Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática y las Comunicaciones

(1)

(2)

(3)

Apuntes de Fundamentos Físicos de la Informática

y las Comunicaciones

Antonio Flores Sintas

versión beta

(4)

(5)

Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones

TABLA DE CONTENIDOS

Tabla de contenidos

I

Prólogo

IV

1. Oscilador Armónico

1

1.1. Movimiento armónico simple (MAS) 2 1.2. Ecuación del movimiento 4

1.2.1. Intensidad del MAS 6 1.2.2. Péndulo matemático 8 1.3. Composición de MAS 9

1.3.1. Composición de la misma dirección y frecuencia. 9 1.3.2. Misma dirección, misma amplitud y frecuencias próximas. 11 1.3.3. Direcciones perpendiculares, misma frecuencia. 12 1.3.4. Direcciones perpendiculares, frecuencias diferentes. 14 1.4. Movimiento armónico amortiguado. 15 1.5. Movimiento armónico forzado. 18 Algunas relaciones trigonométricas de interés 22

2. Movimiento ondulatorio.

24

2.1. Movimiento ondulatorio 24 2.2. Ecuación de ondas. 25 2.3. Ondas armónicas. 27 2.4. Velocidad de propagación en un medio material. 29 2.5. Energía e intensidad de las ondas. 31 2.6. Efecto Doppler. 33 2.7. Interferencias. 36

2.7.1. De ondas con vibraciones paralelas,

igual frecuencia y amplitud 36 2.7.2. Ondas Estacionarias. 39 2.7.3. De ondas con vibraciones paralelas,

igual frecuencia y diferente amplitud. 40 2.8. Reflexión y refracción simultáneas. 43

3. Campo Eléctrico.

47

3.1. Carga eléctrica. 48 3.2. Electricidad por frotamiento. 49 3.2.1. El electróforo. 49 3.3. Ley de Coulomb. 51 3.4. Campo eléctrico. 52 3.5. Líneas de campo eléctrico. 54 3.6. Flujo eléctrico. 55

3.7. Ley de Gauss. 56

3.8. Divergencia de una función vectorial. 60 I

(6)

3.9. Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de Gauss. 61 3.10. Potencial eléctrico. 63 3.11. Gradiente de una función escalar. 66 3.12. Energía electrostática. 67 3.13. Rotacional de una función vectorial. 68 3.14. Teorema de Stokes. 70 3.15. Significado físico del rotacional. 70

4. Corriente Eléctrica

73

4.1. Conductores en equilibrio electrostático. 74 4.2. Condensador de placas plano paralelas. 76 4.3. Dipolo eléctrico. 77 4.4. Condensador con dieléctrico. 78 4.5. Energía almacenada en un condensador. 79 4.6. Combinación de condensadores. 80 4.7. Corriente y movimiento de cargas. 82 4.8. Ecuación de continuidad. 85 4.9. Fuerza electromotriz. 85 4.10. Generadores ideales y reales. 87 4.11. Combinación de resistencias. 88 4.12. Divisores de tensión y de corriente. 90 4.13. Reglas de Kirchhoff. 91 4.14. Circuitos equivalentes. 96

5. Campo Magnético.

101

5.1. Fuerza ejercida por un campo magnético. 102 5.2. Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnético. 104 5.3. Momento magnético de una espira. 105 5.4. Campo magnético creado por corrientes eléctricas: ley de Biot y Savart. 107 5.5. Campo magnético creado por una espira circular. 111 5.6. Propiedades del campo magnético. Ley de Ampere. 112 5.7. Aplicaciones de la ley de ampere. 115 5.8. Inducción magnética. Ley de Faraday. Ley de Lenz. 118 5.9. Inductancia. 121 5.10. Circuitos LR. 122 5.11. Energía magnética. 124 5.12. Combinación de inductores. 125

6. Corriente Alterna.

127 6.1. Circuito LC. 128 6.2. Corriente alterna en resistencias. 130 6.3. Corriente alterna en bobinas. 134 6.4. Corriente alterna en condensadores. 136

6.5. Fasores. 138

6.6. Circuito LCR con generador. 139

6.7. Resonancia. 140

6.8. Redes de corriente alterna. 143 6.9. Relaciones tensión corriente. 145

II

(7)

6.10. Análisis de redes de corriente alterna. 147 6.11. Equivalentes de Thévenin y Norton. 151

7. Ecuaciones de Maxwell. Ondas Electromagnéticas.

155 7.1. Divergencia. Rotacional. Ecuación de continuidad. 156 7.2. Algo se ha omitido. 160 7.3. Corriente de desplazamiento. 161 7.4. Ecuaciones de Maxwell. 162 7.5. Ecuación de ondas para las ondas electromagnéticas. 163 7.6. Representación de ondas armónicas. 167 7.7. Propiedades de las ondas electromagnéticas planas. 167 7.8. Energía de las ondas electromagnéticas. 169 7.9. Presión de radiación. 171 7.10. Espectro electromagnético. 173 7.11. Polarización. 174

8. Semiconductores.

175 8.1. Conductores. 176 8.2. Densidad de corriente. 177 8.3. El semiconductor intrínseco. 179 8.3.1. El hueco. 180 8.3.2. Conducción en semiconductores intrínsecos. 181 8.4. Semiconductores extrínsecos. 182

8.4.1. Semiconductores tipo n. 182 8.4.2. Semiconductores tipo p. 182 8.5. Ley de acción de masas. 184 8.6. Concentración de portadores. 185

8.7. Difusión. 186

8.7.1. Corriente total. 187 8.8. La unión PN en un circuito abierto. 188 8.9. La unión PN con polarización directa. 190 8.10. La unión PN con polarización inversa. 191 8.11. El símbolo eléctrico y la curva del diodo. 192 8.12. Aproximaciones del diodo. 196 8.13. El transistor sin polarización. 200 8.14. El transistor polarizado. 201 8.15. Corrientes en un transistor. 202 8.16. La conexión en EC (emisor común) 204 8.17. Curvas características. 206 8.18. Valores nominales máximos de un transistor. 208 8.19. El transistor como interruptor. 209

Bibliografía

211

III

(8)

(9)

Prólogo

Parte de estos apuntes se corresponden con las clases impartidas durante seis cursos en la asignatura “Fundamentos Físicos de la Informática”. Los cinco primeros cursos la asignatura pertenecía a la carrera de Ingeniero Técnico en Informática, mientras que en el último, la asignatura se ha ampliado, denominándose

“Fundamentos Físicos de la Ingeniería (I y II)”, y se ha integrado en el Grado en Ingeniería Informática. Tanto la ingeniería técnica como el grado se imparten en la Universidad Católica San Antonio, tendiendo la ingeniería técnica a desaparecer.

Los objetivos del texto son:

Conocer los fenómenos físicos más directamente relacionados con el funcionamiento de los componentes de los computadores y sus periféricos, como monitores, impresoras, memorias magnéticas y ópticas, circuitos electrónicos y fibras ópticas. Comprender los modelos matemáticos correspondientes a esos fenómenos. Conocer las bases de los diferentes tipos de dispositivos semiconductores, su función y características.

El conocimiento de las estructuras combinacionales básicas y las capacidades para analizar y diseñar circuitos secuenciales se ven en Fundamentos de Computadores. El conocimiento de Señales y Sistemas se adquiere en la asignatura del mismo nombre, y en Instrumentación Electrónica se identifican y utilizan los elementos básicos de un laboratorio de hardware.

La estructura de los temas se ha realizado atendiendo a los dos párrafos anteriores. En los dos primeros temas se estudia el Oscilador Armónico y el Movimiento Ondulatorio. El primero de ellos es un tema básico en la Física, de aplicación a diferentes fenómenos como vibraciones en tubos y cuerdas, ondas sonoras, oscilaciones de las corrientes en los aparatos de radio y televisión, vibraciones de estructuras (puentes, edificios,…), etc. El Movimiento Ondulatorio proporciona la base para el estudio posterior de las ondas electromagnéticas. Desde el tema tercero al sexto se estudian los conceptos básicos del electromagnetismo y de circuitos, tanto de corriente continua como alterna. En el tema siete se estudian las ondas electromagnéticas que son básicas para la comprensión de las comunicaciones. Finalmente el tema octavo introduce al alumno en los materiales semiconductores que son el soporte físico de los ordenadores. Dentro de cada tema se exponen ejemplos que ayudan a fijar los conceptos explicados.

IV

(10)

(11)

TEMA I

OSCILADOR ARMÓNICO

1.1 Movimiento armónico simple (MAS) 2

1.2 Ecuación del movimiento 4

1.2.1 Intensidad del MAS 6

1.2.2 Péndulo matemático 8

1.3 Composición de MAS 9

1.3.1. Composición de la misma dirección y frecuencia. 9 1.3.2. Misma dirección, misma amplitud y frecuencias próximas. 11 1.3.3. Direcciones perpendiculares, misma frecuencia. 12 1.3.4. Direcciones perpendiculares, frecuencias diferentes. 14

1.4 Movimiento armónico amortiguado. 15

1.5 Movimiento armónico forzado. 18

Algunas relaciones trigonométricas de interés 22

(12)

Antonio Flores Sintas 2

El estudio del movimiento armónico simple constituye en física e ingeniería un capítulo muy importante. Muchos fenómenos como péndulo, vibraciones en tubos y cuerdas, ondas sonoras, oscilaciones de las corrientes en los aparatos de radio y televisión, vibraciones de estructuras (puentes, edificios,…), etc., son objeto de aplicación del estudio del movimiento armónico simple.

Cuando se perturba la posición estable de un cuerpo perdiendo su posición de equilibrio se producen oscilaciones. La característica más fácilmente reconocible del movimiento oscilatorio es que resulta periódico. En este tema comenzaremos estudiando el movimiento armónico sin pérdida de energía, y la composición de movimientos armónicos. Después introduciremos términos apropiados para incluir pérdida de energía (amortiguamiento), cómo proporcionamos energía para mantener el movimiento (oscilaciones forzadas), y el fenómeno de resonancia de gran importancia en la física aplicada.

1.1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

Cuando se desplaza un objeto de su posición de equilibrio, si existe una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento se produce un movimiento armónico simple (MAS). La proporcionalidad entre la fuerza y el desplazamiento ocurre con mucha frecuencia en los sistemas mecánicos cuando la separación de la posición de equilibrio es pequeña.

Un sistema típico que presenta un movimiento armónico simple es el de un cuerpo unido a un muelle. En el equilibrio, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo.

Cuando éste se desplaza una cantidad x de su posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza sobre el cuerpo dada por:

kx

F =− (1.1)

Si queremos desplazar el cuerpo hacia la derecha, a una posición x, debemos de ejercer una fuerza F =kx que compense a la fuerza de recuperación, y un elemento diferencial de fuerza dF que permita mover el cuerpo, de tal forma que la fuerza total que estamos ejerciendo es F+dF. El trabajo que realizamos al desplazar el cuerpo

(13)

Oscilador Armónico

Antonio Flores Sintas

3

vendrá dado por: ^W ⁼

(

^F⁺^dF

)

^dx⁼ ^F^dx⁺ ^dF^dx. El segundo término de esta expresión es despreciable frente al primero, por lo que W = Fdx= kxdx. Esta integral es inmediata. Se obtiene:

cte kx W = ² +

2

1 . (1.2)

El trabajo realizado se convierte en energía potencial del cuerpo. Si en una posición determinada dejamos de aplicar fuerza y soltamos el cuerpo, éste comenzará a oscilar alrededor de la posición de equilibrio. El movimiento se produce como consecuencia de la energía que hemos suministrado. Si no hubiésemos ejercido ninguna fuerza el cuerpo permanecería en la posición de equilibrio, y no le habríamos aportado energía, por lo que podemos elegir la constante de integración en (1.2) igual a cero (para

0 ,

0 =

= W

x ). En consecuencia la energía potencial en una posición x, la podemos expresar como:

2

2 1kx

W = . (1.3)

Sea A el máximo desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. La energía potencial que tendrá el cuerpo en esa posición será: ²

2 1kA

W = , que es la energía total del cuerpo. Si ahora dejamos de aplicar fuerza sobre el cuerpo, éste se pondrá en movimiento, convirtiendo la energía potencial en cinética, de tal forma que cuando pase por la posición de equilibrio toda la energía se ha convertido en cinética. El cuerpo sigue en movimiento, por inercia, convirtiendo toda la energía cinética en potencial, pasando a una posición A− de la posición de equilibrio. En una posición determinada x, tendrá una energía potencial:

2

2 1kx

E_p = (1.4)

y una energía cinética:

(

² ²

)

2 2

2 1 2

1 2

1kA kx k A x

E_C = − = − (1.5)

En la siguiente figura se ha representado la energía potencial en azul, y la energía cinética en rojo, utilizando A=1, k =2. Se puede apreciar que para x= toda la A energía es potencial. Cuando x disminuye, la energía potencial va disminuyendo y la cinética aumentando, hasta que para x=0 toda la energía se ha convertido en cinética.

A partir de aquí el proceso se invierte: la energía cinética empieza a disminuir convirtiéndose en potencial, hasta x=−A, en donde toda la energía vuelve a ser potencial.

(14)

Representación de las energías potencial (azul) y cinética (rojo).

Ejercicio 1.1. En un MAS, hallar el valor de x para el que las energías cinética y potencial son iguales.

Se debe cumplir que E_c =E_p

( )

2 2 2

1 2

1kx2 = k A2 −x2 x2 = A2 x=± A

1.2. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO.

La fuerza y la aceleración están relacionadas por la segunda ley de Newton

2 2

dt x md ma

F = = , siendo m la masa del cuerpo y a la aceleración. En consecuencia, de (1.1) se debe satisfacer:

mx k dt

x kx d

dt x

md²₂ =− ²₂ =− (1.6)

que es la ecuación diferencial que determina el movimiento.

La ecuación diferencial (1.6) es muy conocida y fácil de resolver. Partamos de una función tipo seno o coseno y calculemos la primera y la segunda derivadas. A continuación de este párrafo, en la columna de la izquierda se utiliza la función seno, y en la columna de la derecha la función coseno, usando un parámetro w a determinar.

(15)

Oscilador Armónico

5

( ) ( )

( )

wt w x sen

dt w x d

wt dt w

dx

wt sen x

2 2

cos

−

=

−

=

( ) ( )

( )

wt w x dt w

x d

wt dt wsen

dx

wt x

2 2

cos cos

−

=

−

=

−

=

En la tercera línea de cada columna llegamos a la conclusión de que la segunda derivada es igual a −w²x. Bastaría hacer w² =k m para que cualquiera de las funciones anteriores satisficiese la ecuación diferencial (1.6). Tan sólo tenemos que adaptar la función a las condiciones específicas de nuestro problema.

(

^wt

)

^w ^x

dt x

d ₂ ₂

2

2 =− cos +ϕ =− .

En consecuencia, (1.7) es solución de la ecuación diferencial (1.6) si hacemos

m

w= k . Esta magnitud se denomina frecuencia angular y se mide en radianes por segundo. Además el máximo valor que puede tomar x en (1.7) es A que se denomina amplitud. Al ángulo

(

^wt⁺^ϕ

)

se le denomina fase. Para t =0, ^sen

( ) ( )

^ϕ ⁼ ^x_A⁰ ^{, siendo}

( )

0

x la posición del cuerpo en el instante t =0. Al ángulo ϕ se le denomina fase inicial. La posición del cuerpo en un instante ^x

( )

T w w T

wT =2π = ²π = ²π .

(16)

A T se le denomina periodo. Su inversa f

T1 = se le denomina frecuencia. El periodo se mide en segundos, y la frecuencia en s , o Hertzios ⁻¹

( )

Hz . Notemos que

T f

w₌ _{2 =}π ₂π . Es decir, la frecuencia angular y la frecuencia es la misma magnitud medida en unidades diferentes.

Ejercicio 1.2. Una partícula tiene un desplazamiento dado por = + 2 6 3 .

0 _sen _t π

x ,

donde x se mide en metros y t en segundos. ¿Cuáles son la frecuencia, el periodo, la amplitud y la fase inicial?

Comparando con (1.7), la amplitud es 0.3m. La frecuencia angular w=2rad seg, que expresada en Hz es f =w 2π =0.318Hz. El periodo T =2π w=3.14seg. La fase inicial es ϕ =π 6rad .

1.2.1. INTENSIDAD DEL M.A.S.

Se denomina intensidad del movimiento armónico simple al valor medio de la energía cinética en un periodo:

= ^TE_Cdt I T

0

1 _(1.8)

Para calcularla necesitamos realizar algunas consideraciones:

Hemos visto que la energía del cuerpo se descompone en energía cinética y energía potencial, que se pueden expresar como ²

2 1mv

E_C = , siendo v la velocidad del cuerpo,

y ²

2 1kx

E_P = . La energía total es: E_T = kA² =E_C +E_P 2

1 .

(

wt+ϕ

)

2 1

Como vemos, la energía cinética depende del cuadrado del coseno de la fase, y la energía potencial depende del cuadrado del seno de la fase. Como

P C

T kA E E

E = ² = +

2

1 , si tomamos valores medios, será: kA² =

( ) ( )

EC m + EP _m

2

1 . De la

(17)

Oscilador Armónico

7

2

1 . Y de la expresión

( ) ( )

P m

( ( ) )

m

P kA sen wt E kA sen wt

E = ² ² +ϕ = ² ² +ϕ

y

)

m ⁼¹, deducimos que

( ( ) ) ( ( ) )

2 cos² 1

2 y _m = y _m =

sen .

Antes hemos visto que

( )

EC m = kA²

(

cos²

(

wt+ϕ

) )

m

2

1 . Como

( ( ) )

2 cos² wt+ϕ _m = 1,

debe ser

( )

²

4 1kA

E_C _m = . Notemos que

( ) ( )

²

4 1kA E

E_C _m = _P _m = .

Por tanto, la expresión (1.8) se puede poner como:

2

4 1kA

I = (1.9)

(18)

Las consideraciones que hemos realizado nos han servido para no tener que calcular la integral en la expresión (1.8).

Ejercicio 1.3. Un cuerpo de kg3 de masa sujeto a un muelle oscila con una amplitud de cm4 y un periodo de seg2 . ¿Cuál es su energía total?¿Cuál es su velocidad máxima?¿Cuál es la intensidad del movimiento?

Necesitamos conocer k para determinar la energía total que es ² 2 1kA

E_T = . Como m

T N k m k

T m 29.6

4 3 4

2 = 4 ²₂ = ²× =

= π π π . Sustituyendo:

( )

^J

kA

E_T ² 29.6 0.04 ² 2.37 10 ² 2

1 2

1 = × × = × −

= .

La velocidad máxima se obtiene cuando toda la energía se convierte en cinética, es

decir, m seg

m v E

mv E

E_T _C ^T 0.126

3 10 37 . 2 2 2

2

1 2 = = × × ² =

=

= ⁻

La intensidad del movimiento es ^I ^kA² ²⁹^.⁶

(

⁰^.⁰⁴

)

² ¹^.¹⁹ ¹⁰ ² ^J

4 1 4

1 = × × = × −

= .

1.2.2. PÉNDULO MATEMÁTICO.

Llamando l

k = mg, F =−kx, que coincide con la fuerza de recuperación del movimiento armónico simple. El periodo de oscilación lo podemos calcular a partir de

g T l

l w g l g m

w² = k = = =2π ,

Un péndulo matemático es un punto material que oscila suspendido en un hilo inextensible y sin peso.

Si el punto tiene de masa m, la fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso mg (figura izquierda).

Desplacemos el péndulo de su posición de equilibrio un pequeño ángulo θ. La fuerza que actúa sobre el cuerpo se puede descomponer en la dirección de la cuerda y en la dirección perpendicular. En la dirección de la cuerda, la fuerza queda anulada por la tensión de la cuerda. La otra componente no se anula y produce el movimiento oscilatorio. Esta componente es:

( )

^mg _l^x ^mg_l ^x

sen mg

F =− θ =− =−

El signo negativo se ha introducido para indicar que la fuerza se opone a la separación del péndulo de su posición de equilibrio.

θ

mg l

x

(19)

Oscilador Armónico

9

1.3. COMPOSICIÓN DE M.A.S.

1.3.1. COMPOSICIÓN DE M.A.S. DE MISMA DIRECCIÓN Y FRECUENCIA.

Sean dos movimientos armónicos simples de la misma dirección y frecuencia actuando sobre el mismo cuerpo. Queremos conocer el movimiento resultante. Vamos a ver que es otro movimiento armónico simple.

Sean x1 = A1sen

(

wt+ϕ1

)

y x2 = A2sen

(

wt+ϕ2

)

los dos movimientos que actúan sobre el cuerpo. Apliquemos la relación trigonométrica

senB A B

senA B

A

sen( + )= cos +cos y operemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

2

)

2

( ) ( )

2 2

( ) ( )

2 2

2

1 1

1

cos cos

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

sen wt A

wt sen A wt

sen A x

sen wt A

wt sen A wt

sen A x

+

= +

=

+

= +

=

⁽¹⁾

2

1 x sen wt A ϕ A ϕ wt Asenϕ A senϕ

x

x= + = + + +

Llamemos

( ) ( ) ( )

(3) ) 2 ( cos

cos cos

2 2 1 1

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

sen A sen

A Asen

A A

A

+

=

+

= .

Dividiendo (3) entre (2):

( ) ( ) ( )

( )

1 2

( )

2 1

2 2 1 1

cos tan cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

A A

sen A sen

A

+

= + (1.10)

Elevando al cuadrado (2) y (3) y sumándolas:

( ) ( ) ( ) ( )

[

⁺

]

+ +

= ₁² ₂² ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁

2 A A 2AA cosϕ cosϕ senϕ senϕ

A

(

1 2

)

2 1 2 2 2 1

2 = A + A +2A A cosϕ −ϕ

A (1.11)

Introduciendo (2) y (3) en (1):

( ) ( )

Oscilador Armónico

11

diferencia de fase. Como A= A₁ = A₂ A² =2A² +2A²cosϕ

−

= 1 2

cosϕ ϕ =2π 3rad. Cada uno de los movimientos se puede expresar como x1 = Asenwt^,x2 = Asen

(

wt+²π ³

)

, y el movimiento resultante es

(

+α

)

= Asen wt

x , siendo

( )

⁼ ₊ ⁼ ³

tan cos

ϕ α ϕ

A A

Asen α =π 3. En

consecuencia, el movimiento resultante es x= Asen

(

wt+π ³

)

1.3.2. COMPOSICIÓN DE M.A.S. DE MISMA DIRECCIÓN, MISMA AMPLITUD Y FRECUENCIAS PRÓXIMAS.

Sean los movimientos ^x1 = ^Asen

( )

^w1^t y ^x2 = ^Asen

( )

^w2^t , donde vamos a suponer que están en fase para mayor sencillez. Aplicando la relación trigonométrica

cos 2 2senB2C B C senC

senB+ = + − , tendremos:

+

= − +

= x x A w w t sen w w t

x ₁ ₂ 2 cos ¹ 2 ² ¹ 2 ² (1.13)

El resultado es como dos movimientos perceptibles representados en la siguiente figura, uno de frecuencia alta que corresponde al seno (muchas ondas), y otro de frecuencia baja que corresponde al coseno (pocas ondas), como si los de frecuencia alta estuviesen dentro de (modulados por) los de frecuencia baja.

(22)

Suponiendo un muelle sometido a los dos movimientos, el resultado sería una oscilación rápida de frecuencia

(

w1+w2

)

², con amplitud variable oscilando con frecuencia

(

w1−w2

)

². A la frecuencia menor (periodo mayor) se le denomina frecuencia de pulsación.

Ejercicio 1.5. Determinar la ecuación de la vibración que resulta de estar sometida una partícula a los movimientos vibratorios armónicos de ecuaciones:

t

x₁ =0.5cos10π y x₂ =0.5cos12πt, escritas en el sistema CGS y teniendo ambas la misma dirección de vibración. Calcúlese el periodo de pulsación.

El movimiento resultante es x= x₁+x₂ =0.5

(

cos10πt+cos12πt

)

. Aplicando la conocida relación trigonométrica

cos 2 cos 2

2 cos

cos A B A B

B

A+ = + − ,

tendremos, x=0.5⋅2⋅cos

(

11πt

) (

cos −πt

)

=cos

( ) (

πt cos11πt

)

.

La frecuencia de pulsación es w=π =2π T, siendo T el periodo de pulsación, que será T =2seg.

1.3.3. COMPOSICIÓN DE M.A.S. DE DIRECCIONES PERPENDICULARES, MISMA FRECUENCIA.

Sean ^x= ^A1^sen

( )

^wt e y = A₂sen

(

wt+ϕ

)

dos movimientos perpendiculares de diferentes amplitudes desfasados ϕ radianes. Operando:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(

^ϕ ^ϕ

)

^ϕ ^ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

2 2

2 1 2 2 2

2 12 2

2 12 2 2 2

12 2 2

1 2 12 2 22 2

12 2 1

2

2 1

2 2

2 1 2 1

2 cos cos

1 2 cos

cos 1 cos

1 cos

cos cos

1 cos

A sen A

xy A

sen y A x

A sen sen x

A sen x A

A xy A

x A

y

A sen x A

x A

y

A sen x A

x A

y

sen wt wt

sen wt

A sen y

A wt x

wt A sen

x

=

− + +

−

=

−

=

− +

−

=

−

− +

=

+

= +

=

−

=

ϕ

ϕ ²

2 2 1

2 2 12 2

2 cos A sen A

xy A

y A

x + − = (1.14)

(23)

Oscilador Armónico

13

La ecuación (1.14) es una elipse. En la figura de la página siguiente se ha representado el movimiento, para A₂ =2A₁ y diferentes valores de ϕ. En el caso de

=0

ϕ , (1.14) se puede poner como:

0 0

2 0

2 1 2

2 1 2 2 12

2 + − = − = − =

A y A

x A

y A

x A

A xy A

y A

x , que es la ecuación de una

recta.

=0

ϕ ϕ =π 4

π 2

ϕ = ϕ =3π 4

Resultante de dos MAS perpendiculares igual frecuencia desfasados ϕ

(24)

1.3.4. COMPOSICIÓN DE M.A.S. DE DIRECCIONES PERPENDICULARES, FRECUENCIAS DIFERENTES.

Supongamos un cuerpo sometido a dos MAS perpendiculares cuyos periodos están en la relación

2 1 2 1

K K

TT = , siendo K₁ y K₂ tales que su máximo común divisor es la unidad. Al ser T₁K₂ =T₂K₁ =T, cuando por el primer movimiento el cuerpo haya realizado K₂ vibraciones enteras, por el segundo habrá realizado K₁, volviendo por tanto al punto de partida para describir de nuevo su trayectoria en el tiempo T . A las trayectorias obtenidas se les denomina curvas de Lissajous.

2

2 1

1 K =

K K₁ K₂ =3 4

Curvas de Lissajous

En la figura anterior se han representado dos de esas figuras. Son muy fáciles de obtener. En Matlab se pueden obtener tecleando:

[ ]

( ) ( ) ( )

^x ^y

plot t k y

t k x

pi t

k de valor k

,

; sin

;

* 2 : 01 . 0 : 0

;

2 1

2 2

1 1

=