Desigualdades o Inecuaciones Desigualdades lineales en una variable
Una desigualdad, es una oración que incluye un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: <, >, ≤, ≥. (Estos se leen: menor que, mayor que, menor o igual que, mayor o igual que, respectivamente).
Una desigualdad es un enunciado que declara que dos cantidades o expresiones NO son equivalentes. Por ejemplo
2x + 3 > 11
La desigualdad anterior implica que la expresión del lado izquierdo tiene un valor mayor que 11.
Una desigualdad en una variable se puede “cumplir o no” dependiendo del valor que se asigna a la variable.
Si se obtiene un enunciado cierto al reemplazar un número b por la x, entonces b es una solución de la desigualdad.
Por ejemplo,
x = 5 es una solución de 2x + 3 > 11 ya que 13 > 11 si cierto, pero…
x = 3 no es una solución ya que 9 > 11 es falso.
Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS sus soluciones.
Ejemplo: ¿Es solución?
¿Pertenece 5 al conjunto solución de 2x – 5 < 3x + 6?
2(5) – 5 < 3(5) + 6 10 – 5 < 15 + 6 5 < 21
cierto.
Por esto decimos que 5 pertenece al conjunto solución de la desigualdad.
Práctica: Diga si los valores a la derecha pertenecen al conjunto solución de la desigualdad.
a) 3(4x – 5) + 7 < 4x – 5(x – 4) ; -2 b) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4 c) 2x−5
3 ≤ 4x+1
2 ; 7 d) 2x
5 +4
3 ≥ 5
2−3x
5 ; -1 e) -2(4x + 3) – 5x < 3x – 6 ; 2
Una desigualdad puede tener una infinidad de soluciones.
Por ejemplo, el conjunto de TODAS las soluciones de la desigualdad 2 < x < 5 consiste de todos los números reales entre 2 y 5, sin incluir ni el 2 ni el 5.
Llamamos a este conjunto de soluciones un intervalo abierto y lo denotamos (2, 5).
La gráfica del intervalo abierto (2, 5) es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica que yacen entre x = 2 y x = 5, sin incluirlos extremos.
Ilustramos:
Intervalos
Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ x ≤ 5. SI incluyen x = 2 and x = 5 y se denota [2, 5], un intervalo cerrado.
Aquí se muestra la gráfica de este intervalo cerrado:
Tipos de Intervalos
La tabla muestra otros tipos de desigualdades, que consideraremos:
Intervalos que envuelven infinito Cuando el extremo del intervalo no tiene fin, es decir, que se extiende infinitamente, se usan los símbolos ∞ y -∞. En esos casos siempre se usan paréntesis al describir el intervalo.
Propiedades de Desigualdades
Nota que multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número real negativo invierte la desigualdad.
Las desigualdades lineales al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos de desigualdades.
Las desigualdades lineales son las que son de grado 1, también llamadas de primer grado o de primer orden.
Desigualdad lineal x > -1
2x + 3 < 11 7(x + 3) ≤ 5x + 5
Desigualdad No lineal x2 > -1
x2 – 3x + 5 ≤ -1 2(x3 – 4x) ≤ 0
Ejemplo 1:
Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10 Solución:
X + 5 > 10
x + 5 – 5 > 10 – 5 x > 5
El conjunto solución se puede describir: (5, ∞).
Este es el conjunto de todos los valores mayores que 5. Para representar el conjunto en forma gráfica.
Ejemplo 2:
Resuelva la desigualdad: 3 – x > 4 Solución:
3 – x > 4 3 – x – 3 > 4 – 3 restando 3 a ambos lados
-x > 1 (-1)(-x) < (-1)(1) multiplicamos por -1 a ambos lados x < -1 cambiamos el sentido de la desigualdad El conjunto solución se puede describir: (-∞,-1)
Ejemplo 3:
Resuelva la desigualdad: 3 – x > 4
Solución (continuación): Comprobemos.
Tomemos un valor menor que -1, como por ejemplo -2.
Sustituyendo 3 – (-2) > 4 3 + 2 > 4 Cierto.
Tomemos un valor mayor que -1, como por ejemplo 0.
Sustituyendo 3 – (0) > 4 3 > 4 Falso.
Ejemplo 4:
Resuelve la desigualdad:
Solución:
En notación de intervalo:
La gráfica es:
Ejemplo 5:
Resuelve la desigualdad: 4 + 7x ≥ 2x – 1 Solución:
4 + 7x ≥ 2x – 1 4 + 7x ≥ 2x – 1
4 – 4 + 7x ≥ 2x – 1 – 4 7x ≥ 2x – 5
7x – 2x ≥ 2x – 2x – 5 5x ≥ – 5
x ≥ 1
El conjunto solución se puede describir: [-1,∞)
Ejemplo 6:
Resuelve la desigualdad: 2(x + 3) – 6 ≥ 4(x – 2) Solución:
2(x + 3) – 6 ≥ 4(x – 2) 2x + 6 – 6 ≥ 4x –8 2x ≥ 4x – 8
2x – 4x ≥ 4x - 4x – 8 -2x ≥ -8
-2x/-2 ≥ -8/-2 x≥ 4
El conjunto solución se puede describir: (-∞, 4]
Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Represente el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente.
Ejercicios:
a) 2(5 – 4x) < 5x + 3 b) 4x + 6(2 – x) > 4x – 5 c) 7x – 8 > 2 – 3x
d) 6x
5 ≤ 2 – x
10 e) x
3 ≥ 4 + x
4 f) 5x ≥ 2 – 3x
Desigualdades dobles
En ocasiones tenemos desigualdades dobles como la siguiente: 2 < x + 1 < 5
En palabras esto representa que x + 1 está entre 2 y 5, porque es mayor que 2 pero menor que 5.
Queremos despejar la desigualdad de manera que la variable esté sola.
En estos casos, todo lo que hagamos en el centro, tenemos que hacerlo al lado izquierdo y al lado derecho.
Ejemplo 1:
Hallar el conjunto solución de: 2 ≤ x + 1 ≤ 5
2 – 1 ≤ x + 1 – 1 ≤ 5 – 1 Restando 1 en todos los lados.
1 ≤ x ≤ 4
En notación de intervalo: 1 ≤ x ≤ 4
El conjunto solución en notación de intervalo: [1, 4]
Ejemplo 2:
Hallar el conjunto solución de: 4 < 2x + 3 ≤ 8
4 – 3 < 2x + 3 – 3 ≤ 8 – 3 Restamos 3 en todos los lados 1 < 2x ≤ 5 12 < x ≤ 52 Dividimos entre 2 en todos lados El conjunto solución es: 12 < x ≤ 52
En notación de intervalo: (12,52]
Ejemplo 3:
Hallar el conjunto solución de: 5 ≤ 12x – 3 ≤ 7 Solución:
5 ≤ 12x – 3 ≤ 7 Sumar 3 en todos los lados 5 + 3 ≤ 12 x – 3 + 3 ≤ 7 + 3
8 ≤ 12 x ≤ 10
2(8) ≤ (2)12 x ≤ 2(10) Multiplicar por 2 en todos los lados 16 ≤ x ≤ 20
El conjunto solución es: 16 ≤ x ≤ 20 En notación de intervalo: [16, 20]
Ejemplo 4:
Hallar el conjunto solución de: x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x Solución:
x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x Restar x en todos los lados x – x – 3 < 5 – 3x – x ≤ 7 + x – x
-3 < 5 – 4x ≤ 7 Restar 5 en todos los lados -3 – 5 < 5 – 5 – 4x ≤ 7 – 5
-8 < – 4x ≤ 2 −8−4 < −4−4x ≤ 2−4 2 > x ≥ -0.5
El conjunto solución es: -0.5 ≤ x < 2 En notación de intervalo: [-0.5, 2)
Resuelva las siguientes desigualdades dobles. Escriba el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente.
Ejercicios:
a) -3 < 7x + 4 ≤ 18 b) 6 < 4 – x < 10 c) -2 < 5 – 2x < 5
