Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 1
PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1: Calcule la capacidad de un condensador esférico sin dieléctrico y con dieléctrico en su interior.
SOLUCION
Un condensador esférico está formado por dos conductores esféricos de radios a y b concéntricos con cargas Q y –Q respectivamente, como se ve en la figura. El espacio comprendido entre las armaduras puede estar lleno con un material aislante o no.
Para hallar la capacidad de un condensador, sea cualquiera la forma, es posible seguir una secuencia decálculo como la siguiente:
• Calcular el campo eléctrico entre los conductores que conforman las armaduras del capacitor. • Calcular la ddp entre las armaduras del capacitor
• Obtener la capacidad haciendo el cociente entre la carga depositada y la ddp.
Capacitor esférico sin dieléctrico en su interior
En este caso es posible hallar el campo eléctrico para la región a < r < b aplicando la Ley de Gauss, tal como se vio en la serie 2. Se coloca una superficie gaussiana esférica concéntrica de radio r tal que a < r < b, como se ve en la figura:
Al plantear la integral de la Ley de Gauss, (con todas las consideraciones ya vistas en la serie 2), la carga que encierra esta superficie es la carga Q depositada en la armadura interior, entonces:
Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 2
Finalmente:Capacitor esférico con dieléctrico de constante relativa K en su interior
En este caso el espacio comprendido entre las armaduras está lleno completamente con un material dieléctrico de constante relativa K conocida
Para hallar el campo eléctrico en este caso en la región a < r < b , hay que aplicar la Ley de Gauss para los medios dieléctricos y usar el vector desplazamiento eléctrico, cuyas fuentes son las cargas libres o verdaderas. Asi entonces, colocando una superficie gaussiana de radio r comprendido entre a y b, tal como se ve en la figura
Es posible escribir:
por las mismas razones que E puede salir fuera de la integral en el caso anterior, se puede sacar el vector D fuera de esta integral y escribirlo en función de su relación con el campo eléctrico E, de la siguiente manera:
Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 3
Finalmente la capacidad será:PROBLEMA 2: La figura muestra una red de condensadores, conectados a una ddp constante V = 20voltios. a) ¿Cuánta energía acumula esta red?- b) Hallar el valor de la energía almacenada en el capacitor 2- c) Si se rellena el condensador 2 con mica (permitividad dieléctrica relativa igual a 5,4), ¿cambiará la energía almacenada en la red? Explique claramente sin hacer cálculos.
SOLUCION
En este problema se tiene una red de cuatro capacitores asociados en una combinación serie y paralelo, conectados a una ddp constante de 20 voltios. Se conocen las capacidades de cada uno de los condensadores.
a) Los capacitores tienen la propiedad de almacenar energía en su interior y se pide el valor de la energía total almacenada en toda la red. Para ello es necesario conocer cuál es el valor de la capacidad equivalente de la red y luego calcular la energía toque almacenaría ese capacitor equivalente. El capacitor equivalente cumple en el circuito las mismas funciones que toda la red a la cual representa, por ello, la energía que almacene ese único capacitor, es la misma que la que almacena toda la red en conjunto.
Para obtener la capacidad equivalente, es necesario ir asociando los capacitores, por parte, de acuerdo a su conexión, y dibujar los circuitos reducidos, que van siendo equivalentes entre sí.
Los capacitores C2 y C3 están asociados en paralelo y es posible obtener su equivalente C23 que estará conectado a la misma ddp que los dos anteriores:
Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 4
b) Para obtener la energía que almacena el capacitor 2, es necesario conocer la ddp sobre el mismo y así aplicar la ecuación de energía almacenada usada en el item a).Es posible calcular la carga o la ddp sobre cualquier capacitor de la red, por medio de la definición de capacidad, dada matemáticamente como C = Q / V, aplicándola sobre el capacitor que interese. Para ello es posible pasar desde el circuito más reducido, a los anteriores, por medio de la magnitud que se mantiene constante en cada tipo de asociación (Q en la asociación en serie y V en la asociación en paralelo).
Primeramente hay que hallar la carga total acumulada en el circuito, que es la carga acumulada en el capacitor equivalente. Esto será:
Como el capacitor equivalente total es el resultado de una asociación en serie, esta carga QT es la misma que está acumulada en los capacitores C1 , C23 y C4 . O sea que Q23 = QT .
Ya se conoce la carga y la capacidad sobre C23 , entonces la ddp sobre él será:
Como el capacitor C23 es el equivalente de una asociación en paralelo, la ddp que hay sobre él es la misma que la existente sobre cada uno de los condensadores asociados; así entonces V23 = V2 = V3
Con el valor de ddp conocido se obtiene la energía almacenada sobre el capacitor 2 haciendo:
c) En el ítem a) se ha visto que la energía total almacenada depende del valor de la capacidad equivalente de la red y de la ddp a la que está conectada, según
Si se llena el condensador C2 con mica, su capacidad aumenta, siendo ahora
donde K es la permitividad relativa de la mica. El cambio en la capacidad C2 hace que el valor de la capacidad equivalente sea diferente y por ende la energía total almacenada. Al aumentar C2 aumentará C23 , que hace disminuir al cociente 1/ C23, produciendo luego un aumento en la capacidad equivalente. Finalmente la energía almacenada total debe aumentar.
PROBLEMAS PARA RESOLVER
1) Calcule la capacidad de : a) un condensador plano. b) un condensador esférico. c) un condensador cilíndrico.
Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 5
cada uno es de 1 µF; b) Si entre los extremos “a” y “b” hay una ddp de 60 voltios,calcular la carga y la ddp
sobre cada capacitor de la red.
4) La figura muestra una placa de dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica K colocada entre las placas de un condensador de placas paralelas cuya área es A y cuya separación es d. Se aplica una d.d.p. V0 cuando no hay dieléctrico. Entonces se desconecta la batería y se introduce la placa de dieléctrico. Suponer que A=100 cm2 , d =1 cm, b = 0,5 ; K = 7 y V0 = 100 volt.
a) calcular la capacidad C0 antes de introducir la placa del dieléctrico. b) calcular la carga libre.
c) calcular la intensidad del campo eléctrico en el hueco. d) calcular la intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico. e) calcular la d.d.p. entre las placas.
f) calcular la capacidad al estar colocado el dieléctrico.
g) Calcular los valores de D y P en el dieléctrico y en el hueco.
5 -11F/m. La ddp entre
el interior y el exterior de la célula es - 70 mV. a) ¿Cuál es la densidad de carga por unidad de superficie en la membrana? b) ¿Cuál es el campo eléctrico en el interior de la membrana? Indique la dirección y sentido del campo eléctrico.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS (para horas de estudio independiente) CARRERAS. Bioquímica- Profesorado y Licenciatura en Química
1) Calcule la capacidad de una esfera metálica cargada que se encuentra aislada. Analice el resultado.
Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 6
3) Obtenga la expresión de la capacidad de un condensador de placas paralelas cuya área de placas es A y cuya separación es d, si entre las placas hay un dieléctrico de constante K, que lo llena completamente. Si A=100 cm2 , calcule la capacidad siendo el dieléctrico: a) agua; b) papel; c) vidrio pirex; d) mica.4) Los conceptos eléctricos pueden aplicarse al fenómeno biológico de la conducción nerviosa. La información se transmite en el cuerpo humano mediante pulsos eléctricos en fibras nerviosas llamadas axones. Las células nerviosas se hallan separadas de sus alrededores por una membrana que restringe el flujo de materiales. A través de la membrana se produce el paso de sustancias por los poros pasivos y bombas moleculares activas.
La membrana tiene capacidad eléctrica, ya que a ambos lados de la misma se acumulan cargas eléctricas de signos opuestos. La membrana de un axón es muy fina, su espesor d es mucho menor que el radio y mucho menor que la longitud del axón, por lo que una pequeña sección parece casi plana, esto permite calcular la capacidad eléctrica de la membrana como la de un condensador plano:
Cm = (. A / d) = (. 2 r. L / d) , donde es la constante dieléctrica de la membrana y A la superficie lateral del cilindro (se considera al axón como una fibra cilíndrica de radio r, longitud L cuyas paredes tienen un grosor d).
En una membrana heterogénea compuesta de materia adiposa y poros, la capacidad se debe al área de la materia adiposa. En una célula nerviosa cilíndrica se distinguen tres regiones: la interior, la exterior y la membrana propiamente dicha. Estimar el valor de la capacidad de la membrana usando los valores dados a continuación que son valores típicos:
d = grosor de membrana = 100 A° r = radio = 0,1 mm
l = longitud = 1 m ρm = 109Ω .cm ρi = 150 Ω .cm ξ = 10-12 F/cm
5) Calcule el campo eléctrico creado por una carga puntual q ubicada en un medio homogéneo e isotrópico de constante dieléctrica K. Compare la expresión con la del campo eléctrico creado por la carga puntual en el vacío.
6) a) Se dispone de capacitores idénticos que pueden conectarse todos juntos de la misma forma. ¿Cómo quedaría formado un sistema con estos capacitores si se quiere que la capacidad del mismo sea la cuarta parte de la de los capacitores dados?
b) Se dispone de dos condensadores, C1 de 30 F y el otro, C2 de capacidad variable entre 20F y 150F. ¿De qué manera habría que conectarlos y con qué valores de capacidad para obtener la máxima capacidad posible con este sistema?. Justifique su respuesta con los cálculos.
7) En un condensador de placas paralelas se colocan dos dieléctricos llenándolos como se ve en la figura. a)
b)
Demostrar que la capacidad es:
a)
d
K
K
A
C
2
)
(
b)C
A
d
K K
K
K
2
.
8) Un condensador de 200 micro faradios, tiene una carga de 0.015 C en cada placa. Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?
9) Solo una pequeña fracción de iones K+ de una célula toman parte en el establecimiento del potencial de Nernst. Una célula típica tiene un volumen de unos 10-9 cm3 y una concentración de K+ de unos 0.14 mol/l, o unos 10 20 iones K+ por cm3. Es decir que hay (1020 iones/cm3)* (10-9 cm3)= 1011 iones K+ en una célula.
Ing Carlos Merino Dr Ariel Ponce Dra Noemi Sogari
Página 7
+ -10) Un condensador de 50 micro faradios, inicialmente descargado, se conecta por medio de una resistencia de 300 ohms a una batería de 12 V . Cuál es el valor de la carga final sobre el condensador?
REFERENCIAS
1) TIPLER – MOSCA - Física para la Ciencia y la Tecnología 2) SERWAY, R- Física- Vol 1 y 2. Ed Mc Graw Hill- España 3) KIP – Fundamentos de Electricidad y Magnetismo 4) BERKELEY PHYSICS COURSE – Vol. 2
5) SEARS F.– Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo 6) FEYMMAN – Electricidad y Magnetismo
7) SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN – Física
8) LILLIAN C. MCDERMOTT - TUTORIALES PARA FISICA INTRODUCTORIA – Pearson Universitario Español.
