TRANSMISION DEL MOVIMIENTO (punto 2. del apunte)

TRANSMISION DEL MOVIMIENTO

El Mov. relativo de un cuerpo

respecto de otro es función de los movimientos absolutos de éstos respecto de un sistema de

referencia fijo.

El mov. relativo de C1 con respecto

a C2 es función de los movimientos

absolutos de éstos respecto de B.

El mov. absoluto de C2, puede

obtenerse como superposición del mov. relativo de C2 respecto de C1 y

del mov. de arrastre de C1,

resultando:

C2 / B = C2 / C1 + C1 / B

AXOIDES DE MOVIMIENTO

Por lo tanto el movimiento relativo:

C2 / C1 = C2 / B - C1 / B =

Ω

Ω

Ω

El mov. relativo queda definido por los vectores Ω2 (X2,W2) y - Ω1 (X1,-W1)

La recta de acción del vector rotación relativa Ω21 es el eje central Yi que,

dado que Ω2 y -Ω1 = constante,

se mantiene invariable respecto de los ejes y en consecuencia también respecto del bastidor (B).

El lugar geométrico, respecto de cada uno de los cuerpos, de las sucesivas posiciones del eje central Yi

se denomina superficie primitiva y es el axoide del movimiento relativo.

ALGUNOS CASOS REALES QUE PUEDEN DARSE

EJES PARALELOS

El movimiento relativo es una rotación cuyo vector Ω21

es paralelo a los ejes de mov. coincidiendo con Y1

Las superficies relativas son dos cilindros

MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRANAJES AXOIDES DE MOVIMIENTO

Cónicos

C O N C U R R E N T E S

El movimiento relativo es una rotación alrededor de un eje que pasa por el punto de concurrencia

Las superficies relativas son dos conos

EJES ALABEADOS

El movimiento relativo es una roto traslación

y puede obtenerse haciendo rodar (con resbalamiento) un hiperboloide sobre otro, (combinado con un desplazamiento a lo largo de la generatriz de contacto)

Ley fundamental del engrane

Para transmitir un movimiento rotatorio uniforme de un eje a otro por medio del engrane (ya no por ruedas de fricción)

La perpendicular a un perfil de dientes en su punto de contacto con un diente del otro engrane, SIEMPRE DEBE PASAR A TRAVÉS DE UN PUNTO

FIJO QUE SE ENCUENTRA SOBRE LA LÍNEA DE

CENTROS ENTRE LOS EJES

Las curvas que satisfacen esta ley se llaman curvas o superficies

Los engranajes deben diseñarse para que la relación de velocidades (velocidad angular de una rueda dividido por la velocidad angular de la otra) sea constante en todo

momento ya que de lo contrario aparecerían unas

vibraciones enormes que acortarían drásticamente la vida útil de la transmisión.

Para que se cumpla esta condición, el perfil de los dientes no puede ser cualquiera, sino que debe ser

cuidadosamente diseñado.

TRANSMISIÓN PARA EJES PARALELOS

AXOIDES DOS CILINDROS Los Cuerpos C1 y C2

ruedan sin resbalar Se cumple V = W1 x R1 = W2 x R2 i = W2 /W1 = R1/ R2 Estudiamos el movimiento espacial C1/C2 en el plano Llamando a Cp1 y Cp2 CIRCUNSFERENCIAS PRIMITIVAS I = es el punto primitivo

CONJUGADAS DE EJES

PARALELOS

Si unimos solidariamente a Cp2 una curva cualquiera S2

En el mov. relativo de ambas circ. primitivas, las posiciones de dicha curva respecto de la otra primitiva Cp1, serán

envueltas por S1.

Ambas curvas

 Estarán siempre en contacto en el punto N

 Tendrán una tangente en común pasando en todo instante por el punto primitivo I

CONJUGADAS DE EJES

PARALELOS

Ambas curvas son envuelta y envolvente Son

CURVAS CONJUGADAS

El movimiento relativo tanto de Cp

con respecto a Cp

,

como de C

con respecto a C

,

puede describirse por el de S

con respecto a S

Superficies Conjugadas

utilizadas en la práctica:

 Cicloides  Evolventes

Cicloides

Se generan como trayectoria de puntos de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre otra

O una recta en caso de tener radio infinito

ruleta

base

ruleta

base

Cicloides

GENERALMENTE LOS ENGRANAJES ESTÁN FORMADOS POR UN PERFIL EPICICLOIDE EN LA CABEZA DEL DIENTE

Evolventes

Puede concebirse como la trayectoria de un punto de una recta que rueda sin resbalar sobre un círculo o

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

Arc AP = Seg TP

Toda recta Tang. a la

Circ. base es _I_ a la

evolvente.

Es su generatriz

T es centro inst. rot.

La trayectoria de P es

_I_ a la Tang.

El Seg TP es el

radio de curvatura

de la evolvente

Evolventes propiedades

Transmisión de Movimientos

P

El punto de Tg P esta

ubicado sobre la Tg común

En

P

ambas evolventes tienen

una

_I común que es a su vez

Tg a las Circunferencias Base

Evolventes propiedades

Se mantiene el sincronismo (i = Cte.) para todo instante dependiendo solo de los radios.

La vel. lineal del punto P deberá ser la misma para ambas evolventes:

Para

e

V

W

δ

e

V

W

δ

W

x

δ

=

W

x

δ

W

1 /

W

2 =

δ

1 /

δ

2

Evolventes propiedades

Variando la dist. entre centros de

las Circ. Base, no se pierde el

contacto y no varía i = w

/w

Supongamos una fija

y hagamos rodar sin

resbalar la otra sobre

la Tg común, el

contacto se mantiene,

y como i depende

solo de los radios

NO VARÍA.

Ventajas e inconvenientes

Dientes de perfil cicloidal

Dientes de perfil a

evolvente

Mejor engrane: una epicicloide (convexa) engrana con una hipoclicloide (concava)

El engrane es lineal entre curvas ambas convexas

Mayor superficie de contacto, mas suave y menor desgaste

A igualdad de paso estos dientes resultan mas gruesos en la raíz

Menor número de dientes sin problemas de interferencia

Se debe calcular la interferencia y existen tablas de números mínimos

No se puede variar la distancia entre centros, requiere montajes mas precisos

Para pequeños cambios en la distancia entre centros, el engrane se conserva

correcto Difícil fabricación al tener curvas opuesta

en un mismo perfil

La curvatura en un solo sentido facilita la fabricación con mucha exactitud

1- La forma de las curvas evolventes depende solamente de los

δ

sincrónicas entre sí, pero son independientes ala distancia entre centros O1 y O2

3- La i = w1/w2 depende solamente de la relación de

δ

δ

4- La línea de engrane y recta de acción de la fuerza transmitida por la acción de una evolvente sobre la otra, es la Tg. común

5- El ángulo de presión es siempre constante

6- La intersección de la Tg. común con la entre centros determina el punto primitivo I

7- Los radios de las Circ. Primitivas son directamente proporcionales a los radios de las Circ. Base

8- Las propiedades cinemáticas del engrane no se modifican

separando los centros de las ruedas, lo cual equivale a modificar el ángulo de presión

El perfil de Evolvente:

 Terminología utilizada

 Ecuaciones que gobiernan el perfil de un diente  Trazado del mismo

Terminología y normalización de los dientes

“rectos de evolvente”

r

= r

cos Ø

En ambos lados de la circunferencia primitiva se debe desenrollar la cuerda de un disco imaginario

(circunferencia base) cuyo radio rb es más pequeño que el

de la primitiva rp

Ø ángulo de presión

Determina la forma de los dientes Define la relación del

radio base con el radio primitivo Los valores más utilizados son:

20°, 22 ½° y 25°,

Se utiliza entonces una pequeña porción cercana a la

circunferencia primitiva ya que los deslizamientos durante la transmisión son menores.

Los límites son la circunferencia exterior (De)

ó de addendum y la circunferencia interior (Di) o de

dedendum. La distancia radial entre la primitiva y la

exterior es la altura de cabeza o addendum (a) y la distancia

Cada conjugada transmitirá movimiento durante un arco reducido de giro, es necesario crear mas superficies conjugadas “igualmente espaciadas” sobre la circunferencia primitiva, este arco de primitiva entre dos dientes consecutivos se denomina PASO CIRCULAR

p

Rueda frontal equivalente

LLeno Vacío

CONDICIONES GENERALES DE LOS ENGRANES

Para que dos ruedas dentadas engranen perfectamente se debe cumplir

 Que los flancos sean

Sup. Conjugadas

=

 Que ambas ruedas

tengan el mismo Paso P

 Juego Circunsferencial  Juego Radial

El paso circular para un engrane con Z dientes resulta:

p

MÓDULO DE UN ENGRANAJE

unidad que se estandariza y en función de la cual se expresan las dimensiones del engranaje

Como en la práctica se suele medir el Diámetro y el N° de dientes, la condición para que el diámetro primitivo sea un número racional, es que lo sea también el cociente ( p / π ), en cuyo caso p es irracional.

En el sistema métrico decimal esta unidad se llama Módulo y vale: M [mm] = p / π = Dp / Z En el sistema inglés se llama Diametral Pitch (paso diametral) : Pd [1/pulg] = π / p = Z / Dp Ambos valores son inversamente proporcionales entre sí : M [mm] = 25.4 / Pd [pulg]

Módulos recomendados:

W

V

/ rp

Dp

/ 2

M Z

Z

i = - = -- = -- = =

----W

V

/ rp

Dp

/ 2

M Z

Z

W

V

/ rp

Dp

/ 2

M Z

Z

i = - = -- = -- = =

----W

V

/ rp

Dp

/ 2

M Z

Z

ESTARDARIZACIÓN

a: addendum b + c: deddendum a + b: profundidad de trabajo p: paso M: módulo Ø: ángulo de presión

a = b = . M = 1 para engranajes estándares

= 0.8 para dientes cortos de 20° Paso ancho: c = 0.250 M para 20° y 25°

c = 0.157 M para 14.5°

c = 0.200 M para dientes cortos de 20°

Paso fino: c = 0.200 M + 0.0508 mm para todos los ángulos de presión

AGMA: Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes

ANSI: Instituto Americano de Estándares Nacionales

Con estos datos podemos determinar los elementos geométricos de las ruedas, por ejemplo:

Diámetro exterior: De = Dp + 2 a para a = M: De = (Z + 2) M

que también nos nos permite calcular el módulo de una rueda ya construida, midiendo De.

Ecuaciones del perfil:

Se pueden derivar de la geometría que se observa en la Figura Dado que OBA es un áng. recto, se tiene:

r² = rb² + (rb . ɣ ) ² y

r = rb . (1 + ɣ² ) 1/2

A partir de este triángulo y de la

definición de la evolvente, se ve que:

rb . tg(ɣ - Ӻ ) = rb . ɣ, de donde Ӻ = ɣ - arctg ɣ

Ecuaciones del perfil:

Se pueden derivar de la geometría que se observa en la Figura Se puede definir con Ec. Paramétricas la curva evolvente, donde el parámetro

ɣ se puede incrementar desde 0 hasta ɣa para generar un perfil de diente

desde el círculo de base hasta el círculo exterior:

ɣ

como rb . (Ѳ + Ø) = rb . tg Ø

resulta

Ѳ = tg Ø – Ø

Ambos lados de un diente se puede simplificar expresando el perfil de

evolvente en términos de un ángulo ψ desde la línea de centros de cada

diente al radio r desde el centro del círculo primitivo.

Como el ancho en el círculo primitivo está dado por

π

ψ = Ѳ +

π

/ (2 . Z) -

Ӻ

El espacio entre dientes puede consistir en segmentos del círculo interior unidos a los perfiles de evolvente de los dientes por los filetes o por cualquier otra curva que proporcione la resistencia necesaria, así como el huelgo para los dientes del engrane complementario.

Los dientes subsiguientes se generan girando la línea de centros a través de un múltiplo de 2

π

Un lado de un diente respecto a su línea de centros se puede dibujar o cortar incrementando ɣ de ɣd a ɣa y para cálculo de ɣ el r y y

correspondientes. El otro lado del diente se puede formar a partir de los mismos datos reemplazando ψ por -ψ

Trazado de la evolvente

Datos:

(M) el módulo del engranaje (Z1 y Z2) número de dientes

(Ø) ángulo de presión Con esto trazamos:

(Dp = M Z) circunferencias

primitivas,

(rb = rp cos Ø) las de base

(ángulo Ø) la línea de acción o recta de engrane la

tangente común a las

primitivas y la línea que une a los centros que con la

tangente común determinan el punto primitivo (I), donde se supone que tiene lugar el contacto

- Se traza la evolvente y se la limita con las circunferencias exterior ( De = (Z + 2) . M ) y la circunferencia interior

(Di = Dp– 2 d, por ejemplo dedendum d = 1.25 M).

- Conocido el paso (p) se determina el espesor del diente (e = p/2, a efectos del trazado se considera también que el vacío del diente es igual al espesor del mismo) y se completa éste con el otro flanco que será simétrico al ya

trazado con respecto a un eje con centro en O2 y que corte a

la primitiva en un punto ubicado, desde I, a una distancia p/4. - Con el paso también se pueden construir los flancos

homólogos y por lo tanto se completa el trazado de los demás dientes del engranaje.

- Con una construcción similar puede trazarse el flanco de los dientes de la otra rueda.

Características cinemáticas

del engrane :

Flanco activo

Parte del flanco que toma contacto con el diente de la otra rueda

Todos los puntos de la cabeza de un diente pertenecen al flanco activo, pero no todos los puntos de la raíz

Para determinarlo se deberá encontrar el punto de la raíz que se pone en contacto con el punto extremo de la cabeza de los dientes de la otra rueda.

ARCO DE ENGRANE Y

ARCO DE ENGRANE Y

INTERFERENCIA

entre los dientes Sean

e

e

Al girar la Circ. Base O2, la

Evolvente e2 rígidamente vinculada a ella, mueve a la otra

evolvente e1, que solidaria a su base la hace girar.

Cuando e2” corta a la línea de engrane en el punto b, luego de haber pasado por el punto de arranque de e1 x, ya no es

tangente a esta sino que la corta, entonces, un perfil interfiere en el otro y el engrane no es posible

INTERFERENCIA

Otro caso

A2 es el punto de arranque del

perfil del piñón que engrana en

y con el punto A1 del perfil de

la rueda.

Si la cabeza de la rueda, se prolongarse más allá de A1, no tendría perfil conjugado correspondiente en el piñón. El diente de éste a partir de A2 se completa con curvas

arbitrarias que permitan entrar el resto de la cabeza de la rueda de A1 a A1’,

que no son conjugadas de la evolvente de la rueda.

El engrane de esta parte de la cabeza de los dientes de la rueda con la raíz del diente del piñón es imperfecto por no verificarse entre superficies conjugadas, en determinado momento el perfil de cabeza “interfiere” en el perfil del piñón.

INTERFERENCIA

CONCLUSIONES

 La interferencia se produce cuando el engrane se extiende fuera del segmento xy (punto V).

 Los puntos x e y se denominan puntos de interferencia.

 La interferencia limita la cabeza del diente, y a medida que

decrece el diámetro del piñón, la longitud permisible de la cabeza del diente de los engranajes más grandes se hace más pequeña.  Si se aumenta el diámetro del piñón, es decir si se supone que se

aumenta su número de dientes Zp (manteniendo el paso Cte.), el punto y tiende hacia v.

La condición límite se da en el extremo de la cabeza de la rueda (A1) al engranar con el punto de inicio de la evolvente del piñón (A2), es decir y = v.

En términos generales si la altura de cabeza, a = λ M, siendo λ dependiente de las proporciones elegidas, el radio exterior máximo del engranaje 1 es:

Re1 max= rp1 + λ M = (r²b1 + xy²)1/2 rp1 + λ M = [ r²p1cos²Ø + ( rp1 + rp2 )² sen²Ø ] 1/2 como rp1 = Z1 M / 2 y rp2 = Z2 M / 2, sustituyendo y desarrollando en la expresión anterior: Z2² + 2 Z1 Z2 = 4 λ ( Z1 + λ ) / sen² Ø

VALOR DE

Z

en función del número de dientes de la rueda (Z1), el

ángulo de presión (Ø) y la relación entre la altura de cabeza (λ) y el módulo (M) del dentado

Métodos para evitar la interferencia:

1. El rebaje es un procedimiento en el cual la parte del diente debajo de la

circunferencia de base es cortado o rebajado evitando el contacto en la parte del diente con perfil no conjugado.

Este método tiene dos desventajas: primero, se reduce la relación de contacto y se obtiene un engrane ruidoso y áspero; segundo, se reduce el valor del módulo de sección en la base del diente (aumentándose el esfuerzo), siendo ésta la

parte más débil del diente

2. Reducción del perfil del diente en su parte superior. Nuevamente el resultado se traduce en una reducción de la relación de contacto.

3. Aumentando el ángulo de presión, disminuyéndose el diámetro de la circunferencia de base.

Con esto se incrementa la porción de la evolvente del perfil del diente y, por lo tanto, se elimina la interferencia. Sin embargo, el aumento del ángulo de presión hace que se incremente la fuerza de separación entre los engranes.

4. Los engranes pueden cortarse con dientes de adendo a corto y largo. Por ejemplo, el motor puede fabricarse aumentándole el adendo (se disminuye proporcionalmente el dedendo) mientras que al engrane impulsado se le

disminuye el adendo. Obviamente, estos engranes no son estándar, por esta razón no son intercambiables y resultan ser más caros.

Entonces, la interferencia debe eliminarse, pero el método a usar dependerá principalmente de la aplicación y experiencia del diseñador.