MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES

  Matrices Matrices

1.

Definición

.- Una matriz real es un conjunto de números reales arreglados en filas y columnas en forma de rectángulo.

Ejemplos:

A =





 



   53 49

; B )





 







  4/3

1 3 7/5

2

; C =

 

 







 

 







 5 9

2 6

; D )

   41 7 2 3 4   

2.

Notación

.-

columnas

M =

 





 









 52

41 01

32 51 4 2

filas

Fila I (i = 3) Columna j (j = 2)

Fila 1 : 3, -2, 0, 2, 1 Fila 3 : -1, 4, -5, 3, 4 Columna 1 : 3, 2, -1, 5 Columna 3 : 0, -2, -5, 3

N =

 







 









   

24 3 1

5 1 4 3 12 35 5 4

2 3 2 0 12

El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por :

4 = n

32

n34 = 3 n25 = ___

n12 = ___ n11 = ___

n43 = ___ n44 = ___

“El elemento de la fila i, columna j, se representa por nij”

Una matriz en general, se escribe:

A =

 





 





34a 33a 32a

31a 22a 23a 24a

21a 12a 13a 14a

11a

=

 

a_{ij 3x4}

Nota Nota

a. Sin una matriz tiene “m” filas y “n” columnas se dice que es una matriz de orden m x n.

En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4.

b. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es “n”.

Número de columnas Número de filas

Letra de la matriz (minúscula)

Ejemplo: M =





 



  

12 43

es una matriz cuadrada de orden 2.

c. Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, está formada por los elementos aij. Diag(M) = {2; -4}

d. Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Traza(M)

= 2 + (-4) = -2

3.

Matrices Iguales

.- Dos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir : aij = bij, para todo i, j.

Ejemplos:

A.





 



  

75

4 31

2

₌

 

 



  

75

4 31

2

B. Para que:

 

 





 1 y

x2

=





 



  b3 2a

se debe verificar que : a = 2 , x = -2 , y = 3 , b = -1.

4.

Matrices Especiales

.-

a.

Matriz Nula

.- Todos sus elementos son ceros. Se denota por O.

Ejemplo: O2 =



 

  00 00

b.

Matriz Diagonal

.- Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros.

Ejemplo: A =

 





 





 4 00 10 03 0 0

c.

Matriz Escalar

.- Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo: M =

 







 







40

00 04

00 00

40 00

04

d.

Matriz Identidad

.- Es la matriz escalar en la que sus elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Ejemplo: I =

 





 



 10

0 01

0 00

1

e.

Matriz Traspuesta

.- Se obtiene permutando las filas por las columnas.

Ejemplo: Si A =





 



 1 4 65 32

_{ A}t =

 





 



 63 52 4 1

5.

Suma de Matrices

.- Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A + B es la matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos de la misma fila y columna de A y B.

Ejemplo:





 



  

45

4 21

3

₊

 

 



   

12

5 14

3

₌





 



   

5

71 13

6

6.

Resta de Matrices

.- Se procede de la misma forma que la suma.

Ejemplo:





 



   

24

3 21

4

_-





 



   

23

8 53

2

₌





 



  

07

11 32

2

7.

Multiplicación por un Escalar

.- Se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.

Ejemplo: 3





 



  34 12

₌

 

 



  912 36

8.

Producto de Matrices m x r por r x n

.- Para efectuar esta operación se debe cumplir que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Ejemplos:

a.



1 2 1



_.

 





 





 3 4 1

= 1 . 3 + 2 . 4 + (-1) (-1) = 12

b. Sea : A =





 



 2 4  21 13

_{; B =}

 





 







 3 4 2 6 5 1

A . B =





 



          

)1(2 6)1(

5.4 )2(

23 )1(

4.4 3.3 )2(1 5.2 6.3 )1(1

4.2

=





 



 129 2715

  Determinantes Determinantes



Determinante de Segundo Orden

.- Si : A =





 



 dc ba

 A =

dc ba

_{= ad - bc}

Determinante de A

Ejemplo:

42 5

3 

= 3 . 4 – (2) (-5) = 12 + 10 = 22

0x 2x1

= x . x² – 1 . 0 = x³



Determinante de Tercer Orden

.- Si : A =

 





 



 ih

g fe

d a cb

para calcular

su determinante se procede de la siguiente manera :

1º Se escriben las dos primeras filas debajo de la tercera :

a b c d e f g h i

a b c d e f

2º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la diagonal principal y las paralelas, luego se suman dichos productos :

a b c d e f

g h i = (aei + dhe + gbf) a b c

d e f

3º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la otra diagonal y sus palabras, para luego sumar dichos productos :

a b c d e f

 = g h i = (ceg + afh + bdi) a b c

d e f

4º Se calcula la diferencia de los números obtenidos en los pasos (2º) y (3º):

A = (aei + dhc + gbf) – (ceg + afh + bdi)

Ejemplo: Si A =

 





 



  

2 4 3 2 2 41 31

, calcular A

2 1 3 -2 -1 4

3 4 2 = (-4 – 24 + 12) = -16

2 1 3 -2 -1 4

2 1 3 -2 -1 4

3 4 2 = (-9 + 32 - 4)

= 19

2 1 3 -2 -1 4

Restando obtenemos:  = -16 – 19 = -35

1. Escribir explícitamente la matriz “A”.

A = (aij)3x2 / aij = i + 2j

a)

 





 



 7 5 4 53 6

b)

 





 



 9 5 4 7 8 3

c)

 





 



 9

7 8

6 7

5

d)

 





 



 41 0

0 2

4

e) N.A.

2. Si :

 

 



 

 yx yx wz wz2

=

 

 

41 53

. Halle :

“(x + 2y) – (z + w)”

a) 4 b) –3 c) 2

d) 3 e) -2

3. Dado : A =

 





 





  2 5 1 31 2

; B =

 





 





  3

1 1

1 2 2

.

Calcular : “2A - 3B”

a)

 





 



 

57 9 5 24

b)

 





 



    5 7 5 4 9 2

c)

 





 



  57 95 24

d)

 





 



 2 0 4 2 11

e)

 





 



 

9

5 2

4 1 2

4. Determinar P(A) si : A =

 

 

 01 12

_además

: P(x) = 2x + 31. Dar la suma de elementos de P(A).

a) 10 b) 5 c)

12

d) 14 e) 120

5. Si : A =

 

 

21 32

; B =

 

   21

4 1 32

_.

Hallar “AB”

a)

 

   70

9 121

14

d)

 

  20

2 4 20

b)

 

 

23

4 30

12

e)

 

  10

1 00

1

c)

 

 

 41

2 4 10

6. Dada la matriz : A =

 

 

23 32

. Calcular “A² – 4A”

a)

 

 

15 30

_b)

 

 

30 05

c)

 

 

05 10

d)

 

 

50 15

_e)

 

 

50 05

7. Si : A² = B² =

 

 

01 10

_{; AB =}

 

   21 10

_;

BA =

 

 

 01 12

. Hallar : (A + B)² a)

 

 

40 04

_b)

 

 

80 08

_c)

 

  01 10

d)

 

 

02 20

_e)

 

  70 41

8. Si : A =

 

 

43 21

_{; B =}

 

 

53 95

, hallar la matriz “X” que resuelve la ecuación : AX

= B. Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Dadas las matrices : A =

 

 

37 25

_{; B =}

43 21

_{; C =}

58 23

. Entonces se cumple que :

a) A < B < C d)

B < A < C

b) A < C < B e)

C < B < A

c) B < C < A

10.Indicar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones :

I.

ab 2b

2a ab

_{= 2a}2b²

II.

n n n1 1n

 

= -1

III.

ba ba ba ba



 



= 4ab

a) VVV b) VVF c)

FVV

d) FVF e) VFV

11.Si : (1 + x) (1 - x) = y². Calcular :

E =

x  xy y

+

xy  y  x 1

a) 0 b) –1 c) 1

d) 2 e) -2

12.Si : A =

1255 164 Log

Log 322 Log 273

Log

.

Calcular : A

a) 15 b) 13 c) 8

d) 7 e) 9

13.Dada la matriz : H =

1

x 2x  3

^{, si H =}

4. Hallar H²

a)

13 68 51 268  

d)

13

60 51

244  

11

68 45

244  

e)

11 68 45 268  

c)

13 68 45 268  

14.Si “x” satisface la ecuación :

x +

30 3 2 

_{= 2}

02 41



. Calcular el

valor de : E = Traza (x) +

x

a) –39 b) 32 c) –

7

d) 25 e) 30

15.Dadas las matrices: A =

34

1 23

5 31

2

; B =

24

3 35

2 12

3

Calcular el valor de : E = 2A + 3B

a) 71 b) 36 c)

72

d) 17 e) 24

1. Dada la matriz : A =

 





 





  



50

3 42

0 2 3 1

,

calcular el valor de : E = a12 + ^a₂₂² + a33

a) 12 b) 16 c) 4

d) –4 e) -1

2. Si : A =

 

 

  31 14

x2

_{, B =}

 

 



 3 2 y6y 1z

_y

A = B. Calcular el valor de : E = 4x + 2y - z

a) 6 b) 8 c)

13

d) 9 e) 5

3. Si : A =

 

 

 52 41

_{; B =}

 

 

 12 23

_{y C =}

2A + 3B Hallar traza (C)

a) 18 b) 20 c)

22

d) 24 e) 26

4. Dada la matriz: A =

 





 





  

4 21 32 13 1 2

y el

polinomio P(x) = 5x – 2. Hallar la suma de los elementos de P(A).

a) –69 b) 20 c)

69

d) –20 e) 49

5. Dadas las matrices: A =

 

 

  2y

3 x2 y1

_;

B =

 

 

 

 1x y5 2 x2

_{; C =}

 

 

 

52 14

_{, si : A =}

B. Calcular : A + C

a)

 

   25 27

_b)

 

 

 22 57

_c)

 

 

24 27

d)

 

 

19 35

_e)

 

  93 15

6. Dadas las matrices:

A =



1 0 2 4



; B =

 







 







 1 3 7 5

.

Hallar “AB”

a) 19 b) –37 c) –

19

d) 37 e) -25

7. Resolver la ecuación:

 





 





 

 

5 6 1a 1

2a

^{= [0]}

a) S = {-2, 3} d) S = {-2}

b) S = {2, -3} e) S = {-3}

c) S = {-2, -3}

 

 

 23 11

_B2 =

 

 

 

63 63

_{; AB =}

 

   42 84

_;

BA =

 

  01 00

a)

 

   10

11 1

5

_b)

 

 

  1

11 5 6

_c)

 

 

  1

11 12

10

d)

 

 

 

111 6

5

_e)

 

 

 

11

1 12

10

9. Si: A =

 

 

12 20

. Calcular A⁴

a) 32 b) 64 c)

128

d) 256 e) 300

10.Si: A =

 

 

31 24

. Calcular: E = 2A + 3A^t

a) 354 b) 48 c)

306

d) –256 e) –306

11.Si la matriz X satisface la ecuación:

X + 2

1

3 2

1  

=

 3 2  4 1

. Hallar X

a) –24 b) –15 c) 9

d) –9 e) –33

12.Si: A² =

31 1

2 

y B² =

12 1 1 

_.

Calcular el determinante de: C = (A + B) (A - B)

a) 2 b) 4 c) –

2

d) –4 e) 0

13.Dada la matriz: A =

2

1 x2

x2

, si : A =

3. Hallar: 2A + 3A^t

a) 100 b) –125 c)

25

d) –100 e) N.A.

14.Si: A =

34

1 23

5 31

2

. Calcular : A

a) 40 b) 20 c)

30

d) 0 e) 10