Elementos conocidos

(1)

MC: Teor´ıa de la Decisi´ on Software

Melilla, Mayo 2014

V´ıctor Blanco Dpt. M´etodos Cuantitativos para la Econom´ıa y la Empresa UGR

(2)

1 Teor´ıa de la Decisi´on Discreta

2 Decision Multicriterio

(3)

Elementos conocidos

• Acciones posibles o alternativas:{a1, . . . ,am}.

• Estados de la naturaleza:{θ1, . . . , θn}. Representa el conjunto de posibles escenarios a tener en cuenta para tomar una decisión. No es más que la descripción completa de los factores externos que están fuera del control del decisor. El conocimiento completo de estos estados podr´ıa predecir con exactitud las consecuencias de las acciones. El decisor debe analizar estos estados y determinar cuáles son relevantes, y enumerarlos de forma exhaustiva. Si sólo tenemos un estado de la naturaleza, entonces sabemos con certeza qué va a ocurrir, y por tanto, es sencillo tomar una decisión sobre qué alternativa escoger: aquella que me produzca un mayor beneficio.

• Resultado o Consecuencias: Para cada alternativa ai y cada estado θj, un resultado rij.

• En ambiente de riesgo, adem´as, cada estado de la naturaleza θj, se le asociar´ıa una probabilidad P[θj].

(4)

Elementos conocidos

(5)

Elementos conocidos

(6)

(7)

Elementos conocidos

(8)

P[θ1] P[θ2] · · · P[θn] θ1 θ2 · · · θn

a1 r11 r12 · · · r1n

a2 r21 r22 · · · r2n

..

. ... ... ...

am rm1 rm2 · · · rmn

(9)

M´ etodos

• Ambiente de Riesgo:

• VME.

• Mejor valor del estado m´as probable.

• POE.

• Ambiente de Incertidumbre:

• Laplace.

• Wald.

• Minimax.

• Hurwicz.

• Savage.

(10)

PROMETHEE: Preference Ranking Organization Method for Enrichment Evaluations.

La idea principal de los m´etodos PROMETHEE, es construir una funci´on de preferencia de las alternativas para cada criterio.

El primer paso es determinar la distancia entre dos alternativas para cada criterio. Para esto consideramos la funci´on de utilidad de cada criterio para cada alternativa, esto es, para cada alternativa ai, tendremos

u1(ai),u2(ai), . . . ,uk(ai)

donde se se valora esta alternativa en cada criterio (u`(ai)es la utilidad del criterio `-´esimo para ai).

Si queremos comparar dos alternativas ai y aj para el criterio `, su distancia ser´a:

dij^`=u`(ai) −u`(aj)

(11)

PROMETHEE

Coste Impacto Medioambiental Tiempo ejecuci´on

A 0.667 0.069 0.143

B 0.111 0.621 0.286

C 0.222 0.310 0.571

Las utilizades ser´ıan los resultados en cada alternativa: u1(A) = 0,667, u1(B) = 0,111, u1(C ) = 0,222, ...

Las diferencias d_AB¹ =u1(A) − u1(B) = 0,556...

(12)

PROMETHEE

El siguiente paso es medir estas distancias para poder compararlas y establece umbrales.

1 que hay una preferencia clara de una por otra.

Example

Supongamos un decisor que quiere elegir entre varios coches para comprar uno, si nos fijamos en el criterio Precio, una diferencia de precio de menos 500e entre dos coches no es suficiente para decantarnos por uno de ellos, por tanto, ese margen de ±500e ser´ıa el umbral de indiferencia.

Quizás con 510e no nos decantemos claramente por el coche más barato.... pero s´ı a partir de 1500e... ¿Cómo medimos eso?

(13)

PROMETHEE

El siguiente paso es medir estas distancias para poder compararlas y establece umbrales.

Hay que definir una funci´on de indiferencia H`de forma que me mida entre 0 y 1 de forma

que:

0 significa que las alternativas son indiferentes, 1 que hay una preferencia clara de una por otra.

Example

Supongamos un decisor que quiere elegir entre varios coches para comprar uno, si nos fijamos en el criterio Precio, una diferencia de precio de menos 500e entre dos coches no es suficiente para decantarnos por uno de ellos, por tanto, ese margen de ±500e ser´ıa el umbral de indiferencia.

Quizás con 510e no nos decantemos claramente por el coche más barato.... pero s´ı a partir de 1500e... ¿Cómo medimos eso?

(14)

Tipo I: Criterio Usual

H`(dij) =

0 si dij=0 1 si dij6= 0

1

1 2

−1

−2 dij

Hℓ(dij)

b

En este caso se considera que si la distancia es 0 (lo que significa que las utilidades son la misma) entonces las dos alternativas son indiferentes, en caso contrario, se prefiere claramente la de mayor utilidad.

(15)

PROMETHEE: Criterios

Tipo II: Criterio en forma de U

H`(dij) =

0 si|dij| ≤ q 1 si|dij| > q

dij

Hℓ(dij)

−q q

Depende de un par´ametro q umbral de indiferencia, que fija hasta donde se considera que la distancia es considerable para ser las alternativas indiferentes.

(16)

Tipo III: Criterio en forma de V

H`(dij) =





|dij|

p si|dij| ≤ p 1 si|dij| > p

dij

Hℓ(dij)

−p p

Depende de un parámetro p (parámetro de preferencia estricta). si la diferencia es 0 las alternativas son indiferentes, pero la indiferencia va creciendo hasta 1 según p.

(17)

PROMETHEE: Criterios

Tipo IV: Criterio de Nivel

H`(dij) =





0 si|dij| ≤ q 0,5 si q <|dij| ≤ p

1 si|dij| > p

0.5 1.0 1.5

−0.5 dij

Hℓ(dij)

−q q

−p p

Depende de dos par´ametros p (preferencia) y q (indiferencia). Si la distancia es menor que q, se consideran indiferentes, si la distancia es mayor que p, entonces se prefiere la alternativa con mayor utilidad, y en los valores intermedios se asigna un valor medio 1

2.

(18)

Tipo V: Criterio de Preferencia Lineal y ´Area de Indiferencia

H`(dij) =





0 si|dij| ≤ q

|dij|−q

p−q si q <|dij| ≤ p 1 si|dij| > p

dij

Hℓ(dij)

−q q

−p p

Depende de dos par´ametros p (preferencia) y q (indiferencia). Es una funci´on mezcla de la tipo II y la tipo III.

Para las distancias menores que q son indiferentes, para los mayores que p hay alguna preferente estricta y para los valores intermedios, cuanto más cerca esté de p más preferencia hay.

(19)

PROMETHEE: Criterios

Tipo VI: Criterio Gaussiano

H`(dij) =

0 si|dij| ≤ 0

1 − e⁻

d 2ij

2σ2 si|dij| > p

dij

Hℓ(dij)

−σ σ

Depende de tres par´ametros p (preferencia), q (indiferencia) y σ (umbral intermedio). En este caso, es igual que el Tipo V, pero en el que el crecimiento en vez de ser lineal sigue la funci´on gausiana o normal.

(20)

PROMETHEE: Criterios

¿Cu´ ando utilizar cada criterio?

niveles) y éstos son muy distintos, se usa el criterio Tipo I. Para diferenciar pequeñas desviaciones de las grandes, el tipo IV es más adecuado.

• Tipo II se suele usar menos, pues es un caso particular del Tipo IV.

• Tipos III y V se ajustan mejor a criterios cuantitativos (precios, costes, potencias, ...).

• Tipo VI es generalmente menos usada por la dificultad de fijar los par´ametros, aunque permite modelar situaciones m´as complejas.

(21)

PROMETHEE: Criterios

¿Cu´ ando utilizar cada criterio?

• Tipo I y tipo IV se usan normalmente para criterios cualitativos. En particular, si el número de niveles en el criterio es bajo (por ejemplo de respuesta SI/NO o hasta 5 niveles) y éstos son muy distintos, se usa el criterio Tipo I. Para diferenciar pequeñas desviaciones de las grandes, el tipo IV es más adecuado.

• Tipo II se suele usar menos, pues es un caso particular del Tipo IV.

• Tipos III y V se ajustan mejor a criterios cuantitativos (precios, costes, potencias, ...).

• Tipo VI es generalmente menos usada por la dificultad de fijar los par´ametros, aunque permite modelar situaciones m´as complejas.

(22)

Ejemplo

Ahora, para cada atributo, decidir´ıamos C ´OMO medir (criterio) y calcular´ıamos, para cada alternativa: H`(dij).

BC

ParaCostecriterio Tipo III (Forma V) con p = 0,5:

• H(dAB) =1.

• H(dAC) = ^0,445_0,5 =0,89.

• H(dBC) = ^0,111_0,5 =0,222.

(23)

Ejemplo

Coste I.M T.E.

A 0.667 0.069 0.143 B 0.111 0.621 0.286 C 0.222 0.310 0.571

Coste I.M. T.E. dAB 0.556 -0.552 -0.143 dAC 0.445 -0.241 -0.428 dBC -0.111 0.311 -0.285

• H(dAB) =1.

• H(dAC) = ^0,445_0,5 =0,89.

• H(dBC) = ^0,111_0,5 =0,222.

(24)

Ejemplo

Coste I.M T.E.

A 0.667 0.069 0.143 B 0.111 0.621 0.286 C 0.222 0.310 0.571

Coste I.M. T.E.

dAB 0.556 -0.552 -0.143 dAC 0.445 -0.241 -0.428 dBC -0.111 0.311 -0.285

• H(dAC) = ^0,445_0,5 =0,89.

• H(dBC) = ^0,111_0,5 =0,222.

(25)

Ejemplo

Coste I.M T.E.

A 0.667 0.069 0.143 B 0.111 0.621 0.286 C 0.222 0.310 0.571

Coste I.M. T.E.

dAB 0.556 -0.552 -0.143 dAC 0.445 -0.241 -0.428 dBC -0.111 0.311 -0.285

• H(dAB) =1.

• H(dAC) = ^0,445_0,5 =0,89.

• H(dBC) = ^0,111_0,5 =0,222.

(26)

PROMETHEE

Una vez establecido para cada criterio el tipo de indiferencia (no tiene porqu´e ser para todos los criterios el mismo), se calcula el ´ındice de preferencia multicriterio:

cij= Xk

`=1

X

a_ia_j

ω`H`(dij)

donde ω1, . . . , ωk son los pesos (normalizados) establecidos por el decisor para cada criterio.

(Nota: Mejor o Peor dependerá de lo que se mida con cada criterio (MÁX o MÍN), para COSTES, un valor menor es mejor, sin embargo, para BENEFICIOS, un valor mayor es mejor.)

(27)

PROMETHEE

cij= Xk

`=1

X

a_ia_j

ω`H`(dij)

IMPORTANTE: S´olo se suma cuando ai es mejor que aj en cada criterio!!! ai aj. En caso de que los valores sean iguales se da un peso de ¹₂ a cada uno de ellos.

(28)

cij= Xk

`=1

X

a_ia_j

ω`H`(dij)

IMPORTANTE: S´olo se suma cuando ai es mejor que aj en cada criterio!!! ai aj. En caso de que los valores sean iguales se da un peso de ¹₂ a cada uno de ellos.

(29)

PROMETHEE

cij: valor que mide la preferencia (o indiferencia) de ai sobre aj;n: n´umero de alternativas.

• Flujo de Superaci´on Positivo: Φ⁺(ai) = 1 n − 1

Xn j =1

cij (la suma de los ´ındices donde ai aparec´ıa primero). Valora hasta que punto la alternativa ai supera al resto de alternativas.

• Flujo de Superaci´on Negativo: Φ⁻(ai) = 1 n − 1

Xn j =1

cji (la suma de los ´ındices donde ai aparec´ıa en segundo lugar). Valora hasta que punto la alternativa ai es superada por alguna alternativa.

• Flujo de Superaci´on Neto: Φ(ai) = (Φ⁺(ai) − Φ⁻(ai)). Es la diferencia de flujos.

(30)

• PROMETHEE I:

ai aj si Φ⁺(ai)≥ Φ⁺(aj)y Φ⁻(ai)≤ Φ⁻(aj) (no siendo ambas desigualdades =)

ai' ajsi Φ⁺(ai) = Φ⁺(aj)y Φ⁻(ai) = Φ⁻(aj)

• PROMETHEE II:

ai aj si Φ(ai) > Φ(aj) y ai' aj si Φ(ai) = Φ(aj)

(31)

Ejemplo: PROMETHEE

Supongamos que alguien quiere comprar un coche nuevo y duda entre 3 posibles modelos:

• Turismo

• Lujo

• Econ´omico.

El comprador considera que hay 3 criterios fundamentales que debe tener en cuenta para comprar el coche:

• Precio (ene).min

• Potencia (en kW).max

• Comodidad:muy malo(0),malo(1),medio(2),bueno(3) ymuy bueno(4).max

(32)

El decisor, tras informarse sobre cada coche, rellena su tabla de preferencias:

Precio Potencia Comodidad

Turismo 26000 75 2

Lujo 38000 90 4

Economico 15000 50 0

(33)

Ejemplo: PROMETHEE

Escogemos los tipos de criterios generalizados para cada criterio:

• Precio: Tipo III (p = 15000e)

• Potencia: Tipo V (p = 30, q = 5)

• Comodidad: Tipo IV (p = 2,5, q = 0,5)

Y los pesos de preferencia: Supongamos que consideramos todos los criterios igualmente preferibles (ωi = 1

3,∀i ).

(34)

Escogemos los tipos de criterios generalizados para cada criterio:

• Precio: Tipo III (p = 15000e)

• Potencia: Tipo V (p = 30, q = 5)

• Comodidad: Tipo IV (p = 2,5, q = 0,5)

Y los pesos de preferencia: Supongamos que consideramos todos los criterios igualmente preferibles (ωi = 1

3,∀i ).

(35)

Ejemplo: PROMETHEE

´Indices de preferencia:

Para Turismo (a1) y Lujo (a2):

• Precio:

d12=26000 − 38000 = −12000⇒ | − 12000| < p = 15000 ⇒ H1(d12) =12000 15000=0,8

• Potencia:

d₁₂=75 − 90 = −15⇒ q = 5 ≤ | − 15| ≤ p = 30 ⇒ H2(d₁₂) =15 − 5 30 − 5 =0,4

• Comodidad:

d₁₂=medio(2) −muy bueno(4) = −2⇒ q = 0,5 ≤ | − 2| ≤ p = 2,5 ⇒ H3(d₁₂) =0,5

c₁₂=1

30,8 + 0^∗+0^∗=0,2666 (0^∗indica que al no superar a₁a a₂, no suma en el c´alculo del ´ındice). Podemos calcular c21teniendo en cuenta los sumandos donde a2supera a a1:

c21=0^∗+1 30,4 +1

30,5 = 0,3

(36)

Ejemplo: PROMETHEE

• Precio:

d12=26000 − 38000 = −12000⇒ | − 12000| < p = 15000 ⇒ H1(d12) =12000 15000=0,8

• Potencia:

d₁₂=75 − 90 = −15⇒ q = 5 ≤ | − 15| ≤ p = 30 ⇒ H2(d₁₂) =15 − 5 30 − 5 =0,4

c₁₂=1

c21=0^∗+1 30,4 +1

30,5 = 0,3

(37)

Ejemplo: PROMETHEE

• Precio:

d12=26000 − 38000 = −12000⇒ | − 12000| < p = 15000 ⇒ H1(d12) =12000 15000=0,8

• Potencia:

d₁₂=75 − 90 = −15⇒ q = 5 ≤ | − 15| ≤ p = 30 ⇒ H2(d₁₂) =15 − 5 30 − 5 =0,4

• Comodidad:

c₁₂=1

c21=0^∗+1 30,4 +1

30,5 = 0,3

(38)

• Precio:

d12=26000 − 38000 = −12000⇒ | − 12000| < p = 15000 ⇒ H1(d12) =12000 15000=0,8

• Potencia:

d₁₂=75 − 90 = −15⇒ q = 5 ≤ | − 15| ≤ p = 30 ⇒ H2(d₁₂) =15 − 5 30 − 5 =0,4

• Comodidad:

c₁₂=1

30,8 + 0^∗+0^∗=0,2666 (0^∗indica que al no superar a₁a a₂, no suma en el c´alculo del ´ındice).

Podemos calcular c21teniendo en cuenta los sumandos donde a2supera a a1: c₂₁=0^∗+1

30,4 +1 30,5 = 0,3

(39)

Ejemplo: PROMETHEE

Para Turismo (a1) y Econ´omico (a3):

• Precio:

d₁₃=26000 − 15000 = 11000⇒ |11000| < p = 15000 ⇒ H1(d₁₃) =11000 15000=0,7333

• Potencia:

d13=75 − 50 = 25⇒ q = 5 ≤ |25| ≤ p = 30 ⇒ H2(d13) =25 − 5 30 − 5 =0,8

• Comodidad:

d13=medio(2) −muy malo(0) = 2⇒ q = 0,5 ≤ |2| ≤ p = 2,5 ⇒ H3(d13) =0,5

c13=0^∗+1 30,8 +1

30,5 = 0,4333 c31=1

30,7333 + 0^∗+0^∗=0,24444

(40)

Ejemplo: PROMETHEE

• Precio:

d₁₃=26000 − 15000 = 11000⇒ |11000| < p = 15000 ⇒ H1(d₁₃) =11000 15000=0,7333

• Potencia:

d13=75 − 50 = 25⇒ q = 5 ≤ |25| ≤ p = 30 ⇒ H2(d13) =25 − 5 30 − 5 =0,8

c13=0^∗+1 30,8 +1

30,5 = 0,4333 c31=1

30,7333 + 0^∗+0^∗=0,24444

(41)

Ejemplo: PROMETHEE

• Precio:

d₁₃=26000 − 15000 = 11000⇒ |11000| < p = 15000 ⇒ H1(d₁₃) =11000 15000=0,7333

• Potencia:

d13=75 − 50 = 25⇒ q = 5 ≤ |25| ≤ p = 30 ⇒ H2(d13) =25 − 5 30 − 5 =0,8

• Comodidad:

c13=0^∗+1 30,8 +1

30,5 = 0,4333 c31=1

30,7333 + 0^∗+0^∗=0,24444

(42)

• Precio:

d₁₃=26000 − 15000 = 11000⇒ |11000| < p = 15000 ⇒ H1(d₁₃) =11000 15000=0,7333

• Potencia:

d13=75 − 50 = 25⇒ q = 5 ≤ |25| ≤ p = 30 ⇒ H2(d13) =25 − 5 30 − 5 =0,8

• Comodidad:

c13=0^∗+1 30,8 +1

30,5 = 0,4333 c31=1

30,7333 + 0^∗+0^∗=0,24444

(43)

Ejemplo: PROMETHEE

Para Lujo (a2) y Econ´omico (a3):

• Precio:

d₂₃=38000 − 15000 = 23000⇒ |23000| > p = 15000 ⇒ H1(d₂₃) =1

• Potencia:

d₂₃=90 − 50 = 40⇒ |40| > p = 30 ⇒ H2(d₂₃) =1

• Comodidad:

d₂₃=muy bueno(4) −muy malo(0) = 4⇒ 4 > p = 2,5 ⇒ H3(d₂₃) =1

c₂₃=0^∗+1 31 +1

31 = 0,6666 c₃₂=1

31 + 0^∗+0^∗=0,3333

(44)

Ejemplo: PROMETHEE

• Precio:

d₂₃=38000 − 15000 = 23000⇒ |23000| > p = 15000 ⇒ H1(d₂₃) =1

• Potencia:

d₂₃=90 − 50 = 40⇒ |40| > p = 30 ⇒ H2(d₂₃) =1

c₂₃=0^∗+1 31 +1

31 = 0,6666 c₃₂=1

31 + 0^∗+0^∗=0,3333

(45)

Ejemplo: PROMETHEE

• Precio:

d₂₃=38000 − 15000 = 23000⇒ |23000| > p = 15000 ⇒ H1(d₂₃) =1

• Potencia:

d₂₃=90 − 50 = 40⇒ |40| > p = 30 ⇒ H2(d₂₃) =1

• Comodidad:

c₂₃=0^∗+1 31 +1

31 = 0,6666 c₃₂=1

31 + 0^∗+0^∗=0,3333

(46)

• Precio:

d₂₃=38000 − 15000 = 23000⇒ |23000| > p = 15000 ⇒ H1(d₂₃) =1

• Potencia:

d₂₃=90 − 50 = 40⇒ |40| > p = 30 ⇒ H2(d₂₃) =1

• Comodidad:

c23=0^∗+1 31 +1

31 = 0,6666 c₃₂=1

31 + 0^∗+0^∗=0,3333

(47)

Ejemplo: PROMETHEE

´Indices de Preferencia:

Turismo Lujo Econ´omico

Turismo - 0.2666 0.4333

Lujo 0.3 - 0.6666

Econ´omico 0.2444 0.3333 0

PROMETHEE I: a1 a3y a2 a3(a1y a2no son comparables):

a2

a3

a₁

>>

(48)

Ejemplo: PROMETHEE

Para calcular los flujos sumamos por filas y por columnas (dividiendo por #alternativas − 1 = 2):

Turismo Lujo Econ´omico Φ⁺

Turismo - 0.2666 0.4333 0.35

Lujo 0.3 - 0.6666 0.48333

Econ´omico 0.2444 0.3333 - 0.2888

Φ⁻ 0.2722 0.3 0.55

PROMETHEE I: a1 a3y a2 a3(a1y a2 no son comparables):

a3

a1

>>

(49)

Ejemplo: PROMETHEE

Para calcular los flujos sumamos por filas y por columnas (dividiendo por #alternativas − 1 = 2):

Turismo Lujo Econ´omico Φ⁺

Turismo - 0.2666 0.4333 0.35

Lujo 0.3 - 0.6666 0.48333

Econ´omico 0.2444 0.3333 - 0.2888

Φ⁻ 0.2722 0.3 0.55

PROMETHEE I: a1 a3y a2 a3(a1y a2 no son comparables):

a2

a3

a1

>>

(50)

Ejemplo: PROMETHEE

Y el flujo neto se obtiene haciendo la diferencia entre Φ⁺y Φ⁻:

Turismo Lujo Econ´omico Φ⁺ Φ

Turismo - 0.2666 0.4333 0.35 0.0777

Lujo 0.3 - 0.6660 0.48333 0.183

Econ´omico 0.2444 0.3333 - 0.2888 -0.2611

Φ⁻ 0.2722 0.3 0.55

a2 a1 a3

(51)

Ejemplo: PROMETHEE

Y el flujo neto se obtiene haciendo la diferencia entre Φ⁺y Φ⁻:

Turismo Lujo Econ´omico Φ⁺ Φ

Turismo - 0.2666 0.4333 0.35 0.0777

Lujo 0.3 - 0.6660 0.48333 0.183

Econ´omico 0.2444 0.3333 - 0.2888 -0.2611

Φ⁻ 0.2722 0.3 0.55

PROMETHEE II: a2 a1 a3.

a2 //a1 //a3

(52)

Visual Promethee:http://www.promethee-gaia.net/software.html Sanna:nb.vse.cz/~jablon/sanna.htm