6. y .4/ C 16y 00 D 64 cos.4x/ .

6. y ^.4/ C 16y ⁰⁰ D 64 cos.4x/ .

7. y ^.3/ 4y ⁰⁰ C 4y ⁰ D 12e ^2x C 24x ² . 8. y ^.4/ 2y ⁰⁰ C y D 100 cos 3x . 9. y ^.3/ 6y ⁰⁰ C 11y ⁰ 6y D e ^x . 10. y ^.3/ D 24.x C y/

x ³ .

11. x ³ y ^.3/ x ² y ⁰⁰ C 2xy ⁰ 2y D x ³ . 12. x ³ y ^.3/ C 5x ² y ⁰⁰ C 2xy ⁰ 2y D x ⁴ . 13. x ³ y ^.3/ 4x ² y ⁰⁰ C 8xy ⁰ 8y D 4 ln x . 14. x ³ y ^.3/ C x ² y ⁰⁰ 6xy ⁰ C 6y D 30x .

15. xy ^.3/ C 2xy ⁰⁰ xy ⁰ 2xy D 1, si el conjunto fundamental de soluciones está integrado por

 1 D e ^x ;  2 D e ^x ;  3 D e ^2x .

16. x ² y ^.3/ 2y ⁰ D 5 ln x, si el conjunto fundamental de soluciones está integrado por

 1 D 1;  ² D ln x &  ³ D x ³ .

17. y ^.3/ y ⁰ D 2x; con y.0/ D 0; y ⁰ .0/ D 1; y ⁰⁰ .0/ D 2 .

18. y ^.4/ y D 8e ^x ; con y.0/ D 1; y ⁰ .0/ D 0; y ⁰⁰ .0/ D 1; y ⁰⁰⁰ .0/ D 0 . 19. y ^.3/ C 3y ⁰⁰ C 3y ⁰ C y D 12e ^x ; con y.0/ D 1; y ⁰ .0/ D 0; y ⁰⁰ .0/ D 3 . 20. y ^.4/ y D cos x; con y.0/ D 1; y ⁰ .0/ D 1; y ⁰⁰ .0/ D y ⁰⁰⁰ .0/ D 0 .

4.8 Variación de parámetros y reducción de orden

Con lo anteriormente tratado hasta aquí, podemos hacer las afirmaciones siguientes:

1. Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal no homogénea:

y ⁰⁰ C p.x/y ⁰ C q.x/y D g.x/

siempre y cuando conozcamos la solución general .x/ D c ¹  1 .x/ C c ²  2 .x/ de la ED lineal ho- mogénea asociada y ⁰⁰ C p.x/y ⁰ C q.x/y D 0.

2. Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal con coeficientes constantes ay ⁰⁰ C by ⁰ C cy D g.x/:

3. Aplicando primero el método de reducción de orden y luego el método de variación de parámetros, podemos resolver la ED lineal

y ⁰⁰ C p.x/y ⁰ C q.x/y D g.x/;

con el conocimiento de sólo una solución y D  ¹ .x/ de la ED lineal homogénea asociada y ⁰⁰ C p.x/y ⁰ C q.x/y D 0:

Sobre las dos primeras afirmaciones ya hemos ejemplificado; y ahora lo haremos sobre la última afirmación.

Ejemplo 4.8.1 Utilice el método de variación de parámetros; halle una solución particular y escriba la solución gene- ral de la ED

xy ⁰⁰ .x C 1/y ⁰ C y D x ² e ^2x ; considerando que y 1 D x C 1 es solución de la ED homogénea asociada

xy ⁰⁰ .x C 1/y ⁰ C y D 0:

H Primero mediante reducción de orden, se obtiene otra solución y 2 de la homogénea asociada y luego se aplica variación de parámetros para determinar una solución particular.

Para obtener y 2 , se propone y 2 D uy ¹ .

y 2 D .x C 1/u ) y 2 ⁰ D .x C 1/u ⁰ C u ) y 2 ⁰⁰ D .x C 1/u ⁰⁰ C 2u ⁰ : Sustituyendo en:

xy ₂ ⁰⁰ .x C 1/y 2 ⁰ C y ² D 0;

encontramos que

xŒ.x C 1/u ⁰⁰ C 2u ⁰  .x C 1/Œ.x C 1/u ⁰ C u C .x C 1/u D 0 )

) x.x C 1/u ⁰⁰ C Œ2x .x C 1/ ² u ⁰ C Œ .x C 1/ C .x C 1/u D 0 )

) x.x C 1/u ⁰⁰ .x ² C 1/u ⁰ D 0: (4.52)

Si u ⁰ D w, entonces u ⁰⁰ D dw

dx . Sustituyendo en (4.52) se tiene que x.x C 1/ dw

dx .x ² C 1/w D 0 ) ) x.x C 1/ dw

dx D .x ² C 1/w ) dw

w D x ² C 1

x.x C 1/ dx ) )

Z dw w D

Z x ² C 1

x ² C x dx ) ln w D Z 

1 C x C 1 x.x C 1/

 dx ) ) ln w D x C

Z x C 1 x.x C 1/ dx:

Integrando mediante fracciones parciales:

ln w D x C Z  1

x 2 x C 1



dx D x C ln x 2 ln.x C 1/ C C D x C ln x C ln.x C 1/ ² C ln C ) ) ln w D x C lnŒCx.x C 1/ ²  ) w D e ^x Cx.x C 1/ ² :

Pero w D u ⁰ , entonces

u ⁰ D e ^x Cx.x C 1/ ² ) u D C Z

xe ^x .x C 1/ ² dx : Integrando por partes:

u D C



xe ^x .x C 1/ ¹ Z

e ^x dx



) u D C Œ xe ^x .x C 1/ ¹ C e ^x  C C ¹ ) ) u D Ce ^x .x C 1/ ¹ C C ¹ :

Tomando u D e ^x .x C 1/ ¹ , se obtiene como una segunda solución:

y 2 D .x C 1/u D .x C 1/e ^x .x C 1/ ¹ ) y ² D e ^x : Entonces, la solución general de la ED homogénea asociada es

y c D c ¹ .x C 1/ C c ² e ^x :

Ahora se aplica variación de parámetros proponiendo:

y p D u ¹ y 1 C u ² y 2 : Con y 1 D x C 1 y con y ² D e ^x :

y p D .x C 1/u ¹ C e ^x u 2 ) y p ⁰ D .x C 1/u 1 ⁰ C u ¹ C e ^x u ₂ ⁰ C e ^x u 2 : Suponiendo que

.x C 1/u 1 ⁰ C e ^x u ₂ ⁰ D 0; (4.53)

se tiene:

y _p ⁰ D u ¹ C e ^x u 2 & y _p ⁰⁰ D u 1 ⁰ C e ^x u ₂ ⁰ C e ^x u 2 : Sustituyendo en:

xy _p ⁰⁰ .x C 1/y p ⁰ C y ^p D x ² e ^2x ; se obtiene:

xŒu ₁ ⁰ C e ^x u ₂ ⁰ C e ^x u 2  .x C 1/Œu ¹ C e ^x u 2  C .x C 1/u ¹ C e ^x u 2 D x ² e ^2x )

) xu 1 ⁰ C xe ^x u ₂ ⁰ C Œxe ^x .x C 1/e ^x C e ^x u 2 C Œ .x C 1/ C .x C 1/u ¹ D x ² e ^2x ) ) xu 1 ⁰ C xe ^x u ₂ ⁰ D x ² e ^2x :

Dividiendo entre x:

u ₁ ⁰ C e ^x u ₂ ⁰ D xe ^2x : (4.54)

Entonces u 1 ⁰ & u 2 ⁰ deben satisfacer el sistema conformado por las ecuaciones (4.53) y (4.54).

.x C 1/u 1 ⁰ C e ^x u ₂ ⁰ D 0:

u ₁ ⁰ C e ^x u ₂ ⁰ D xe ^2x : El determinante del sistema es

W D    

x C 1 e ^x 1 e ^x   

 D .x C 1/e ^x e ^x D xe ^x ) W D xe ^x : La solución del sistema es

u ₁ ⁰ D    

0 e ^x xe ^2x e ^x    

W D xe ^3x

xe ^x D e ^2x I

u ₂ ⁰ D    

x C 1 0 1 xe ^2x

W D .x C 1/xe ^2x

xe ^x D .x C 1/e ^x : Integrando las ecuaciones anteriores:

u 1 D Z

e ^2x dx D 1

2 e ^2x C C I u 2 D

Z

.x C 1/e ^x dx D xe ^x C C:

Tomando u 1 D 1

2 e ^2x & u 2 D xe ^x se tiene que una solución particular es y p D .x C 1/u ¹ C e ^x u 2 D 1

2 .x C 1/e ^2x C e ^x xe ^x D D

 1 2 x 1

2 C x



e ^2x D 1

2 .x 1/e ^2x ) y ^p D 1

2 .x 1/e ^2x :

Por lo tanto, la solución general de la ED dada es

y D 1

2 .x 1/e ^2x C c ¹ .x C 1/ C c ² e ^x :

 Ejemplo 4.8.2 Utilizando el método de variación de parámetros, calcular una solución particular y escribir la solu- ción general de la ecuación diferencial ordinaria

x ² y ⁰⁰ C xy ⁰ C y D sec.ln x/;

considerando que y 1 D sen.ln x/ es solución de la ED homogénea asociada x ² y ⁰⁰ C xy ⁰ C y D 0:

H Primero se aplica el método de reducción de orden para determinar otra solución y 2 de la ED ho- mogénea asociada; luego se obtiene una solución particular de la ED no homogénea mediante variación de parámetros.

Para determinar y 2 , se propone y 2 D uy ¹ .

y 2 D u sen.ln x/ ) y 2 ⁰ D u ⁰ sen.ln x/ C ux ¹ cos.ln x/ )

) y 2 ⁰⁰ D u ⁰⁰ sen.ln x/ C 2u ⁰ x ¹ cos.ln x/ C ux ² Œ cos.ln x/ sen.ln x/:

Sustituyendo ahora:

x ² y ₂ ⁰⁰ C xy 2 ⁰ C y ² D 0I con lo cual,

u ⁰⁰ x ² sen.ln x/ C u ⁰ xŒ2 cos.ln x/ C sen.ln x/ D 0:

Dividiendo entre x ² sen.ln x/:

u ⁰⁰ C u ⁰ 1 x



2 cos.ln x/

sen.ln x/ C 1



D 0: (4.55)

Si u ⁰ D w, entonces u ⁰⁰ D dw

dx . Integrando lo anterior a (4.55):

dw dx D



2 cos.ln x/

sen.ln x/

1 x

1 x



w )

Z dw

w D 2

Z cos.ln x/

sen.ln x/

dx x

Z dx

x )

) ln w D 2 lnŒsen.ln x/ ln x C C ) ln w D lnŒsen.ln x/ ² C ln x ¹ C C ) ) ln w D ln Cx ¹ Œsen.ln x/ ² ) w D Cx ¹ Œsen.ln x/ ² D C

x 1

sen ² .ln x/ ) ) w D C

x csc ² .ln x/:

pero w D u ⁰ , entonces:

u D C Z

csc ² .ln x/ dx

x D C cot.ln x/ C C ¹ I tomando u D cot.ln x/, se tiene que

y 2 D Œcot.ln x/ sen.ln x/ D cos.ln x/

  

sen.ln x/  

sen.ln x/ ) y ² D cos.ln x/:

Luego, la solución general de la ED homogénea asociada es

y c D c ¹ sen.ln x/ C c ² cos.ln x/:

Ahora se aplica variación de parámetros; se propone:

y p D u ¹ y 1 C u ² y 2 ; con y 1 D sen.ln x/ y y 2 D cos.ln x/; por lo tanto:

y p D u ¹ sen.ln x/ C u ² cos.ln x/ )

) y p ⁰ D u 1 ⁰ sen.ln x/ C u ¹ x ¹ cos.ln x/ C u 2 ⁰ cos.ln x/ u 2 x ¹ sen.ln x/:

Considerando que

u ₁ ⁰ sen.ln x/ C u 2 ⁰ cos.ln x/ D 0; (4.56) se tiene:

y _p ⁰ D u ¹ x ¹ cos.ln x/ u 2 x ¹ sen.ln x/ )

) y p ⁰⁰ D u 1 ⁰ x ¹ cos.ln x/ u 1 x ² Œ sen.ln x/ C cos.ln x/ u 2 ⁰ x ¹ sen.ln x/ u 2 x ² Œcos.ln x/ sen.ln x/:

Sustituyendo en la ED normalizada

y _p ⁰⁰ C 1

x y _p ⁰ C 1

x ² y p D 1

x ² sec.ln x/;

encontramos:

u ₁ ⁰ 1

x cos.ln x/ u 2 ⁰

1

x sen.ln x/ D 1

x ² sec.ln x/: (4.57)

Entonces u ₁ ⁰ & u ₂ ⁰ satisfacen el sistema conformado por las ecuaciones (4.56) y (4.57).



 

 

u ₁ ⁰ sen.ln x/ C u 2 ⁰ cos.ln x/ D 0:

u ₁ ⁰ 1

x cos.ln x/ u ₂ ⁰ 1

x sen.ln x/ D 1

x ² sec.ln x/:

El determinante del sistema es

W D     

sen.ln x/ cos.ln x/

1

x cos.ln x/ 1

x sen.ln x/

D 1

x sen ² . ln x/ 1

x cos ² . ln x/ D 1

x Œ sen ² . ln x/ C cos ² . ln x/ D 1 x : La solución del sistema es

u ₁ ⁰ D     

0 cos.ln x/

1

x ² sec.ln x/ 1

x sen.ln x/

W D

1

x ² sec.ln x/ cos.ln x/

1 x

D 1 x :

u ₂ ⁰ D     

sen.ln x/ 0

1

x cos.ln x/ 1

x ² sec.ln x/

W D

1

x ² sen.ln x/ sec.ln x/

1 x

D 1

x

sen.ln x/

cos.ln x/ :

De aquí que

u 1 D Z dx

x D ln x C C:

u 2 D

Z sen.ln x/

cos.ln x/

dx

x D lnŒcos.ln x/ C C:

Tomando u 1 D ln x & u 2 D lnŒcos.ln x/, se tiene por solución particular:

y p D u ¹ y 1 C u ² y 2 ) y ^p D .ln x/ sen.ln x/ C lnŒcos.ln x/ cos.ln x/ ) ) y ^p D .ln x/ sen.ln x/ C Œcos.ln x/ lnŒcos.ln x/:

Por lo tanto, la solución general de la ED es

y D y ^p C c ¹ y 1 C c ² y 2 ) y D .ln x/ sen.ln x/ C Œcos.ln x/ lnŒcos.ln x/ C c ¹ sen.ln x/ C c ² cos.ln x/ ) ) y D Œln x C c ¹  sen.ln x/ C .lnŒcos.ln x/ C c ² / cos.ln x/:

 Ejercicios 4.8.1 Variación de parámetros y reducción de orden. Soluciones en la página 469

Obtener la solución general de la ecuación diferencial dada, considerando que y 1 es una solución de la ED homogénea asociada.

1. x ² y ⁰⁰ xy ⁰ C y D 2xI y ¹ D x . 2. 5x ² y ⁰⁰ 3xy ⁰ C 3y D p

x I y ¹ D x

. 3. x ² y ⁰⁰ xy ⁰ C y D ln xI y ¹ D x . 4. x ² y ⁰⁰ xy ⁰ 3y D 16 ln x

x I y ¹ D x ³ .

5. x ² y ⁰⁰ xy ⁰ C 2y D x ln xI y ¹ D x cos.ln x/ .