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Bz) Algunos ejercicios con soluciones.

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Academic year: 2020

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(1)

Ejercicios de la clase 5

1. Hallar, si es posible,ayb para que (5,−1,−2) sea soluci´on del sistema

x1+ax2+ 3x3 = 1 2x1−x2 = b x2−2x3 = 3

y para los valores de a yb hallados escribir en forma param´etrica todas las soluciones del sistema.

2. Hallar, si existe,k∈R para que (−1,3.2) sea soluci´on del sistema

x1−2x2+kx3 = −3 2x1−3x2+ 3x3 = −5 x1−x2+x3 = −2

(2)

Ejercicios de la clase 6

1. Decidir si existe un valor dekpara el cual el sistema de matriz amplidada

   

1 0 −1 ... 2

−2 1 1 ... −4

1 1 k ... 2

   

es compatible indeterminado. Para el valor hallado dar la soluci´on del pro-blema en forma param´etrica.

2. Hallara∈R para que el sistema

x1−2x2+ 3x3 = 6 2x1+x2−14x3 = a

x1−3x2+ 7x3 = 8

sea compatible indeterminado. Para el valor deaencontrado, escirbir en forma param´etrica todas las soluciones del sistema.

(3)

Soluciones ejercicios del blog de la pr´actica 2

Ejercicios de la clase 5

1. Hallar, si es posible,ayb para que (5,−1,−2) sea soluci´on del sistema

 

x1+ax2+ 3x3 = 1 2x1−x2 = b

x2−2x3 = 3

• Soluci´on: Sustitu´ımos en la primera ecuaci´on del sistema por el punto (5,−1,−2) y obtenemos que 5−a−6 = 1, de dondea=−2. Sustitu´ımos ahora en la segunda ecuaci´on y obtenemos que 10+1 =b, esto es,b= 11.

Verificamos la tercera ecuaci´on: −1−2∗(−2) = 3, que por ser ver-dadera, sia=−2 yb= 11, el punto (5,−1,−2) es una soluci´on del sistema.

Ahora debemos resolverlo, reemplazandoaybpor los valores encon-trados. Armamos la matriz ampliada y triangulamos:

1 −2 3 : 1 2 −1 0 : 11 0 1 −2 : 3

∼(F2←F2−−2F1) 

1 −2 3 : 1

0 3 6 : 9

0 1 −2 : 3 

∼(F2↔F3) 

1 −2 3 : 1 0 1 −2 : 3

0 3 6 : 9

∼(F3←F3−3F2) 

1 −2 3 : 1 0 1 −2 : 3

0 0 0 : 0

Reconstru´ımos el sistema:

x1−2x2+ 3x3 = 1

x2−2x3 = 3

De la segunda ecuaci´on obtenemos quex2= 3 + 2x3

Reemplazaos en la primera: x1−2(3 + 2x3) + 3x3 = 1 de donde

x1= 7 +x3.

Luego, si X es soluci´on del sistema,X = (7 +x3,3 + 2x3, x3), esto es,X=x3(1,2,1) + (7,3,0)

Respuesta: a=−2,b= 11 y la soluci´on param´etrica es X=x3(1,2,1) + (7,3,0)

2. Hallar, si existe,k∈R para que (−1,3,2) sea soluci´on del sistema

 

x1−2x2+kx3 = −3 2x1−3x2+ 3x3 = −5

x1−x2+x3 = −2

(4)

• Soluci´on: Sustitu´ımos en la primera ecuaci´on las coordenadas del punto que debe ser soluci´ıon en los lugares respectivos de las vari-ables, obteniendo la ecuaci´on−1−2∗3 +k∗2 =−3, de dondek= 2. Obsrvamos adem´as que las otras dos ecuaciones tambi´en se cumplen:

2∗(−1)−3∗3 + 3∗2 = −5 −1−3 + 2 = −2

Ahora, hay que resolver el sistema dado, reemplazandokpor el valor obtenido. Armamos entonces la matriz ampliada del sistema y tri-angulamos:

1 −2 2 : −3 2 −3 3 : −5 1 −1 1 : −2

∼(F2←F2−2F1) 

1 −2 2 : −3 0 1 −1 : 1 1 −1 1 : −2

∼(F3←F3−F1) 

1 −2 2 : −3 0 1 −1 : 1 0 1 −1 : 1

∼(F3←F3−F2) 

1 −2 2 : −3 0 1 −1 : 1

0 0 0 : 0

Reconstru´ımos el sistema:

x1−2x2+ 2x3 = −3

x2−x3 = 1

De la segunda ecuaci´on obtenemos quex2= 1 +x3

Reemplazaos en la primera: x1−2(1 +x3) + 2x3 = −3, esto es:

x1−2−2x3+ 2x3=−3, de dondex1=−3 + 2 =−1

Luego, si X es soluci´on del sistema X = (−1,1 +x3, x3), esto es,

X =x3(0,1,1) + (−1,1,0)

Respuesta: k= 2 y la soluc´ıon esX=x3(0,1,1) + (−1,1,0)

Ejercicios de la clase 6

1. Decidir si existe un valor dekpara el cual el sistema de matriz ampliada

1 0 −1 : 2

−2 1 1 : −4

1 1 k : 2

es compatible indeterminado. Para el valor de k hallado dal la soluci´on del problema en forma param´etrica.

• Soluci´on: Para ver si un sistema es compatible indeterminado tiene que ser rg(A)=rg(A’)≤cantidad de inc´ognitas, donderg(A) = rango de la matriz de coeficientes yrg(A0) = rango de la matriz ampliada. Debemos triangular para estudiar los rangos de las matrices.

1 0 −1 : 2

−2 1 1 : −4

1 1 k : 2

∼F2←F2+2F1 

1 0 −1 : 2 0 1 −1 : 0 1 1 k : 2

(5)

∼F3←F3−F1 

1 0 −1 : 2 0 1 −1 : 0 0 1 k+ 1 : 0

∼F3←F3−F1 

1 0 −1 : 2 0 1 −1 : 0 0 0 k+ 2 : 0

Como debe ser rg(A)≤3,k+ 2 = 0, esto es, k=−2. En este caso nos queda rg(A) = rg(A0) = 2 y el sistema es compatible indeter-mindado. Lo reconstru´ımos:

x1−x3 = 2

x2−x3 = 0

De la segunda ecuaci´on obtenemos quex2=x3 y de la primerax1= 2 +x3

Luego, si X es soluci´on del sistema X = (2 +x3, x3, x3), esto es,

X =x3(1,1,1) + (2,0,0)

Respuesta: k=−2 yX =x3(1,1,1) + (2,0,0)

2. Hallara∈R para que el sistema

 

x1−2x2+ 3x3 = 6 2x1+x2−14x3 = a

x1−3x2+ 7x3 = 8

sea compatible indeterminado. Para el valor deaencontrado, escribir en forma parem´etrica todas las soluciones del sistema.

• Soluci´on: Escribimos la matriz ampliada y triangulamos:

1 −2 3 : 6 2 1 −14 : a

1 −3 7 : 8 

∼F2←F2−2F1 

1 −2 3 : 6

0 5 −20 : a−12

1 −3 7 : 8

∼F3←F2−F1

1 −2 3 : 6

0 5 −20 : a−12

0 −1 4 : 2

∼F3↔F2 

1 −2 3 : 6

0 −1 4 : 2

0 5 −20 : a−12 

∼F3←F3−5F2

1 −2 3 : 6 0 −1 4 : 2 0 0 0 : a−2

∼F2←−F2 

1 −2 3 : 6

0 1 −4 : −2

0 0 0 : a−2 

Para que el sistema sea compatible indeterminado, debe sera−2 = 0, o sea. a= 2. Reconstru´ımos entonces el sistema para este valor de

a:

x1−2x2+ 3x3 = 6

x2−4x3 = −2

De la segunda ecuaci´on obtenemos quex2=−2 + 4x3

Reemplazamos en la primerax1−2(−2 + 4x3) + 3x3= 6, de donde

(6)

Luego, siX es soluci´on del sistemaX = (2 + 5x3,−2 + 4x3, x3), esto es,X=x3(5,4,1) + (2,−2,0)

Respuesta: Para que el sistema sea indeterminado debe sera= 2

La soluci´ıon esX=x3(5,4,1) + (2,−2,0)

3. Una empresa de productos l´acteos vende dulce de leche envasado en potes de 250 g y de 400 g. Por la venta de un pote de 250 g obiene $ 5 de ganancia y por la venta de un pote de 400 g obtienen $ 9 de ganancia. Si por la venta de 600 kg de dulce de leche obtuvo una ganancia de $ 13350, ¿cu´antos potes de cada tama˜no vendi´o?

• Soluci´on: Llamamos x a la cantidad de potes de 250 gr e y a la can-tidad de potes de 400 gr que vendi´o.

Como la ganancia de cada uno es, repectivamente, de $ 5 y a $ 9 entonces la ganancia es 5x+ 9y= 13350

Como cada uno tiene respectivamente 250 gr y 400 gr, entonces vendi´o un total de 250x+ 400y= 600000 (recordar que 1kg=1000g). Tenemos entonces que resolver el sistema

5x+ 9y = 13350 250x+ 400y = 600000

Podemos resolver por Gauss o no, ya que es un sistema de 2x2, sen-cillo de resolver.

De la segunda ecuaci´on despejamosx,x=−8

5y+ 2400 (*). Reemplazamos en la primera ecuaci´on: 5(−8

5y+ 2400) + 9y= 13350, de dondey+ 12000 = 1335, esto es,y= 1350. Reemplazando en (*) tenemos quex= 240.

Respuesta: Tiene que hacer 240 potes de 250 grs y 1350 potes de 400 grs.

Ejercicios de la clase 7

1. Un fabricante de tortas compra semanalmente 40 kgs de harina y 50 kgs de az´ucar. Seg´un los precios de lista de la harina y del az´ucar, el costo de su compra es de $ 845. Esta semana el proveedor le hizo un descuento del 25 % sobre el precio de lista de la harina y un descuento del 40 % sobre el precio de lista del az´ucar y pag´o $ 555. ¿Cu´ales son los precios de lista de cada producto?

• Soluci´on: Llamamosxal precio de lista del kg de harina e y al del az´ucar. Como compra 40 kg de harina y 50 kg de az´ucar, seg´un los precios de lista pagar´ıa $ 845. Esto es: 40x+ 50y= 845.

(7)

50y. Entonces, la segunda ecuaci´on es 1007540x+1006050y= 555. Armamos entonces el sistema

40x+ 50y = 845 75

10040x+ 60

10050y = 555

Simplificamos y armamos la matriz asociada:

40 50 : 845 30 30 : 555

Dividimos la primera fila por 40 y la segunda por 30 y obtenemos la matriz equivalente

1 54 : 84540 1 1 : 55530

Ahora hacemosF2←F2−F1y obtenemos

1 54 : 84540 0 −14 : −218

Por ´ultimo, multiplicamosF2 por−4 y tenemos

1 54 : 84540 0 1 : 212

Reconstru´ımos entonces el sistema:

x+5 4y =

845 40

y = 21

2

De la segunda ecuaci´ony= 10.5

Reemplazamos en la primerax+54∗10.5, de dondex= 8.

Respuesta: El precio de lista por kg es de $ 8 para la harina y $ 10-5 para el az´ucar.

2. Se dispone de 5 kg de chocolate y 4 kg de vainilla para preparar dos mez-clas de tortas.

La mezcla Bicolor lleva partes iguales de chocolate y vainilla.

La mezcla Chocochips lleva 2 partes de chocolate por cada parte de vainilla. ¿Cu´antos kilos de cada mezcla se deben preparar para usar todos los in-gredientes?

• Soluci´on: La torta Bicolor lleva partes iguales de chocolate y vainilla, y la Chocochips lleva dos partes de chocolate por una de vainilla: Bicolor : CH VA ; Chocochips: CH CH VA

Luego, si hacexkg de mezcal bicolor, eykgs de mezcla Chocochips, usar de chocolate 1

2x+ 2

3y, y como dispone de 5 kgs de chocolate, la restricci´on de stock del chocolate es 1

2x+ 2

(8)

restricci´on de stock de la vainilla es 12x+13y= 5. Armamos entonces el sistema

1 2x+

2

3y = 5 1

2x+ 1

3y = 5

Si a la primera ecuaci´on le restamos la segunda, obtenemos 1 3y= 1, de donde y = 3. Reemplazando en la primera ecuaci´on, x= 6, (lo cual es coherente con el hecho de que se disponen de 9 kgs entre chocolate y vainilla).

Respuesta: Se pueden hacer 6 Kgs de mezcla Bicolor y 3 kgs de Chocochips

3. Un chico tiene una pila de fichas rojas y una pila de fichas verdes Si pasa 5 fichas de la pila de fichas rojas a la pila de fichas verdes, obtiene dos pilas con la misma cantidad de fichas.

En cambio, si pasa 10 fichas verdes a la pila de las rojas, ´esta ´ultima tendr´a 4 veces m´as fichas que la otra

¿Cu´antas fichas de cada color tiene?

• Soluci´on: Supongamos que tengarfichas rojas yv fichas verdes. Si pasa 5 fichas de la pila de rojas a la pila de verdes, la primera tendr´a 5 fichas menos y la segunda tendr´a 5 fichas m´as, de donder−5 =v+5, y si pasa 10 fichas de las verdes, la pila de verdes tendr´av−10 fichas y la de rojas tendr´a v+ 10 fichas, y ´esta ´ulima ser´a cuatro veces la primera, esto es: r+ 10 = 4(v−10)

El sistema es entonces

r−v = 10 −r+ 4v = 50

Sumando las ecuaciones, tenemos que 3v = 60, de donde v = 20. Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos quer= 30.

Respuesta: Hay 30 fichas rojas y 20 fichas verdes.

4. Se resolver´a en la pr´oxima entrega.

Referencias

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