ACTIVIDAD ACADEMICA: CÁLCULO DIFERENCIAL DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD Nº 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES
Competencias
Utilizar técnicas de aproximación en procesos numéricos infinitos
Usar las propiedades de los números reales en el cálculo de límites y en la determinación de la continuidad de funciones
Expresar con claridad los conceptos de límites y continuidad
Aplicar las propiedades y conocimientos algebraicos para calcular límites de funciones
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
1.1 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
En el lenguaje informal cuando se menciona la palabra límite, esta se refiere a un valor al cual nunca se debe llegar. En matemáticas, la palabra límite se usa en el contexto de las funciones.
Así, el límite de una función y = f(x) en un punto x=a es el valor real al que tiende la función en puntos muy cercanos a un valor a
1. Considérese la función lineal f(x) = 2x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 1?
Solución:
Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 1, hay que ver los valores que toma la función f(x) en puntos muy próximos a 1.
Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:
x 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 1,5 f(x) 2 2,6 2,8 2,98 2,998 2,9998 3 3,0002 3,002 3,02 3,2 4
Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 1, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 3. Cuanto mayor es la proximidad de x a 1, mayor es la proximidad de f(x) a 3.
Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2x + 1 es 7, y se escribe
2 1 3
3
x
xlim
2. Considérese la función
2 x
4 f(x) x2
, analice el valor de la función para valores cercanos a 2
Solución Se elabora una tabla de valores:
x 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 f(x) 3,5 3,8 3,9 3,99 3,999 3,9999 4,0001 4,001 4,01 4,1 4,5
Se observa que para valores cercanos a 2 por izquierda y por derecha f(x) se aproxima a 4; pero no está definida para x = 4. A pesar de esto el límite es 4.
Luego 4
2
x 2 4 lim x2
x
3. Considérese la función
3 1
) x x (
f , en valores cercanos a 3
Solución Se construye la tabla de valores:
x 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,9999 3 3,0001 3,001 3,01 3,1 3,5 f(x) -2 -5 -10 -100 -1000 -10000 10000 1000 100 10 2
Se observa que en la medida en que x toma valores cercanos a 3 por izquierda y por derecha, f(x), no se aproxima a ningún valor específico, es decir este límite es indeterminado
Luego
3 1
3 x limx
1.2 DEFINICION DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
2. EVALUACION DIRECTA DE LÍMITES
Evaluar directamente un límite es encontrar el valor que toma f(x) cuando se reemplaza el valor de x por un valor a.
Ejemplo 1: Calcular directamente
2 3 1
2
x x
xlim
Solución
Se reemplaza el valor de x por 2 y se resuelve la operación planteada
2 3 1
2 2 3 2 1 4 6 1 12
x x ( ) ( )
xlim
2 3 1
12
x x
xlim
Ejemplo 2: Calcular directamente
4 2
5 3 2
1 x
x lim x
x
Solución Se reemplaza directamente el valor de x por -1:
6 8 2 4
5 1 3 2 1 4
1 5 1 3 2 4
5
3 2 2
1
) ( )
(
) ( ) ( x
x lim x
x , simplificando
3 4 2
4 5 3 2
1
x
x lim x
x
Ejemplo 3: calcular
2
2 4
2 x
lim x
x
Solución Al evaluar directamente:
0
0 0
4 4 2 2
4 2 2
4 2
2 2
) ( x
lim x
x , se obtiene una indeterminación
Cuando se presentan estos casos es necesario observar si el numerador o denominador o ambos son factorizables, con el fin de eliminar los términos que produzcan la indeterminación.
Factorizo el numerador: x2 4 (x2)(x2) (diferencia de cuadrados) Se dice que una función f(x) converge, en el punto x = a, hacia el valor L, o que su límite en a es L, cuando para valores cercanos al valor a, los valores de f(x) se aproximan a L.
Se denota por: lim f(x) L
a
x
Se lee “el limite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L”.
El denominador no es factorizable. Ahora el límite se transforma
2
2 2
2 4
2 2
2 x
) x )(
x lim ( x
lim x
x
x , se elimina el factor (x+2) y quedaría
) x ( x lim
lim x
x
x 2
2 4
2 2
2
, al evaluar directamente
4 2 2 2
2 4
2
x
lim x
x
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº 1 Evalúa directamente los siguientes límites
1.
3 2 2 5
1
x x
xlim 2.
5 6
12 2
2 2
0 x x
x lim x
x 3.
2
1 4 2
4
3 x
x lim x
x
4.
3 1
1 2 5 2
2 2 3
1 x x
x x lim x
x 5.
2
12
2 4
2 x
x lim x
x 6.
2
2 5 2 2
2 x
x lim x
x
7.
4 4
2 3
2 2
2 x x
x lim x
x 8.
2
3 8
2 x
lim x
x 9.
1
1 3 3 2
3
1 x
x x lim x
x
10.
1
1
1 x2
lim x
x 11.
3
3 27
3 x
lim x
x 12.
5
4 625
5 x
lim x
x
3. LÍMITES LATERALES
El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x tiende al valor a, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a a y menores que a. Se escribe lim f(x)
a
x
El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x tiende al valor a, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a a y mayores que a. Se escribe lim f(x)
a
x
RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función y = f(x) en un punto a, existe si y solo si existen los Límites laterales y coinciden:
L ) x ( f lim ) x ( f lim L
) x ( f
lima x a x a
x
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.
4. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
1. LIMITE DE UNA CONSTANTE: Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces para todo valor de x se cumple que lim f(x) c
a
x
Ejemplo: 8 8
3
xlim , es evidente que como no hay variable no se puede remplazar nada
2. LIMITE DE UNA FUNCION LINEAL: Si f(x) = mx+b, donde m y b son constantes, entonces b
a . m b mx lima
x
Ejemplo: Calcular 2 3 2 4 3 8 3 11
4
( x ) ( )
xlim
3. LIMITE DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: El límite de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de los límites de las funciones.
Simbólicamente: si f(x) y g(x) son funciones tales que Lim f(x) y Lim g(x), existen, entonces:
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
a x a
x a
x
Ejemplo: Calcular xlim
5x3 4x
2
Solución
Se observa que se trata de limite de una suma, aplicando dicha propiedad se tiene
5 4
5 4 5 2 3 4 2 5 8 8 40 8 482 3
2 3
2
x x lim x lim x ( ) ( ) ( )
lim x x
x
4. LIMITE DE UN PRODUCTO: El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f(x) y g(x) son funciones tales que
) x ( g lim y ) x ( f
lima x a
x existen, entonces:
limf(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
a x a
x a
x
Ejemplo: calcular xlim
5x3) (4x
1
Solución
5 4
5
5 1 3 41 5 4 201 3
1 3
1
x ) ( x lim x limx ( ) )
lim x x
x
5. LIMITE DE UN COCIENTE: El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f(x) y g(x) son funciones tales que
) x ( g lim y ) x ( f
lima x a
x existen, entonces:
Ejemplo: Calcular
1 2
7 x lim x
x
Solución
1 7 7 1
1 7 7
7
2 2
1 1 1 2
( )
) ( x lim
x lim x
lim x
x x x
,
) x ( g lim
) x ( f lim )
x ( g
) x ( lim f
a x
a x a
x
Con 0
g(x) lima x
6. LIMITE DE UN RADICAL: El límite del radical de una función es igual a la raíz del límite de ella.
Simbólicamente: si f(x) es una función y lim f(x)
a
x existe, entonces:
n
a x n
a
xlim f(x) lim f(x)
Ejemplo: Calcular 5 1
2
x
xlim
Solución 3 9 1 10 1 2 5 1 5 1
5
2 2
x lim( x ) ( )
lim x
x
7. LIMITE DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION: El límite de la potencia de una función es igual a la
potencia de su límite k
a x k a
xlimf(x) lim f(x)
Ejemplo: calcula 2
1 3 2
x
xlim
Solución
3 2 3 2 2 3 1 22 3 22 52 25
1 2
1
x lim( x ) ( )
lim x
x
8. LIMITE DE UNA FUNCION CUYO EXPONENTE ES OTRA FUNCIÓN: El límite de una función de este tipo se calcula aplicando el límite a cada función limg(x)
a x ) x ( g a
x
a
) x
x ( f lim )
x ( f
lim
Ejemplo: calcular
5 2 3
2 20
x x
xlim
Solución
5 3
2 2 5 2 3 0
5 0 2 3
2 0 2 0 30 2 32 90 2
0
2
2
( )
xim x
x l ( )
x ( x lim
x
lim ( x )
9. LIMITE DE UN LOGARITMO: El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite. Simbólicamente:
log f(x) log lim f(x)
lima a a x a
x , si a > 0 y f(x)> 0
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N° 2 Calcular los siguientes límites utilizando las propiedades
1.
3 2 2 5
1
x x
xlim 2.
5 6
12 2
2 2
0 x x
x lim x
x 3. xlim2x 1
x2 3x
1
4.
5 3 2 1
2
x x
xlim 5.
2
33
2 3
x x
xlim 6.
3
2 11
2
3
x
xlimx x
7.
3 2
2 2x 4x 5
xlim 8.
x x xlim e 2
0
2 9. 2
1
3
x xlim
10.
x
x lim x
x 3
3 2
1
11.
3
2
x
xlim 12.
1
5 4
4 x
lim x
x
5. LIMITES AL INFINITO
En la teoría de límites es importante conocer como se comportan algunas funciones, cuando la variable toma valores cada vez mayores. Por ejemplo analicemos la función
) x x (
f 1, construyamos la tabla:
x 1 2 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 1000000000 f(x) 1 0,5 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,00000001
En la medida en que x toma valores cada vez mayores, f(x) se aproxima a cero, con lo anterior se puede deducir que: 1 0
x
xlim de igual forma 1 0
a
xlim x , si a> 0
EVALUACION DE LÍMITES AL INFINITO
En este caso se tienen en cuenta funciones racionales Ejemplo 1: calcular
x x x
x lim x
x 3 2
3
4 1 2 5
Solución Al evaluar directamente
3 2
3 2
3 3
4
1 2
5 4
1 2 5
) ( ) (
) ( ) ( x x x
x lim x
x se obtiene una indeterminación.
Para evitar esto se divide tanto al numerador como al denominador por la variable de mayor exponente, en este caso por x3.
2 3 2
2 3 2
3 3
2 3 3
3 3 3
3
2 3
3
1 1 4
1 5 2
1 1 4
1 5 2
4
1 2 5
4 1 2 5
x x lim
x lim x
x x x lim x
x x x
x x x
x x
x x
x x lim
x x
x lim x
x x x
x x
1 5 5 0 0 1
0 0 5 1 1 4
1 5 2
4 1 2 5
2 3 2
2 3
3
lim x lim x
lim
lim x lim x
lim
x x x
x lim x
x x
x
x x
x x
Ejemplo 2: Calcular
x x lim x
x
7 3 5 2
Solución
Si se evalúa directamente se obtiene una indeterminación, para evitar esto se factoriza dentro del radical con el fin de eliminar la x del denominador.
x ) ( x
x x
x 2
2
2 3 7
5 7
3
5 (Se saca factor común x2 y luego se divide entre este),luego:
5 0 0 7 5
5 3 7
5 3 7
3 5
7 5 3
7 5 3
7 3 5
2 2
2
2 2
2 2
lim x lim x
lim x )
( x x lim
x lim x
x x ) ( x
x x lim
x ) ( x
x x lim
x lim x
x x
x x
x
x x
x eliminandolax
6. LIMITES TRIGONOMETRICOS a. Limites de la forma
x lim senx
x0
Recuérdese que por ser funciones trigonométricas, x representa un ángulo por lo general medido en radianes, al evaluar esta función
x ) senx x (
f
x -0,4 -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,3 f(x) 0,97 0,99 0,998 0,999 0,9999 1 0,9999 0,999 0,99 0,9 0,985
Se observa que en la medida en que x se aproxima a 0, f(x) se aproxima a 1, Luego 1
0
x lim senx
x b. Limites de la forma
x x lim cos
x
1
0
Al darle valores a x cercanos a cero, se observa que f(x) se aproxima a cero, luego 1 0
0
x
x lim cos
x 7. LIMITES EXPONENCIALES
Algunos de los límites exponenciales más utilizados son:
1. e
lim x x
x
1 1
