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Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la cadena
por Sandra Elvia Pérez
Las funciones logarítmicas y exponenciales se aplican con frecuencia en problemas de crecimiento
de poblaciones, ya sea de personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas de carbono
14, temperatura, circuitos eléctricos y varios más.
Una función es exponencial o logarítmica si la variable independiente
x aparece dentro de algún
logaritmo o como exponente. Las figuras 1 y 2 muestran la gráfica de las funciones logarítmica y
exponencial.
Funciones logarítmicas
Función exponencial
( )
x
y log
=
,
y ln
=
( )
x
y
= ,
a
xy
=
e
xFigura 1. Gráfica de funciones logarítmicas Figura 2. Gráfica de función exponencial
Para calcular la derivada de las funciones logarítmica y exponencial, se aplican teoremas
específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las
derivadas de esta sección.
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Formulario de Derivadas de Funciones Logarítmica y Exponencial
C representa cualquier constante
Las literales u, v, w, representan cualquier función uʼ, vʼ,
wʼ, representan la derivada de u, v, w.
1.
( )
u
u
u
dx
d
′
=
ln
2.
(
)
a
u
u
u
dx
d
aln
log
=
′
3.
( )
a
u
a
( )
a
dx
d
u=
′
uln
4.
( )
e
uu
e
udx
d
′
=
Figura 3. Formulario de Derivadas de Funciones exponenciales y logarítmicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange.
Te recomiendo visites la sección Para aprender más, en donde encontrarás enlaces sobre el origen
de los logaritmos, datos históricos, los personajes que desarrollaron estas teorías, el número e,
entre otros temas de interés.
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Para no saturarte de fórmulas, cuando se necesite alguna ley de los logaritmos o ley de los
exponentes, ésta se incluirá en el ejemplo específico.
Leyes de los logaritmos
log
( )
A
⋅
B
=
log
A
+
log
B
A
B
B
A
log
log
log
⎟
=
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
log
( )
A
n=
n
log
A
( )
A
n
A
n1
log
log
=
Figura 4. Formulario de Leyes de los logaritmos (Allen, 2004).
Ejemplo 1
Determina la derivada de la función
y
=
ln
( )
9
x
Usando la fórmula
( )
u
u
u
dx
d
′
=
ln
Tienes:
( )
[
x
]
x
x
dx
d
u
x
u
1
9
9
9
ln
9
9
=
=
=
′
=
Por lo que la derivada queda:
x
y
′
=
1
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Ejemplo 2
Determina la derivada de la función
y
=
ln x
( )
3
2Usando la fórmula
( )
u
u
u
dx
d
′
=
ln
Tienes:
( )
[
]
x
x
x
x
dx
d
x
u
x
u
2
3
6
3
ln
6
3
2 2 2=
=
=
′
=
Por lo que la derivada queda:
x
y
′
=
2
Ejemplo 3
Determina la derivada de la función
y
=
ln
(
3
x
2−
1
)
Usando la fórmula
( )
u
u
u
dx
d
′
=
ln
Tienes:
(
)
[
]
3
6
1
1
3
ln
6
1
3
2 2 2−
=
−
=
′
−
=
x
x
x
dx
d
x
u
x
u
Por lo que la derivada queda
1
3
6
2−
=
′
x
x
y
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Ejemplo 4
Determina la derivada de la función
y
=
x
ln
( )
x
En este ejemplo usa la fórmula del producto
( )
uv
u
v
v
u
dx
d
′
+
′
=
En combinación con la fórmula
( )
u
u
u
dx
d
′
=
ln
, tienes:
1
=
′
=
u
x
u
( )
x
v
x
v
1
ln
=
′
=
( )
[
]
( )( )
( )
[
]
( )
( )
[
x
x
]
( )
x
dx
d
x
x
x
x
x
dx
d
x
x
x
x
x
dx
d
ln
1
ln
ln
ln
1
ln
1
ln
+
=
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Por lo que la derivada queda:
( )
x
y
′
=
1+
ln
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Ejemplo 5
Determina la derivada de la función
y
=
ln
[
(
x
+
3
)
(
x
2−
5
)
]
En este ejemplo usa la ley número 1 de las leyes de los logaritmos para
transformar la expresión anterior.
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
[
3
5
]
ln
(
3
)
ln
(
5
)
ln
ln
ln
ln
2 2−
=
+
+
−
+
+
=
x
x
x
x
B
A
AB
Una vez transformada la función original con la ayuda de la ley del producto de
logaritmos, utiliza la fórmula
( )
u
u
u
dx
d
′
=
ln
y tienes lo siguiente:
(
)
(
)
[
ln
+
3
+
ln
2−
5
]
=
[
ln
(
+
3
)
]
+
[
ln
(
x
2−
5
)
]
dx
d
x
dx
d
x
x
dx
d
(
)
[
]
1
3
3
ln
1
3
+
=
+
=
′
+
=
x
x
dx
d
u
x
u
(
)
[
]
2
5
5
ln
2
5
2 2 2−
=
−
=
′
−
=
x
x
x
dx
d
x
u
x
u
(
)
(
)
[
]
2
5
3
1
5
ln
3
ln
2 2−
+
+
=
−
+
+
x
x
x
x
x
dx
d
Por lo que la derivada queda:
5
2
3
1
2−
+
+
=
′
x
x
x
y
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Ejemplo 6
Determina la derivada de la función
y
=
ln
x
−
3
Para facilitar el cálculo de esta derivada recurre nuevamente a las leyes de los
logaritmos. Específicamente a:
A
n
A
n1
ln
ln
=
Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en
(
3
)
ln
2
1
3
ln
−
=
−
=
x
y
x
y
Derivando:
(
)
ln
(
3
)
2
1
3
ln
2
1
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
x
dx
d
x
dx
d
(
)
3
1
3
ln
1
3
−
=
−
=
′
−
=
x
x
dx
d
u
x
u
Por lo tanto,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
′
3
1
2
1
x
y
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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Ejemplo 7
Determina la derivada de la función
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
x
x
x
y
6
3
1
ln
4 2Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los
logaritmos. Específicamente a:
B
A
B
A
ln
ln
ln
⎟
=
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en:
(
x
) (
x
x
)
y
x
x
B
x
A
x
x
x
y
6
3
ln
1
ln
6
3
;
1
6
3
1
ln
4 2 4 2 4 2−
−
+
=
−
=
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
Derivando:
(
) (
)
[
]
(
)
(
x
x
)
dx
d
x
dx
d
x
x
x
dx
d
6
3
ln
1
ln
6
3
ln
1
ln
2+
−
4−
=
2+
−
4−
(
)
2
1
1
ln
2
1
2 2 2+
=
+
=
′
+
=
x
x
x
dx
d
x
u
x
u
(
)
x
x
x
x
x
dx
d
x
u
x
x
u
6
3
6
12
6
3
ln
6
12
6
3
4 3 4 3 4−
−
=
−
−
=
′
−
=
Por lo tanto,
x
x
x
x
x
y
6
3
6
12
1
2
4 3 2−
−
−
+
=
′
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Ejemplo 8
Determina la derivada de la función
y
=
log
2(
3
x
−
6
)
Basándose en la siguiente fórmula:
a
u
u
u
dx
d
aln
log
=
′
Tienes:
(
3
6
)
ln
2
3
3
6
3
2
−
=
′
=
′
−
=
=
x
y
u
x
u
a
Ejemplo 9
Determina la derivada de la función
y
=
5
7xUsando el teorema
( )
a
u
a
( )
a
dx
d
u=
′
uln
Queda:
( )
5
ln
5
7
7
7
5
7 xy
u
x
u
a
=
′
=
′
=
=
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Ejemplo 10
Determina la derivada de la función
( )
2−3=
e
xy
Empleando el teorema
( )
e
uu
e
udx
d
′
=
Obtienes:
( )
3
2
22
2
3
−
⋅
=
′
=
′
−
=
x
e
x
y
x
u
x
u
Ejemplo 11
Determina la derivada de la función
y
=
e
5x−
e
−2xY tienes:
x x x xe
e
y
e
e
y
u
u
x
u
x
u
2 5 2 52
5
)
2
(
5
2
5
2
5
− −+
=
′
−
−
=
′
−
=
′
=
′
−
=
=
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Regla de la cadena
Una de las fórmulas de derivación más utilizadas es la siguiente:
( )
u
nu
u
dx
d
n=
n−1⋅
′
A este teorema, con frecuencia se le denomina regla de la cadena. Los siguientes ejemplos
muestran cómo esta regla, en combinación con el resto de fórmulas permite la obtención de
múltiples derivadas.
Ejemplo 1
Calcula la derivada de
42
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
x
x
y
.
Solución
Identifica
2
2
−
+
=
x
x
u
, entonces
(
) (
)
(
)
2(
)
22
4
2
2
2
−
−
=
−
+
−
−
=
′
x
x
x
x
u
. Aplicando la fórmula tienes:
(
)
3 2 32
2
16
2
4
2
2
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
′
x
x
y
x
x
x
y
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Ejemplo 2
Calcula la derivada de
y
=
sen
4( )
x
.
Solución
En trigonometría, este tipo de expresión es equivalente a
[
( )
]
4x
sen
y
=
.
De esta última expresión, identifica
u
=
sen
( )
x
, entonces
u
′
=
cos
( )
x
. Aplicando la fórmula tienes,
( )
[
]
( )
( ) ( )
x
x
sen
y
x
x
sen
y
cos
4
cos
4
3 3=
′
=
′
En el caso de las funciones trigonométricas, se acostumbra ordenarlas como sigue: seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante.
Ejemplo 3
Calcula la derivada de
(
x
−
2
)
(
3
x
4−
x
)
−5.
Solución
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Sustituyendo en la fórmula del producto queda:
(
)
[
(
) (
)
]
( )
(
)
(
)
(
)
(
4)
6(
4)
5 3 5 4 3 6 43
1
4
3
1
12
2
5
3
1
1
12
4
3
5
2
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
−
+
−
−
−
−
=
′
−
+
−
−
−
−
=
′
− −Este último ejemplo, se puede complicar si no se identifica de manera correcta las fórmulas a
utilizar, o si no se sustituye de manera adecuada.
Ejemplo 4
Calcula la derivada de
y
=
e
sen( )
xSolución
Identificando
u
=
sen
( )
x
, tienes que
u
′
=
cos
( )
x
. Aplicando la fórmula
( )
e
e
u
dx
d
u u′
⋅
=
obtienes:
( )
( )
x
e
y
′
=
senxcos
En estos ejemplos, se pone de manifiesto que la aplicación
de las fórmulas y el orden en el que se apliquen depende de
la función a derivar en particular. Con la práctica serás
capaz de encontrar la derivada de funciones cada vez más
complejas.
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Referencias
Allen, R. (2004). Álgebra intermedia (6a. ed.; V. H. Ibarra, Trad.). México: Pearson Educación.
Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.
Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.
Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill.
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores.
