1. Movimiento Armónico Simple

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Tema 1

Movimiento Armónico Simple

1.1 Conceptos de movimiento oscilatorio: el movimiento armónico simple (MAS).

1.2 Ecuación general del MAS. 1.3 Cinemática del MAS. 1.4 Dinámica del MAS. 1.5 Energía del MAS.

1.6 Aplicación al caso del resorte.

1.1. Conceptos de movimiento oscilatorio: el movimiento armónico simple

(M.A.S.).

Movimiento oscilatorio, vibratorio o periódico: movimiento caracterizado por:

1. recorrer la misma trayectoria, siempre en torno a la posición de equilibrio; 2. tardar el mismo tiempo (periodo) en recorrer la trayectoria;

3. estar originados por las fuerzas recuperadoras.

Posición de equilibrio: lugar en el que el móvil que oscila no recibe fuerza y donde se

quedaría en reposo si se dejase inicialmente.

Periodo: tiempo que tarda un móvil en completar una oscilación completa en los movimientos

oscilatorios. Estos movimientos se llaman periódicos.

Fuerza recuperadora: fuerza que origina los movimientos oscilatorios y que siempre está

dirigida hacia la posición de equilibrio, donde es nula.

Amortiguamiento: fenómeno consistente en que un movimiento oscilatorio se ve frenado por

rozamientos hasta detenerse.

Movimiento armónico simple (M.A.S.): en un movimiento oscilatorio que se caracteriza

(2)

Posición de equilibrio

Figura 1.1. Dos ejemplos de movimiento oscilatorio.

Ejemplos de movimientos oscilatorios son el del péndulo, el de una masa conectada a un muelle, una regla con un extremo fijo y el otro libre, el de una cuerda de un instrumento musical, las cuerdas vocales, etc. En la figura 1.1 se muestran dos ejemplos típicos de movimiento oscilatorio.

1.2. Ecuación general del MAS

La ecuación general de un MAS es:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +ϕ = t 0 T 2π sen A x(t) donde:

- x(t) recibe el nombre de elongación; representa la separación del móvil de la posición de equilibrio. Se mide en metros.

- A es la amplitud; representa el valor máximo de la elongación. La elongación siempre estará comprendida entre –A y +A. Se mide en metros.

- T es el periodo; representa el tiempo necesario para que ocurra una oscilación completa. Su unidad son los segundos.

- ϕ0 es la fase inicial; permite calcular la posición inicial del oscilador y se mide en

radianes. - ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +ϕ 0 t T 2π

recibe el nombre de fase; es el argumento de la función trigonométrica. Se mide en radianes.

(3)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 t x(t)

La magnitud inversa del periodo se denomina frecuencia lineal o simplemente frecuencia (f), se mide en hercios (Hz) y representa el número de oscilaciones que tienen lugar en un segundo.

T 1 f=

Otra magnitud muy importante es la frecuencia angular o pulsación (ω), que se mide en rad/s y se relaciona con la anterior mediante la expresión:

T 2π f 2π

ω= =

Haciendo uso de estas expresiones el MAS se puede expresar de las siguientes formas siendo la última las más usual:

(

)

(

0

)

0 ωt sen A x(t) t f 2π sen A x(t) ϕ + = ϕ + =

La gráfica posición-tiempo de un MAS consiste en representar en el eje vertical la separación de la posición de equilibrio (elongación) y en el eje horizontal el tiempo, de modo que en cada instante se conoce la posición de la partícula. La figura 1.2 muestra un ejemplo de MAS donde se han tomado los valores siguientes (A=5m, T=8s, ϕ0=0.44rad), con lo que la ecuación del

MAS resulta ser:

x(t) = 5 sen(0.79 t + 0.44) A

A

x(t)

T

(4)

Inicialmente la partícula está en la posición:

(

0.44

)

2,13m sen

5

x(0)= ≅

a medida que aumenta ‘t’ se va alejando de ella hasta que llega al extremo superior donde la posición vale 5m. Después la partícula retorna y alcanza la posición de equilibrio y continúa hacia el otro extremo de su trayectoria moviéndose hacia valores negativos hasta llegar a x(t)=–5m. Los valores negativos sólo significan estar por debajo del eje o a la izquierda de la posición de equilibrio si el movimiento es horizontal. Después el móvil vuelve a la posición de equilibrio, la supera y pasa por x(t)=2.13m de manera que es ese instante ha completado un ciclo completo, es decir, está en el mismo lugar en el que empezó y va a iniciar otro ciclo idéntico al anterior. La partícula ha tardado 8 segundos en completar el ciclo.

La representación matemática de un MAS también se puede expresar en función del coseno e incluso un mismo MAS admite las dos representaciones mediante los cambios:

(

)

(

)

(

0

)

0

(

0

)

0 0 0 ωt sen A 2 π ωt sen A ωt cos A x(t) ωt cos A 2 π ωt cos A ωt sen A x(t) ' ' ϕ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +ϕ + = ϕ + = ϕ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +ϕ = ϕ + =

1.3. Cinemática del MAS

Se ha visto en el apartado anterior que la posición de un móvil que tiene un MAS se puede expresar de forma general mediante:

(

ωt 0

)

sen A

x(t)= +ϕ

Sabiendo que la velocidad de cualquier móvil se puede calcular mediante la derivada de la posición y teniendo en cuenta que, al ser el movimiento es rectilíneo, queda definido por una sola coordenada:

dt dx(t) v(t)=

Sustituyendo y operando se obtiene:

(

ωt 0

)

cos ω A

v(t)= +ϕ

expresión que permite calcular la velocidad del móvil en cualquier instante. Se considerarán las velocidades positivas en el sentido izquierda→derecha (o abajo→arriba) y las negativas en el contrario.

(5)

Aplicando a la expresión anterior la definición de aceleración para movimientos rectilíneos: dt dv(t) a(t)= se obtiene:

(

)

x(t) ω a(t) ωt sen Aω a(t) 2 0 2 − = ϕ + − =

El signo de la aceleración sigue el mismo criterio que el de la velocidad.

Todas las expresiones anteriores cambian si la ecuación de la posición está expresada por la función coseno:

( )

(

)

( )

(

)

(

ωt

)

ω x(t) cos ω A a(t) ωt sen ω A t v ωt cos A t x 2 0 2 0 0 − = ϕ + − = ϕ + = ϕ + =

Como se puede observar la aceleración es proporcional a la elongación y de

sentido contrario. Esta condición se tiene que cumplir en cualquier MAS.

La figura 1.3 están representadas la posición, la velocidad y la aceleración de un móvil que describe un MAS. Por simplicidad se ha supuesto que la fase inicial sea nula, de manera que en el instante inicial el móvil está pasando por el origen, su velocidad es máxima y su aceleración es nula (ya que en la posición de equilibrio la fuerza recuperadora vale cero). El análisis detallado del movimiento consiste en describir en diferentes puntos el estado de

vibración, es decir, la posición, velocidad y aceleración.

(a) → El móvil llega a un extremo de su trayectoria [x(t)=A], y en ese punto su velocidad es cero porque se detiene para volver. La aceleración es máxima porque está en el extremo de la trayectoria, donde la fuerza recuperadora es máxima.

(b) → El móvil está retornando al origen y su velocidad está aumentando. La velocidad es negativa para indicar el sentido de la misma. La aceleración está disminuyendo porque la fuerza va siendo menor conforme el móvil se aproxima a la posición de equilibrio.

(c) → El móvil está pasando por el origen, su velocidad es máxima y la aceleración es nula porque no hay fuerza recuperadora.

(d) → El móvil se va acercando a [–A] y su velocidad va disminuyendo porque la aceleración lleva sentido contrario a la misma. La aceleración aumenta conforme el móvil se acerca al extremo de su trayectoria.

(6)

Las tres gráficas representan:

- la primera la elongación que oscila entre +A y –A, se mide en m; - la segunda la velocidad, que varía entre +Aω y –Aω y se mide en m/s;

- la tercera es la aceleración, que toma valores entre +Aω2 y –Aω2 y se mide en m/s2.

1.4 Dinámica del MAS

Como ya se ha dicho, en los movimientos oscilatorios existe una fuerza recuperadora que es la que origina el movimiento. Si se aplica la ley fundamental de la dinámica al movimiento armónico simple de una partícula se obtiene lo siguiente:

-4 -2 0 2 0 2 4 6 8 10 4 12 x(t) -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 8 10 12 v(t) -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 8 10 12 a(t) a) b) c) d)

(7)

(

)

x C F x mω F x ω m F ma F 2 2 − = − = − = =

Del resultado obtenido se extraen las características de la fuerza recuperadora.

1. Siempre apunta a la posición de equilibrio, ya que los signos de ‘x’ y ‘F’ son contrarios. 2. Es nula en la posición de equilibrio (x=0) y máxima en los extremos (x=±A).

3. Es directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario.

t x(t)

1.5 Energía del MAS

Se ha visto ya cómo en los movimientos oscilatorios existen fuerzas y desplazamientos, por lo tanto, las fuerzas recuperadoras deben realizar trabajo sobre la masa que oscila. Las fuerzas recuperadoras suelen ser elásticas o gravitatorias por lo tanto son conservativas, lo que significa que existe una energía potencial asociada a los movimientos del oscilador. Además, la velocidad del oscilador varía entre cero y un valor máximo, por lo que existen variaciones de energía cinética. En estos movimientos tiene lugar una transformación continua entre

energía cinética y energía potencial.

La energía cinética del oscilador armónico simple se puede calcular partiendo de la expresión general de la energía cinética sustituyendo la velocidad del MAS:

5 1 Fr 7 6 máx Fr Fr 2 Fr 3 máx Fr 4 Fr

Figura 1.3. Sentido de la fuerza recuperadora

x(+) ⇒ F(-) x(+) ⇒ F(-)

(8)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ϕ + ω − ω = ϕ + ω ω = = t sen A A m Ec t cos A m Ec mv Ec 0

con lo que se obtiene la expresión de la energía cinética del oscilador:

(

2 2

)

2 2 1 x A m Ec= ω −

La energía mecánica del oscilador es la suma de la energía cinética más la energía potencial. Sabemos que en la posición de equilibrio (x=0), la velocidad es máxima, por lo que la energía cinética debe ser máxima y la potencial nula. En este caso:

2 2 2 1 A m Em= ω

La expresión de la energía potencial se obtiene a partir de la diferencia entre la energía mecánica y la cinética.

(

2 2

)

2 2 2 2 1 2 1 x A m A m Ep Ec Em Ep − ω − ω = − = 2 2 2 1 x m Ep= ω

La representación gráfica de las tres energías sería:

0

-6 0 x 6

E

– A A

Figura 1.4. Representación de las energías cinética, potencial y mecánica en un oscilador armónico.

Ec Ep

(9)

Las transferencias de energía tienen lugar del siguiente modo: cuando la partícula se va aproximando al extremo de la trayectoria va perdiendo velocidad y, por lo tanto, la energía cinética va disminuyendo. Al mismo tiempo la energía potencial aumenta al alejarse la partícula de la posición de equilibrio, ya que la fuerza se va haciendo mayor. Cuando se alcanza el extremo la partícula se detiene y, durante ese instante, su energía cinética se anula mientras que la energía potencial es máxima. A medida que la partícula se vuelve a acercar a la posición de equilibrio aumenta su velocidad (ya que la fuerza actúa en el sentido del movimiento) y por lo tanto también aumenta su energía cinética, mientras que disminuye su energía potencial. En la posición de equilibrio, la velocidad es máxima, por lo que la energía cinética es máxima, y la energía potencial es nula porque no actúan las fuerzas recuperadoras. Durante todo el movimiento la energía está continuamente transformándose de cinética a potencial y viceversa pero el valor total permanece constante ya que no se tienen en cuenta las fuerzas de rozamiento.

Posición Ec Ep

Posición de equilibrio Máxima; al ser la velocidad máxima Nula; al no haber fuerzas

Extremos Nula; al estar en reposo Máxima; al ser nula la velocidad

Puntos intermedios Intermedia Intermedia

En todo caso la suma Ec+Ep es constante ya que la energía mecánica

se conserva

En los osciladores amortiguados la energía no se conserva porque actúan fuerzas de rozamiento que van restando energía al sistema, y las oscilaciones son cada vez menores hasta que finalmente el oscilador se detiene.

1.6 Aplicación al caso del resorte

Un ejemplo muy frecuente de MAS es el caso de una masa ‘m’ conectada a un muelle de constante elástica ‘k’ que oscila en un plano horizontal. Los resultados obtenidos son plenamente aplicables al caso de la masa suspendida del muelle y las oscilaciones sean verticales.

(10)

Dado que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión se prescinde del carácter vectorial y se emplearán solamente las expresiones escalares. La fuerza que ejerce el muelle sobre la masa vale:

kx F=−

Aplicando la ley fundamental de la dinámica se obtiene:

x) ω m( kx ma kx F 2 − = − = − = m k ω=

Aplicando la conocida relación entre pulsación y periodo se puede obtener la relación entre el periodo (T) y las características del sistema (k y m) y comprobar cómo el periodo de

oscilación depende únicamente de la masa y de la constante elástica del muelle.

k m 2π T m k T 2π ω= = ⇒ =

Para calcular la energía del oscilador se sustituye la expresión de la frecuencia angular en las expresiones obtenidas en el apartado anterior y se obtiene para la energía cinética:

(

2 2

)

c 21kA x

E = −

para la energía mecánica:

2 m 2kA

1

E =

y para la energía potencial:

2 p 2kx

1

(11)

Relación de ejercicios

ECUACIÓN GENERAL DEL MAS

1. Comprueba qué valores se obtienen en la expresión ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = t T 2π sen A x(t) (S.I.)

para los valores de tiempo 0, T/4, T/2, 3T/4, y T. Explica ayudándote de una gráfica dichos valores.

Sol. x(0) = 0m, x(T/4) = A, x(T/2) = 0, x(3T/4) = –A, x(T)=0m.

2. Una partícula oscila con un MAS de 30cm de amplitud. Determina la fase inicial sabiendo

que en el instante inicial estaba 6cm a la derecha del origen.

Sol. ϕ0 = 0.2rad

3. La fase inicial de una partícula que describe un MAS es 0.35rad. Determina la amplitud si

inicialmente la partícula está en la posición x(0)=0.2m.

Sol. A = 0.58m

4. La ecuación de un MAS es la siguiente:

x(t)=20 cos (45t + 0.15) (S.I.)

calcula: la amplitud, el periodo, la frecuencia lineal, la frecuencia angular y la fase inicial.

Sol. A = 20m, T = 0.14s, f = 7.16Hz, ω = 45 rad/s, ϕ0 = 0.15 rad.

5. Representa en un gráfico el valor de la elongación (eje vertical) frente al tiempo (eje

horizontal) para el siguiente MAS. x(t) = 3 cos(πt) (S.I.) Usa el intervalo t→[0s, 4s]

6. Calcula la amplitud, el periodo, la fase inicial, la fase y la frecuencia del siguiente MAS: x(t) = 23 sen (6t+2) (S.I.)

Sol. A = 23m, T = 1.05s, f = 0.95Hz, ω = 6rad/s, ϕ0 = 2rad.

7. Una partícula inicia un MAS en el extremo izquierdo de su trayectoria y tarda 0.1s en ir al

centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es 20cm calcula la posición de la partícula tras 1s y 1.72s de iniciar el movimiento.

Sol. x(1) = 0.2m, x(1.72) = 0.062m. CINEMÁTICA DEL MAS.

8.

a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.

b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración.

9. Calcular las expresiones de la posición, velocidad y la aceleración de una partícula que se mueve con un M.A.S. de 10mm de amplitud y 20Hz de frecuencia. Calcular el valor de dichas magnitudes en el instante t=10–2s.

Sol. x(t) = 10–2 sen(40πt), v(t) = 0.4π cos(40πt), a(t) = –16π2 sen(40πt),

x(10–2) = 0.0095m, v(10–2) =0.39m/s, a(10–2) = –150.1848m/s2.

10. Una masa oscila con un M.A.S. entre dos puntos separados 5m. Si tarda 4s en ir de un extremo a otro y en el instante inicial estaba a 1.25m hacia la derecha de la posición de equilibrio, calcular las ecuaciones que rigen el movimiento, la velocidad y la aceleración.

Sol.

( )

( )

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π + = t 0.52 4 sen 52 . 1 t a , 52 . 0 t 4 cos 96 . 1 t v , 52 . 0 t 4 sen 5 . 2 t x

11. ¿Cómo cambiaría la solución del problema anterior si la masa estuviera a la izquierda de la

(12)

12. Calcula la expresión del MAS correspondiente a un movimiento que tarda 3s en ir de un extremo al otro de la trayectoria si la distancia entre extremos es 10cm y en el instante inicial el móvil está a 3cm del extremo de la izquierda. Calcula, además, la velocidad y la aceleración máximas. Sol.

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π = t 0.41 3 sen 05 . 0 t x , vmáx = 0.052m/s, amáx = 0.055m/s2. 13.

a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre un cuerpo le produzca un movimiento armónico simple?

b) Represente gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por: y = 5 cos ( 10 t + π/2 ) (S I)

y otro movimiento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el anterior.

14. Demuestra que en un MAS la velocidad se puede calcular mediante la expresión:

2

2 x

A ω

v= −

ENERGÍA DEL MAS.

15. Supóngase que se duplica la amplitud de un MAS. ¿Qué ocurre con las siguientes

magnitudes? Frecuencia, periodo, velocidad máxima, energía total.

16. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas:

a) Si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto de un punto y de sentido opuesto, el movimiento de la partícula es armónico simple.

b) En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía.

17.

a) Represente gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula que vibra con movimiento armónico simple.

b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia del movimiento armónico simple? Razone la respuesta.

18. Una partícula de 0,2Kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje x, de

frecuencia 20Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0,2J y la energía potencial es 0,6J.

a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima. b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinética y de energía

potencial durante una oscilación.

Sol. a) x(t) = 0.023 sen(40πt), amáx =355.43m/s2.

19. Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f.

a) Represente en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y comente sus características.

b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación.

20. Una partícula de 50g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante:

a = -16 π2x.

a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.

b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.

(13)

APLICACIÓN AL CASO DEL RESORTE

21. ¿Cómo se modifica la energía total de un oscilador formado por una masa conectada a un

muelle si...

a) ...se reduce la masa a la mitad?

b) ...se reduce la constante elástica a la mitad? c) ...se reduce la amplitud a la mitad?

22. Calcular para qué valor de x la energía cinética es igual a la potencial en un sistema masa-muelle.

Sol. 2 A x=

23. Un cuerpo de masa 1.4kg se conecta a un muelle de constante elástica 15Nm–1. El sistema

oscila en la horizontal con una amplitud de 5cm. Calcula: a) La energía total del sistema.

b) Las energías cinética y potencial cuando pasa por los puntos P y P’ situados a 2.3cm y –2.3cm de la posición de equilibrio.

c) La fuerza que ejerce el muelle en el punto P. d) El periodo de las oscilaciones.

Sol. a) Em = 1.88·10–2J; b) EpP = EpP’ = 3.97·10–3J, EcP = EcP’ =1.48·10–2J; c) F = 0.35N;

d) T = 1.92s

24. Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque de masa m=2kg, sujeto al

extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo. Se aplica al bloque una fuerza de 30N, produciéndose un alargamiento del resorte de 10cm y en esta posición se suelta el cuerpo, que inicia un movimiento armónico simple.

a) Escriba la ecuación de movimiento del bloque.

b) Calcule las energías cinética y potencial cuando la elongación es de 5cm.

Sol. a) x(t) = 0.1 cos (12.25t); b) Ec = 1.13J, Ep = 0.38J.

25. Un objeto de 0,2kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de

0,1πs de período y su energía cinética máxima es de 0,5J.

a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica del resorte.

b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble.

Sol. a) x(t) = 0.11 sen(20t); k = 80N/m.

26. Un muelle (k=25N/m) conectado a una masa (m=4kg) oscila entre dos puntos separados

15cm.

a) Calcular la ecuación que describe el MAS si en el instante inicial la masa está 3cm a la izquierda de la posición de equilibrio.

b) Calcular la energía total del sistema y el punto en el que la energía cinética y la potencial valen lo mismo.

Sol. a) x(t) = 0.075 sen(2.5t – 0.41); b) Em = 0.07J, x = 0.053m.

27. Un cuerpo de masa 0.5kg se conecta a un muelle, se separa 6cm de la posición de equilibrio y se suelta, oscilando con una frecuencia de 0.8Hz. Calcular:

a) la constante elástica del muelle;

b) el módulo de la velocidad a los 2s de iniciarse el movimiento;

c) el módulo de la velocidad cuando está a 1cm del extremo derecho de la trayectoria.

Figure

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