
47.-1. M. TORROJA: La observación del eclipse de 2 de octubre de 1959 desde El Aaiun (Sahara) (1960).
48.-1. M. TORROJA, P. jlMÉNEZ-LANOI y M. SoLÍs: Estudio de la polarización de la luz de la corona solar durante el eclipse total de Sol del día 2 de octubre de 1959 (1960).
49.-E. PAJARES: Sobre el mecanismo diferencial de un celóstato (1960).
50.-1. M. GONZÁLEZ-ABOIN: Sobre la diferencia entre lus radios vectores del elipsoide in- ternacional y el esferoide de nivel (1960).
51.-J. M. TORROJA: Resultado de las observaciones del paso de Mercurio por delante del disco solar del 7 de noviembre de 1960 efectuadas en los observatorios españoles (1961).
52.-F. MÚGICA: Determinación de la latitud por el método de los verticales simétricos (1961).
53.-M. LÓPEZ ARROYO: La evolución del área de las manchas solares (1962J.
S4.-F. :V1l;ldO: Determinación simuuánea e independiente de la latitud y longitud me- diante verticales simétricos (1%2).
55.-1'. DiEZ-PICAZO: Elementos de la órbita de la variable eclípsante V 499 Scorpionis (1964)
56.-J. M. TORROJA: Los Observatorios Astronómico" en la era espacial (1965).
S7.-F. !'vIARTÍNASÍN: Nueva aportación al estudio de la red geodésica de primer orden
española y su comparación con la red compensada del sistema europeo (1966).
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