Álgebra y solución de problemas aditivos en primaria.

Álgebra y solución de problemas aditivos en primaria.

Medrano Ana.

Correo: [email protected]

Universidad Nacional Autónoma de México

Cómo citar este texto: Medrano, A. (2015).Álgebra y solución de problemas aditivos en primaria. Revista electrónica en Ciencias Sociales y Humanidades Apoyadas por Tecnologías, 4(1), 12-19.

Resumen:

La solución de problemas es un tópico relevante en todo el ámbito educativo porque constituye una práctica escolar para promover el aprendizaje significativo de los educandos. Sin embargo, los resultados de diferentes pruebas nacionales e internacionales hacen evidente que el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas presenta dificultades. Ante este panorama, una estrategia que contribuye al aprendizaje significativo de la solución de problemas, en particular, y de las matemáticas, en general, es la d enominada Álgebra Temprana (AT). El presente trabajo realiza una revisión de dos propuestas didácticas en AT. Se describe la noción adoptada de AT de cada una, la noción de solución a una situación problema, las investigaciones realizadas y los resultados principales. Las diferencias se discuten en función de las producciones realizadas por los niños, así como de sus implicaciones para la educación. Finalmente, se sostiene que este tipo de propuestas proporcionan una brújula para las prácticas de comprensión de la matemática y para el abordaje de situaciones problemas, las cuales se pueden desarrollar dentro de las aulas.

Palabras clave

Revista electrónica en Ciencias Sociales y Humanidades Apoyadas por Tecnologías.

Introducción.

No es sorprendente escuchar a nivel nacional e incluso internacional que los estudiantes tienen un pobre desempeño en matemáticas. En particular, se habla de la dificultad para plantear, formular, resolver e interpretar problemas matemáticos vinculados a situaciones cotidianas (NAEP, 2003; PISA, 2013). A nivel nacional, el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE, 2013) informó que el 56% de los estudiantes están dentro de los niveles 0 y 1 en matemáticas (en una escala de 0 a 5), a estos resultados se suma el Tercer Estudio Regional Comparativo y Explicativo (TERCE, 2013), el cual señala que sólo el 20% de los estudiantes se ubican en el nivel más alto (IV). Finalmente, el Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés) (2013) reporta que sólo el 6% de los estudiantes mexicanos muestran un razonamiento matemático avanzado en el dominio de las operaciones formales y simbólicas. Estos resultados hacen evidente una falta de comprensión de las matemáticas y altos índices de reprobación, los cuales se acentúan cuando se introduce el álgebra.

Ante este contexto, la educación matemática presenta el desafío de preparar a los estudiantes para que analicen, comprendan y apliquen conocimientos y habilidades a diferentes situaciones problema. La solución de problemas (aritméticos para la primaria y algebraicos para la secundaria), constituye uno de los ejes principales del programa de matemáticas (Secretaria de Educación Pública, 2011), un desempeño óptimo en esta actividad implica la capacidad para comprender conceptos e identificar relaciones matemáticas, promueve el desarrollo del razonamiento lógico y de estrategias de pensamiento las cuales permiten explicar, predecir y modificar la realidad con el fin de actuar en ella. Al respecto Alsina (2012) señala que la solución de problemas da sentido aplicativo a las matemáticas y su solución fomenta las habilidades necesarias para utilizar conocimientos matemáticos en situaciones de la vida cotidiana.

En la actualidad se ha observado que la importancia de resaltar, en la enseñanza, el proceso de solución de problemas consiste en la automatización de algoritmos descontextualizados de la situación narrativa que se presenta. Esto deja de lado el proceso de análisis y significación de las relaciones y elementos matemáticos que se presentan. Actualmente, los alumnos están más habituados a atender aspectos superficiales, particulares y concretos del problema. La consecuencia de estas prácticas son limitaciones en el aprendizaje como: poca comprensión de las relaciones matemáticas del problema, estrategias de solución inefectivas, dificultad para traducir el problema en representaciones matemáticas, falta de estrategias para seguir un razonamiento y dificultad para dar un significado al algoritmo en el contexto del problema (Flores, 2005).

Considerando los desempeños reportados en las evaluaciones y las prácticas que actualmente se promueven, se puede sostener que la enseñanza de la disciplina matemática se ha alejado del pensamiento crítico-analítico y se ha acercado a la promoción descontextualizada de procedimientos y reglas sin comprensión del contenido. En las últimas dos décadas el Consejo Nacional de Profesores de Matemática ha señalado reiteradamente que se debe incorporar el álgebra desde los primeros años de educación formal (NCTM, 2000), con esta iniciativa se pretende regresar a la promoción del pensamiento crítico, analítico y relacional, así como integrar las diferentes áreas matemáticas.

Éste movimiento concibe que la aritmética es parte del álgebra. Por ello, desde que inicia la educación escolar se debe iniciar con el aprendizaje de ambas áreas matemáticas; con ello se promueve el desarrollo de las formas algebraicas de pensamiento desde edades tempranas con lo cual, además de mejorar el desempeño de los estudiantes en la solución de diferentes situaciones problemas, brinda la posibilidad de desarrollar diferentes herramientas de generalización y abstracción, así como, una comprensión profunda y relacional de las matemáticas (Lins & Kaput, 2004). Desde este enfoque se promueve el razonamiento basado en el análisis de estructuras sin ponderar el área matemática (i.e aritmética y álgebra), de esta forma se aleja de una enseñanza centrada en la automatización de procedimientos, así como, de aspectos específicos y operacionales de contenido algebraico o aritmético.

En las siguientes líneas se ofrece una visión de las dos propuestas didácticas derivadas de los señalamientos hechos por el NCTM (2000) más importantes en el área, considerando el número de citas en las bases de datos Scopus e Isi, así como el factor de impacto de los principales autores de cada una. Se presenta una breve descripción de su propuesta, los resultados principales, la noción de solución de problema y su relación con el álgebra. Para concluir se discuten las diferencias entre una y otra, así como, sus implicaciones para la educación. Las propuestas didácticas que se revisan son: Instrucción de Ampliación del Esquema y Aritmética Generalizada.

Instrucción de Ampliación del Esquema.

La Instrucción de Ampliación del Esquema (IAE) (en inglés Schema-Broadening Instruction SBI) es una propuesta educativa que pretende enseñar a resolver los problemas introduciendo ecuaciones algebraicas como una herramienta de análisis y representación de la estructura del problema. Desde este punto de vista la solución de problemas requiere aplicar y transferir conocimientos a situaciones nuevas. La IAE enseña a niños de segundo y tercer grado de primaria a

identificar información relevante de los problemas y a integrarla a la ecuación algebraica. Desde esta propuesta, la ecuación tiene dos funciones. Por un lado sirve para representar las características que definen y diferencian a los problemas entre sí y por el otro sirve de andamio para los estudiantes, ya que ellos se apoyan en ésta para relacionar los elementos relevantes, identificados en el problema, y llegar a la solución. Este proceso facilita el reconocimiento de diversos problemas aritméticos lo que repercute favorablemente en el rendimiento de los estudiantes (Fuchs, et al., 2008; Fuchs, et al., 2010).

IAE parte del supuesto que mientras más amplio o desarrollado esté el esquema, mayor es la probabilidad de que el estudiante establezca la relación entre los problemas familiares y los nuevos problemas. Se espera que estos últimos se aborden utilizando métodos de solución que ya se han aprendido (Fuchs, et al., 2004; Fuchs, et al., 2006; Fuchs, et al., 2010; Fuchs, et al., 2012).

La propuesta educativa IAE enseña a los alumnos a entender y reconocer el esquema (ecuación) de un tipo de problema. Posteriormente, la instrucción se dirige a ampliar el esquema integrando otros problemas que conservan la misma estructura pero que difieren en rasgos (por ejemplo, el contexto del problema). En este punto, se enseña a distinguir la información superficial de la sustancial, con esto, sostienen los autores, se promueve que los alumnos transfieran sus conocimientos, pues comprenden cómo abstraer los rasgos definitorios de cada categoría en contextos que difieren. IAE se enfoca en la enseñanza de tres tipos diferentes de problemas, a saber: Total, Diferencia y Cambio. La ecuación matemática se conforma al incorporar la literal “x” la cual indica el lugar que ocupa la incógnita (cantidad desconocida). En estos tres tipos de problema, la incógnita puede ocupar cualquiera de las tres posiciones de los elementos que conforman la ecuación i.e. 51 + x = 73 ó x + 25 = 73 ó 67 + 34 = x.

En términos generales, el proceso de enseñanza es llevado por el docente. Éste, enfoca el proceso de razonamiento de los alumnos mediante la siguiente secuencia instruccional. En la primera sesión se enseñan reglas de solución de problemas (i.e. ordenar correctamente los números para realizar una suma o resta, estrategias generales para resolver problemas). En la segunda sesión, se introduce un problema de total con su respectiva ecuación y con la incógnita en el total; se trabaja sobre las partes del problema representadas en la ecuación y se analiza la posibilidad de encontrar la incógnita en otra parte de la ecuación algebraica. En la siguiente sesión, se introduce un nuevo problema, perteneciente al mismo tipo de problema, el punto crucial aquí es enfatizar las características que definen el tipo de problema y las estrategias de solución cuando la incógnita se encuentra en el total. Con la finalidad de ampliar el esquema, en las lecciones cuatro y cinco se modifican las características superficiales del tipo de problema que se esté trabajando, aquí, se enseña a reconocer la información irrelevante y se explica que algunas características pueden hacer parecer que el problema es diferente, pero que en realidad no cambia la estructura. En la sexta y séptima lección se enseña a resolver problemas cuando la información que falta está en la primera o segunda posición de la ecuación general (lado izquierdo del signo de igualdad); mediante preguntas como ¿qué oración habla de la cantidad inicial? o ¿existe una cantidad total en el problema? el alumno puede inferir la ausencia de algún dato y con ello ubicar la información que conoce en la ecuación. Finalmente, la octava sesión consiste en realizar problemas con diferentes características y comentar sobre el trabajo realizado en toda la secuencia. Este procedimiento se repite para los dos restantes tipos de problemas (diferencia y cambio). Con base en la secuencia descrita, el estudiante realiza actividades como leer el problema, subrayar la pregunta, identificar qué tipo de problema es, marcar y ubicar la información en la ecuación que representa la estructura del problema, para finalmente elegir una forma de solución.

Las investigaciones reportan comparaciones en el desempeño antes y después de aplicar la secuencia instruccional, tanto inter como extra grupo. Se evalúa la representación al problema mediante una ecuación algebraica, así como su solución. En términos generales, se reporta que casi el 60% de los estudiantes representan de forma correcta el problema mediante una ecuación algebraica (Fuchs, et al., 2010). Otro dato relevante que se reporta es que los estudiantes encuentran el valor para la incógnita dentro de una oración matemática que incluye una incógnita (Fuchs, et al., 2012). Finalmente, se ha reportado que se presentan dificultades al solucionar los problemas cuando la incógnita se encuentra en el segundo sumando, al respecto, se argumenta que los estudiantes necesitan mayor tiempo de práctica con problemas que presentan la incógnita en esta posición (Fuchs, et al., 2010).

Con base en los resultados, se sostiene que los estudiantes que identifican y representan los elementos que componen un determinado problema de manera algebraica solucionan de manera eficaz los tres diferentes tipos de problemas (total, diferencia y cambio).

En resumen, bajo esta propuesta de enseñanza, el esquema es la estructura subyacente de un tipo de problema, el cual se usa como esquema para organizar la información expresada en la narración y como andamiaje para poder solucionarlo. Tomando como base lo anterior, el esquema es el mediador, es la herramienta que permite que los estudiantes traduzcan el lenguaje ordinario, con el cual se presenta y narra la situación problema, al lenguaje matemático. Una vez elaborada la

ecuación, ésta le permite analizar el problema y ubicar la información, para finalmente resolverlo. Desde esta propuesta se concibe la solución del problema como un proceso de representación de la información dentro de la estructura de una ecuación. La comprensión depende de que el estudiante detecte ciertos elementos en el texto y que los relacione a través de las preguntas y de la posición que ocupan en el esquema, en la ecuación.

La relación que realiza la IAE con el álgebra consiste en introducir una literal para denotar una incógnita, es decir, la “x” que se introduce, ocupa el lugar de una cantidad fija, pero desconocida, la cual se puede encontrar realizando alguna operación básica.

Aritmética Generalizada.

La segunda propuesta educativa que se presenta es la denominada Aritmética Generalizada (AG). Ésta pretende desarrollar la comprensión de ciertos conceptos algebraicos desde edades tempranas. Parte del supuesto que la promoción del pensamiento algebraico desde edades tempranas (niños de primaria) aumenta la probabilidad de éxito en el estudio de toda la matemática. Desde este punto de vista la solución a un problema requiere que el estudiante matematice, haciendo uso de sus conocimientos previos la situación problema que se le presenta. En este sentido, el interés está en las representaciones espontáneas y naturales que los estudiantes elaboran pues se considera que proporcionan información sobre su comprensión. En el proceso de representación se expresa la relación entre los elementos importantes que retoma el estudiante de la situación problema; de aquí que se incorporen y validen todas las formas emergentes de pensamiento del estudiante. La representación guiará las acciones y cálculos necesarios para solucionar la situación problema (Brizuela, et al., 2015; Brizuela y Schliemann, 2004; Carraher, Martinez, y Schliemann, 2008; Carraher, Schliemann y Brizuela; 2001; Carraher, et al., 2006; Schliemann, Carraher y Brizuela, 2011; Schliemann, et al., 2003).

La AG plantea que las representaciones son una herramienta para razonar sobre los problemas, facilitando, en última instancia, que el estudiante encuentre una respuesta, es decir, es una herramienta para actuar sobre la realidad sobre el problema.

La AG se caracteriza por alentar la búsqueda de relaciones matemáticas en situaciones abiertas, las cuales no siempre aluden a cantidades específicas. A continuación, se presenta un ejemplo el cual parte de una relación de igualdad entre cantidades desconocidas, pero que se van modificando a lo largo de la narración. Con este tipo de problemas, se pide a los niños conceptualizar y trabajar cantidades desconocidas, además de identificar las transformaciones y cómo estás afecta la relación de igualdad establecida en un inicio. El problema concluye cuando se presenta la cantidad de uno de los personajes para pedir encontrar la cantidad del otro (Carraher, Schliemann & Brizuela, 2001).

María y Juan tienen cada uno una alcancía. El domingo, los dos tenían la misma cantidad en sus alcancías. Dibuja o representa la cantidad de María y Juan. El lunes, su abuela los visita y les da $3 a cada uno de ellos. Dibuja o representa la cantidad de María y Juan. El martes, van juntos a la librería. María gasta $3 en el nuevo libro de Harry Potter y Juan gasta $5 en un calendario con imágenes de perro. Dibuja o representa la cantidad de María y Juan. El miércoles, Juan lava el carro de su vecino y gana $4. María cuidó a su vecina y gana $4. Los dos ponen su dinero en la alcancía. Dibuja la cantidad de María y Juan. El jueves, María abre su alcancía y descubre que ella tiene $9. ¿Cuánto dinero tiene Juan? Explica cómo sabes que esa cantidad de dinero tiene Juan. ¿Cuánto dinero tenían al principio? Explica cómo sabes que esa cantidad tenía Juan.

La finalidad de este tipo de problemas radica en promover, entre los alumnos, la comprensión de las relaciones matemáticas, independiente de los valores específicos, ya que esto favorece la generalización y abstracción de las relaciones matemáticas, lo que en última instancia promueve el análisis y comprensión de relaciones y no sólo del manejo cuantitativo de ellas.

El interés de los estudios que ha realizado la AG se han centrado en: a) la comprensión que tienen y pueden desarrollar los estudiantes de primaria (de tercer a sexto gado) sobre el signo de igualdad (Molina, 2005; 2009; 2011); b) el pensamiento relacional y la generalización de estructuras matemáticas al notar regularidades (Molina, 2005; 2009; 2011); c) la utilización de herramientas sofisticadas como tablas para generalizar y simbolizar relaciones funcionales (Blanton, et al., 2015); d) la representación de relaciones algebraicas cuando los estudiantes resuelven problemas narrativos los cuales incluyen relaciones funcionales (Brizuela & Schliemann, 2004; Carraher, Schliemann & Brizuela; 2001; Carraher, Martinez, & Schliemann, 2008); y e) el uso de las letras para representar dichas cantidades y relaciones funcionales (Blanton, et al., 2015; Brizuela, et al., 2015). Con excepción del trabajo realizado por Blanton et al. (2015), los datos que típicamente se reportan provienen de entrevistas realizadas a algunos estudiantes.

La forma de trabajar de la propuesta educativa de AG consiste en presentar a los estudiantes un problema algebraico (como el descrito anteriormente), éste es leído de manera grupal. Con preguntas se indaga sobre las relaciones que los estudiantes identifican. Posteriormente, se representa la relación, aquí se comentan las representaciones elaboradas así como lo que significan. Finalmente, se elige la representación que más se acerque a la representación matemáticamente correcta del problema y, a partir de ella, se analiza el significado de cada elemento de la representación. Los problemas que se presentan integran intencionalmente las prácticas, elementos y conceptos de álgebra en diversas situaciones de forma que los niños pueden identificar, construir y analizar diversas relaciones matemáticas.

En términos generales, se reporta que los estudiantes de manera espontánea representan las relaciones empleando dibujos y asignando valores particulares a las cantidades desconocidas. Posteriormente, con mediación del investigador, los estudiantes llegan a desarrollar notaciones para representar los elementos y las relaciones de problemas con cantidades conocidas y desconocidas incorporando y operando letras, es decir, por iniciativa propia, ningún estudiante recurre al uso de literales para representar cantidades desconocidas. Un dato interesante en relación al valor que asignan los niños a las letras es que determinan su valor por la posición que ocupa en el alfabeto, i.e. para la letra “A” asignan el valor “1”, mientras que para la letra “X” asignan el valor 24 (posición que ocupa en el alfabeto inglés).

Con base en los resultados, se sostiene que los estudiantes comprenden y usan elementos que tradicionalmente se han considera del dominio algebraico desde tempranas edades. Este punto permite que los niños desarrollen un pensamiento que atiende a relaciones, abstracciones y generalizaciones y no únicamente a la búsqueda de cantidades puntuales. Lo anterior posibilita comprender una y abordar una mayor gama de problemas.

En resumen, bajo esta propuesta de enseñanza, la representación es parte crucial del análisis y comprensión que realiza el estudiante del problema, el cual a su vez, es un andamio para poder solucionarlo. Con base en lo anterior, la representación es la herramienta que permite que los estudiantes traduzcan el lenguaje ordinario, con el cual se presenta y narra la situación problema, al lenguaje matemático. Desde esta propuesta se concibe la solución del problema como un proceso de matematización del problema, la cual se establece con los elementos relevantes y constituyendo algún tipo de relación entre ellos.

La relación que establece esta propuesta educativa con el álgebra consiste en introducir elementos (i.e. letras), conceptos (i.e. signo igual, incógnita, variable) y prácticas (i.e. relacionales, generalización) a situaciones creadas para este fin. De esta forma, el estudiante es empujado a desarrollar y aceptar herramientas fuera de contextos numéricos para comprender las situaciones, con ello se promueve la amplitud del pensamiento.

Para concluir, se discuten las diferencias entre ambas propuestas educativas, así como, sus implicaciones al ámbito educativo.

En relación a las diferencias entre las propuestas educativas, tenemos las referentes a las producciones de los niños. Mientras la AG retoma todas las producciones como representaciones validas del análisis y comprensión del problema, la IAE promueve y retoma como válida sólo la generación de una ecuación que se ajuste al análisis del tipo de problema que se está trabajando. A pesar de que ambas representaciones son producto del conocimiento de los niños, la representación que acepta la IAE es rígida en tanto no acepta aproximaciones similares y diferentes al abordaje de la situación, limitándose sólo a la promoción de representaciones matemáticas formales. Mientas que la AG posibilidad concebir tanto diferentes formas como diferentes aproximaciones al problema, lo que permite a los estudiantes partir de lo que ya saben, para eventualmente ir incorporando nuevo conocimiento y elementos. Cabe mencionar que estas diferencias son el resultado, en gran medida, del tipo de problemas que emplea una y otra propuesta educativa; mientras que la IAE retoma problemas prototipos de la educación (aritméticos), la AG crea exprofeso sus problemas para poder introducir los elementos algebraicos de interés.

Con base en lo anterior, las dificultades que presentan los estudiantes, para la propuesta IAE refieren a un mal seguimiento de los pasos en el análisis y elaboración de la ecuación, lo que no necesariamente refleja la falta de comprensión de las relaciones enunciadas. Para la propuesta educativa AG las dificultades que presentan los alumnos son un indicador del proceso de comprensión del problema, de aquí que no hay respuestas malas o buenas.

A pesar de la forma que cada estrategia educativa sigue, se puede sostener que ambas promueven la comprensión de conceptos y situaciones algebraicas, lo que impacta favorablemente en su desempeño matemático. Lo anterior permite aseverar que la instrucción debe brindar andamiajes que permitan desarrollar el pensamiento matemático y retomar y validar todas las formas de representación que realizan los estudiantes ante una situación problema. Esto nos lleva a sostener que aprender matemáticas, desde estos puntos de vista, implica la adquisición e interiorización de herramientas que están dentro de la Zona de Desarrollo Próximo del estudiante (Vygotsky, 2009), lo que permite que los estudiantes

transiten de símbolos algebraicos sin significado a la comprensión de los mismos (i.e. literales, ecuaciones, notaciones), lo que en última instancia los lleva a desarrollar sus esquemas de entendimiento.

Los resultados presentados por las dos diferentes propuestas educativas hacen suponer que postergar el aprendizaje del álgebra aunado a la dominante práctica centrada en la obtención de valores, puede estar contribuyendo a las dificultades con las que se enfrentan los alumnos de secundaria, preparatoria y universidad. En ambas estrategias los estudiantes dotan de significado a la literal, en algunos casos como incógnita (Véase Fuchs, et al. 2010) y en otros como incógnita, variable y función (Véase Blanton, et al. 2015; Brizuela, et al. 2015). Adicionalmente, se resignifica el signo de igualdad, transitando de una noción de operador a una noción de equivalencia; aspecto de suma importancia ya que varios autores (Kieran, 1981, 2004; Kieran & Filloy, 1989; Filloy & Rojano, 1989) han señalado que éste es el primer paso para que los estudiantes comprendan el tipo de relaciones que demanda el pensamiento algebraico.

La contribución al ámbito educativo de la IAE se puede sintetizar en que permite desde edades tempranas: a) traducir diferentes problemas que pertenecen al mismo tipo de problema a una ecuación; b) significar la literal “x” como una incógnita; c) relacionar números y letras en un mismo enunciado matemático; y d) en algunos casos, comprender el signo de igualdad como una declaración de equivalencia.

La principal contribución de la AG al ámbito educativo es que ha demostrado que los estudiantes desde edades tempranas comprenden elementos, conceptos y relaciones algebraicas. Este se debe, principalmente, al tipo de situaciones que presentan y al tipo de procesos que promueven al abordarlas.

Ambas propuestas educativas arrojan evidencia que permiten romper con la tradición temporal en la enseñanza del álgebra. Lo que permite sostener que el aprendizaje de los contenidos matemáticos no está en función sólo de las habilidades de los niños, sino que la forma en la cual se plantean y desarrollan las actividades son la pauta para promover la comprensión matemática relacional, la clave parece estar en desarrollar enfoques para pensar estructuralmente en la solución de problemas de diferente naturaleza.

Consideraciones finales.

Con base en lo expuesto previamente, se sostiene que hay tres razones fuertes para implementar estrategias educativas que incorporen el álgebra desde los primeros años de la educación formal.

La primera de ellas refiere a los bajos desempeños obtenidos por los estudiantes al empezar con el aprendizaje algebraico en la secundaria. Si se promueve el pensamiento algebraico incorporando elementos, conceptos y prácticas algebraicas desde la educación primaria, se posibilita una comprensión profunda de las relaciones matemáticas con base sólida, lo que eventualmente repercute en el desempeño de los estudiantes.

La segunda razón refiere a la importancia que tiene la solución de situaciones problema y los pobres desempeños que se obtienen. Incorporar el álgebra al análisis y representación de los problemas permite que el estudiante centre su atención en los elementos y relaciones relevantes, además, permite trabajar con expresiones cada vez más generales y abstractas. Este punto posibilita incorporar otras situaciones a la misma representación algebraica. En otras palabras, el estudiante identifica la regla y la generaliza a cualquier situación sin importar las características de la misma.

La tercera razón refiere a la necesidad de una comprensión profunda y relacional de las matemáticas. Este aspecto nos lleva a brindar la oportunidad de incorporar el álgebra en todos los niveles educativos con la finalidad de agregar coherencia y profundidad en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La promoción del razonamiento algebraico, entendido como las formas de hacer, pensar y hablar de las matemáticas abordando situaciones generales y empleando representaciones simbólicas, sirve para que el estudiante signifique su aprendizaje matemático y relacione los contenidos de toda su vida académica (Blanton & Kaput, 2005; Blanton & Kaput, 2011; Kaput, 2008; Kaput & Blanton, 2000).

Si bien, la evolución del pensamiento algebraico demanda un cambio en el proceso de enseñanza y aprendizaje, lo cual se logrará en el transcurso de muchos años, las propuestas aquí revisadas ponen de manifiesto que no se necesita esperar a la adolescencia para iniciar con el proceso. Los trabajos revisados permiten sostener que, aunque tradicionalmente se ha segmentado la enseñanza matemática en aritmética y álgebra, esto no significa que deba seguir así. Cambiar de paradigma, como en las propuestas revisadas, permitirá eliminar la brecha entre los conocimientos y comprensión de los elementos y prácticas de una y otra área matemática, así como pensar de forma relacional y abstracta. Este cambio de paradigma requiere desarrollar e implementar estrategias educativas que promuevan el desarrollo de conocimientos y habilidades matemáticas que permitan resolver problemas en términos de relaciones y no sólo vinculados con valores numéricos particulares y absolutos.

Es necesario transitar y promover en las aulas la concepción de una situación problema dinámica, que fomente la exploración para desarrollar y comprender conocimientos matemáticos. Estas situaciones deben incluir actividades que den sentido a los conceptos y enunciados que componen los problemas, buscando que el estudiante identifique diferentes formas de representar, así como que desarrolle un lenguaje adecuado para comunicar y discutir los resultados, el cual debe ser cada vez más simbólico. Debemos, pues, alejarnos por completo de la visión operacional que privilegia la búsqueda del resultado mediante un solo procedimiento y transitar a la incorporación de estrategias relacionales.

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