EC 2322 Reflexión y Teorema de Poynting pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.5. APLICACIÓN. DEL. TEOREMA. DE. POYNTING. AL. PROBLEMA. DE. REFLEXIÓN. Como pudo apreciarse en el estudio de los casos de reflexión total y de incidencia con un ángulo mayor al ángulo crítico, existe una onda transmitida que se propaga paralela a la interfaz aún cuando la magnitud del campo eléctrico de la onda reflejada es igual a la magnitud del correspondiente a la onda incidente. Además, el campo eléctrico de la onda transmitida en el caso de reflexión total tiene, para polarización perpendicular, el doble de amplitud que el de la onda incidente, y dado que el coeficiente de transmisión es estrictamente creciente cuando v2 v1 > 1, debe existir todo un intervalo de ángulos de incidencia para el cual 1 < T⊥ < 2 . Los resultados mencionados en el párrafo anterior claramente contradicen la noción intuitiva de que “la onda transmitida se produce, junto con la reflejada, cuando la onda incidente choca con la interfaz y se divide”. Para explicar estas aparentes contradicciones, conocer cómo se originan las ondas reflejada y transmitida y cuál es la relación entre sus densidades de potencia promedio, es necesario aplicar el Teorema de Poynting al problema de reflexión de ondas planas uniformes. Considérese entonces un volumen en forma de paralelepípedo que contiene parte del medio de incidencia y parte del medio de transmisión con los vectores de Poynting promedio de sus respectivos campos, como se muestra en la figura 2.5 de la siguiente página.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 78.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 5. Sr. Sr. Sr. Si. 1. 2. MEDIO 1. Si. Si. x. MEDIO 2 3. 4 St. St 6. z. St. Fig. 2.5: Volumen para la aplicación del Teorema de Poynting Suponiendo que no hay fuentes en el volumen y que los medios involucrados no tienen pérdidas, la aplicación del Teorema de Poynting en forma integral promediado en el tiempo resulta en: 6. ∫∫ S ⋅ da = 0 = ∑ ∫∫ S ⋅ dai. S = ∂V. (2.66). k =1 S i. ya que no hay flujo de potencia a través de las dos superficies del volumen paralelas al plano del dibujo. Aunque no es necesario calcular en detalle las densidades de potencia promedio de las ondas incidente, reflejada y transmitida para los efectos de aplicar el Teorema de Poynting (basta con conocer que son vectores constantes, como corresponde a ondas planas uniformes), a continuación se realiza el cálculo con el propósito de que el estudiante pueda resolver. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 79.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. problemas de reflexión relacionados con el cálculo del flujo de potencia promedio. Las densidades de potencia promedio de las ondas incidente, reflejada y transmitida son:.  eî 2 eî 2  Si = 1i  // + ⊥   2η1 2η1   . (2.67a).  eˆr 2 eˆr 2   R 2 eî 2 R 2 eî // ⊥   + = 1r  // // + ⊥ ⊥ Sr = 1r  2η1  2η1 2η1  2η1     eˆt 2 eˆt 2   T 2 eî 2 T 2 eî // ⊥   St = 1t + = 1t  // // + ⊥ ⊥  2η 2  2η 2 2η 2  2η 2   . 2.   . (2.67b). 2.   . (2.67c). En cuanto al Teorema de Poynting, como los vectores de Poynting promedio de las ondas involucradas son constantes, los flujos de potencia promedio a través de los pares de superficies 1-2 y 3-4 se cancelan entre ellos. Con relación a los flujos de potencia promedio a través del par de superficies 5-6, se obtiene:. ( Si. + Sr ) ⋅ (− 1z ) + St ⋅ 1z = 0 = (− Si + Sr )cosθ i + St cosθ t. de donde: Si cosθ i = Sr cosθ i + St cosθ t. (2.68). La ecuación 2.68 es la única que relaciona a las densidades de potencia promedio de las ondas reflejada y transmitida con la de la onda incidente, y establece que la componente z de la densidad de potencia promedio de la onda incidente es igual a suma de las componentes z de las correspondientes Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 80.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. a la onda reflejada y a la onda transmitida. Esto implica que las componentes z de las densidades de potencia promedio de las ondas reflejada y transmitida provienen de la componente z de la densidad de potencia promedio de la onda. incidente. Es importante verificar q ue la ecuación 2.68 se cumple para el caso de reflexión total, ya que cosθ t = 0 . Para ángulos cercanos al ángulo crítico ocurre que cosθ t < cosθ i , lo que hace posible que la ecuación se cumpla con St > Si .. Para ángulos mayores al ángulo crítico, en las ecuaciones 2.67 hay que utilizar las magnitudes de los coeficientes complejos de reflexión y de transmisión, mientras que en la ecuación 2.68 al utilizarse la parte real del ángulo de transmisión dicha ecuación se cumple igual que cuando hay reflexión total. Es importante añadir que cuando se aplica el Teorema de Poynting en este caso (ecuación 2.66), aún siendo la onda transmitida una onda plana no uniforme los flujos de potencia promedio a través de las superficies 3 y 4 se cancelan entre sí porque la potencia promedio que entra por la superficie 3 es la misma que sale por la superficie 4, ya que la no uniformidad no involucra a la coordenada z sino a la coordenada x. La ecuación 2.68, que es la única relación de densidades de potencia que puede hallarse sin involucrar a la fuente, no ofrece explicación sobre el origen de las componentes x de las densidades de potencia promedio de las ondas incidente, reflejada y transmitida. Para encontrar dicha explicación es Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 81.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. necesario entonces aplicar el Teorema de Poynting a un volumen que incluya a parte de la fuente, como se muestra en la figura 2.6.. 5. Sr. Sr. Si. 1. 2. MEDIO 1. Si. x. MEDIO 2 3. 4. FUENTE. 6. St z. St. Fig. 2.6: Volumen para la aplicación del Teorema de Poynting al problema de reflexión en medios sin pérdidas, considerando a la fuente. Para el volumen mostrado, se tiene:. Ps =. ∫∫ S. ⋅ da > 0. (2.69). S = ∂V. Suponiendo que la fuente sólo produce ondas en el lado derecho del dibujo, no hay flujo de potencia promedio a través de las superficies 1 y 3, así como tampoco lo hay a través de las superficies que son paralelas al plano del dibujo. Con relación al par de superficies 5 y 6, la superficie 6 puede descomponerse en la suma de una superficie 6’ que es paralela a la superficie 5, y una superficie complementaria 6”. Por lo tanto, la ecuación 2.69 puede expandirse así:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 82.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. ∫∫ ( Si. Ps =. + S r ) ⋅ da x +. S2. +. ∫∫ St S 6'. ⋅ da z −. ∫∫ ( Si. ∫∫ St. ⋅ da x +. S4. + S r ) ⋅ da z. ∫∫ St. ⋅ da z +. S 6". S5. Las dos últimas integrales de esta ecuación se anulan entre sí en virtud de la ecuación 2.68, por lo cual queda: Ps =. ∫∫ ( Si S2. + S r ) ⋅ da x +. ∫∫ St. ⋅ da x +. S4. ∫∫ St. ⋅ da z > 0. (2.70). S 6". De acuerdo con este resultado, las componentes x de las densidades de potencia promedio de las ondas incidente, reflejada y transmitida provienen de la fuente. En otras palabras, la fuente no sólo produce la potencia de la onda incidente, sino parte de la potencia de las ondas reflejada y transmitida. Cuando hay reflexión total, toda la potencia de la onda transmitida, la cual se propaga en dirección x, proviene de la fuente. Lo que sucede con la fuente de potencia de las ondas es similar hasta cierto punto a lo que sucede cuando se tiene una fuente de potencia conectada a un circuito y se conectan en paralelo a éste cargas adicionales: la fuente también debe suministrar la potencia correspondiente a las cargas adicionales. Si la fuente circuital es una fuente de voltaje o corriente constante, necesariamente deberá incrementar la potencia producida para suplir la potencia requerida por las cargas adicionales. Sin embargo, en el caso de una fuente de ondas electromagnéticas, es más verosímil suponer que se tiene una fuente de potencia constante, por lo Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 83.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. que la potencia promedio de la onda incidente antes de ocurrir la reflexión pudiera ser mayor que la potencia promedio de la misma onda después de que la reflexión llega a su estado estacionario, ocurriendo una redistribución dinámica de la potencia de la fuente durante el régimen transitorio del proceso de reflexión, la cual es necesaria para producir las ondas adicionales (reflejada y transmitida), así como la polarización y/o magnetización del medio 2, hasta llegarse a una distribución estacionaria de la potencia de la fuente. En síntesis, no existe una división de potencia de la onda incidente, como lo sugiere la descripción común del fenómeno de reflexión, sino una redistribución de la potencia de la fuente. Es importante recordar que en régimen sinusoidal permanente no hay potencia promedio absorbida por los procesos de polarización y magnetización en materiales LIH. Como consecuencia de lo anterior, no puede suponerse que la onda incidente permanezca inalterada durante la reflexión, por lo cual cuando en un problema de reflexión se dice que se conoce la onda incidente, se refiere al valor de dicha onda después de que pasó el régimen transitorio. 2.6. ONDAS PLANAS UNIFORMES QUE SE PROPAGAN EN LA DIRECCIÓN DE UN VECTOR COMPLEJO. La situación de una onda plana uniforme que se propaga en la dirección de un vector complejo ocurre en el caso de medios sin pérdidas para la onda transmitida cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico. Como la situación está asociada al hecho de que el ángulo de transmisión resulta ser complejo, puede presentarse cuando uno o ambos medios tienen Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 84.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. pérdidas, ya que en este caso el ángulo de transmisión también resulta complejo por la aplicación de la Ley de Snell generalizada (ecuación 2.51). Para considerar el caso más general posible, se expresa el vector unitario de propagación en términos de los cosenos directores para el caso en que los ángulos son reales: 1v = 1x cos θ x + 1y cosθ y + 1z cosθ z Para el caso en que los ángulos son complejos, el vector de propagación deja de ser unitario, y se expresa así:. vˆ = 1x cosθˆx + 1y cosθˆy + 1z cosθˆz = v '+ jv". (2.71). Al sustituir la ecuación 2.71 en la expresión general de una onda plana uniforme, se tiene: Fˆ = 1f fˆ0 e −γˆ vˆ ⋅r = 1f fˆ0 e − (α + jβ ) ( v '+ jv")⋅r = = 1f fˆ0 e − (α v '− β v") ⋅r e − j ( β v '+α v") ⋅r Se observa claramente que en la onda resultante hay una exponencial de atenuación y una de propagación, pero ambas exponenciales dependen de las constantes de fase y de atenuación de la onda, no como en el caso de que el vector de propagación es real. La onda resultante puede rescribirse así: −α 1α ⋅r − jβ eq 1β ⋅r Fˆ = 1f fˆ0 e eq e. (2.72). donde:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 85.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. α eq = α v'− β v" 1α =. α v '− β v" α v '− β v". β eq = β v'+α v" 1β =. β v '+α v" β v '+α v". Puede comprobarse que la dirección 1α en que se atenúa la onda obtenida no es paralela a la dirección 1β en que se atenúa dicha onda, excepto cuando v" = 0 , es decir, cuando el vector de propagación no es complejo. Por lo tanto: Una onda plana uniforme que se propaga según un vector complejo v̂ en el dominio fasorial es, en el dominio real, una onda plana no uniforme que se propaga con β eq en dirección 1β y se atenúa con α eq en dirección 1α , tal que α eq ≠ α , β eq ≠ β y 0 ≤ 1α ⋅ 1β < 1 .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 86.

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