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Las reconstrucciones modelo

teóricas de las teorías científicas

Propósito

• El propósito de la ponencia es presentar algunos de los elementos fundamentales de la teoría de conjuntos que se pueden utilizar en la reconstrucción de las teorías científicas y,

Cuatro dificultades que enfrenta el concepto de teoría como sistema lógico

• La definición de teoría no admite representaciones alternas. Esto se debe a que se sostiene un concepto equivocado de teoría.

• Las reconstrucciones lógicas de una teoría son sumamente difíciles, por no decir imposibles. No se ha presentado una reconstrucción completa en términos lógicos de una teoría científica hasta ahora.

• Hay teorías para las cuales no es posible hallar un conjunto de axiomas que las pueda representar, por ejemplo algunas teorías de la bioquímica, la cinemática y, en general, las teorías descriptivas.

¿Qué es una teoría científica?

¿Qué es una reconstrucción?

• Una reconstrucción es la representación de los planteamientos de una teoría en algún lenguaje.

• La corriente semántica en la filosofía de la ciencia ha presentado una alternativa a la que propuso la concepción heredada.

• Considera que la mejor manera de representar las teorías es a través de modelos.

• Una de las propuestas consiste en la reconstrucción de teorías en términos del

Elementos de la teoría de

conjuntos

Ejemplos de conjuntos

• El conjunto de los números enteros positivos

A={x: x es un entero positivo} (definición por comprehensión) • El conjunto de las vocales del alfabeto

A={a,e,i,o,u}

Enumeración de los elementos de

un conjunto

• Los elementos de un conjunto no se repiten cuando se definen por extensión.

• {1,2,3,1,4} no es una definición por extensión correcta del conjunto. La correcta es {1,2,3,4}.

• El orden en que se presentan los miembros no es determinante.

Cardinalidad de un conjunto

• La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene.

Elemento de un conjunto

Subconjunto de un conjunto

El conjunto nulo

• El conjunto nulo es el conjunto que no contiene elementos.

• Símbolo: 

Conjunto potencia de A

• Pot A = B = {C: CA}

• El conjunto potencia de un cierto conjunto A es el conjunto B constituido de todos los subconjuntos de A.

• Si A={1,2,3},

Operaciones entre conjuntos

• Unión entre conjuntos C=AUB • C={x:xA  x B}

• La unión entre varios conjuntos genera un nuevo conjunto C tal que contiene únicamente los elementos contenidos en los conjuntos considerados.

Operaciones entre conjuntos

• Intersección entre conjuntos C=A∩B • C={x:xA  x B}

• La intersección entre varios conjuntos genera un nuevo conjunto C tal que contiene únicamente los elementos que se encuentran simultáneamente en los conjuntos intersecados.

Operaciones entre conjuntos

• Diferencia entre dos conjuntos C=A\B • C={x:xA  x B}

• La diferencia genera un nuevo conjunto C tal que contiene los elementos de A que no están en B.

El complemento de un conjunto

• Complemento de un conjunto C=AC

• C={x:xA}=U\A, donde U es el conjunto universal.

Tupla, eneada o conjunto ordenado

• Notación: A=<a₁,a₂,…,a_n>

• En una tupla el orden de los miembros es significativo. Mientras {1,2,3} = {2,1,3}, <1,2,3> ≠ <2,1,3>.

• A diferencia de los conjuntos en una tupla los elementos pueden repetirse. <1,3,1> es una representación válida de una tupla.

• Las tuplas son útiles para representar estructuras de objetos o entes.

Operaciones entre conjuntos

• Producto cartesiano entre dos conjuntos C=AxB

• C={x:x=<a_i,b_j>}

Ejemplos de producto cartesiano

• Si A={1,2,3} y B={2,4}, entonces

AxB={<1,2>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,2>,<3,4>}

AxA=A2={<1,1><1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,

<3,1>,<3,2>,<3,3>}

BxBxB=B3={<2,2,2>,<2,2,4>,<2,4,2>,<2,4,4>,

Proyección del iésimo elemento de

una tupla

 _i A= _i <a₁, a₂, …,a_i ,…, a_n>= a_i

• La iésima proyección sobre la tupla A genera el iésimo elemento de A a_i.

• Las proyecciones pueden incluir más de un elemento.

• 6 _{1 2 10 3 4 5 6}

3 x , x ,..., x x , x , x , x

Partición

• Una partición es un conjunto formado por la unión de varios conjuntos entre los cuales no existen elementos en común.

• Los subconjuntos que definen una partición se denominan clases de equivalencia.

  



 i i j

n

1

i A , A A

Funciones

Notación

Ejemplos de función

• F₁(x)= la edad de x

Representación alterna

• F  AxB /  aA  bB, <a,b>F

• Una función y=f(x) es total si a todo elemento de X (el dominio) le asigna un elemento Y (el alcance).

• Una función y=f(x) es parcial si no a todo elemento de X le asigna un elemento de Y.

• Una función y=f(x) es sobre Y (o sobre el alcance) si a todo elemento de Y le corresponde un elemento de X.

Biyección

• y=f(x) es una biyección si

yY xX / f(x)=y.

/ σ , φ, ε, γ, β, α, λ, F, M, a, v, x, B, T, : (NM)

m  

 

 T,B,x,v,a,M,F,λ,α,β,γ,ε,φ, ,σ m (1)  0 T /1 {1,2,...} T

(2)   

n F P M A V X B Y / T Y Pow : λ

(3) _        

 



 i i

3 1 i x /x

X (4) X ) λ(t B ) λ(t : α

(5) _i  _{ i} 

  



 i i

3 1 i v /v

V (6) V ) λ(t B ) λ(t : β

(7) _i  _{ i} 

  



 i i

3 1 i a /a

A ) 8 ( A ) λ(t B ) λ(t : γ ) 9

( _i  _{ i} 

M ) λ(t B ) λ(t : ε

(10) _i  _{ i} 

V M P (11)  

P ) λ(t B ) λ(t : φ

(12) _i  _{ i} 

i 2 1 i F F (13)  _ i k i n 1 i

n (PowF) /k F

F

(14)   