Lógica cuantificacional
1. Función proposicional
Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable. Las funciones proposicionales se pueden representar por: p(x), q(x), r(x), etc., donde "x" sería la variable.
2.2.Cuantificador Existencial
Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión "existe un x tal que", estaremos indicando el sentido existencial (que exista) de dicha función:
N
o t a c i ó n :
Ej
e m p l o s :
p(x) : x - 2 > 18
x: p(x) ó x/p(x) ó (x) (p ()x)
q(x) : x2 + 4 =
16 Se lee: "existe un x, tal que, se verifique p ".
r(x) : “x” es un número primo
Si en la primera función proposicional p(x) a "x" le
damos diferentes valores tendremos:
Ejem plo:
(x) "existe por lo menos un x, tal que, se verifique p(x)".
"al menos un x, verifica p(x)".
para: x = 10 p(10): 10 - 2 > 18
8 > 18 (falso)
para: x = 23 p(23): 23 - 2 > 18
21 > 18 (verdadero)
Como puede verse, dependiendo del valor de la variable podemos obtener resultados diferentes.
2. Cuantificadores universal y
existen- cial
2.1.Cuantificador Universal
Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión "para todo x", estaremos indicando el sentido universal de dicha función proposicional, obteniéndose ahora una proposición lógica.
p(x): x - 3 > 10 [función
proposicional] x: p(x)
x: x - 3 > 10 [proposición lógica]
Para verificar que es una proposición lógica, podemos darnos cuenta que si x = 15, se cumple la desigualdad, ya hemos encontrado por
lo menos un "x", que verifique p(x), por lo tanto es
una proposición
lógica, cuyo valor es
verdadero.
3. Negación de proposiciones que
tie- nen cuantificadores
Sea la proposición: x: p(x)
su negación será: ~[x: p(x)] = x: ~p(x)
N
o t a c i ó n :
x: p(x) ó x/p(x)(xó) (x)[p ]
De la misma forma, si tenemos la proposición: x: p(x)
Se lee: "para todo x, tal que, se verifique
p(x)". su negación será: ~[x: p(x)] = x: ~p(x)
Ej e m p l o :
Si tenemos una función proposicional:
P(x): x + 5 > 2 [no es proposición
lógica]
y ahora le agregamos el cuantificador universal "".
x: P(x)
x: x + 5 > 2 [proposición lógica]
tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso,
Ejemplos: i. x: x = 7
~[x: x = 7] = x: x 7
ii. x: "x" es un número par.
~[x: x es un número par] = x: "x" no es un nú-mero par.
iii. x: x2 >1
)
4. Circuitos lógicos
El valor de verdad de una proposición puede asociarse con interruptores que controlan el paso de la corriente. Así si una proposición es verdadera, el interruptor estará cerrado y la corriente pasará. Si la proposición es falsa, el interruptor estará abierto y la corriente no pasará.
I. x B/x2 < 0
II. x B: x2 + 1 0
III. x B / (x + 1) (x - 1) > 2
a) FVV b) FVF c) FFV
d) VVF e) VFV
5. Dadas las proposiciones: p, q y r p: x IR/x2 > 0
q: x IR: x2 + x < 1
4
p = V p = F
Los interruptores pueden estar en serie o paralelo:
E q u i v a l e nc ia L ógi c a
4.1. Serie p q p q
p
r: x IR: x 3
hallar el valor de verdad de:
(p ~q) (q ~r)
a) V b) F c) V o F
d) F.D. e) N.A.
6. La negación de la expresión:
"Para todo número real "x" existe un número real "y" tal 4.2. Paralelo q p q 4.3. Mixto ~r
p q
(p q) (~r)
que: x.y 0"
a) x IR; y IR: x.y < 0 b)
x IR; y IR: x.y = 0 c) x
IR; y IR: x.y < 0 d) x
IR, y IR: x.y < 0 e) N.A.
Problemas para la clase
7. Escribir la negación de las siguientes proposiciones:
Bloque I
p(x): x R ; x 0 x < 0
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones proposicionales?
q(x) : x IR ; n ZZ, n x < n + 1
r(x) : x IR; 2 x + 4 7
s(x;y) : x IR; y IR; (x2 + y2 = 4) (x = y) I. p(x): x2 + x > 4
II. q(x): "x" es un número impar
t(x): x IR ; x 3 x 2
III. r(x): 3x + 7
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
8. Dado el conjunto: A = {-2; -1; 0; 1; 2}; determinar
el valor de: ~ p q, siendo:
d) I y III e) I y II p
(x;y): x A ; y A; x + y = 0
2. Dada la función proposicional: p(x): x3 - 2x > 0
hallar los valores de verdad para: x = -1; x = 2; x = 1
a) VVV b) VVF c) VFV
d) FVV e) FVF
q(x;y) : x A; y A; xy = 0
9. Si: A = {-2; -1; 0; 1;2} y
p(x;y) : x A, y A; x . y = y
q(x;y) : x A, y A; xy no está definido 3. Dado el conjunto: A = {3;4;5;6}
hallar el valor de verdad de cada proposición.
r(x;y): x A, y A; -2 x + y < 1
I. x A: x + 3 > 4
II. x A/x - 5 > 1
III. x A/x2 - 15 > 0
a) VVF b) FFF c) FVF
d) VFV e) VFF
4. Dado el conjunto: B = {-1;0;1;2}
s(x;y) : x A, y A; x2 - y2 = (x + y) (x - y)
Hallar el valor de: [(p m) (q n)] (r s)
10.Dadas las proposiciones:
p(x) : ( x IR; x-1 IR) ( x IR; x2 + 3 < x)
q(x) : ( x Q; x I) ( x I; x2 - 4 0)
A. Hallar el valor de: [p (~ q r)] [~ r (r ~ q)] B. Negar simbólicamente cada proposición.
11.Hallar la expresión equivalente al circuito mostrado:
p
~r
6}
p(x;y) : x U, y U / x2 + y2 < 36
q(x;y) : x U, y U / 2(x + y) - 2(x - y) = 4y r(x;y) : x U, y U / x + y = 0
s(x;y) : {x U / (x > 10) (x > 6)} =
q
a) (p q) r b) (p q) ~r
c) (p q) ~r d) (p q) r e)
(p q) ~r
12.Hallar la expresión equivalente del circuito mostrado:
Hallar el valor de verdad de:
[ ~ p ( ~ q r)] (s q)
5. Si: A = {2; 1/2; 2 ; -2; - 2 }
p(x) : x A, x2 > 0 x es par
2 2
p q(x) : x A, x = x x - 4 = (x + 2) (x - 2)
q
r ~s
a) p (r s)
b) (p q) (r ~s)
c) (p q) (r ~s)
d) (p q) (r ~s)
e) (p q) (r s)
r(x;y) : x A, y A, x + y > 0
s(x; y) : x A, y A, x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
A. Determinar el valor de verdad de p; q; r y s B. Negar cada una de las proposiciones.
6. Dadas las proposiciones:
p(x) : x U; x > 3 x 2
q(x) : x U; x2 = 2 x 1
x2 4
Bloque II
r(x) : x U;
x 2 = x - 2
1. Dado el conjunto:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
Donde: U = {x A / x 2 x <
2} A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} decir el valor de verdad de:
I. x A/x2 - 9 = 0
II. x A/x + 3 > 7
III. x A/x + 5 < 4
a) VVV b) VFV c) VVF
d) VFF e) FFF
2. Si: U = {1; 2; 3; 4; 5}
¿cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?
I. x U: x 3 x < 4
II. x U: x + 2 < 8 x > 6
III. x U: x + 2 = 5 x - 1 = 2
a) VVV b) FFV c) VFF
d) FVV e) FFF
3. Sea: A = {x ZZ/ -3 x < 3}
p(x;y) : x A, y A / x = 2(y - 1)
q(x;y) : x A, y A / 2x + y = y
Hallar el valor de verdad de: (p q) r
7. Hallar el equivalente del circuito:
~p ~p
~q
a) ~ p b) ~ q c) ~ p q
d) p ~q e) p
8. Hallar el equivalente del circuito:
~p
p q
a) p b) ~ p c) q
d) p q e) p q
9. Hallar la expresión equivalente que representa al circuito:
~(p q)
~(p q) ~q
r
r(x;y) : x A, y A / x-1 = y
x 2 y 2
a) p b) ~ p c) q
d) ~ q e) (p q)
s(x;y) : x A, y A /
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
I. x; x - 2x - 1 > 0
II. x; y/x + y < 6
III. x; y: x + y < 10
IV. x; y: x + y < 10
V. x; y/x + y < 10
III. x M; y M/x + y > 6
IV. x M/2x < 11
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12.De las siguientes expresiones, ¿cuáles son funciones proposicionales?
11.Dado el conjunto:
M = {3; 4; 5; 6} I. "x" es un número par.II. (x2 - 3x + 2) - (5x +
2) ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. x M/(2x - 5) 1
II. x M; y M/x3 + y3 > 16
III. todos los gatos son negros.
a) I y II b) Todas c) Sólo I
