Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la cadena

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CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas

Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez


Derivadas
logarítmicas,
exponenciales
y
regla
de
la
cadena


por Sandra Elvia Pérez

Las funciones logarítmicas y exponenciales se aplican con frecuencia en problemas de crecimiento

de poblaciones, ya sea de personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas de carbono

14, temperatura, circuitos eléctricos y varios más.

Una función es exponencial o logarítmica si la variable independiente

x aparece dentro de algún

logaritmo o como exponente. Las figuras 1 y 2 muestran la gráfica de las funciones logarítmica y

exponencial.

Funciones logarítmicas

Función exponencial

( )

x

y log

=

,

y ln

=

( )

x

y

= ,

a

x

y

=

e

x

Figura 1. Gráfica de funciones logarítmicas Figura 2. Gráfica de función exponencial

Para calcular la derivada de las funciones logarítmica y exponencial, se aplican teoremas

específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las

derivadas de esta sección.

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Formulario
de
Derivadas
de

Funciones
Logarítmica
y
Exponencial


C representa cualquier constante

Las literales u, v, w, representan cualquier función uʼ, vʼ,

wʼ, representan la derivada de u, v, w.

1.

( )

u

u

u

dx

d

=

ln

2.

(

)

a

u

u

u

dx

d

a

ln

log

=

3.

( )

a

u

a

( )

a

dx

d

u

=

u

ln

4.

( )

e

u

u

e

u

dx

d

=

Figura 3. Formulario de Derivadas de Funciones exponenciales y logarítmicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange.

Te recomiendo visites la sección Para aprender más, en donde encontrarás enlaces sobre el origen

de los logaritmos, datos históricos, los personajes que desarrollaron estas teorías, el número e,

entre otros temas de interés.

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Para no saturarte de fórmulas, cuando se necesite alguna ley de los logaritmos o ley de los

exponentes, ésta se incluirá en el ejemplo específico.

Leyes
de
los
logaritmos


log

( )

A

B

=

log

A

+

log

B

A

B

B

A

log

log

log

=

log

( )

A

n

=

n

log

A

( )

A

n

A

n

1

log

log

=

Figura 4. Formulario de Leyes de los logaritmos (Allen, 2004).

Ejemplo 1

Determina la derivada de la función

y

=

ln

( )

9

x

Usando la fórmula

( )

u

u

u

dx

d

=

ln

Tienes:

( )

[

x

]

x

x

dx

d

u

x

u

1

9

9

9

ln

9

9

=

=

=

=

Por lo que la derivada queda:

x

y

=

1

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Ejemplo 2

Determina la derivada de la función

y

=

ln x

( )

3

2

Usando la fórmula

( )

u

u

u

dx

d

=

ln

Tienes:

( )

[

]

x

x

x

x

dx

d

x

u

x

u

2

3

6

3

ln

6

3

2 2 2

=

=

=

=

Por lo que la derivada queda:

x

y

=

2

Ejemplo 3

Determina la derivada de la función

y

=

ln

(

3

x

2

1

)

Usando la fórmula

( )

u

u

u

dx

d

=

ln

Tienes:

(

)

[

]

3

6

1

1

3

ln

6

1

3

2 2 2

=

=

=

x

x

x

dx

d

x

u

x

u

Por lo que la derivada queda

1

3

6

2

=

x

x

y

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Ejemplo 4

Determina la derivada de la función

y

=

x

ln

( )

x

En este ejemplo usa la fórmula del producto

( )

uv

u

v

v

u

dx

d

+

=

En combinación con la fórmula

( )

u

u

u

dx

d

=

ln

, tienes:

1

=

=

u

x

u

( )

x

v

x

v

1

ln

=

=

( )

[

]

( )( )

( )

[

]

( )

( )

[

x

x

]

( )

x

dx

d

x

x

x

x

x

dx

d

x

x

x

x

x

dx

d

ln

1

ln

ln

ln

1

ln

1

ln

+

=

+

=

+

=

Por lo que la derivada queda:

( )

x

y

=

1+

ln

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Ejemplo 5

Determina la derivada de la función

y

=

ln

[

(

x

+

3

)

(

x

2

5

)

]

En este ejemplo usa la ley número 1 de las leyes de los logaritmos para

transformar la expresión anterior.

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

[

3

5

]

ln

(

3

)

ln

(

5

)

ln

ln

ln

ln

2 2

=

+

+

+

+

=

x

x

x

x

B

A

AB

Una vez transformada la función original con la ayuda de la ley del producto de

logaritmos, utiliza la fórmula

( )

u

u

u

dx

d

=

ln

y tienes lo siguiente:

(

)

(

)

[

ln

+

3

+

ln

2

5

]

=

[

ln

(

+

3

)

]

+

[

ln

(

x

2

5

)

]

dx

d

x

dx

d

x

x

dx

d

(

)

[

]

1

3

3

ln

1

3

+

=

+

=

+

=

x

x

dx

d

u

x

u

(

)

[

]

2

5

5

ln

2

5

2 2 2

=

=

=

x

x

x

dx

d

x

u

x

u

(

)

(

)

[

]

2

5

3

1

5

ln

3

ln

2 2

+

+

=

+

+

x

x

x

x

x

dx

d

Por lo que la derivada queda:

5

2

3

1

2

+

+

=

x

x

x

y

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Ejemplo 6

Determina la derivada de la función

y

=

ln

x

3

Para facilitar el cálculo de esta derivada recurre nuevamente a las leyes de los

logaritmos. Específicamente a:

A

n

A

n

1

ln

ln

=

Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en

(

3

)

ln

2

1

3

ln

=

=

x

y

x

y

Derivando:

(

)

ln

(

3

)

2

1

3

ln

2

1

=

⎥⎦

⎢⎣

x

dx

d

x

dx

d

(

)

3

1

3

ln

1

3

=

=

=

x

x

dx

d

u

x

u

Por lo tanto,

=

3

1

2

1

x

y

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Ejemplo 7

Determina la derivada de la función

+

=

x

x

x

y

6

3

1

ln

4 2

Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los

logaritmos. Específicamente a:

B

A

B

A

ln

ln

ln

=

Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en:

(

x

) (

x

x

)

y

x

x

B

x

A

x

x

x

y

6

3

ln

1

ln

6

3

;

1

6

3

1

ln

4 2 4 2 4 2

+

=

=

+

=

+

=

Derivando:

(

) (

)

[

]

(

)

(

x

x

)

dx

d

x

dx

d

x

x

x

dx

d

6

3

ln

1

ln

6

3

ln

1

ln

2

+

4

=

2

+

4

(

)

2

1

1

ln

2

1

2 2 2

+

=

+

=

+

=

x

x

x

dx

d

x

u

x

u

(

)

x

x

x

x

x

dx

d

x

u

x

x

u

6

3

6

12

6

3

ln

6

12

6

3

4 3 4 3 4

=

=

=

Por lo tanto,

x

x

x

x

x

y

6

3

6

12

1

2

4 3 2

+

=

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Ejemplo 8

Determina la derivada de la función

y

=

log

2

(

3

x

6

)

Basándose en la siguiente fórmula:

a

u

u

u

dx

d

a

ln

log

=

Tienes:

(

3

6

)

ln

2

3

3

6

3

2

=

=

=

=

x

y

u

x

u

a

Ejemplo 9

Determina la derivada de la función

y

=

5

7x

Usando el teorema

( )

a

u

a

( )

a

dx

d

u

=

u

ln

Queda:

( )

5

ln

5

7

7

7

5

7 x

y

u

x

u

a

=

=

=

=

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Ejemplo 10

Determina la derivada de la función

( )

23

=

e

x

y

Empleando el teorema

( )

e

u

u

e

u

dx

d

=

Obtienes:

( )

3

2

2

2

2

3

=

=

=

x

e

x

y

x

u

x

u

Ejemplo 11

Determina la derivada de la función

y

=

e

5x

e

−2x

Y tienes:

x x x x

e

e

y

e

e

y

u

u

x

u

x

u

2 5 2 5

2

5

)

2

(

5

2

5

2

5

− −

+

=

=

=

=

=

=

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Regla
de
la
cadena


Una de las fórmulas de derivación más utilizadas es la siguiente:

( )

u

nu

u

dx

d

n

=

n−1

A este teorema, con frecuencia se le denomina regla de la cadena. Los siguientes ejemplos

muestran cómo esta regla, en combinación con el resto de fórmulas permite la obtención de

múltiples derivadas.

Ejemplo 1

Calcula la derivada de

4

2

2

+

=

x

x

y

.

Solución

Identifica

2

2

+

=

x

x

u

, entonces

(

) (

)

(

)

2

(

)

2

2

4

2

2

2

=

+

=

x

x

x

x

u

. Aplicando la fórmula tienes:

(

)

3 2 3

2

2

16

2

4

2

2

4

+

=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+

=

x

x

y

x

x

x

y

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Ejemplo 2

Calcula la derivada de

y

=

sen

4

( )

x

.

Solución

En trigonometría, este tipo de expresión es equivalente a

[

( )

]

4

x

sen

y

=

.

De esta última expresión, identifica

u

=

sen

( )

x

, entonces

u

=

cos

( )

x

. Aplicando la fórmula tienes,

( )

[

]

( )

( ) ( )

x

x

sen

y

x

x

sen

y

cos

4

cos

4

3 3

=

=

En el caso de las funciones trigonométricas, se acostumbra ordenarlas como sigue: seno, coseno,

tangente, cotangente, secante y cosecante.

Ejemplo 3

Calcula la derivada de

(

x

2

)

(

3

x

4

x

)

−5

.

Solución

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Sustituyendo en la fórmula del producto queda:

(

)

[

(

) (

)

]

( )

(

)

(

)

(

)

(

4

)

6

(

4

)

5 3 5 4 3 6 4

3

1

4

3

1

12

2

5

3

1

1

12

4

3

5

2

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

y

+

=

+

=

− −

Este último ejemplo, se puede complicar si no se identifica de manera correcta las fórmulas a

utilizar, o si no se sustituye de manera adecuada.

Ejemplo 4

Calcula la derivada de

y

=

e

sen

( )

x

Solución

Identificando

u

=

sen

( )

x

, tienes que

u

=

cos

( )

x

. Aplicando la fórmula

( )

e

e

u

dx

d

u u

=

obtienes:

( )

( )

x

e

y

=

senx

cos

En estos ejemplos, se pone de manifiesto que la aplicación

de las fórmulas y el orden en el que se apliquen depende de

la función a derivar en particular. Con la práctica serás

capaz de encontrar la derivada de funciones cada vez más

complejas.

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Referencias




Allen, R. (2004). Álgebra intermedia (6a. ed.; V. H. Ibarra, Trad.). México: Pearson Educación.

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores.

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