FUNCIÓN RACIONAL Función Racional.

FUNCIÓN RACIONAL

Función Racional. Dados 2 polinomios p x( ) y ( )q x tales que no tienen factores

comunes, se define la función racional como la función formada por el cociente de los

polinomios

( ) ^{( )} ( ) y f x p x

q x

Ejemplos de funciones racionales:

1.- La función

y f x( ) ¹

  x

es racional 2.- La función

y f1( )x ¹₂

  x

es racional 3.- La función

( ) ²

1 y f x x

  x



es racional

4.- La función

3

2

6 5

( ) 2 5

x x

y f x

x

 

 



es racional.

5.- La función

( ) ₂ ¹

2 1

y f x x

x x

  

 

es racional.

6.- la función

2 2

( 2)( 12)

( ) ( 3)( 2 8)

x x x

y f x

x x x

  

 

  

El dominio de toda función racional es igual al conjunto



^{( ) 0}



Df  x q x  



^{x q x( )0}

 al conjunto de valores de x para los cuales la función

f x( )0

también se les llama singularidades de la función racional: El rango de la función no puede determinarse de una forma general ya que depende de la estructura de su numerador y denominador. En el caso en que el comportamiento de la función cuando

& cuando 0

x  x

así como el comportamiento de la función para cada una de las singularidades que tiene.

Los ceros del denominador son los valores de x que se EXCLUYEN del Dominio, además, representan las asíntotas de la función y = f (x), las cuales son rectas

perpendiculares al eje X que pasan por cada raíz del denominador

q x( )0

y la gráfica de

la función tiene un comportamiento asintótico, es decir conforme un punto de la gráfica se aleja del origen ya sea en la dirección del eje X o en la del eje Y, la gráfica se aproxima a la asíntota vertical

xr_i

o a la asíntota horizontal

yk

.



^{( )}



Df  R raíces de q x

Ejemplos

1.- Consideremos a la función

y f x( ) ¹

  x

, observemos que no hay factores comunes entre el numerador y el denominador. Para determinar al dominio de la función debemos excluir de los números reales los valores en donde el denominador se hace cero, es decir los ceros del polinomio x = 0 , por lo tanto la asuntota vertical es la recta vertical cuya ecuación es

x

0 la cual corresponde a l eje Y.

De donde se obtiene que el dominio

Df  

  ⁰ , para obtener el rango

observamos el comportamiento la función cuando

x 

y se tiene que

y f x( )0

lo cual indica que y = 0 es una asíntota horizontal de la función racional, entonces, el rango de la función es

Rf  

  ⁰ .

( ) 0 x  f x 

función y = f(x) = 1 /x

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1/2 -1/4 1/99

f(x) -0.1428 0.1666 -0.2 -0.25 -0.3333 -0.5 -1 -2 -4 -99

( ) 0 x  f x 

Función y = f(x) = 1/ x

x

0.001 0.01 0.1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 1000 100 10 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1666 0.1428 0.125

2.- consideremos la función racional

) 1

(  

 x

x x f

y

, observemos que no hay factores comunes entre el numerador y el denominador. Para determinar al dominio de la función debemos excluir de los números reales los valores en donde el denominador se hace cero, es decir los ceros del polinomio x + 1 = 0 , existe un solo valor, x = 1.

Entonces el dominio es:

D_f R



1

. Para obtener al rango, analizamos el

comportamiento de la función en los intervalos

(,1) y (1,)

obteniendo los valores que toma la función para cada valor del dominio dando por lo menos un valor cercano a cada cero y determinar el comportamiento de la gráfica de la función.

Para esto formemos las siguientes tablas

función y = f(x) = x / ( x-1 )

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0.5 0.990

f(x) 0.875 0.8571 0.8333 0.8 0.7 0.6667 0.5 0.0 1.0 -99.0

                              





























































x y

x tiende a + infinito y=f(x) tiende (se aproxima) a cero x tiende a - infinito y=f(x) tiende (se aproxima) a cero

Asíntota horizontal y = 0 (eje X) Asíntota vertical x = 0 (eje Y)

cuando x se aproxima a cero con valores positivos la función fx) tiende a mas infinito y se aproxima al eje Y

eje Y cuando x se aproxima a cero con valores negativos la función f(x) tiende a menos infinito y se aproxima al

Función y = f(x) = x / (x - 1 )

x

1.001 1.01 1.1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 1001.00 101.00 11.0 2.0 1.5 1.3333 1.25 1.2 1.17 1.1

Como ejemplo consideremos a la función racional

6 5 5 5 )

(  4 3 2 



x x x x x x f y

en donde los ceros del denominador son x = -3, -2, -1 y 1 por lo tanto el dominio es:



3,2,1,1





R

D_f

; Las asíntotas verticales de la función racional son: x = -3; x = -2; x = - 1 & x = 1. Para determinar el rango analizaremos el comportamiento de la función en los intervalos

(,3];

(-3, -2); (-2, -1); (-1, 1) &

(1,)

la grafica de la función es:

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3 -2 -1 1 2 3

x y

x = 1

Asíntota

y = f(x) = x / [ x - 1 ]

Dominio = R - { 1 } Rango = R - { 1 }

Asíntota

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

x y

x1 x2 x3 x4

y = f (x) = x / [ x^4 + 5x ³ + 5x ² - 5x - 6 ] Ceros de la función

En el intervalo

(,3)

, para valores de x son cercanos a –3 , la gráfica se acerca a la asíntota hacia la parte negativa del eje Y, por lo que el rango de la función contiene a los todos los números reales negativos

R^

y en el intervalo

(1,)

la función toma valores reales positivos y para valores cercanos a 1, por ejemplo x = 1.001, el valor de la función es mucho muy grande, es decir la tendencia de la gráfica es hacia mas infinito acercándose cerradamente a la asíntota, entonces, el rango de la función contiene a todos los números reales positivos

R^

, por lo tanto el único valor que falta por analizar es el correspondiente a x = 0, en este punto , el valor de la función es igual a cero, por lo tanto el rango de la función contiene al cero, entonces el rango de la función es todo el conjunto de los números reales

RR^R^

 

0

.

Las funciones racionales pueden tener asíntotas horizontales, oblicuas o un comportamiento asintótico a una curva en particular o no tener ninguna asíntota.

La relación entre los grados de las funciones numerador y denominador de la función racional define el tipo de asíntota que tiene de acuerdo a la siguiente tabla:

Función racional

( ) ( ) ( )

f x p x

 q x

Coeficiente principal de p x

( ) es

a₀ y coeficiente principal de q x( ) es b₀ Grado de p x( ) < grado de q x( )  asíntota horizontal y0

Gradi de ( ) p x  Grado de ( )q x  asíntota horizontal ⁰

0

y a

 b Grado de grado de ( ) p x  grado de q(x)  No tiene asíntota horizontal

En este último caso se tiene comportamiento asintótico a la función c x( ) obtenida de la división

( ) ( )

( ) ( ) ( )

p x r x

q x c x q x

Ejemplo 1. Determina las asíntotas verticales y horizontales de la función

5

( ) 4

f x x

 x

 Solución. La ecuación de la asíntota vertical la obtenemos igualando a cero al denominador x 4 0 de donde se tiene la ecuación x4

Para la obtención de la asíntota horizontal, analizamos los grados del numerador y denominador de la función y obtenemos que son iguales por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es igual al cociente de los coeficientes principales de los polinomios ⁰

0

y a

 b , el

coeficiente del numerador a₁ 

5

y el del denominador es b₀ 1 entonces la ecuación de la asíntota horizontal es y5

Ejemplo 2. Determina las asíntotas verticales y horizontales de la función ₂

2

( ) 4

f x x

 x

 Solución. La ecuación de la asíntota vertical la obtenemos igualando a cero al denominador x² 4 0 cuya solución es x4 y x 4 las cuales representan a las ecuaciones de las asíntotas verticales.

Para la obtención de la asíntota horizontal, analizamos los grados del numerador y denominador de la función y obtenemos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador por lo tanto la ecuación de la asíntota es y0 .

Ejemplo 3. Determina las asíntotas verticales y horizontales de la función

3 2

( ) 2

9

f x x

 x

 Solución. La ecuación de la asíntota vertical la obtenemos igualando a cero al denominador x² 9 0 cuya solución es x3 y x 3 las cuales representan a las ecuaciones de las asíntotas verticales.

Para la obtención de la asíntota horizontal, analizamos los grados del numerador y denominador de la función y obtenemos que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.

Es conveniente que antes de obtener las asíntotas verticales de la función racional analicemos que el numerador y denominador no tienen factores comunes, en este caso la función racional tendrá una simplificación de dichos factores generando con esta a una nueva función racional

1 1

( ) ( )

( ) g x p x

 q x en donde las funciones f x( ) y ( )g x tienen las mismas asíntotas y sus gráficas difieren en el punto xh correspondiente al factor común de los polinomios, la ordenada de este punto es igual a g h( ) y el punto correspondiente es H h g h[ , ( )] al cual se le llama hueco de la función f x( ). El punto H h g h[ , ( )]no pertenece a f x( ) pero si pertenece a la función

( )

g x en este punto la función f x( )tiene una discontinuidad removible.

Ejemplo 4. Determina las asíntotas verticales y horizontales t traza la gráfica de la función

2 2

2 5 2

( ) 2

x x

f x x x

 

  

Solución. Antes de tratar de iguales el denominador a cero, factoricemos tanto el numerador como el denominador para determinar si la función racional tiene factores comunes,.

2 2

2 5 2 (2 1)( 2)

( ) 2 ( 2)( 1)

x x x x

f x x x x x

   

 

    observamos que tienen un factor común (x2) , construimos la función 2 1

( ) 1

g x x x

 

 cuya gráfica con respecto a la gráfica de f x

( )

difieren en el punto H( 2, ( 2)) g  H( 2,1) .

La asíntota vertical tiene como ecuación x1 y la horizontal es y2 (ya₀/b₀ 2 /1 2 ) y el hueco es el punto H( 2,1)

Grafica:

Ejercicios. Para cada uno de los siguientes ejercicios, determina:

a. Sus asíntotas verticales b. Sus asíntotas horizonbtales c. Sus huecos ( si tiene) d. Traza su gráfica.

2 2

6 4

1. ( ) 2. ( )

3 9 5

1 2 4

3. ( ) 4. ( )

1 3 1

3 6

5. ( ) 6. ( )

4 1

f x f x

x x

x x

f x f x

x x

x x

f x f x

x x

    

 

 

   

 

    

 

           















x y

H ( -2 , 1) y = 2

x = 1