3.2 CONJUNTOS Conceptos básicos Operaciones entre conjuntos RELACIONES 136

(1)

.. fndic..e.

Capítulo 1

Álgebra en los Números Reales

1.1 LENGUAJE ALGEBRAICO 7

1.2 VALORIZACiÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICAS 12

1.3 REDUCCiÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESY USO DE PARÉNTESIS 14

1.4 MULTIPLICACiÓN ALGEBRAICA 19

1.5 PRODUCTOS NOTABLES 24

1.6 FACTORIZAClÓN 29

1.6.1 Factor común (Monomio y Polinomio) 29

1.6.2 Factor común compuesto 32

1.6.3 Diferencia de cuadrados 34

1.6.4 Trinomios ordenados 37

1.6.5 Sumas o diferencias de cubos 41

1.7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 43

1.7.1 Simplificación 43

1.7.2 Multiplicación y División de fracciones algebraicas 45 1.7.3 Adición y Sustracción de fracciones algebraicas 50

PRUEBA DE SELECCiÓN MÚLTIPLE 56

Capítulo 2

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado

2.1 ECUACIONES 60

2.1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros 61 2.1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios 65 2.1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado 69

2.1.4 Ecuaciones literales de primer grado 73

2.1.5 Ecuaciones con valor absoluto 79

2.2 PROBLEMAS 80

2.3 DESIGUALDADES E INECUACIONES 89

2.3.1 Desigualdades 91

2.3.2 Inecuaciones 94

2.3.3 Inecuaciones simultáneas 97

2.3.4 Inecuaciones con valor absoluto 100

PRUEBA DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 104

Relaciones y funciones

3.1 LÓGICA i 111

3.2 CONJUNTOS 123

3.2.1 Conceptos básicos 123

3.2.2 Operaciones entre conjuntos 129

3.3 RELACIONES 136

3.3.1 Conceptosbásicos 136

3.3.2 Relación de equivalencia y de orden 144

3.4 FUNCIONES 151

3.4.1 Conceptos básicos ' 151

3.4.2 La función de primer grado (Ecuación de la recta) 162

3.4.3 Tipos de funciones. Función inversa 175

3.4.4 Funcionesde primer grado simultáneas.Sistemasde ecuacionesde primer grado 186

(2)

3.4.5 _{Inecuaciones con dos variables. Sistemas y problemas de programación lineal} ₂₁₁

PRUEBADE SELECCiÓNMÚLTIPLE 221

Capítulo 4

Ecuaciones e inecuaciones de segundo grado

4.1 ECUACiÓN CUADRÁTICA 227

4.1.1 Solución de la ecuación por factorización 227

4.1.2 Solución de la ecuación cuadrática aplicando la fórmula general 230

4.1.3 Ecuaciones bicuadráticas 233

4.1.4 Relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática

y sus raíces o soluciones y naturaleza de ellas 235

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 240

INECUAClONESDESEGUNDOGRADO 246

SISTEMASDE ECUAClONES DE SEGUNDO GRADO 251

Sistemas que contienen una ecuación lineal y una ecuación cuadrática 251 Sistemas en que ambas ecuaciones son de la forma ax2 :!:by2 = c 253 Sistemas formados por una ecuación de la forma x2:!: y2

=

a

y la otra ecuación, de la forma xy = b 256

4.4.4 Sistemas homogéneos formados por ecuaciones cuyos términos

son todos de segundo grado 259

4.4.5 Otros sistemas y problemas 262

PRUEBADE SELECCIÓNMÚLTIPLE 267

4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3

Capítulo 5

Polinomios y teoría de ecuaciones

5.1 DEFINICIÓNY OPERACIONESCON POLlNOMIOS 272

5.1.1 Suma 273

5.1.2 Resta 273

5.1.3 Producto 273

5.1.4 División 274

5.2 TEORíA DE ECUACIONES 283

5.2.1 Cálculo de las raíces de un polinomio. Factorización 283 5.2.2 Relación entre los coeficientes de una ecuación P (x)

=

O Ysus raíces 284

PRUEBADE SELECCIÓNMÚLTIPLE 291

Capítulo 6

Potencias y Raíces

6.1 POTENCIAS 295

6.1.1 Potencias de exponente natural 295

6.1.2 Potencias de exponente cero y exponente entero negativo 295

6.2 PROPIEDADESDE LASPOTENCIAS 299

6.2.1 Multiplicación de potencias de igual base 299

6.2.2 División de potencias de igual base 299

6.2.3 Elevación de potencia a potencia 299

6.2.4 Multiplicación de potencias de igual exponente 299

6.2.5 División de potencias de igual exponente 300

6.2.6 Potencia de un producto 300

6.2.7 Potencia de un cociente 300

6.3 ECUAClONES EXPONENClALES 304

índice

(3)

..

f",di~

6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.6 6.6.1 6.7 RAíCES """""""""""""""""""""""""""... 307 PROPIEDADES 307

Potencia de exponente fraccionario 307

Multiplicación de raíces de igual índice 308

División de raíces de igual índice 308

Raíz de una raíz 308

RAClONALlZACIÓN 318 Técnicas de racionalización 318 ECUAClONES IRRAClONALES 320 PRUEBADE SELECCiÓNMÚLTIPLE 323

C~pít9197'

Logaritmos 7.1 DEFINICIÓN DE LOGARITMO 329 7.2 PROPIEDADES 330

7.3 ECUACIONES EXPONENClALESy LOGARíTMICAS 340

Capítulo 8

Trigonometría

8.1 SISTEMASDEMEDICiÓNDEÁNGULOS 353

8.2 RAZONESTRIGONOMÉTRICAS PARAÁNGULOS AGUDOS 354

8.3 IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICAS 354

8.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASDE UN ÁNGULO CUALQUIERA 355 8.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASDE 60°, 30° Y 45°, 0°, 90°, 180° Y270° 355

8.6 FUNCIONES ..PERiÓDICAS 356

8.7 FUNCIONES PARESE IMPARES 356

8.8 ECUACIONESTRIGONOMÉTRICAS 356

8.9 RESOLUCiÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS 357

8.9.1 Teorema del seno (o de los senos) 357

8.9.2 Teorema del coseno (o de los cosenos) 357

8.9.3 Ángulos de elevación y depresión 357

PRUEBADESELECCIÓNMÚLTIPLE 376

Capítulo 9

Números Complejos

9.1 DEFINICIONESY PROPIEDADES 379

9.1.1 Igualdad 379

9.1.2 Representación geométrica 379

9.1.3 Forma canónica de un complejo 380

9.1.4 Operaciones con números complejos 380

9.1.5 Estructura del conjunto (iC , +,

.

) 380

9.1.6 Potencias de i 381

9.2 CONJUGADOYMÓDULO DE UNCOMPLEJO 390

9.2.1 Conjugado de un complejo 390

9.2.2 Módulo de un complejo 391

9.3 REPRESENTACiÓNTRIGONOMÉTRICAO FORMA POLAR DE UN

NÚMERO COMPLEJO 397

9.3.1 Definición de razones trigonométricas 397

a

562

(4)

9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5

Representación trigonométrica del complejo z = a + bi 397 Producto y cociente de complejos en forma polar 398 Potenciación de números complejos en forma polar 398 Radicación de números complejos en forma polar 399

PRUEBADE SELECCiÓNMÚLTIPLE 409 Capítulo 10 Vectores 10.1 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.3 10.3.1 10.3.2 10.4 10.5 10.5.1 10.5.2 10.5.3 10.5.4 10.6 10.6.1 10.6.2 DEF.INICIONES 413 OPERACIONESCON VECTORES 414 Suma de vectores 414

Producto por escalar 415

Propiedades de la suma y el producto por escalar 415

Resta de vectores 416

VECTORUNITARIO 416

Definición 416

Normalizar un vector 417

DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR 418

PRODUCTOPUNTO(O PRODUCTOESCALAR) 426

Definición 426

Propiedades 426

Ángulo entre vectores 426

Proyección de un vector sobre otro 427

VECTORESEN ELESPACIOJR3 433

Definiciones 433

Producto vectorial o producto cruz 434

PRUEBADESELECCIÓNMÚLTIPLE 439 Capítulo 11 Matrices

y

determinantes 11 .1 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.3 11.3.1 11.3.2 11.4 11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.5 11.5.1 11.5.2 CONCEPTOSBÁSICOS 443

IGUALDAD Y ADICiÓN DEMATRICES 445

Matrices iguales 445

Adición de matrices 445

Propiedades de la adición 446

PONDERACiÓN DE UNA MATRIZPOR UN ESCALAR 450

Definición 450

Propiedades 450

MULTIPLICACiÓNDE MATRICES 454

Procedimiento 454

Propiedades de la multiplicación 455

Matrices inversas y ecuaciones multiplicativas 456

DETERMINANTESY SISTEMASDEECUACIONES 462

Determinantes y Sistemas lineales de orden 2 462

Determinantesy Sistemaslineales de orden3 463

(5)

,

'~diu.

Capítulo 12 Sumatoria y progresiones 12.1 SUMATORIA 473 12.2 SUCESIONES 482 12.2.1 Definición 482 12.2.2 Sucesiones convergentes 484 12.2.3 Sucesiones divergentes 485

12.2.4 Sucesiones crecientes y decrecientes 486

12.3 PROGRESiÓN ARITMÉTICA 488

12.4 PROGRESiÓN GEOMÉTRICA 494

12.4.1 Definición 494

12.4.2 Cálculo de intereses de capital 495

12.5 PROGRESiÓN ARMÓNICA 506

12.6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 509

Capítulo 13

Análisis combinatorio, Teorema del binomio y Elementos de probabilidades

13.1 13.1.1 13 .1.2 13.1.3 13.1.4 13.2 13.2.1 13.2.2 13.2.3 13.3 13.3.1 13.3.2

ANÁLISIS COM BINATORI O 51 9

Conceptos básicos 519

Permutaciones 519

Arreglos o variaciones 520

Combinaciones 520

TEOREMA DEL BINOMIO 528

Conceptos yobservaciones básicas 528

Teorema del binomio 529

El triángulo de Pascal 530

ELEMENTOS DE PROBAB ILIDADES 534

Conceptos básicos 534

Probabilidad de la unión y de la intersección de dos eventos 535

PRUEBA DE SELECCiÓN MÚLTIPLE 539

Capítulo 14

Problemas

14.1 APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES ENTERAS : 545 14.2 APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES FRACClONARIAS 550 14.3 APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUAClONES LINEALES 553

14.4 PROBLEMAS MISCELÁNEOS 557