Relaciones y funciones II Funciones

(1)

Relaciones y funciones II

Funciones

Grupo de investigaci´on en vida artificial – Research Group on Artificial Life – (Alife) Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas e Industrial

Facultad de Ingenier´ıa Universidad Nacional de Colombia

(2)

Funci´on parcial

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(3)

Funci´on parcial Definici´on

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(4)

Funci´ on parcial I

Definici´ on

Una relaci´ on f : A B se dice funci´on parcial si y s´olo si, Si (x , y ) ∈ f ∧ (x, y

⁰

) ∈ f

entonces y = y

⁰

.

(5)

Funci´ on parcial II

El concepto de funci´ on parcial es tan fundamental en matem´ aticas (computaci´ on) que tiene su propia notaci´ on, en vez de notarlas como f : A B, las funciones parciales se notan as´ı f : A → B. Esta notaci´on representa que a un elemento del conjunto de salida A le corresponde uno y s´ olo un elemento en el conjunto de llegada B. Cuando a un elemento x ∈ A le corresponde un elemento y ∈ B, a trav´ es de la funci´ on f se suele usar la notaci´ on

f (x ) = y

para expresar que (x , y ) ∈ f . Cuando se desea especificar tanto el conjunto de salida como el conjunto de llegada se usa la notaci´ on dominio–rango

f : A → B

x 7→ f (x )

(6)

Funci´ on parcial III

Ejemplo

Para los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} y B = { ¨, ©, ª, «}. En la figura de la siguiente diapositiva se representan las parejas (0, ©), (1, ©), (4, ª) que definen una relaci´ on. Esta relaci´ on seria una funci´ on, pues si a un elemento del conjunto de salida A le corresponde un elemento del conjunto B, ´ este es ´ unico. 0 y 1 est´ an asociados con © y 4 con el s´ımbolo ª.

N´ otese que no importa que 0 y 1 est´ en asociados al mismo elemento de B,

que pueden haber elementos en A que no se est´ en asociados a elementos

de B como ocurre con 2 y 3, y que pueden haber y elementos de B que no

se est´ en asociados a elementos de A, tal como ocurre con ¨ y «.

(7)

Funci´ on parcial IV

Ejemplo (continuaci´ on)

A f B

0 1 2 3 4

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la funci´ on f = (0, ©), (1, ©), (4, ª) mediante

diagramas Sagitales.

(8)

Funci´ on parcial V

Ejemplo

Si a la funci´ on f = (0, ¨), (1, ¨), (2, ª) se adicionara la pareja (1, «),

esta nueva relaci´ on f

⁰

= (0, ¨), (1, ¨), (2, ª), (1, «) dejar´ıa de ser

funci´ on, pues a 1 le corresponder´ıan dos valores diferentes ¨ y «. En la

figura de la siguiente diapositiva se representa la relaci´ on f

⁰

.

(9)

Funci´ on parcial VI

Ejemplo (continuaci´ on)

f

⁰

A B

0 1 2

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la relaci´ on f

⁰

= (0, ¨), (1, ¨), (2, ª), (1, «) mediante

diagramas Sagitales.

(10)

Funci´on parcial Propiedades de las funciones

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(11)

Propiedades de las funciones I

Inyectividad I

Las funciones tambi´ en poseen propiedades muy interesantes, as´ı como las de las relaciones de un conjunto en si mismo, las m´ as importantes de estas son:

Inyectiva: una funci´ on f : A → B se dice inyectiva o uno a uno si y s´ olo si,

Si (x , z) ∈ f ∧ (y , z) ∈ f entonces x = y .

A un elemento del conjunto B le corresponde una sola preimagen del conjunto A.

Para simbolizar que una funci´ on f de A en B es inyectiva, se utiliza la

notaci´ on f : A B.

(12)

Propiedades de las funciones II

Inyectividad II

Ejemplo

En la figura se muestra una representaci´ on de la funci´ on inyectiva f = (0, «), (2, ¨) .

A f B

0 1 2

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la funci´ on inyectiva f = (0, «), (2, ¨) mediante

diagramas Sagitales.

(13)

Propiedades de las funciones III

Sobreyectividad I

Sobreyectiva: una funci´ on f : A → B se dice sobreyectiva o suprayectiva si y s´ olo si,

(∀b ∈ B)(∃a ∈ A) tal que (a, b) ∈ f .

Cada elemento del conjunto B tiene una preimagen del conjunto A.

Para simbolizar que una funci´ on f de A en B es sobreyectiva, se utiliza la

notaci´ on f : A B.

(14)

Propiedades de las funciones IV

Sobreyectividad II

Ejemplo

En la figura se muestra una representaci´ on de la funci´ on sobreyectiva f = (0, ¨), (1, ª), (2, «), (4, ¨) .

A f B

0 1 2 3 4

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la funci´ on sobreyectiva f = (0, ¨), (1, ª),

(2, «), (4, ¨) mediante diagramas Sagitales.

(15)

Propiedades de las funciones V

Totalidad I

Total: una funci´ on f : A → B se dice total si y s´ olo si, (∀a ∈ A)(∃b ∈ B) tal que (a, b) ∈ f .

Cada elemento del conjunto A tiene una imagen del conjunto B.

Para simbolizar que una funci´ on f de A en B es parcial pero no total, se utiliza la notaci´ on f : A 9 B; as´ı, la notaci´on usual de funciones

f : A → B indica que f es una funci´ on parcial que puede ser al mismo

tiempo total.

(16)

Propiedades de las funciones VI

Totalidad II

Ejemplo

En la figura se muestra una representaci´ on de la funci´ on total f = (0, ª), (1, ©), (2, ¨), (3, «), (4, ©) .

A f B

0 1 2 3 4

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la funci´ on total f = (0, «), (1, ©), (2, ¨),

(3, «), (4, ¨) mediante diagramas Sagitales.

(17)

Propiedades de las funciones VII

Biyectividad I

Biyectiva: una funci´ on f : A → B se dice biyectiva si y s´ olo si, f es

inyectiva, sobreyectiva y total.

(18)

Propiedades de las funciones VIII

Biyectividad II

Ejemplo

En la figura 6 se muestra una representaci´ on de la funci´ on biyectiva f = (0, ª), (1, ©), (2, «), (3, ¨) .

A f B

0 1 2 3

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la funci´ on biyectiva f = (0, ª), (1, ©), (2, «), (3, ¨)

mediante diagramas Sagitales.

(19)

Extensión de una función parcial a una función total

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(20)

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una total I

Las funciones parciales suelen presentarse en computaci´ on cuando en el problema estudiado se presenta un evento excepcional con algunos valores para los cuales la funci´ on se encuentra indefinida y por lo tanto no se puede evaluar.

Todas las funciones parciales se pueden extender de tal manera que estas sean un subconjunto de una funci´ on total. Para obtener la funci´ on total se tienen varias alternativas, las cuales se explicar´ an con base en la siguiente funci´ on parcial.

A f B

0 1 2 3 4

¨

© ª

«

(21)

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una total II

Asignaci´ on a un elemento del conjunto de salida

Una alternativa para obtener una funci´ on total a partir de una funci´ on parcial es la de asignar los valores del conjunto de salida que no pertenecen al dominio a alg´ un valor del conjunto de llegada, como se muestra a continuaci´ on

f

⁰

A B

0 1 2 3 4

¨

© ª

«

(22)

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una total III

Asignaci´ on a un elemento adicional del conjunto de salida I

Asignar un valor al conjunto de salida no siempre es posible o conveniente debido a que pueden introducirse valores incoherentes o errados con respecto al problema estudiado.

Una alternativa es adicionar al conjunto de llegada un valor nuevo que

indique un error dado un valor en el conjunto de salida. En la funci´ on total

al obtenerse este nuevo valor, se quiere notar que en el problema estudiado

se ha encontrado un caso de error o un problema excepcional.

(23)

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una total II

Asignaci´ on a un elemento adicional del conjunto de salida II

T´ıpicamente el valor con el que se extiende el conjunto de llegada es el s´ımbolo ⊥, el cual representa una contradicci´ on, en estos casos un error o un caso excepcional.

f

⁰

A B

0 1 2 3 4

¨

© ª

«

⊥

(24)

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una total IV

Ejemplo

Para la siguiente funci´ on div de R × R en R, div : R × R → R

(x , y ) 7→ x y ,

se tiene que si la segunda proyecci´ on de la pareja del dominio (x , y ) es

igual a 0, entonces la funci´ on se encuentra indefinida, por lo tanto la

funci´ on no es total.

(25)

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una total V

Ejemplo (continuaci´ on)

Para hallar una funci´ on que contenga la anterior y que sea total, se adicional el s´ımbolo ⊥ al conjunto de llegada y se extiende la funci´ on de la siguiente manera

div : R × R → R ∪ {⊥}

(x , y ) 7→

( ⊥, si y = 0;

x

y

, en otro caso.

(26)

Funciones importantes en computaci´on

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(27)

Funci´ on identidad I

Definici´ on (Identidad)

La funci´ on identidad id

_A

relaciona a cada elemento de un conjunto A consigo mismo, de la siguiente manera

id

A

: A → A

x 7→ id

_A

(x ) = x

(28)

Funci´ on identidad II

Ejemplo

En la figura se muestra una representaci´ on de la funci´ on identidad id

_A

= (¨, ¨), (©, ©), (ª, ª), («, «) para el conjunto A = {¨, ©, ª, «}.

id

_A

A A

¨

© ª

«

¨

© ª

«

Figure :

Representaci´ on de la funci´ on identidad id

A

= (¨, ¨), (©, ©),

( ª, ª), («, «) mediante diagramas Sagitales.

(29)

Funci´ on valor absoluto

Definici´ on (Valor absoluto)

La funci´ on valor absoluto de x se denota como |x | y se define como:

|x| : R → R

^0,+

x 7→

( x , si x ≥ 0;

−x, en otro caso.

Ejemplos

| − 3.14| = 3.14, |3.14| = 3.14, | − 1| = 1, |1| = 1, |0| = 0, |π| = π,

| − π| = π, − √

2 = √

2,

√ 2 = √

2.

(30)

Funci´ on potencia I

Definici´ on (Potencia)

La funci´ on potencia de b elevado al exponente n se denota como b

ⁿ

y se define como:

b

ⁿ

: R × Z → R ∪ {⊥}

(b, n) 7→



 

 

 

 

1, si (b 6= 0) ∧ (n = 0);

b ∗ b ∗ · · · ∗ b

| {z }

n–veces

, si (b 6= 0) ∧ (n ∈ Z

⁺

);

1 b

^|n|

, si (b 6= 0) ∧ (n ∈ Z

⁻

);

0, si (b = 0) ∧ (n > 0);

⊥, si (b = 0) ∧ (n ≤ 0).

(31)

Funci´ on potencia II

Ejemplos

1

⁰

= 1, 2

⁰

= 1, 2

³

= 8, 3

⁻²

=

¹₉

, 0.5

³

= 0.125,

²₃

2

=

⁴₉

, 0

⁰

= ⊥,

0

⁻¹

= ⊥.

(32)

Funci´ on ra´ız cuadrada

Definici´ on (Ra´ız cuadrada)

La funci´ on ra´ız cuadrada de x se denota como √

x y se define como:

√ x : R

^0,+

→ R

^0,+

x 7→ b, donde b

²

= x . Ejemplos

√ 0 = 0, √

1 = 1, √

4 = 2, √

9 = 3, √

25 = 5, √

0.25 = 0.5, q

4

9

=

²₃

,

√

2 ≈ 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948 · · · . En programaci´ on se define que x

^1/2

= √

x y se puede demostrar que

√

x

²

= |x |.

(33)

Funci´ on logaritmo

Definici´ on (Logaritmo)

La funci´ on logaritmo en base b de x se denota como log

_b

x y se define como:

log

_b

x : R

⁺

× R

⁺

→ R

(b, x ) 7→ y , donde b

^y

= x . Ejemplos

log

₂

4 = 2, log

₂

8 = 3, log

₂

1 = 0 (en general log

_b

1 = 0), log

_e

e = 1 (en

general log

_b

b = 1), log

₃ ¹₉

= −2, log

_0.5

0.125 = 3, log

_0.25

2 = −

¹₂

.

(34)

Funci´ on piso I

Definici´ on (Piso)

La funci´ on piso de x se denota como bx c y se define como:

bxc : R → Z

x 7→ n, donde (n ∈ Z) ∧ (n ≤ x < n + 1).

es decir, bx c es el mayor entero que es menor o igual a x .

(35)

Funci´ on piso II

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1 1 2 3

f (x ) = bx c

(36)

Funci´ on piso III

bxc : R → Z

x 7→ n, donde (n ∈ Z) ∧ (n ≤ x < n + 1).

Ejemplos

b−3.141516c = −4, b−3c = −3, b−1.5c = −2, b−0.1c = −1, b0c = 0,

b0.1c = 0, b1.5c = 1, b3c = 3, b3.141516c = 3, 1.3 = 1.

(37)

Funci´ on techo I

Definici´ on (Techo)

La funci´ on techo de x se denota como dx e y se define como:

dxe : R → Z

x 7→ n, donde (n ∈ Z) ∧ (n − 1 < x ≤ n).

es decir, dx e es el menor entero que es mayor o igual a x .

(38)

Funci´ on techo II

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1 1 2 3

f (x ) = dx e

(39)

Funci´ on techo III

dxe : R → Z

x 7→ n, donde (n ∈ Z) ∧ (n − 1 < x ≤ n).

Ejemplos

d−3.141516e = −3, d−3e = −3, d−1.5e = −1, d−0.1e = 0, d0e = 0,

d0.1e = 1, d1.5e = 2, d3e = 3, d3.141516e = 4, 1.3 = 2.

(40)

Funci´ on truncamiento I

Definici´ on (Truncamiento)

La funci´ on truncamiento de x se denota como trunc(x ) y se define como:

trunc(x ) : R → Z x 7→

( bxc, si x ≥ 0;

dxe, si x < 0.

a partir de la definici´ on anterior se tiene que en C++ se cumple que

(int)x = trunc(x).

(41)

Funci´ on truncamiento II

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1 1 2 3

f (x ) = trunc(x )

(42)

Funci´ on truncamiento III

trunc(x ) : R → Z x 7→

( bxc, si x ≥ 0;

dxe, si x < 0.

Ejemplos

trunc(−3.141516) = −3, trunc(−3) = −3, trunc(−1.5) = −1,

trunc(−0.1) = 0, trunc(0) = 0, trunc(0.1) = 0, trunc(1.5) = 1,

trunc(3) = 3, trunc(3.141516) = 3, trunc 1.3 = 1.

(43)

Funci´ on parte fraccionaria I

Definici´ on (Parte fraccionaria)

La funci´ on parte fraccionaria, parte decimal o mantisa de x se denota como frac(x ) y se define como:

frac(x ) : R → [0, 1) x 7→ |x | − |x|.

la parte fraccionaria en contextos matem´ aticos se suele notar como

frac(x ) = {x }.

(44)

Funci´ on parte fraccionaria II

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1 1

f (x ) = frac(x )

(45)

Funci´ on parte fraccionaria III

frac(x ) : R → [0, 1) x 7→ |x | − |x|.

Ejemplos

frac(−3.141516) = 0.141516, frac(−3) = 0.0, frac(−1.5) = 0.5,

frac(−0.1) = 0.1, frac(0) = 0.0, frac(0.1) = 0.1, frac(1.5) = 0.5,

frac(3) = 0.0, frac(3.141516) = 0.141516, frac(1.3) = 0.3.

(46)

Funci´ on redondeo I

Definici´ on (Redondeo)

La funci´ on redondeo de x se denota como round(x ), retorna el entero m´ as pr´ oximo al n´ umero x . Para los reales no negativos retorna el techo si la parte fraccionaria es mayor o igual a 0.5, retorna el piso si la parte fraccionaria es menor a 0.5. Para los reales negativos retorna el piso si la parte fraccionaria es mayor o igual a 0.5, retorna el techo si la parte fraccionaria es menor a 0.5. Formalmente esto se define como:

round(x ) : R → Z

x 7→



 

 

dxe, si (x ≥ 0) ∧ frac(x ) ≥ 0.5;

bxc, si (x ≥ 0) ∧ frac(x ) < 0.5;

− round(−x), si x < 0.

(47)

Funci´ on redondeo II

−3.5 −2.5 −1.5 −0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

−3

−2

−1 1 2 3

f (x ) = round(x )

(48)

Funci´ on redondeo III

round(x ) : R → Z

x 7→



 

 

dxe, si (x ≥ 0) ∧ frac(x ) ≥ 0.5;

bxc, si (x ≥ 0) ∧ frac(x ) < 0.5;

− round(−x), si x < 0.

Ejemplos

round(−3.141516) = −3, round(−3) = −3, round(−1.5) = −2, round(−0.1) = 0, round(0) = 0, round(0.1) = 0, round(1.5) = 2,

round(3) = 3, round(3.141516) = 3, round(−1.8) = −2, round(1.8) = 2,

round(1.3) = 1, round(1.5) = 2.

(49)

Parte entera

Definici´ on (Parte entera)

La funci´ on parte entera de x se denota como [x ] se encuentra definida dependiendo del contexto en el cual se est´ a utilizando la funci´ on, Contexto en matem´ aticas:

[x ] = bx c Contexto en computaci´ on:

[x ] = trunc(x ) = (int)x

(50)

Composici´on de funciones

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(51)

Composici´ on de funciones I

Definici´ on

Sean g : A → B y f : B → C dos funciones, si se cumple que

Ran

g

⊆ Dom

_f

, entonces es posible definir una nueva funci´ on llamada la composici´ on de f y g , la cual se denota como f ◦ g y que se define como

f ◦ g : A → C

a 7−→ f (g (a))

As´ı definida la composici´ on, se tiene que Dom

_{f ◦g}

= Dom

_g

y

Ran

_{f ◦g}

⊆ Ran

_f

.

(52)

Composici´ on de funciones II

Una representaci´ on que permite entender mejor como opera ´ esta nueva funci´ on, es utilizando un diagrama conmutativo, como se muestra a continuaci´ on:

A B

C g

f ◦ g f

(53)

Composici´ on de funciones III

Ejemplo

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = { ¨, ©, ª, «, _} y C = {a, b, c, d} tres conjuntos. Si g = (1, ª), (2, ©), (3, _), (4, _), (6, ¨) y

f ◦ g = (1, a), (2, d), (3, c), (4, c), (6, c) ; aqu´ı tambi´en se observa que Dom

_{f ◦g}

= Dom

_g

= {1, 2, 3, 4, 6} y

Ran

f ◦g

= {a, c, d } ⊆ Ran

f

= {a, b, c, d }. En la figuras de las siguientes

diapositivas se muestra una representaci´ on de la composici´ on de las

funciones f y g .

(54)

Composici´ on de funciones IV

Ejemplo (continuaci´ on)

g f

f ◦ g

A B C

1 2 3 4 5 6

¨

© ª

« _

a b c d

Figure :

Representaci´ on mediante diagramas Sagitales de la composici´ on de las

funciones f y g , f ◦ g = (1, a), (2, d), (3, c), (4, c), (6, c) .

(55)

Composici´ on de funciones V

Ejemplo (continuaci´ on)

f ◦ g

A C

1 2 3 4 5 6

a b c d

Figure :

Representaci´ on mediante diagramas Sagitales de la composici´ on de las

funciones f y g , f ◦ g = (1, a), (2, d), (3, c), (4, c), (6, c) .

(56)

Composici´ on de funciones VI

Ejemplo

Sean g y f las siguientes funciones:

g : R → Z x 7→ bx c

f : Z → Z n 7→ n ∗ n entonces la funci´ on compuesta de las funciones f y g ser´ a

f ◦ g : R → Z

x 7→ f g (x ) = f bxc = bxc ∗ bxc

(57)

Composición de funciones Evaluación como composición de funciones

Agenda

1

Funci´ on parcial Definici´ on

Propiedades de las funciones

Inyectividad Sobreyectividad Totalidad Biyectividad

2

Extensi´ on de una funci´ on parcial a una funci´ on total

3

Funciones importantes en computaci´ on

4

Composici´ on de funciones

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones

(58)

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones I

Una secuencia de instrucciones se puede entender matem´ aticamente como la composici´ on de una serie de funciones, donde cada vez que se haga uso de una variable, ´ esta se reemplaza por la asignaci´ on inmediatamente anterior, s´ı existe una asignaci´ on de esta variable.

Ejemplo

Para la siguiente secuencia de instrucciones i = k + 1;

j = 2 * k;

i = i * k * j;

j = j * k - i;

(59)

Evaluaci´ on como composici´ on de funciones II

Ejemplo (continuaci´ on)

se puede observar que utilizando la funciones +, ∗, − como funciones binarias usando notaci´ on prefija, se obtienen las siguientes expresiones matem´ aticas:

Relaciones y funciones II Funciones