EC 2322 Analisis Fibras Ópticas pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. 5.2. ANÁLISIS DE LA FIBRA ÓPTICA DE ÍNDICE ESCALONADO. En esta sección se estudia la forma de las funciones asociadas a las. componentes axiales de los modos de una fibra óptica de índice escalonado y se presentan algunas fórmulas útiles para el análisis y el diseño a grosso modo de fibras ópticas. 5.2.1 Componentes axiales de los modos de una fibra óptica de índice escalonado De acuerdo con lo visto en la Unidad 1 los campos electromagnéticos correspondientes a ondas que se propagan en dirección z en un medio lineal, isotrópico, homogéneo y sin fuentes son, en coordenadas cilíndricas:. (. ). Fˆ ± ( ρ ,φ , z ) = fˆt± ( ρ ,φ ) + 1z fˆz± ( ρ ,φ ) e m γˆ z. (5.3). donde: ∇ t2 fˆt± ( ρ ,φ ) + kˆc 2 fˆt± ( ρ ,φ ) = 0. (5.4). ∇ t2 fˆz± ( ρ ,φ ) + kˆc 2 fˆz± ( ρ ,φ ) = 0. (5.5). γˆ 2 = kˆc 2 − ω 2 µ εˆ. (5.6). El hecho de disponerse de ecuaciones de onda sólo para medios lineales, isotrópicos y homogéneos hace que la presente discusión solamente sea aplicable a las fibras ópticas de índice escalonado, ya que en las de índice gradual el núcleo es un medio heterogéneo.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 1.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. Aunque está fuera del alcance del curso de Teoría de Ondas resolver completamente las ecuaciones de onda para los modos híbridos en las fibras ópticas, se llama la atención sobre algunos aspectos relevantes de las soluciones. Para determinar los campos electromagnéticos se puede utilizar una estrategia similar a la usada en la Unidad 4 para resolver los modos TE y TM, la cual comienza por resolver la ecuación de onda escalar (ecuación 5.5) para las componentes axiales de los campos. Aquí es necesario precisar dos diferencias con respecto al caso de las guías de ondas metálicas: la primera es que deben resolverse simultáneamente dos ecuaciones de onda, una para cada región; la segunda es que al no haber conductores no se cumple la condición kc 2 > 0 presente en las guías de ondas metálicas, por lo que puede usarse kc 2 < 0 si es necesario. En la sección 4.4.2 de la Unidad 4 se vio que las soluciones a la ecuación de onda escalar bidimensional son modos que tienen la forma del producto de una función de Bessel por una función trigonométrica. Se vio también que para kc 2 > 0 las soluciones a la ecuación de Bessel son las funciones de Bessel de primera clase y orden n, J n (x) y Yn (x) . Cuando kc 2 < 0 , las soluciones a la ecuación de Bessel son las funciones de Bessel de segunda clase y orden n, o funciones de Bessel modificadas I n (x) y K n (x) . Estas funciones están definidas para todos los Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 2.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. reales positivos, siendo la función I n (x) estrictamente creciente y acotada en el origen, mientras que la función K n (x) es estrictamente decreciente y no está acotada en el origen. Para el revestimiento se requieren soluciones que se atenúen con respecto a la coordenada radial, es decir, estrictamente decrecientes como la función K n (x) , por lo que debe usarse kc 2 2 < 0 , lo que se logra haciendo. kc 2 2 = −ξ n2, m . Las soluciones para el núcleo pueden ser oscilatorias, pero se descarta la función Yn ( x) porque no es acotada en el origen. Para tener soluciones oscilatorias debe usarse kc12 > 0 , lo que se logra haciendo. kc12 = +ζ n2, m . Las ecuaciones de onda escalares para las componentes axiales de los campos quedan (omitiendo la mención específica a los modos TE ó TM):. ∇ t2 fˆzn1, m ( ρ ,φ ) + ζ n2, m fˆzn1, m ( ρ ,φ ) = 0, 0 < ρ < a. (5.7). ∇ t2 fˆzn2, m ( ρ ,φ ) − ξ n2, m fˆzn2, m ( ρ ,φ ) = 0, ρ > a. (5.8). Obsérvese en la ecuación 5.8 que se ha supuesto para la determinación de los campos en el revestimiento que éste es ilimitado, a fin de evitar tener que utilizar las condiciones de frontera en ρ = b . Esto equivale a exigir que las soluciones se hayan extinguido virtualmente por completo para ρ = b .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 3.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. Considerando las propiedades descritas para las funciones de Bessel de primera y segunda clase, las soluciones para las funciones axiales asociadas a los campos son de la forma: fˆzn1, m ( ρ ,φ ) =. fˆ1n, m J n (ζ n, m ρ ) cos[n(φ − φ 0 )], si 0 ≤ ρ < a. fˆzn2, m ( ρ ,φ ) =. fˆ2n, m K n (ξ n, m ρ ) cos[n(φ − φ 0 )], si ρ > a. (5.9) (5.10). Aplicando la ecuación 5.6 para la constante de propagación de cada región, e igualando las constantes de propagación (condición para que puedan satisfacerse las condiciones de frontera), se obtiene la primera ecuación para los autovalores ζ n, m y ξ n, m :. ζ n2, m − ω 2 µ 0ε1 = −ξ n2, m − ω 2 µ 0ε 2 ⇒ ζ n2, m + ξ n2, m = ω 2 µ 0 (ε1 − ε 2 ) Utilizando la velocidad de la luz, la longitud de onda en el vacío λ0 y los índices de refracción de los medios, se obtiene:. (. ). 2  2π ω  2 2 2 ζ n, m + ξ n, m =   n1 − n22 =  c  λ0. 2.   NA 2 . (5.11). donde NA es la apertura numérica de la fibra, dada por: NA = n12 − n22. (5.12). La ecuación 5.11 es la ecuación de una circunferencia cuyo radio es proporcional a la apertura numérica de la fibra e inversamente proporcional a la longitud de onda de operación, la cual típicamente corresponde a la banda del infrarrojo, entre 600 y 1800 nm aproximadamente. Dicha ecuación indica. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 4.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. que los autovalores se encuentran sobre el perímetro del primer cuadrante de dicha circunferencia: mientras mayor sea el radio, mayor es la cantidad de posibles soluciones de ζ n, m y ξ n, m (modos que se propagan en la fibra óptica). Con las condiciones de frontera se construyen otras ecuaciones para los autovalores, las cuales son ecuaciones no lineales con funciones de Bessel. Las soluciones del sistema de ecuaciones no lineales resultante para los autovalores sólo pueden hallarse gráficamente o numéricamente. Se recomienda al lector interesado en profundizar sobre los autovalores que revise el texto de Diament [1]. La cantidad de soluciones o modos que se propagan en una fibra óptica multimodo de índice escalonado, además de depender de la longitud de onda de operación y de la apertura numérica de la fibra óptica, depende del radio del núcleo, el cual aparece en el argumento de las funciones de Bessel al evaluar las condiciones de frontera en ρ = a. La siguiente fórmula permite estimar el número de modos que se propaga en una fibra óptica multimodo de índice escalonado: N ≈ 0,5 (2π a NA λ0 )2. (5.13). La fórmula en cuestión da buenas aproximaciones excepto cuando el valor de N es pequeño.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 5.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. La condición que debe cumplirse para que se propague un solo modo en una fibra óptica de índice escalonado viene dada por: 2π a. λ0. NA < 2,405. (5.14). La ecuación 5.14 establece el valor máximo del producto aNA para la propagación de un solo modo a una longitud de onda especificada. La siguiente ecuación impone un límite práctico a la longitud de onda de operación para garantizar la extinción de los campos electromagnéticos en el revestimiento, una vez que se ha determinado el valor de aNA:. λ0 < 2π a NA. (5.15). Ejemplo 5.1 Se desea diseñar una fibra óptica que opere en un solo modo a una longitud de onda de 1600 nm utilizando un núcleo que tiene un índice de refracción de 1,5 y un radio de 5 µm. Determine el valor mínimo del índice de refracción del revestimiento. Solución De la ecuación 5.14 se obtiene que la apertura numérica NA de la fibra óptica debe ser menor que 122,4856.10-3. Con esta apertura numérica y el índice de refracción del núcleo, de la ecuación 5.12 se obtiene que el índice de refracción mínimo del revestimiento es 1,495. Utilizando por ejemplo un índice de refracción de 1,496, la apertura numérica es 109,4715.10-3. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 6.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. 5.3. ATENUACIÓN EN LAS FIBRAS ÓPTICAS [1].. Existen tres fuentes principales de atenuación para las fibras ópticas. Dos de ellas, la absorción y el esparcimiento, son inherentes a la fibra en sí misma, mientras que la tercera es la atenuación debida a conexiones defectuosas y es por lo tanto externa a la fibra óptica. La absorción es originada por la presencia de impurezas en el material, las cuales absorben energía a longitudes de onda específicas. Destaca entre las impurezas el ión oxidrilo (OH−), que origina un fuerte pico de atenuación alrededor de los 1390 nm. El estricto control del nivel de impurezas durante el proceso de fabricación de las fibras ópticas hace que la absorción sea responsable de pérdidas menores a 1 dB/Km, siempre que no se opere en las longitudes de onda donde están presentes los mayores picos de atenuación. El esparcimiento es el cambio de dirección del haz electromagnético originado por imperfecciones en la estructura de la fibra óptica, ya que es imposible en la práctica fabricar fibras completamente uniformes y rectas. El llamado esparcimiento de Rayleigh contribuye a la constante de atenuación como una función de λ−4. Como la atenuación debida al esparcimiento de Rayleigh es decreciente con la longitud de onda, conviene operar a las fibras ópticas a las mayores longitudes de onda posibles. Las características de atenuación inherentes a la fibra óptica son fundamentales en la determinación de la longitud de onda de operación. Al Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 7.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. combinar el esparcimiento de Rayleigh con la absorción, aparecen picos de atenuación en ciertas longitudes de onda. Por encima de 1800 nm están presentes varios picos de absorción correspondientes a trazas de impurezas, y por debajo de 700 nm la atenuación de Rayleigh es excesiva. A fin de evitar los principales picos de atenuación, se opera típicamente en una de las tres bandas siguientes, llamadas ventanas de transmisión: entre 800 y 900 nm, de 1200 a 1300 nm y de 1550 a 1600 nm. La figura 5.9 muestra la curva característica de atenuación de una fibra óptica monomodo de índice escalonado de primera generación, con la curva de atenuación total en rojo, la atenuación por esparcimiento de Rayleigh en azul, las ventanas de transmisión W1, W2 y W3 en verde y el pico de absorción del ión oxidrilo. 10 Absorción OH−. 8 6 W1. W2. W3. 4 2 0. Total Rayleigh 800. 1000. 1200. 1400. 1600. Longitud de onda, nm. Fig. 5.9: Curva característica de atenuación de una fibra óptica monomodo de índice escalonado de primera generación [2].. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 8.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. La mayoría de las fibras ópticas de uso comercial opera a una de las siguientes longitudes de onda: 850 nm, 1300 nm y 1550 nm. Esta estandarización de la longitud de onda de operación está relacionada con la disponibilidad de dispositivos emisores y receptores de luz infrarroja. La tabla 5.3 muestra las características de atenuación, ancho de banda y longitud de onda de operación de algunas fibras ópticas comerciales. Tabla 5.3: Atenuación, ancho de banda y longitud de onda de operación de algunas fibras ópticas comerciales [3]. Tipo de fibra. Longitud de onda. Ancho de banda. Atenuación. Monomodo de índice escalonado de núcleo de 9 µm y revestimiento de 125 µm. 1310 nm. 100 THz. 0,4 dB/Km. 1550 nm. 100 THz. 0,25 dB/Km. 850 nm. 160 MHz - Km. 3 dB/Km. 1300 nm. 500 MHz - Km. 1 dB/Km. 850 nm. 50 MHz - Km. 4 a 6 dB/Km. Multimodo de índice gradual de núcleo de 62,5 µm y revestimiento de 125 µm Multimodo de índice escalonado de núcleo de 200 µm y revestimiento de 240 µm. La atenuación debida a conexiones defectuosas, si bien es originada externamente a la fibra, puede ser de tal magnitud que merece considerarse. Las conexiones defectuosas pueden tener tres defectos independientes: separación entre los extremos adyacentes de las fibras ópticas que se conectan, desalineación entre los ejes de dichas fibras y cambio del ángulo del eje. En la. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 9.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 5: FIBRAS ÓPTICAS. figura 5.10 se presentan curvas de atenuación típicas para cada uno de los tres defectos mencionados. 1,0 α (β /d). α (s/d). α (a/d). d. s β. 1°. 0,5. 2°. 3°. 4° ángulo β a d. 0. 0,25. 0,50. 0,75. 1,00. Relación s/d ó a/d. Fig. 5.10: Atenuación debida a conexiones defectuosas entre fibras ópticas [2] Comparando los valores de atenuación de la figura 5.10 con los de la tabla 5.3 puede concluirse que la atenuación por conexiones defectuosas puede ser de magnitud comparable a agregar al enlace desde varios cientos a miles de metros de longitud de fibra óptica, dependiendo del tipo de fibra óptica usada. Si se consideran los efectos combinados de los tres tipos de defectos, la atenuación debida a conexiones defectuosas puede ser aún mayor. Por esta razón se ha prestado especial interés a la realización correcta de las conexiones, prefiriéndose hoy en día los empalmes por fusión de los extremos de las fibras ópticas. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 10.

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