Espacios Metricos, Compacidad y Completez

(1)

CAP´

ITULO 3.

Espacios Metricos, Compacidad y Completez

Una sucesión en un conjunto X es una función N −→ X. Si la función se llama f entonces para sucesiones acostumbra denotarse {f (n)}_n∈N en cambio de f : N −→ X. Por supuesto en la notación está subentendido X. Por ejemplo la sucesión {3n + 1}n∈N en R es la función N −→ R que tiene

a 3n + 1 como imagen de n : n 7−→ 3n + 1. Aqu´ı en R aclara el codominio. 3.1 Definici´on:

i Sea X un espacio topológico y x_n∈N una sucesión en X. Un elemento L de X se dice un l´ımite de la sucesión x_n∈N si para cada vecindad V de L existe N ∈ N tal que n > N ⇒ xn∈ V.ut

ii Si L es un l´ımite de xn∈N se dice tambien que xn converge a L y se

denota xn→ L.

Ahora mostramos un ejemplo del uso de bases de vecindades. En este caso en convergencia.

3.2 Proposici´on:

Sea B una base de vecindades cualquiera de L. L es un l´ımite de una sucesi´on x_n∈N si y solo si para cada V ∈ B, existe N ∈ N tal que n > N ⇒ xn∈ V .

Demostraci´on: Ejercicio.ut

3.3 Ejemplos:

1. En un espacio grocero (X, {∅, X}) cualquier punto x de X es l´ımite de cualquier sucesi´on xn∈N.

En efecto la ´unica vecindad de x es X y para ella si n ∈ N, xn∈ X.

Por tanto en la definici´on podemos tomar N = 1 (o cualquier otro) y se tiene la implicaci´on “n > N → xn∈ X”.

2. En un espacio topol´ogico cualquiera (X, T ) si xn= k, ∀n ∈ N, es decir

que xn∈Nes la sucesi´on constante y de valor k, entonces k es un l´ımite

de xn∈N. En efecto para una vecindad V de k, k ∈ V y por lo tanto

(para N = 1) se tiene que n > 1 ⇒ xn(= k) ∈ V .

3. Una sucesi´on xn∈ N se dice casi igual (o eventualmente igual) a yn∈N

si existe N ∈ N tal que n > N ⇒ xn = yn. Lo denotaremos (aqu´ı)

(2)

4. Se tiene entonces que en un espacio (X, T ) cualquiera si L ∈ X y xn ≈ yn, n ∈ N se tiene que L es un l´ımite de xn si y solo si L es un

l´ımite de yn. Si yn = k, para todo n ∈ N entonces xn∈N ≈ yn∈N se

escribe xn∈N≈ k y se dice que xn es casi constante (o eventualmente

constante) y de valor k. Se tiene que si x_n∈N≈ k entonces k es l´ımite de x_n∈N, cualquiera sea la topolog´ıa para X.

5. En un espacio discreto (X, P(X)), L es un l´ımite de x_n∈N si y solo si xn∈N ≈ L. En efecto ya sabemos que xn∈N ≈ L implica que L es

l´ımite x_n∈N. Supongamos ahora que L es un l´ımite de x_n∈N. Como en un espacio discreto {x} es abierto para cada x, entonces {x} ∈ B(x). As´ı pues como {L} ∈ B(L) y L es un l´ımite de xn∈N entonces existe

N ∈ N tal que n > N ⇒ xn∈ {L}. Por lo tanto n > N ⇒ xn= L.

3.4 Definici´on:

i Sea X un conjunto x, y ∈ X. Diremos que una topol´ogia T de X separa a x de y si existen V ∈ B(x), W ∈ B(y) tales que V ∩W = ∅. ii Un espacio (X, T ) se dice un espacio Haussdorff si T separa a todo

par de puntos distintos de X.ut

La parte central de puntos separados en un espacio X es que “separa” a sucesiones convergentes a ellos, en el siguiente sentido:

3.5 Proposici´on:

Si una topolog´ıa T de X separa a L de M entonces no existe sucesi´on alguna x_n∈N de X tal que, para T , xn→ L y xn→ M .

Demostraci´on:

Suponga que existen V ∈ B(L) y W ∈ B(M ) tal que V ∩ W = ∅. Ahora, si xn→ l y xn→ M , entonces para V existe NV ∈N tal que n > NV → xn∈ V .

Tambien como W ∈ B(M ), ∃ NW tal que n > NW → xn ∈ W . As´ı pues

si N es el m´aximo de NV y NW, para n > N, xn ∈ V y xn ∈ W , es decir

xn∈ V ∩ W = ∅. ut

Se tiene pues que en un espacio Haussdorff si una sucesi´on tiene l´ımite, en-tonces tiene uno solo.

3.6 Definici´on:

Sea xn∈Nuna sucesión en un espacio topológico X. Si hay un único l´ımite de

x_n∈N, digamos L, entonces se dice que L es el l´ımite de x_n∈N y se escribe equivalentemente l´ım

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3.7 Ejemplo:

Todo espacio métrico es un espacio Hassdorff. Como todo espacio vectorial normado es en espacio métrico, entonces en los espacios vectoriales normados y en general en los espacios métricos las sucesiones tienen a lo mas un l´ımite.

3.8 Proposici´on:

i Sea (X, d) un espacio m´etrico, L ∈ X, xn∈N una sucesi´on en X.

En-tonces l´ım

n→∞xn= L ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n > N ⇒ d(xn, L) < ε.

ii Sea (V, +, kj, k k) un espacio vectorial normado entonces l´ım

n→∞xn= L ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que n > N ⇒ kxn− Lk < ε.

En cuanto a l´ımites de sucesiones tenemos como ejemplos: 1. En R, con la topolog´ıa corriente, l´ım

n→∞

1

n = 0. En efecto la propiedad arquimediana de los n´umeros reales establece que los naturales N no son acotados por encima. Es decir que para k ∈ R+, ∃ n ∈ N tal que n ≥ k. Se tiene entonces que si k ∈ R+_{, como} 1

K ∈ R+, entonces existe

n ∈ N tal que n ≥ k1. Equivalentemente k ≥ 1

n. En suma para cada

> 0, ∃ N ∈ R tal que ≥ _N1. As´ı que si n > N ⇒ _N1 > 1_n ⇒ k > 1 n.

2. En R, si xn∈N es creciente, es decir que (n > m ⇒ xn > xm) y xn∈N

es acotada (es decir que existe K ∈ R tal que |xn| < K, ∀n ∈ N)

entonces l´ım

n→∞xn= sup

n x_n∈N. En donde el supremo sup de un conjunto A es α ∈ R si

i ∀a ∈ A, a ≤ α.

ii Para cualquier otro n´umero menor que α i no se cumple: para cada > 0, existe a ∈ A, tal que a > α − .

Aritm´etica de L´ımites de Sucesiones

Realmente antes de hacer aritmética de l´ımites de sucesiones debe hacerse aritmética de sucesiones. Simplemente como en un espacio vectorial se tiene suma, esta se extiende a suma de sucesiones de manera funcional. Igual para producto por escalar y para producto, si se tiene una estructura de álgebra en X. As´ı pues en tales casos se define:

{x_n}_n∈N + {y_n}_n∈N= {xn+ yn}n∈N

k{xn}n∈N = {kxn}n∈N

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Sabemos además que las propiedades básicas de + en X pasan a + de sucesiones, las de kx (producto por escalar) pasan al producto por escalar de sucesiones y las propiedades del producto pasan al de sucesiones, hasta la estructura de anillo conmutativo y modulativo. Hay una operación extra que aparece aqu´ı a saber. Si x_n∈N es una sucesión en V y k_n∈N es una sucesión en R (escalares), entonces tomamos:

KX = {kn}n∈N· {xn}n∈N= {kn· xn}n∈N

3.9 Proposici´on:

i En un espacio vectorial normado las sucesiones de l´ımite 0 son cerradas para la multiplicaci´on por escalar.

ii En un espacio vectorial normado las sucesiones de l´ımite 0 son cerradas para la suma.

iii Si adémas de espacio vectorial hay estructura de álgebra normada (existe un producto asociativo y que distribuye sobre + y (kxyk ≤ kxk kyk), entonces el producto de una sucesión de l´ımite cero por una acotada, tiene l´ımite cero.

iv En un ´algebra normada el espacio de las sucesiones de l´ımite 0 es cerrado para el producto.

Demostraci´on:

i Queda como ejercicio.

ii Suponga que xn → 0 y yn → 0. Entonces para ε > 0, como ε₂ > 0

existe N1 ∈ N tal que n > N1 ⇒ kxnk < ε₂ y existe N2 ∈ N tal que

n > N2 ⇒ kynk < ε₂. Para N = max {N1, N2} y n > N se cumple

kx_nk < ε

2, kynk < ε

2 y por lo tanto kxn− ynk ≤ kxnk + k − ynk =

kxnk + kynk < ₂ε+₂ε = ε.

As´ı pues para ε > 0, se encontr´o N tal que si n > N ⇒ kxn− ynk < ε

y por lo tanto (xn− yn) → 0. Asi que hay cerradura para la diferencia

y por la parte i queda para la suma por que x + y = x + (−1)y iii Suponga que xn → 0 y ∃N1, ∈ N tal que kynk < K para un real

positivo K. Sea ahora ε > 0. Entonces _Kε > 0 y existe N2 ∈ N tal que

n > N2⇒ kxnk < _Kε.

Para N = max {N1, N2}, n > N ⇒ kxnk < _Kε ∧ kynk < K y por lo

tanto kxyk ≤ kxk kyk < _Kε · K = ε.ut

(5)

Note que en un espacio normado las sucesiones convergentes son acotadas. Las sucesiones acotadas forman un subespacio vectorial o una sub´lgebra si el espacio es un ´algebra. Las sucesiones acotadas son las que tienen posi-bilidad de tener l´ımite (en el espacio) y son las que normalmente se usan. Esto lo tocaremos con mas detalle en completez (3.28). Ahora trabajamos con sucesiones con l´ımite cualquiera. La aritm´etica de l´ımites es la siguiente:

3.10 Proposici´on:

En un espacio vectorial normado, V , se tiene que si xn→ L, yn→ M, zn=

k para todo n entonces i l´ım n→∞zn= k. ii l´ım n→∞k xn= kL. iii l´ım n→∞xn+ yn= L + M . iv l´ım n→∞xn− yn= L − M .

v Si tn+ vn converge y vn converge, entonces tn converge.

vi Si V es un ´algebra normada, entonces xnyn→ L M .

vii Si xn6= 0 y L 6= 0, y _x1_n existe para cada n entonces _x1_n converge.

viii Si xn6= 0 y L 6= 0, y _x1_n existe para cada n entonces l´ım n→∞

1 xn

= 1 L. ix Bajo las hipotesis de viii. yn

xn →

M L.

Demostraci´on:

Aceptamos sin demostraci´on la parte vii. Las partes i y ii quedan como ejer-cicio.

En cuanto a la parte iii, xn− L → 0, yn− M → 0 y por la proposici´on

precedente (xn− L) + (yn− M ) → 0. Es decir que (xn+ yn) − (L + M ) → 0

y por lo tanto xn+ yn→ L + M .

Las partes iv y v quedan como ejercicio.

En cuanto a la parte vi (xn − L) → 0, (yn − M ) → 0 y por lo tanto

(xnyn− M xn− Lyn+ LM ) → 0 y como (−M xn− Lyn+ LM ) → −LM

entonces por v xnyn converge.

(6)

Luego l´ım n→∞xn· l´ımn→∞ 1 xn = 1. Es decir que L l´ım n→∞ 1 xn = 1 y por lo tanto l´ım n→∞ 1 xn = 1 L.

La parte ix queda como ejercicio.ut

Una propiedad importante en el c´alculo de l´ımites que permite usar los conocimientos de funciones es la siguiente: recuerde que si f : I −→ R, en-tonces l´ım

x→af (x) = b si

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε

Es decir que si x ∈ B(a, δ) entonces f (x) ∈ B(b, ε). Para convergencia del tipo l´ım

x→a el filtro que se usa en el dominio, es el de la bolas alrededor de

a. Este remplaza al filtro [N, ∞), N ∈ N que se usa en el dominio, en convergencia de sucesiones. Mientras mantengamos el filtro del codominio los teoremas sobre convergencia deben ser los mismo que ten´ıamos para sucesiones.

Note: las propiedades del filtro F = {[N, ∞) | N en N}. Este es un filtro alrededor de ∞.

i [N, ∞) 6= ∅, ∀N ∈ N.

ii Si A, B ∈ F entonces existe C ∈ F tal que C ⊆ A ∩ B. (En este caso particular en realidad se puede tomar C = A ∩ B).

En general , un filtro b´asico F es un conjunto X es un subconjunto no vac´ıo de P(X) (partes de X) tal que

F1: φ /∈ F . F2: ∀A, B ∈ F , ∃C ∈ F tal que C ⊆ A y C ⊆ B (equivalente-mente C ⊆ A ∩ B, pero esto NO significa que A ∩ B ∈ F ).

F se dice un filtro si adem´as de las propiedades de filtro b´asico se tiene F3: X ∈ F y F4: Si A ∈ F y A ⊆ B ⊆ X → B ∈ F .

Es evidente que si F1 es un filtro b´asico en X entonces, el generador por

F = {A ∈ P(x)|A ⊇ BconB ∈ F1}

es un filtro en X. Además que si F es un filtro entonces es básico. Nosotros usamos aqui la palabra filtro para indicar, filtro b´sico y de ser necesario pasamos al filtro generado por el básico. La nesecidad de hacerlo suceder pocas veces.

As´ı pues en t´erminos de filtros, se tiene que xn → 0 si ∀V ∈ B(0), ∃A ∈ F

tal que n ∈ A ⇒ xn∈ V.

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y xn → 0, entonces existe A ∈ F tal que n ∈ A ⇒ |xn| < ε₂. Como yn → 0

existe B ∈ F tal que n ∈ B ⇒ |yn| < ₂ε.

Sea C ⊆ A ∩ B en F . C existe por la propiedad de filtro de F . Si n ∈ C ⇒ n ∈ A ∧ n ∈ B ⇒ |xn| < ₂ε y |yn| < ε₂ ⇒ |xn+ yn| ≤ |xn| + |yn| < ε₂+₂ε = ε.

As´ı pues ∀V ∈ B(0) existe C ∈ F tal que n ∈ C ⇒ |xn+ yn| < ε. Por tanto

xn+ yn→ 0.

Veamos c´omo funciona este teorema para el caso de funciones f : [c, d] −→ R. Si l´ım

x→af (x) = 0 entonces:

i a ∈ [c, d] y aqui tanto [c, d] como a quedan fijos.

ii El filtro que se usa aqu´ı en el dominio es por definici´on de l´ım

x→af (x) un

filtro de vecindades de a. El mas natural es el de las bolas básicas de a que están contenidas en [c, d], como en el gráfico.

[

-

]





_









Cuando se afirma “∃ δ > 0”, aqu´ı aceptaremos que tal δ debe ser tal que (a − δ, a + δ) ⊆ [c, d]. Si no lo es, reducimos δ hasta que ello se logre y esto es siempre posible. As´ı pues aqu´ı F = {B(a, δ) | B(a, δ)) ⊆ [c, d], δ > 0}. Note que de nuevo F tiene las dos propiedades de arriba B(a, δ) 6= φ, ∀δ y dadas dos bolas alrededor de a, existe una tercera contenida en las dos.

Ahora si l´ım

x→af (x) = 0 ∧ x→al´ımg(x) = 0 entonces dado ε > 0, ε 2 >

0 y existe A ∈ F tal que x ∈ A ⇒ |f (x)| < ε₂ y existe B ∈ F tal que x ∈ B ⇒ |g(x)| < ε₂. As´ı pues si C ⊆ A ∩ B, y si x ∈ C ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ |f (x)| < ε₂ ∧ |g(x)| < ε

2 y por tanto

|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| < ε₂+ ε₂ = ε. Como antes esto significa que l´ım

x→af (x) + g(x) = 0.

Para funciones f : V −→ R donde V es un espacio normado. Se tienen pues teoremas similares a los de N −→ R pero, en el dominio, con el filtro B(a, δ), dado por la norma kk, y δ ∈ R.

De igual manera se tienen teoremas para funciones de espacios m´etricos en espacios normados o en ´algebras normadas.

(8)

Aunque mas adelante se dar´a la forma general de continuidad, para una fun-ci´on f : V −→ W donde V, W son espacios vectoriales normados tomamos:

3.11 Definici´on:

f es continua en a ∈ V ⇔ l´ım

x→af (x) = f (a). ut

A cada teorema del tipo l´ım

x→af (x) = L le corresponde uno de continuidad.

Por ejemplo note que l´ım

x→ak = k. Aqu´ı f (x) = k, ∀x . Por tanto f (a) = k,

l´ım

x→af (x) = f (a) y la funci´on f (x) = k es continua en a.

Otro ejemplo: supuesto que f es continua en a y g tambien lo es, se tiene que l´ım

x→af (x) = f (a) y l´ımx→ag(x) = g(a). Por teorema de l´ımites l´ımx→af (x)+g(x) =

f (a) + g(a) y por lo tanto f + g es continua en a (o f (x) + g(x) es continua en a).

Las dem´as afirmaciones del paso de l´ımites a continuidad se dejan como ejercicio

Antes de regresar al proceso de sucesiones y ampliarlo damos un teorema de gran utilidad para pasar de l´ımites de sucesiones al de funciones y viceversa. Note que si f : V −→ W es una funci´on entre espacios normados entonces para cada sucesi´on N → V , la compuesta Nx → Vx → W es una sucesi´f on en W .

Deseamos relacionar el l´ımite de una funci´on h con el de f ◦ h usando la convergencia de f en el l´ımite de h. Con todo detalle se tiene:

3.12 Proposici´on:

Dada f : V −→ W una funci´on entre espacios normados y h : N −→ V una sucesi´on tal que:

i l´ım

n→∞h(n) = v ∈ V .

ii l´ım

x→vf (x) = w.

Entonces la sucesi´on {f (h(n))}_n∈N tiene l´ımite w. O dicho de otra manera l´ım

n→∞f (h(n)) = w, o bien l´ımn→∞f (h(n)) = l´ımx→vf (x) = w.

Demostraci´on: Sea ε > 0. Como l´ım

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si kx − vk < δ ⇒ kf (x) − wk < ε. Ahora, como δ > 0 y l´ım

n→∞h(n) = v,

entonces ∃N ∈ N tal que n > N ⇒ kh(n) − vk < δ. As´ı pues se tiene n > N ⇒ kh(n) − vk < δ ⇒ kf (h(n)) − wk < ε.ut

Se tiene pues que si f es continua en a y l´ım

n→∞x(n) = a ∈ V entonces

l´ım

n→∞f (x(n)) = f (a), usando xn en cambio de h(x). C ´mo esto nos conecta

al c´aclulo I, tomemos por ejemplo sabido que l´ım

x→0

sinx

x = 1. El resultado precedente implica que l´ım

n→∞ sinπ_n π n = 0, y por ende l´ım n→∞(nsen π n) = π. En realidad para cuando V es segundo contable en cambio de entonces en 3.12 se tiene equivalencia. Ser´a lo que mostraremos en lo que sigue del cap´ıtu-lo. Es decir que se pueden usar limites de sucesiones para determminar con-tinuidad.

Para iniciar, como parte de proceso de convergencia extendemos ahora el concepto de continuidad. Damos diferentes presentaciones de ella y las sim-plificaciones en los espacios primero contables, mas exactamente en los es-pacios m´etricos en donde coinciden con continuidad secuencial.

Continuidad Global 3.13 Definici´on:

Una funci´on f : X −→ Y entre espacios topol´ogicos es continua si para cada A abierto en Y , f−1(A) es abierto en X.ut

Esta continuidad donde no se mensionan puntos espec´ıficos se denomina ocacionalmente continuidad global. Se tiene sin embargo que la continuidad se puede verificar puntualmente. Igualmente se tiene continuidad por cerra-dos.

3.14 Proposici´on:

f : X → Y entre espacios es continua ⇔ ∀B cerrado en Y, f−1(B) es cerrado en X.ut

3.15 Definici´on:

Sea a ∈ X, f es continua en a si ∀V ∈ B(f (a))∃W ∈ B(a) tal que f (W ) ⊆ V.

u t

(10)

3.16 Proposici´on:

Suponga que B(a) es una base de vecindades de a y B(f (a)) una base de vecindades de f (a). Entonces: f es continua en a ⇔ ∀V ∈ B(f (a)), ∃W ∈ B(a) tal que: f (W ) ⊆ V.

Note que la afirmaci´on f (W ) ⊆ V es equivalente a “w ∈ W ⇒ f (w) ∈ V ”. Por lo tanto en el caso de que X, Y sean espacios normados con normas k kX

y k kY entonces f es continua en a si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que kx − akX < δ ⇒

kf (x) − f (a)kY < ε por que para la bola b´asica B(f (a), ε) la correspondiente

alrededor de a se representa usualmente por B(a, δ) y se usa el hecho de que estas son bases de vecindades.

Para ligar con lo dado arriba se tiene que:

3.17 Proposici´on:

f : X −→ Y es continua ⇔ ∀a ∈ X, f es continua en a. Demostraci´on:

⇒) Suponga f continua y veamos que l´ım

x→af (x) = f (a), para cada a ∈ X.

En efecto si V ∈ B(f (a)), existe O abierto en Y con f (a) ∈ O ⊆ V . As´ı que f−1(O) es abierto en X y a ∈ f−1(O) por lo tanto W = f−1(O) ∈ B(a). Veamos que f (W ) ⊆ O. (⊆ V ). Si y ∈ f (W ) ⇒ y = f (x) con x ∈ W = F−1(0). Como x ∈ F−1(0) ⇒ f (x) ∈ O, as´ı pues y ∈ O. En suma y ∈ f (W ) ⇒ y ∈ O.

⇐) Ahora suponga que l´ım

x→af (x) = f (a), ∀a ∈ X. Sea O abierto en Y .

Si f−1(O) = ∅ya esta por que φ es abierto. Si f−1(O) 6= ∅, para cada y ∈ O ∩ f (X) tome xy ∈ X tal que f (xy) = y. Como y ∈ O, O ∈ B(y) por

lo tanto hay una vecindad, que podemos tomar abierta (base de vecindades) de Xy digamos Ty tal que f (Ty) ⊆ O. Claramente

[ y∈O∩f (x) Ty es abierto en X y f   [ y∈O∩f (x) Ty  =   [ y∈O∩f (x) f (Ty) ⊆  O. ut Continuidad Secuencial

Sean (X, TX) y (Y, TY) espacios topol´ogicos. Sea f : X → Y una funci´on.

(11)

1. Se dice que f es secuencialmente continua en a ∈ X si para cada sucesi´on x_n∈N tal que xn→ a se tiene que f (xn) → f (a).

2. f se dice secuencialmente continua si lo es para cada a ∈ Xut

Veamos primero que ser secuencialmente continua es mas d´ebil que ser con-tinua.

3.19 Proposici´on:

Si f : X → Y es continua en a ∈ X, entonces es secuencialmente continua en a.

Demostraci´on: Suponga f continua en a y sea x_n∈Nuna sucesi´on en X tal que xn→ a. Veamos que f (xn) → f (a). En efecto si W ∈ β(f (a)), entonces

existe V ∈ β(a) tal que f (V ) ⊆ W . Ahora como V ∈ β(a), y xn → a,

entonces existe n ∈ N tal que n > N ⇒ xn ∈ V . Pero entonces, como

f (V ) ⊆ W , f (xn) ∈ W para todo n > N . As´ı que f (xn) → f (a).ut

La afirmación rec´ıproca no es cierta, es decir que ser secuencialmente con-tinua no implica ser concon-tinua. Por ejemplo si X = {a, b, c}, T = {φ, { a}, X, L = {φ, { a}, { b}, { a, b}, X} entonces T y L son topolog´ıas sobre X y la función f : X → X dada por f (x) = x, ∀x ∈ X, es secuencialmente contin-ua, pero no es continua. Se deja la demostración de esto como ejercicio. La continuidad secuencial va pegada a la posibilidad de caracterizar cerrados por medio de sucesiones en espacios métricos.

Cerradura Secuencial 3.20 Definici´on:

Sea A ⊆ X en donde X es un espacio topol´ogico. A se dice “secuencialmente cerrado” si para toda sucesi´on x_n∈N, con xn∈ A, si xn→ b, entonces b ∈ A.ut

Es dec´ır todos los l´ımites de todas las sucesiones de A (en cuanto existan) est´an en A. Se tiene que

3.21 Proposici´on:

Suponga que A ⊆ X es cerrado. Entonces es secuencialmente cerrado. Demostraci´on: Suponga que A es cerrado y que a_n∈N es una sucesi´on en A, con an → b. Veamos que b ∈ A. Si b 6= A, entonces b ∈ X − A que es

abierto y X − A ∈ β(b). Luego existe N ∈ N tal que n > N ⇒ an∈ X − A.

(12)

La parte central de los espacios m´etricos (y otros espacios) es que en ellos “secuencialmente cerrado” es lo mismo que cerrado:

3.22 Proposici´on:

En un espacio m´etrico, si A es secuencialmente cerrado, entonces es cerrado. Demostraci´on: Suponga que A es secuencialmente cerrado. Demostremos que δA ⊆ A. Sea b ∈ δA. Entonces para cada n ∈ N, A ∩ B(b,1_n) 6= ∅. Tome a_n∈NA ∩ B(b,1_n). Se tiene que an ∈ A, y que an → b (debe demostrarlo).

As´ı que b ∈ A. Se tiene entonces que δA ⊆ A. Es decir que A es cerrado.ut

Note de nuevo el uso de sucesiones en espacios m´etricos digamos (X, d): A es cerrado ⇐⇒ ∀a_n∈N en A y b ∈ X, (an→ b) ⇒ b ∈ A.

Ahora veamos c´omo, que en espacios m´etricos, continuidad secuencial im-plica continuidad.

3.23 Proposici´on:

Si f : (X, dX) → (Y, TY) es secuencial continua entonces f es continua.

Demostraci´on: Usaremos cerrados. Sea B cerrado en Y veamos que f−1(B) es cerrado en X. Sea xn∈N una sucesi´on en f−1(B) y suponga que xn → c

(debemos ver que c ∈ f−1(B)). Pero como xn → c y f es secuencialmente

continua, se tiene que f (xn) → f (c). Como f (xn) ∈ B, B es cerrado y

f (xn) → f (c) entonces f (b) ∈ B. Es decir que b ∈ f−1(B).ut

En particular en los espacios euclideanos del c´alculo de varias variables se tiene tal propiedad:

3.24 Colorario: f : Rn → Rm _{es continua en A ∈ R}n _{si y solo si, (X} n→

A) ⇒ (f (Xn) → f (A)). Osea l´ım

n→∞Xn= A ⇒ l´ımn→∞f (Xn) = f (A)ut

Sucesiones de Cauchy y Espacios Completos

En el caso de los espacios métricos si una sucesión converge entonces los elementos de la sucesión digamos Xn y Xm están cada vez mas cercanos

(13)

de Cauchy

3.25 Definición: Sea xn∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Se

dice que x_n∈N tiene la propiedad de Cauchy (o que es de Cauchy) si para > 0, existe N ∈ N tal que (n, m) > N → d(xn, xm) < . ut

La ventaja de los espacios métricos es que la idea de acercarse, entre ellos. los miembros de la sucesión no está necesariamente ligada a priori a que se acerquen infinitamente a un elemento de X. Se deja al lector hacer un sano intento de replicar la idea de sucesión de Cauchy en un espacio topológico cualquiera.

Veamos ahora que sucesiones convergentes son de Cauchy. y adem´as est´an en un subespacio especial.

3.26 Proposici´on:

Sea Xn∈N una sucesi´on en (X, d).

i Si x_n∈N converge en X, entonces es de Cauchy. ii Si xn es de Cauchy entonces es acotada.

iii Si xn converge entonces es acotada.

Demostramos i, ii: La parte iii es obvia i. Suponga que Xn → a. Dado

> 0, como ₂ > 0 entonces ∃N ∈ N tal que n, m > N → d(Xn, a) < ₂ y

d(Xm, a) < ₂. As´ı pues d(Xn, Xm) ≤ d(Xn, a) + d(a, Xm) < .ut

ii. Demostraremos equivalentemente que si una sucesi´on no es acotada en-tonces no es de Cauchy. Si x_n∈Nno es acotada entonces para K > 0, (K ∈ R) existe xn tal que d(0, xn) > K.

Sea m1 en N tal que d(0, xm1) > 1 como d(0, xm1) + 1 > 0 existe xm2 tal que

d(0, xm2) > d(x, xm1+x) + 1. Por recurrencia construido xmn existe xmn+1tal

que d(0, xmn+1) > d(0.xmn) + n + 1.

De esta manera se han trazado c´ırculos concéntricos formando anillos con separación, m´ınima, n en el n-ésimo paso y solo un xmi en cada uno. Con

esto se garantiza que la distancia entre ellos aumenta (y por tanto no dis-minuye) cuando m crece. As´ı que xn∈Nno puede ser una sucesi´on de Cauchy

(ver ejercicio 15).ut

Para ilustrar que existen espacios con sucesiones de Cauchy que no conver-gen, recuerde que entre dos n´umeros reales cualesquiera existe un n´umero racional distinto de los dos. Note que

q

2 +_n+11 < q

2 +_n1 para cada n y por tanto existe qn∈ Q (los racionales) tal que

q

2 +_n+11 < qn<

q

2 +_n+11 . Claramente en R con la topolog´ıa corriente qn→

√

(14)

sucesi´on de Cauchy en Q (con la topolog´ıa de subespacio de R) pero no converge en Q.

Este ejemplo requiere concretar la relación entre convergencia en un sube-spacio y convergencia en el esube-spacio, y lo mismo para la condición de Cauchy. La primera que afirma que la convergencia en el subespacio a un punto en el subespacio es equivalente a que la sucesión (del subespacio) converja al pun-to (del subespacio) en el espacio, se concreta en el ejercicio suplementario 14. La correspondiente de Cauchy es mas sencilla de presentar:

3.27 Proposici´on:

Sea (X, d) un espacio m´etrico. Sea A ⊆ X y sea a_n∈N una sucesi´on en A. Entonces, a_n∈N es de Cauchy en A ⇐⇒ a_n∈N es de Cauchy en X.

Demostraci´on: Suponga que a_n∈Nes de Cauchy en A. Recuerde que BA(X, )∩

A. Entonces A es un espacio m´etrico tomando dA(a1, a2) = dX(a1, a2),

∀a1, a2∈ A y cl´aramente la bola alrededor de a ∈ A, para dAes BX(a, )∩A.

Puesto que la distancia es la misma en el subespacio A que en X para los elementos de A, entonces

(∀ > 0, ∃N ∈ N tal que n, m > N → dA(an, am) < ) ⇐⇒

(∀ > 0, ∃N ∈ N tal que n, m > N → dX(an, am) < ).ut

Espacios M´etricos Completos 3.28 Definici´on:

Un espacio m´etrico (X, d) se dice completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente. ut

En lo que sigue V, {e1, · · · en}, kk es un espacio con base normal, es decir que

keik = 1 para cada i.

Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y sea d una m´etrica en X × Y .

3.29 Definici´on:

1) Decimos que d domina a dX a dY o que X × Y domina a X y a Y

(por abuso) si d((x1, y1), (x2, y2)) ≥ dX(x1, x2) y d((x1, y1), (x2, y2)) ≥

dY(y1, y2).ut

2) Cuando las m´etricas provienen de una norma, es decir que X, Y son espacios vectoriales sobre R, normados decimos que kk, de X × Y , domina a kkX, y a kkY si sus m´etricas lo hacen.ut

3.30 Proposici´on:

Si d domina a dX y a dY en X × Y y (xn, yn)n∈N es una sucesi´on en X × Y

(15)

1) Si (xn, yn) converge a (c, d) entonces xn converge a c y yn converge a

d.

2) Si (xn, yn) es de Cauchy, entonces xny ynson de Cauchy.

Demostraci´on: Ejercicio ut

Note que en el caso de espacios vectoriales euclideanos Rn se tiene que

3.31 Proposici´on:

1) Xn→ L ⇔ (Xnei→ Lei)∀i = 1, 2, · · · , n

2) Xn de Cauchy ⇔ Xnei es de Cauchy para cada i = 1. Aqu´ı Xnei es la

i-esima coordenada de Xn∈ Rn.

Demostraci´on: Solo resta demostrar ⇐ de cada parte por 3.31.

Veamos ⇐ de 2): suponga para cada i que {Xnei}n ∈ N es de Cauchy.

Entonces dado > 0 ∃Ni ∈ N tal que n > Ni → kXnei− Xmeik < _n. Para

el N = maxkNikn > N → kXnei− Xmeik < _n. luego kXn− Xmk = n X i=1 ((Xn− Xm)ei)ei ≤ n X i=1 ((Xn− Xm)ei)ei = n X i=1 |(Xn− Xm)ei|keik n X i=1 |Xnei− Xmei| ≤ n X i=1 e n = n n = . ut Espacios de Banach y Hilbert

En adelante un espacio vectorial normado para cuya m´etrica es completo se llamara un espacio de Banach. Si la norma del espacio es la norma de un producto interno, entonces se llamara un espacio de Hilbert

Ahora damos condiciones para determinar cuando un espacio m´etrico es completo. Note que en R la sucesi´on xn= (−1)ntiene dos subsucesiones

yn= (−1)2n y Zn = (−1)2n+1. Estas nuevas sucesiones son las dos

conver-gentes. De hecho son, las dos, constantes. Este es un ejemplo de una sucesi´on que tiene “puntos de acumulaci´on”.

3.32 Definici´on: Sea xn∈N una sucesi´on en un espacio (X, T ).

(16)

ii sea a ∈ X. Se dice que “a es un punto del acumulaci´on de xn∈N” si

existe una subsucesi´on {xφ(n)}n∈N tal que xφ(n)→ a. ut

En el caso de un espacio métrico (X, d), a será punto de acumulación de x_n∈N si existe x_φ(n) tal que l´ım

n→∞xφ(n)= a. En el caso del ejemplo obviamente los

elementos de la sucesi´on no se acercan entre ellos infinitamente. Es decir la sucesi´on no es de Cauchy. De hecho.

3.33 Proposición: Sea x_n∈Nuna sucesión en un espacio métrico (X, d). Si xnes de Cauchy entonces: a es un punto de acumulación de xn∈N⇔ xn→ a.

Demostraci´on: Si xn → a obviamente a es un punto de acumulaci´on

tomando φ(n) = n. Suponga ahora que existe x_φ(n) tal que x_φ(n) → a. Puesto que φ : N → N es una funci´on estrictamente creciente, entonces dado un M ∈ N, existe N ∈ N tal que n > N → φ(n) > M . Ahora dado > 0, como ₂ > 0 y xφ(n) → a, entonces existe N1 ∈ N tal que

n > N1 ⇒ d(xφ(n), a) < 2. Ademas como xn∈N es de Cauchy existe N2 ∈ N

tal que n, m > N2 ⇒ d(xn, xm) < ₂. Si M = max{N1, N2} sea N tal que

n > m ⇒ φ(n) > M . Ahora, como φ es creciente φ(n) ≥ n. As´ı que si n > M ⇒ φ(n) ≥ n ≥ M → d(x_φ(n), xn) < ₂ ∧ d(xφ(n), a) < 2 ⇒ d(xn, a) ≤

d(xφ(n), xn) + d(xφ(n), a) < . de modo que xn→ a.ut

3.34 Proposici´on:

1. En un espacio métrico si A es completo, entonces A es cerrado 2. En un espacio métrico completo si A es cerrado entonces es completo 3. En un espacio métrico completo A es cerrado si y solo si es completo. Demostración:

1. Sea A completo. Sea a_n∈Nuna sucesi´on en A con an→ b. Entonces es

de Cauchy en A y por tanto converge en A. As´ı que b ∈ A.

2. X completo, A cerrado. Sea a_n∈N de Cauchy. Entonces a_n∈N es de Cauchy en X. Luego an → b y como A es cerrado b ∈ A. Entonces

an∈N converge en A. Luego A es completo.

Compacidad en Espacios M´etricos

(17)

3.35 Definición: Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Se dice que A es compacto (mas precisamente secuencialmente compacto) si a_n∈N en A, cualquiera, admite un punto de acumulación en A. ut

Note ahora que “compacto” es una propiedad que, en el caso de es-pacios métricos, tiene que ver con tamaño pequeño (De hecho es un objeto pequeño)

3.36 Proposición: Si A ⊆ X es compacto, entonces es acotado. Demostración: Es el mismo argumento de 3.29. Si no es acotada se construye en él una sucesión que no solo sus términos estan cada vez mas separados si no que cada una de sus subsucesiones es aun mas cr´ıtica en ese sentido. Por lo tanto no puede tener subsucesiones con-vergentes es decir puntos de acumulación y menos en A.ut

Ademas es naturalmente cerrado:

3.37 Proposición: Si A es compacto en (X, d) entonces es cerrado. Demostración: Suponga A compacto y sea a_n∈N una sucesión en A. Suponga que an → b. Como an es una sucesión en A que es

com-pacto entonces existe una subsucesi´on aφ(n) que converge en a:

dig-amos l´ım

n→∞aφ(n) = a y a ∈ A. Pero l´ımn→∞aφ(n) = b puesto que an → b.

Entonces a = b y b ∈ Aut

En particular las bolas cerradas y acotadas pueden no ser compactas en un espacio m´etrico cualquiera. De hecho el que lo sean hace la diferencia con respecto a la completez:

3.38 Proposici´on: Si en un espacio las bolas cerradas B(a, ) = {x ∈ X|d(x, a) ≤ } son compactas, entonces X es completo.

Demostraci´on: Suponga que xn∈N es una sucesi´on de Cauchy.

En-tonces la sucesión está en una bola B que es compacta, luego la suce-sión tiene un punto de acumulación b en B y por tanto xn→ b. ut

Recuerde que si X es un espacio métrico con métrica d y A ⊆ X, entonces dA : A × A → R dada por dA(x, y) = d(x, y) es una métrica

en A. Recuerde ademas que BA(a, ), para a ∈ A, es Bx(a, ) ∩ A. Es

decir que la topológia de A es la topológia de subespacio de X. 3.39 Definición: En (X, d), si A ⊆ X, A se dice “completo” si como subespacio es completo.ut

Note ahora:

(18)

Demostración: En cualquier espacio métrico “compacto” implica “cerrado y acotado”. Supongamos ahora que A es cerrado y acota-do y veamos que es compacto. Sea a_n∈N una sucesión en A. Como A es acotado entonces A ⊆ B en donde B es una bola cerrada y entonces compacta. Por tanto existe una subsucesión aφ(n)→ b ∈ B por ser B

compacta pero a_φ(n)∈ A que es cerrado entonces b ∈ A. 3. Es inmediato. ut

Ejercicios Suplementarios

1. Sea B una base de vecindades de L, en un espacio topol´ogico X. De-muestre que xn → L si y solo si ∀V ∈ B, ∃N ∈ N tal que n > N ⇒

xn∈ V .

2. Determine bases de vecindades en las siguientes topolog´ıas

a) La topolog´ıa de los complementos finitos en X con X infinito. b) La topolog´ıa P(X) en X

c) Ta= {B ⊆ X/a ∈ B} ∪ {φ}

3. Realizar la demostraci´on correspondiente a 3.2. 4. De cada teorema de l´ımites del tipo l´ım

x→af (x) = L d´e un teorema y

demu´estrelo.

5. Realizar la demostración correspondiente a 3.8. 6. Realizar la demostración correspondiente a 3.14. 7. Realizar la demostración correspondiente a 3.16. 8. Tome l´ım

x→af (x) + g(x) = L, para la convergencia a L con el filtro

B(a, δ), δ ∈ R. Ahora:

a) D´e el enunciado de los teoremas de aritm´tica de l´ımite 0

l´ım

x→af (x) = 0

. b) Demuestre los teoremas de la parte 1.

c) D´e los teoremas de aritm´etica de l´ımites del tipo l´ım

x→af (x) = L

d ) Demuestrelos como consecuencia de los teoremas de la parte c). e) Establezca y demuestre los teoremas correspondientes a 3.10 para

(19)

9. Demuestre que:

Si Xn es casi igual a k (constante), entonces k es un l´ımite de xn∈N,

para cualquier topolog´ıa T sobre X. 10. Complete la demostraci´on de 3.10

11. Use la aritm´etica de los l´ımites de la forma l´ım

x→af (x) para dar y

de-mostrar los teoremas de continuidad an a para funciones f : (V, kkV) →

(W, kkw).

12. Determine la aritm´etica de los l´ımites de la forma l´ım

x→af (x), para

fun-ciones del tipo f : (X, T ) → (A, kkA) en donde (X, T ) es un espacio

topol´ogico y (A, kkA) es un ´algebra normada.

13. Use la aritm´etica de l´ımites de la forma l´ım

x→cf (x) para dar los teoremas

de continuidad en c ∈ X para funci´on f : (X, T ) → (A, kk) en donde (X, T ) es un espacio topolog´ıco y (A, kk) es un ´algebra normada. 14. En cada espacio determine

i) Si es Haussdorff.

ii) Si hay sucesiones con mas de un punto l´ımite.

iii) Si los subconjuntos secuencialmente cerrados son cerrados: a) Un subespacio A de un espacio X que ya cumple la propiedad. b) R con la topolog´ıa de los complementos finitos.

c) P(X) en X.

d) La topolog´ıa Ta del ejercicio 2.

15. Complete la demostraci´on de que la rec´ıproca de la proposici´on 3.19 (que se inicio al final de 3.19) no es cierta.

16. Sean a ∈ A ⊆ X. Sea TX una topolog´ıa en X y TA la topolog´ıa de A

como subespacio de X. Demuestre que si an∈N es una sucesi´on cuyos

elementos estan en A, entonces

(an→ a) en (A, TA) ⇔ (an→ a en (X, TX)).

17. Sea y_n∈N una sucesi´on en un espacio m´etrico (X, d).

1) Demuestre que si yn→ L entonces toda subsucesi´on yφ(n) → L.

2) Demuestre que si y_n∈Ntiene una subsucesi´on que no es de Cauchy entonces y_n∈N no es de Cauchy.

(20)

4) Demuestre que Xmn construida en la demostraci´on de 3.26 no es

de Cauchy.

18. Llene los detalles de la demostraci´on de que si A en (X, d) es compacto, entonces es acotado.

19. Sea A ⊆ X con X un espacio m´etrico. Se dice que A es “discreto” si como subespacio de X es discreto.

a) Si A es discreto entonces

1) Muestre que A es completo. 2) Muestre que A es cerrado. 3) A es compacto ↔ A es finito.